1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文科数学 第卷 (共 60 分 ) 参考公式： 锥体的体积公式： V= 1 3 Sh .其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高 . 球的表面积公式： S 4 R 2 ,其中 R 是球的半径 . 如果事件 A、 B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 一、 选择题 :本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . (1)满足 M a 1 a 2 a 3 a 4 ,则 MI a 1 a 2 a 3 = a 1 a 2 的集合 M 的个数是 (A)1 (B)2 (C)3
2、(D)4 (2)设 z 的共轭复数是 z ，若 z+ z =4,z z =8,则 z z 等于 (A)i (B) i (C) 1 (D) i (3)函数 y=lncosx(- 2 x 2 的图象是 (4)给出命题：若函数 y=f(x)是幂函数，则函数 y=f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、 否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 (5)设函数 f (x)= 2 2 11, 2, 1, xx x xx + 则 f 1 (2)f 的值为 (A) 15 16 (B) - 27 16 (C) 8 9 (D)18 (6)下图是一个几何体的三视图，根据图
3、中数据，可得该几何体的表面积是 (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 (7)不等式 2 5 (1) x x + 2 的解集是 (A)-3, 1 2 (B)- 1 2 ,3 (C) ( 1 ,1 1,3 2 (D) ( 1 ,1 1,3 2 (8)已知 a,b,c 为ABC 的三个内角 A,B,C 的对边， 向量 m = ( 3, 1 ),n=(cosA,sinA),若 mn, 且 acosB+bcosA=csinC,则角 A,B 的大小分别为 (A) , 63 (B) 2 , 36 (C) , 36 (D) , 33 (9)从某项综合能力或抽取 100 人的成绩，统计如表，则这 100
4、 人成绩的标准差为 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 (A) 3 (B) 210 5 (C)3 (D) 8 5 (10)已知 cos（ a 6 ） +sina= 4 3 5 ,则 sin(a+ 7 6 )的值是 (A) 23 5 (B) 23 5 (C) 4 5 (D) 4 5 (11)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限，且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方 程是 (A)(x-3) 2 +( 7 3 y ) 2 =1 (B)(x-2) 2 +(y-1) 2 =1 (C)(x-1) 2 +(y-3) 2 =1 D.( 3 2 x ) 2 +(
5、y-1) 2 =1 (12)已知函数 () log(2 1)( 1, 1) x afx b a a= + 的图象如图所示，则 a,b 满足的关系是 (A)0 a 1 b 1 (B)0 b a 1 1 (C) 0 b 1 a 1 (D) 0 a 1 b 1 1 第卷 (共 90 分 ) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 (13)已知圆 C： x 2 +y 2 -6x-4y+8=0。以圆 C 与坐标轴的交点分别 作为双曲线的一个焦点和顶点， 则适合上述条件的双曲线的标 准方程为 22 1 412 xy =。 (14)执行右边的程序框图，若 p=0.8,则输出的 n=
6、4 . (15)已知 2(3 ) 4 log 3 233 x fx=+，则 f(2)+(4)+f(8)+f(2 8 )的 值等于 2008 . (16)设 x,y 满足约束条件 20, 5100, 0, 0, xy xy x y + 则 z 2x+y 的最大值 为 11 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。 (17)（本小题满分 12 分） 已知函数 () 3sin( ) cos( )(0 , 0)fx x x = + + 为偶函数，且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 ()求 () 8 f 的值 ; ( )将函数 y=f(x)的图象向右平移 6 个单位后，得
7、到函数 y=g(x)的图象，求 g(x)的单调递 减区间 . 解： ()() 3sin( ) cos( )fx x x =+ 2 31 sin( ) cos( ) 22 xx + + = 2sin( ) 6 x . 因为 f(x)为偶函数 , 所以对 xR,f(-x)=f(x)恒成立， 因此 sin ()sin(). 66 xx += + 即 sincos()cossin()sincos()cossin() 66 xx +=+ 整理得 sin cos( ) 0. 6 x = 因为 0,且 x ,R 所以 cos( ) 0. 6 = 又因为 0 ， 故 62 = . 所以 () 2sin( )
8、2cos . 2 f xx x =+= 由题意得 2 2. 2 = 所以 2. 故 f(x)=2cos2x. 因此 () 2cos 2. 84 f = （）将 f(x)的图象向右平移 6 个单位后，得到 () 6 fx 的图象 . 所以 () ( ) 2cos2( ) 2cos(2 ). 663 gx f x x x = = 当 22 2 (Z), 3 kx k k + 即 2 (Z) 63 kxkk + + 时， g(x)单调递减 . 因此 g(x)的单调递减区间为 2 , (Z). 63 kk k + + （ 18） （本小题满分 12 分） 现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 A 1
9、、 A 2 、 A 3 通晓日语， B 1 、 B 2 、 B 3 通晓俄语， C 1 、 C 2 通晓韩语 .从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组 . （）求 A 1 被选中的概率 ; （）求 B 1 和 C 1 不全被选中的概率 . 解： （）从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事 件空间 =(A 1 ,B 1 ,C 1 ),(A 1 ,B 1 ,C 2 ),(A 1 ,B 2 ,C 1 ),(A 1 ,B 2 ,C 2 ),(A 1 ,B 3 ,C 1 ),(A 1 ,B 2 ,C 2 ),(A 2 ,B 1 ,C 1 ),
10、(A 2 ,B 1 ,C 2 ),(A 2 ,B 2 , C 1 ),(A 2 ,B 2 ,C 2 ),(A 2 ,B 3 ,C 1 ),(A 2 ,B 3 ,C 2 ),(A 3 ,B 1 ,C 2 ),(A 3 ,B 1 ,C 2 ),(A 1 ,B 2 ,C 1 ),(A 3 ,B 2 ,C 2 ),(A 3 ,B 3 ,C 1 ), (A 3 ,B 3 ,C 2 ) 由 18 个基本事件组成 .由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本 事件的发生是等可能的 . 用 M 表示 “A 1 恰被选中 ”这一事件，则 M (A 1 ,B 1 ,C 1 ),(A 1 ,B 1 ,C 2
11、),(A 1 ,B 2 ,C 1 ),(A 1 ,B 2 ,C 2 ),(A 1 ,B 3 ,C 1 ),(A 1 ,B 2 ,C 2 ) 事件 M 由 6 个基本事件组成， 因而 61 () . 18 3 PM = （）用 N 表示 “B 1 、 C 1 不全被选中 ”这一事件，则其对立事件 N 表示 “B 1 、 C 1 全被选 中 ”这一事件， 由于 N (A 1 ,B 1 ,C 1 ),(A 2 ,B 1 ,C 1 ),(A 3 ,B 1 ,C 1 ),事件 N 有 3 个基本事件组成， 所以 31 () 18 6 PN =，由对立事件的概率公式得 15 ()1 ()1 . 66 PN
12、 PN= = = （ 19） （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PA D平面 ABCD， ABDC,PA D 是等边三角形， 已知 BD 2AD=8, AB=2DC= 45. （）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD平面 PA D ; （）求四棱锥 P-ABCD 的体积 . （）证明：在ABD 中， 由于 AD=4,BD=8,AB= 45， 所以 AD 2 +BD 2 =AB 2 . 故 ADBD. 又 平面 PA D平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCD=AD, BD 平面 ABCD， 所以 BD平面 PA D , 又 BD 平面 MBD， 故
13、 平面 MBD平面 PA D . （）解：过 P 作 POAD 交 AD 于 O， 由于 平面 PA D平面 ABCD， 所以 PO平面 ABCD. 因此 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高， 又 PA D 是边长为 4 的等边三角形， 因此 3 423. 2 PO = 在底面四边形 ABCD 中， ABDC, AB=2DC, 所以 四边形 ABCD 是梯形， 在 RtADB 中， 斜边 AB 边上的高为 48 85 , 5 45 = 此即为梯形 ABCD 的高， 所以 四边形 ABCD 的面积为 25 45 85 24. 25 S + = 故 1 24 2 3 16 3. 3 PABCD V
14、 = = （ 20） （本小题满分 12 分） 将数列 a n 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 记表中的第一列数 a 1 ,a 2 ,a 4 ,a 7 ,构成的数列为 b n ， b 1 =a 1 =1,S n 为数列 b n 的前 n 项和， 且满足 2 2 n nn n b bS S 1（ n2） . ()证明数列 1 n S 成等差数列，并求数列 b n 的通项公式； ()上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比 为同一个正数，当 81 4 91 a =
15、 时，求上表中第 k(k3)行所有项的和 . ()证明：由已知，当 2 2 1 n nn n b n bS S = 时， ， 12 1 2 1 1 1 1 11 1 , 2( ) 1. () 2( ) 1, 111 , 2 1. nn nn nnnn nn nn nn Sbb b SS SSSS SS SS SS Sba = + = = = = L又 所以 即 所以 又 所以数列 1 n S 是首项为 1，公差为 1 2 的等差数列 . 由上可知 11 1 1(1) 22 n n n S + =+ = . 即 2 . 1 n S n = + 所以 当 1 22 2 2. 1(1) nnn nb
16、SS nnn = + + 时， 因此 1, 1, 2 ,2. (1) n n b n nn = = = + ()解：设上表中从第三行起，每行的公比都为 q，且 q0. 因为 1+2+12 12 13 2 78， 所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 a n 的前 78 项， 故 a 81 在表中第 13 行第三列， 因此 2 81 13 4 . 91 abq=null 又 13 2 , 13 14 b = 所以 q=2. 记表中第 (kk3)行所有项的和为 S， 则 (1 ) 2(12) 2 (1 2 )( 3) 1() (1) k k kk bq Sk qkk k = = + + nu
17、ll . （ 21） （本小题满分 12 分） 设函数 21 2 2 () x f xxe axbx =+，已知 21() .xxfx=和 为 的极值点 ( )求 a 和 b 的值； ( )讨论 ()f x 的单调性； ( )设 32 2 () 3 gx x x=，试比较 ()f x 与 ()gx的大小 . 解： ()因为 122 () (2 ) 3 2 x f x e x x ax bx =+ 1 (2)(3 2). x xex xaxb =+ 又 21() (2)(1)0.xxfx f f = = = =和 为 的极值点，所以 因此 620, 33 2 0, ab ab += += 解方程
18、组得 1 ,1. 3 ab= ( )因为 1 ,1, 3 ab= = 所以 1 () ( 2)( 1), x fx xx e = + 令 123 ( ) 0, 2, 0, 1.fx x x x = = = =解得 因为 (,2)(0,1) ()0;xf 当时， 所以 ()f x 在（ -2， 0）和（ 1， +）上是单调递增的； 在（ -， -2）和（ 0， 1）上是单调递减的 . ( )由（）可知 21 3 2 1 () , 3 x f xxe xx = 21 3 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ), () , () 1. () 0, 1, ( ,1 ( ) 0, ( ) ( ,1 .
19、( ,1 ( ) (1) 0; 1, ) ( ) 0, () 1, xx x x fx gx xe x x e x hx e x hx e hx x xhx hx x xhxh hx x = = = = = = + 故 令 则 令得 因为 时， 所以 在 上单调递减 故时， 因为 时， 所以 在 2 ). 1, ) ( ) (1) 0. (, ), ()0, 0, () () 0, ( , ), ( ) ( ). xhxh xhxx fx gx xfxgx + + = + + 上单调递增 故 时， 所以 对任意 恒有 又 因此 故 对任意 恒有 (22)（本小题满分 14 分） 已知曲线 C
20、2 = | 1( 0) xy ab ab +=所围成的封闭图形的面积为 4 5 ,曲线 C 3 的内切 圆半径为 25 3 ，记 C 2 为以曲线 C 1 与坐标轴的交点顶点的椭圆 . (I)求椭圆 C 2 的标准方程； (II)设 AB 是过椭圆 C 2 中心的任意弦， l 是线段 AB 的垂直平分线， M 是 l 上异于椭圆中 心的点 . （ 1）若 |MO|= |OA|(O 为坐标原点 )，当点 A 在椭圆 C 2 上运动时，求点 M 的轨迹方 程； （ 2）若 M 是 l 与椭圆 C 2 的交点，求 AMB的面积的最小值。 解： （ I）由题意得 22 245 25 3 ab ab a
21、b = = + 由 ab0， 解得 a 2 =5, b 2 =4. 因此所求椭圆的标准方程为 22 54 x y + =1. （ II） （ 1）假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为 y=kx(k0), A(x A ,y A ). 解方程组 22 1 54 , xy ykx + = = 得 2 22 22 20 20 , 45 45 AA k xy kk = + 所以 22 22 2 22 2 20 20 20(1 ) | , 45 45 45 AA kk OA x y kk k + =+= + = + + 设 M(x,y)，由题意知 |MO|=|OA| ( 0)，
22、 所以 |MO| 2 = 2 |OA| 2 ，即 2 22 2 2 20(1 ) 45 k xy k + += + , 因为 l 是 AB 的垂直平分线， 所以 直线 l 的方程为 y= 1 x k , 即 k= x y , 因此 2 222 22 2 2 2 22 2 20(1 ) 20( ) 45 45 x x yy xy x y x y + + += = + + null 又 x 2 +y 2 =1， 所以 22 2 54 20 xy += 故 22 2 45 xy += 又 当 k=0 或不存时，上式仍然成立 . 综上所述， M 的轨迹方程为 22 2 . 45 xy +=（ 0） ,
23、 （ 1） 当 k 存在且 k 0 时，由（ 1）得 2 22 22 20 20 , 45 45 AA k xy kk = + , 由 22 1, 54 1 , xy y x k += = 解得 2 22 22 20 20 , 54 54 MM k xy kk = + 所以 |OA| 2 = 2 22 2 20(1 ) 45 AA k xy k + += + , 2 22 2 80(1 ) | 45 k AB OA k + = + 2 2 2 20(1 ) | 54 k OM k + = + 解法一：由于 222 1 | | 4 AMB SABOM= null = 22 180(1 )20(1
24、 ) 445 54 kk+ = 22 22 400(1 ) (4 5 )(5 4 ) k kk + + 22 22 2 400(1 ) 45 54 () 2 k kk + + = 22 22 1600(1 ) 81(1 ) k k + + =（ 40 9 ） 2 ， 当且仅当 4+5k 2 =5+4k 2 时等号成立，即 k= 1 时等号成立，此时AMB 面积的最小值 是 S AMB= 40 9 . 当 140 0, 2 5 2 2 5 . 29 AMB kS = 当 k 不存在时， 140 54 25 . 29 AMB S = = 综上所述， AMB 的面积的最小值为 40 . 9 解法二：
25、因为 22 2 2 22 11 1 1 20(1 ) 20(1 ) 45 54 kk OA OM += + + + + 22 2 45 54 9 , 20(1 ) 20 kk k + = + 又 22 11 2 40 , 9 OA OM OA OM OA OM + nullnull null 当且仅当 22 45 54kk+=+时等号成立，即 1k = 时等号成立，此时 AMB 面积的最小值 是 40 . 9 AMB S = 当 k=0， 140 25 2 25 . 29 AMB S = = 当 k 不存在时， 140 54 25 . 29 AMB S = = 综上所述， AMB 的面积的最小值为 40 . 9
