1、2011 年上海市高考数学试题（理科） 一、填空题（56分） 1、函数 1 () 2 fx x = 的反函数为 1 ()f x = 。 2、若全集UR=，集合| 1 | 0Axx xx= U，则 U CA= 。 3、设m为常数，若点(0,5)F是双曲线 22 1 9 yx m =的一个焦点，则m= 。 4、不等式 1 3 x x + 的解为 。 5、在极坐标系中，直线(2cos sin ) 2 +=与直线cos 1 =的夹角大小为 。 6、在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若 00 75 , 60CAB CBA=，则A、C两点之 间的距离是 千米。 7、若圆锥的侧面积为2，底面积为，则该圆
2、锥的体积为 。 8、函数sin( )cos( ) 26 yxx =+ 的最大值为 。 9、马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表 请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定 这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E = 。 10、行列式 ab cd （, 1,1,2abcd）的所有可能值中，最大的是 。 11、在正三角形ABC中，D是BC上的点，3, 1AB BD= =，则ABAD = uuuruuur 。 12、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相 同，结果精确到0.001）。 13、设()g
3、x是定义在R上、以1为周期的函数，若() ()f xxgx= +在3, 4上的值域为2,5， 则()f x在区间 10,10上的值域为 。 14、已知点(0,0)O、 0 (0,1)Q和 0 (3,1)R，记 00 QR的中点为 1 P，取 01 QP和 10 PR中的一条，记其 端点为 1 Q、 1 R，使之满足 11 (| | 2)(| | 2) 0OQ OR；记 11 QR的中点为 2 P，取 12 QP和 21 PR中的 一条，记其端点为 2 Q、 2 R，使之满足 22 (| | 2)(| | 2) 0OQ OR ，则下列不等式中，恒成立的是答（ ） A 22 2ab ab+ B 2
4、ab ab+ C 11 2 ab ab + D 2 ba ab + 16、下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0, )+上单调递减的函数为答（ ） A 1 ln | y x = B 3 y x= C | 2 x y = D cosy x= 17、设 12345 ,AAAAA是空间中给定的5个不同的点，则使 12345 0MA MA MA MA MA+ += uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur r 成立的点M的个数为答（ ） A 0 B 1 C 5 D 10 18、设 n a是各项为正数的无穷数列， i A是边长为 1 , ii aa + 的矩形面积（1, 2,i = L
5、），则 n A为 等比数列的充要条件为答（ ） A n a是等比数列。 B 13 21 , , n aa a LL或 24 2 , , n aa aLL是等比数列。 C 13 21 , , n aa a LL和 24 2 , , n aa aLL均是等比数列。 D 13 21 , , n aa a LL和 24 2 , , n aa aLL均是等比数列，且公比相同。 三、解答题（74分） 19、（12分）已知复数 1 z满足 1 (2)(1)1zii+=（i为虚数单位），复数 2 z的虚部为2， 12 zz是 实数，求 2 z。 20、（12分）已知函数() 2 3 x x f xa b= +
6、，其中常数,ab满足0ab。 若0ab，判断函数()f x的单调性； 若0ab时x的取值范围。 21、（14分）已知 111 1 ABCD ABC D是底面边长为1的正四棱柱， 1 O是 11 AC和 11 B D的交点。 设 1 AB与底面 111 1 ABCD所成的角的大小为，二面角 11 1 ABD A 的大小为。 求证：tan 2 tan =； 若点C到平面 11 AB D的距离为 4 3 ，求正四棱柱 111 1 ABCD ABC D的高。 22、（18分）已知数列 n a和 n b的通项公式分别为36 n an= +，27 n bn= +（ * nN），将集 合 * | , | ,
7、 nn x xanN xxbnN= =U中的元素从小到大依次排列，构成数列 123 , , n ccc cLL。 求 1234 ,cccc； 求证：在数列 n c中、但不在数列 n b中的项恰为 24 2 , , n aa aLL； 求数列 n c的通项公式。 23、（18分）已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到 线段l的距离，记作(,)dPl。 求点(1,1)P到线段:30(35)lx y x= 的距离(,)dPl； O 1 D C B A D 1 C 1 B 1 A 1 设l是长为2的线段，求点集|(,)1DPdPl=所表示图形的面积； 写出到两条线段
8、 12 ,ll距离相等的点的集合 12 |(,) (,)PdPl dPl=，其中 12 ,lABlCD=， ,A BCD是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，6分， 8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 (1, 3), (1, 0), ( 1, 3), ( 1, 0)ABC D 。 (1, 3), (1, 0), ( 1, 3), ( 1, 2)ABC D 。 (0,1), (0,0), (0,0), (2,0)ABC D。 2011 年上海高考数学试题（理科）答案 一、填空题 1、 1 2 x +；2、|0 1xx；3、16；4、0 x时，任意
9、 12 1 2 ,x xRxx ，则 12 12 12 () () (2 2) (3 3) x xxx fx fx a b=+ 12 12 22,0 (22)0 xx xx aa， 12 12 33,0 (33)0 xx xx bb ， 12 () () 0fx fx，函数()f x在R上是增函数。 当0, 0ab 当0, 0ab时， 3 () 22 x a b ，则 1.5 log ( ) 2 a x b ； 当0, 0ab时， 3 () 22 x a b ，则 1.5 log ( ) 2 a x b 。 21、解：设正四棱柱的高为h。 连 1 AO， 1 AA 底面 111 1 ABCD于
10、 1 A， 1 AB与底面 111 1 ABCD所成的角为 11 AB A，即 11 AB A = 11 AB AD=， 1 O为 11 B D中点， 111 AO B D，又 11 11 AO BD， 11 AO A是二面角 11 1 ABD A的平面角，即 11 AO A = 1 11 tan AA h AB =， 1 11 tan 2 2 tan AA h AO =。 建立如图空间直角坐标系，有 11 (0, 0, ), (1, 0, 0), (0,1, 0), (1,1, )AhB D Ch 11 (1, 0, ), (0,1, ), (1,1, 0)AB h AD h AC= = =
11、 uuuur uuuur uuur 设平面 11 AB D的一个法向量为(, ,)nxyz= r ， 11 11 0 0 nAB nAB nAD nAD = r uuur r uuur ruuur r uuuur，取1z =得(,1)nhh= r 点C到平面 11 AB D的距离为 22 | 04 3| 1 nAC h h d n hh + = = + r uuur r，则2h=。 22、 12 3 4 9, 11, 12, 13cc c c= = =； 任意 * nN，设 21 3(2 1) 6 6 3 2 7 nk an nbk =+=+=+，则32kn= ，即 21 32nn ab =
12、假设 2 66 27 nk anbk=+=+ * 1 3 2 kn N=（矛盾）， 2 nn ab 在数列 n c中、但不在数列 n b中的项恰为 24 2 , , n aa aLL。 32 21 2(3 2) 7 6 3 kk bk ka =+=+=， A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D O 1 z y x A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D O 1 31 65 k bk =+， 2 66 k ak=+， 3 67 k bk=+ 63656667kkkk+ + + + 当1k =时，依次有 111222334 ,bacbcacbc= = = =， * 63( 43)
13、65( 42) , 66(41) 67(4) n knk knk ckN knk knk += += = += += 。 23、解： 设(, 3)Qxx是线段:30(35)lx y x = 上一点，则 22 2 59 | | ( 1) ( 4) 2( ) (3 5) 22 PQ x x x x=+= +，当3x=时， min (,)| | 5dPl PQ=。 设线段l的端点分别为,A B，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0), (1,0)AB，点集D由如下曲线围成 12 : 1(| | 1), : 1(| | 1)lyxly x= =， 22 22 12 : ( 1
14、) 1( 1), : ( 1) 1( 1)Cx yx Cx yx+ += += 其面积为4S =+。 选择(1, 3), (1, 0), ( 1, 3), ( 1, 0)ABC D，( , ) | 0 xy x= 选择(1, 3), (1, 0), ( 1, 3), ( 1, 2)ABC D。 2 (,)| 0, 0(,)| 4,2 0(,)| 10, 1xy x y xy y x y xy x y x= = = UU 选择(0,1), (0,0), (0,0), (2,0)ABC D。 ( , ) | 0, 0 ( , ) | ,0 1xy x y xy y x x= = U 2 ( , ) | 2 1,1 2 ( , ) | 4 2 3 0, 2xy x y x xy x y x=UU 1 -1 -1 1 y x O BA D B=C A 12 2.5 y x -2 x y -1 1 3 A B C D O O D C B A 3 1-1 y x
