1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页，满分 150 分。考试用时 120 分钟，考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上。 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置，不能写在试卷上；如需改动
2、，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂 改液、胶带纸、修正带。不按能上能下要求作答的答案无效。 4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 柱体的体积公式： VSh= ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高。 圆柱的侧面积公式： Scl= ，其中 c 是圆柱的底面周长， l是圆柱的母线长。 球的体积公式： 3 4 3 VR= ，其中 R 是球的半径。 球的表面积公式： 2 4SR= ， 其中 R 是球的半径。 用最小二乘法求线性回归方程系数公式： 1 2 2 4 1 , n ii i n i xy nxy baybx xnx = = = =
3、 ， 如果事件 A、 B 互斥，那么 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） 第卷 （共 60 分） 一、选择题：本大题共l0小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 满足题目要求的 1设集合 M =x|（ x+3） （ x-2） 0， N =x|1 x 3,则 M N = A 1,2） B 1,2 C （ 2,3 D 2,3 2复数 z= 2 2 i i + （ i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若点（ a,9）在函数 3 x y = 的图象上，则 tan= 6 a 的值为 A 0 B 3 3 C 1 D 3
4、 4曲线 2 11yx=+在点 P（ 1， 12）处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 A -9 B -3 C 9 D 15 5已知 a， b， cR，命题 “若 abc+=3，则 222 abc+ + 3”，的否命题是 A若 a+b+c3，则 222 abc+3 B若 a+b+c=3，则 222 abc+0）在区间 0, 3 上单调递增，在区间 , 32 上单调递减，则 = A 2 3 B 3 2 C 2 D 3 7设变量 x， y 满足约束条件 250 20 0 xy xy x + ，则目标函数 231zxy= +的最大值为 A 11 B 10 C 9 D 8 5 8某产品的广告费用 x 与销
5、售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x（万元） 4 2 3 5 销售额 y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 ybxa=+中的 b为 9 4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为 A 63 6 万元 B 65 5 万元 C 67 7 万元 D 72 0 万元 9设 M（ 0 x ， 0 y ）为抛物线 C： 2 8x y= 上一点， F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、 FM 为 半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 0 y 的取值范围是 A （ 0， 2） B 0， 2 C （ 2， +） D 2， +） 10函数 2sin 2 x yx= 的图象大致是
6、11下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱， 其正（主）视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如下图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图其中真命 题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 12设 1 A ， 2 A ， 3 A ， 4 A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 13 12 AAAA= uuuuv uuuuv （ R） ， 14 12 A AAA= uuuuv uuuuv （ R） ，且 11 2 +=,则称 3 A ， 4 A 调和分割 1 A ， 2 A ,已知点 C（ c， o） ,D （ d， O） （ c， dR）调和分割点
7、A（ 0， 0） ， B（ 1， 0） ，则下面说法正确的是 A C 可能是线段 AB 的中点 B D 可能是线段 AB 的中点 C C， D 可能同时在线段 AB 上 D C， D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 第II卷 （共 90 分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、 150、 400、 300 名学生， 为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽 取 40 名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 14执行右图所示的程序框图，输入 l=2， m=3， n=5，则输出的 y 的值 是 15已知双曲线
8、 22 22 1( 0 b 0) xy a ab =， 和椭圆 22 xy =1 16 9 + 有相同的 焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程 为 16已知函数 fx（） =log ( 0 a 1). a xxba+ ，且 当 2 a 3 b 4 时，函数 fx（） 的零点 * 0 (, 1), , n=xnn nN+则 三、解答题：本大题共6小题，共74分 17 （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已知 cosA-2cosC 2c-a = cosB b （ I）求 sin sin C A 的值； （ II）若 cos
9、B= 1 4 ， 5bABCnull 的周长为 ，求 的长. 18 （本小题满分 12 分） 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女 （ I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师 性别相同的概率； （ II）若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一 学校的概率 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱台 111 1 ABCD ABC D 中， 1 DD平面 ABCD ，底面 ABCD 是平行四边 形， AB=2AD ， 11 AD=A B ， BAD=
10、 60 （）证明： 1 AA BD ； （）证明： 11 CC A BD平面 20 （本小题满分 12 分） 等比数列 n a 中， 123 ,aaa分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 123 ,aaa中的 任何两个数不在下表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （）求数列 n a 的通项公式； （）若数列 n b 满足： (1)ln n nn n ba a=+ ，求数列 n b 的前 2n项和 2n S 21 （本小题满分 12 分） 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米） ，其中容器的中间为圆柱形， 左右两端
11、均为半球形，按照设计要求容器的体积为 80 3 立方米，且 2lr 假设该容器的建 造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方 米建造费用为 (3)cc 设该容器的建造费用为 y 千元 （）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （）求该容器的建造费用最小时的 r 22 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 2 2 :1 3 x Cy+ = 如图所示，斜率为 (0)kk 且不 过原点的直线 l交椭圆 C于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 E ，射线 OE 交椭圆 C于点 G， 交直线 3x= 于点 (3,
12、)Dm （）求 22 mk+ 的最小值； （）若 2 OG OD= OE ， （ i）求证：直线 l过定点； （ ii）试问点 B ， G能否关于 x轴对称？若能，求出此时 ABGnull 的外接圆方程；若不能， 请说明理由 参考答案 一、选择题 ADDCABBBCCAD 二、填空题 13 16 14 68 15 22 1 43 xy = 16 2 三、解答题 17解： （ I）由正弦定理，设 , sin sin sin abc k ABC = 则 2 2 sin sin 2sin sin , sin sin ca k Ck A C A bkB B = 所以 cos 2cos 2sin sin
13、 . cos sin A CCA BB = 即 (cos 2cos )sin (2sin sin )cosA CB C AB=， 化简可得 sin( ) 2sin( ).A BBC+= + 又 ABC+=， 所以 sin 2sinCA= 因此 sin 2. sin C A = （ II）由 sin 2 sin C A = 得 2.ca= 由余弦定得及 1 cos 4 B = 得 222 222 2 2cos 1 44 4 4. bac acB aaa a =+ =+ = 所以 2.ba= 又 5,abc+= 从而 1,a = 因此 b=2。 18解： （ I）甲校两男教师分别用 A、 B 表示
14、，女教师用 C 表示； 乙校男教师用 D 表示，两女教师分别用 E、 F 表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为： （ A， D） （ A， E） ， （ A， F） ， （ B， D） ， （ B， E） ， （ B， F） ， （ C， D） ， （ C， E） ， （ C， F）共 9 种。 从中选出两名教师性别相同的结果有： （ A， D） ， （ B， D） ， （ C， E） ， （ C， F）共 4 种， 选出的两名教师性别相同的概率为 4 . 9 P = （ II）从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为： （ A， B） ， （ A， C
15、） ， （ A， D） ， （ A， E） ， （ A， F） ， （ B， C） ， （ B， D） ， （ B， E） ， （ B， F） ， （ C， D） ， （ C， E） ， （ C， F） ， （ D， E） ， （ D， F） ， （ E， F）共 15 种， 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： （ A， B） ， （ A， C） ， （ B， C） ， （ D， E） ， （ D， F） ， （ E， F）共 6 种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为 62 . 15 5 P = = 19 （ I）证法一： 因为 1 DD平面 ABCD，且 BD平面 ABCD， 所以
16、1 DD BD ， 又因为 AB=2AD， 60BAD=， 在 ABD 中，由余弦定理得 222 2 2 cos60 3BDADAB ADAB AD=+ = ， 所以 222 AD BD AB+=， 因此 ADBD ， 又 1 ,AD D D D=I 所以 11 .BDADA平面 又 1 AA 平面 ADD 1 A 1 ， 故 1 .AA BD 证法二： 因为 1 DD平面 ABCD，且 BD平面 ABCD， 所以 1 .BDDD 取 AB 的中点 G，连接 DG， 在 ABD 中，由 AB=2AD 得 AG=AD， 又 60BAD=，所以 ADG 为等边三角形。 因此 GD=GB， 故 DB
17、G GDB=， 又 60AGD= 1 ,DD =I 所以 GDB=30 , 故 ADB= ADG+ GDB=60 +30 =90 , 所以BD AD. 又AD D 所以 BD平面 ADD 1 A 1 ， 又 1 AA 平面 ADD 1 A 1 ， 故 1 .AA BD （ II）连接 AC， A 1 C 1 ， 设 AC BD E=I ，连接 EA 1 因为四边形 ABCD 为平行四边形， 所以 1 . 2 ECAC= 由棱台定义及 AB=2AD=2A 1 B 1 知 A 1 C 1 /EC 且 A 1 C 1 =EC， 所以边四形 A 1 ECC 1 为平行四边形， 因此 CC 1 /EA
18、1 ， 又因为 EA 1 平面 A 1 BD， 1 CC 平面 A 1 BD， 所以 CC 1 /平面 A 1 BD。 20解： （ I）当 1 3a = 时，不合题意； 当 1 2a = 时，当且仅当 23 6, 18aa=时，符合题意； 当 1 10a = 时，不合题意。 因此 123 2, 6, 18,aaa= 所以公式 q=3， 故 1 23 . n n a = （ II）因为 (1)ln n nn n ba a=+ 11 1 1 23 (1)(23 ) 23 (1)ln2 ( 1)ln3 2 3 ( 1) (ln 2 ln3) ( 1) ln3, nnn nn nn n n n =
19、+ = + + = + + 所以 212 2 21 2 2(1 3 3 ) 111 (1) (ln2 ln3) nn nn Sbb b =+ =+ + L LL 2 | 1 2 3 ( 1) 2 ln3 n n+ +L 2 2 13 2ln3 13 3ln31. n n n n = + =+ 21解： （ I）设容器的容积为 V， 由题意知 23 480 , 33 Vrl rV =+ =又 故 3 22 2 4 80 4 4 20 3 () 333 Vr lrr rr r = 由于 2lr 因此 02.r 所以建造费用 22 2 420 234 2 ( )34, 3 yrl rcr r rc
20、r =+ = + 因此 2 160 4 ( 2) ,0 2.ycr r r =+ （ II）由（ I）得 3 22 160 8 ( 2) 20 8( 2) ( ),0 2. 2 c ycr r r rr c = = 所以 当 3 3 20 20 0, . 22 rr cc = = 时 令 3 20 , 2 m c = 则 所以 22 2 8( 2) ( )( ). c yrmrm r =+ （ 1）当 9 02 2 mc即 时， 当r=m时,y=0; 当r (0,m)时,y0. 所以 rm= 是函数 y 的极小值点，也是最小值点。 （ 2）当 2m 即 9 3 2 c 时， 当 (0,2) ,
21、 0,ry时 函数单调递减， 所以 r=2 是函数 y 的最小值点， 综上所述，当 9 3 2 c 时，建造费用最小时 3 20 . 2 r c = 22 （ I）解：设直线 (0)lykxtk=+ 的方程为 ， 由题意， 0.t 由方程组 2 2 , 1, 3 y kx t x y =+ += 得 22 2 (3 1) 6 3 3 0kxktxt+=， 由题意 0 ， 所以 22 31.kt+ 设 11 2 2 (, ),(, )Ax y Bx y ， 由韦达定理得 12 2 6 , 31 kt xx k += + 所以 12 2 2 . 31 t yy k += + 由于 E 为线段 AB
22、 的中点， 因此 22 3 , 31 31 EE kt t xy kk = + 此时 1 . 3 E OE E y k x k = 所以 OE 所在直线方程为 1 , 3 yx k = 又由题设知 D（ -3， m） ， 令 x=-3，得 1 m k = ， 即 mk=1， 所以 22 22,mk mk+ = 当且仅当 m=k=1 时上式等号成立， 此时 由 0 得 02,t 因此 当 10 2mk t= 解得 22 31 (,) 3131 k G kk + 又 22 31 (,),(3,) 3131 kt ED kk k + ， 由距离公式及 0t 得 2 222 2 22 2 22 2 2
23、2 22 3191 |( )( ) , 31 31 31 191 |(3)() , 391 |( )( ) , 31 31 31 OG k kk k OD kk kt t t k OE kk + = + = + + + =+ = + = + = + 由 2 | ,OG OD OE t k= =得 因此，直线 l的方程为 (1).ykx=+ 所以，直线 (1,0).l 恒过定点 （ ii）由（ i）得 22 31 (,) 3131 k G kk + 若 B， G 关于 x 轴对称， 则 22 31 (,). 31 31 k B kk + 代入 22 (1) 3 1 3 1,ykx k kk=+ = +整理得 即 42 6710kk+=， 解得 2 1 6 k = （舍去）或 2 1,k = 所以 k=1， 此时 31 31 (,),(,) 22 22 BG 关于 x 轴对称。 又由（ I）得 11 0, 1,xy=所以 A（ 0， 1） 。 由于 ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上，可设 ABG 的外接圆的圆心为（ d， 0） ， 因此 22 31 1 1( ) , , 24 2 dd d+= + + =解得 故 ABG 的外接圆的半径为 2 5 1 2 rd=+=， 所以 ABG 的外接圆方程为 22 15 () . 24 xy+=
