1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学试题（文科） 选择题部分（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给也的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 （ 1）若 1,1Pxx Qxx=，则 A PQ B QP C R CP Q D R QCP （ 2）若复数 1zi=+， i为虚数单位，则 (1 )iz+ = A 13i+ B 33i+ C 3 i D 3 （ 3）若实数 x， y 满足不等式组 250, 270, 0, 0, xy xy xy + + 则 3x+4y 的最小值是 A 13 B 15 C 20 D 28 （ 4
2、）若直线 l不平行于平面 a，且 la ，则 A a内的所有直线与异面 B a内不存在与 l平行的直线 C a内存在唯一的直线与 l平行 D a内的直线与 l都相交 （ 5）在 ABC 中，角 ,A BC所对的边分 ,abc若 cos sinaAbB= ，则 2 sin cos cosA AB+= A - 1 2 B 1 2 C -1 D 1 （ 6）若 ,ab为实数，则 “0ab1”是 “b ， 0 2 a （）求 )(xf 的单调区间； （）求所有实数 a，使 2 )(1 exfe 对 ,1 ex 恒成立 注： e为自然对数的底数 （ 22） （本小题满分 15 分）如图，设 P 是抛物线
3、 1 C ： 2 x y= 上的动点。 过点 P 做圆 2 C 1)3(: 22 =+ yx 的两条切线，交直线 l： 3y = 于 ,A B两点。 （）求 2 C 的圆心 M 到抛物线 1 C 准线的距离。 （）是否存在点 P ，使线段 AB 被抛物线 1 C 在点 P 处得切线平分， 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 1 5CAABD 6 10DBDCD 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。 11 -1 12 1 13 600 14 5 15 5 , 6
4、6 16 23 3 17 4 三、解答题：本大题共 5 小题，其 72 分。 （ 1）本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识。满分 14 分。 （）解：由题意得， 2 6. 3 T = 因为 (, ) sin( ) 3 PA y A x =+在 的图象上， 所以 sin( , ) 1. 3 += 又因为 0 2 =所以 （ 19）本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式，等比数列的求和公式等基础知识，同 时考查运算求解能力及推理论证能力。满分 14 分。 （）解：设等差数列 n a 的公差为 d ，由题意可知 2 214 111 () aaa = 即 2 111 ()(3)a
5、d aa d+= +，从而 2 1 ad d= 因为 1 0, .ddaa=所以 故通项公式 . n ana= （）解：记 2 2 2 22 11 1 ,2 n n n n Taa aa a =+ =L因为 所以 2 11 (1 ( ) ) 11 1 1 1 1 1 22 () () 1 22 1 2 n n n n T aaa =+= = L 从而，当 0a 时， 1 1 n T a ；当 1 1 0, . n aT a 时 （ 20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能 力和推理论证能力。满分 14 分。 （）证明：由 AB=AC， D 是 BC
6、中点，得 ADBC ， 又 PO 平面 ABC， ，得 PO BC 因为 PO AD O=，所以 BC 平面 PAD，故 .BCPA （）解：如图，在平面 PAB 内作 BMPA 于 M，连 CM。 因为 ,BCPAPA得 平面 BMC，所以 APCM。 故 BMC 为二面角 B AP C 的平面角。 在 222 ,41,41Rt ADB AB AD BD AB=+=中得 在 222 Rt POD PO OD=+中,PD ， 在 RtPDB 中， 222 PB PD BD=+， 所以 2222 36, 6.PB PO OD BD PB=+= =得 在 222 ,255Rt POA PA AO
7、OP PA=+=中得 又 222 122 cos , sin 23 3 PA PB AB BPA BPA PA PB + = = = 从而 故 sin 4 2BM PB BPA= 同理 42.GM = 因为 222 BMMCBC+= 所以 90BMC= 即二面角 B AP C 的大小为 90 . （ 21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、 推理论证能力。满分 15 分。 （）解：因为 22 () ln . 0fx a x x ax x=+ 其中 所以 2 ()(2) () 2 axaxa fx xa xx + =+= 由于 0a ，所以 ()f x
8、 的增区间为 (0, )a ，减区间为 (, )a + （）证明：由题意得， (1) 1 1,f ac ac= 即 由（）知 () 1,f xe在 内单调递增， 要使 2 1() 1,efxexe 对 恒成立， 只要 22 2 (1) 1 1, () fae f eaeaee = =+ 解得 .ae= （ 22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何 的基本思想方法和运算求解能力。满分 15 分。 （）解：因为抛物线 C 1 的准线方程为： 1 4 y = 所以圆心 M 到抛物线 C 1 准线的距离为： 111 |(3)|. 44 = （）解：设点 P
9、的坐标为 2 00 (, )x x ，抛物线 C 1 在点 P 处的切线交直线 l于点 D。 再设 A， B， D 的横坐标分别为 , ABC x xx 过点 2 00 (, )Px x 的抛物线 C 1 的切线方程为： 2 00 0 2( )yx xxx= （ 1） 当 0 1x = 时，过点 P（ 1， 1）与圆 C 2 的切线 PA 为： 15 1(1) 8 yx = 可得 17 ,1, 1, 2 15 ABDABD x xx xxx= = = + 当 1 0 =x 时，过点 P（ 1， 1）与圆 C 2 的切线 PA 为： 15 1(1) 8 yx = 可得 DBADBA xxxxxx
10、 2,1, 15 17 ,1 += 17 ,1, 1, 2 15 ABDABD x xx xxx= = = + 所以 2 0 10 x 设切线 PA， PB 的斜率为 12 ,kk，则 2 01 0 :()PA y x k x x= （ 2） 2 02 0 :()PB y x k x x= （ 3） 将 3y = 分别代入（ 1） ， （ 2） ， （ 3）得 222 000 00 0 12 01 333 (0); ; (,0) 2 DAB xxx xxxxxx k xk + = = = 从而 2 00 12 11 2(3)( ). AB xx x x kk += + + 又 2 01 0 2
11、 1 |3| 1 1 xk x k + = + 即 22 2 22 01 0 010 (1)2(3) (3)10 xk xxkx+ += 同理， 22 2 22 02 0 020 (1)2(3) (3)10 xk xxkx+ += 所以 12 ,kk是方程 22 2 22 0000 (1)2(3) (3)10 xk xxkx+ +=的两个不相等的根，从而 00 0 12 12 22 2(3 ) (3 ) 1 ,. 11 xx x kk kk + += = 因为 0 2xxx BA =+ 所以 2 2 0 00 12 0 12 0 311 11 1 2(3)( ) , . x xx kk x kk x + + = + =即 从而 2 00 22 00 2(3 ) 1 (3)1 xx xx + = + 进而得 4 4 00 8, 8xx= 综上所述，存在点 P 满足题意，点 P 的坐标为 4 (8,22).
