1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学（必修+选修） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分） 1复数 (2 ) 12 ii i + 等于（ ） A i B i C 1 D 1 2已知全集 12345U = ， ， ， ， ，集合 2 | 3 2 0Axx x= +=， | 2 B xx a a A= =， ，则 集合 () U ABU 中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3 ABC 的内角 ABC， 的对边分别为 abc， ，若 2 6 120cbB= o ， ，则 a 等于
2、（ ） A 6 B 2 C 3 D 2 4已知 n a 是等差数列， 12 4aa+=， 78 28aa+ = ，则该数列前 10 项和 10 S 等于（ ） A 64 B 100 C 110 D 120 5直线 30 xym+=与圆 22 220 xy x+=相切，则实数 m 等于（ ） A 3 或 3 B 3 或 33 C 33 或 3 D 33 或 33 6 “ 1 8 a = ”是“对任意的正数 x ， 21 a x x + ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知函数 3 () 2 x fx + = ， 1 ()f x 是 ()f x
3、 的反函数，若 16mn = （ mn + R， ） ，则 11 () ()f mfn + 的值为（ ） A 2 B 1 C 4 D 10 8双曲线 22 22 1 xy ab =（ 0a ， 0b ）的左、右焦点分别是 12 FF， ，过 1 F 作倾斜角为 30 o 的直线交双曲线右支于 M 点，若 2 MF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A 6 B 3 C 2 D 3 3 9 如图， lA B AB =I， 到 l 的距离分别是 a 和 b ， AB 与 ， 所成的角分别是 和 ， AB 在 ， 内的射影分别是 m 和 n ，若 ab ，则（ ） A mn ， B mn ，
4、C mn ， D mn ， 10已知实数 x y， 满足 1 21 y yx x ym + ， ， 如果目标函数 zxy= 的最小值为 1 ，则实数 m 等 于（ ） A 7 B 5 C 4 D 3 11定义在 R 上的函数 ()f x 满足 ()()()2f xy fx fy xy+ =+（ xyR， ） ， (1) 2f = ， 则 (3)f 等于（ ） A 2 B 3 C 6 D 9 12为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信息设定原信息为 012 i aaa a， 0 1 ， （ 012i = ， ， ） ，传输信息为 00121 haaah
5、，其中 00110 2 haahha= =， ， 运算规则为： 000 = ， 011 = ， 101 = ， 110=， 例如原信息为 111，则传输信息为 01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信 息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A 11010 B 01100 C 10111 D 00011 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13 (1 ) 1 lim 2 n an na + = + ，则 a = 14 长方体 111 1 ABCD A B C D 的各顶点都在球 O 的球面上，其中 1 : : 1:1
6、: 2AB AD AA = A B， 两点的球面距离记为 m ， 1 AD， 两点的球面距离记为 n ， 则 m n 的值为 15关于平面向量 ，abc有下列三个命题： 若 nullnullab=ac，则 =bc若 (1 ) ( 2 6)k= =， ，ab， ab，则 3k = 非零向量 a 和 b 满足 | |=abab，则 a 与 +ab的夹角为 60 o 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 16某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成如果第一棒火 A B a b l 炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传
7、递方案共有 种 （用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 () 2sin cos 23sin 3 44 4 xx x fx=+ （）求函数 ()f x 的最小正周期及最值； （）令 () 3 gx f x =+ ，判断函数 ()gx的奇偶性，并说明理由 18 （本小题满分 12 分） 某射击测试规则为：每人最多射击 3 次，击中目标即终止射击，第 i 次击中目标得 4-i (123)i = ， ， 分， 3 次均未击中目标得 0 分已知某射手每次击中目标的概率为 0.8，其各次 射击结果
8、互不影响 （）求该射手恰好射击两次的概率； （）该射手的得分记为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 19 （本小题满分 12 分） 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 111 ABC ， 90BAC= o ， 1 AA平面 ABC ， 1 3AA= ， 2AB = ， 2AC = ， 11 1AC = ， 1 2 BD DC = （）证明：平面 1 AAD平面 11 BCC B ； （）求二面角 1 ACC B的大小 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 C ： 2 2y x= ，直线 2y kx= + 交 C 于 A B， 两点， M 是线段 AB 的中点
9、， 过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N （）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； （）是否存在实数 k 使 0NA NB = uuur uuur null ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由 A 1 A C 1 B 1 B D C 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 () kx fx x c + = + （ 0c 且 1c ， k R ）恰有一个极大值点和一个极小值点， 其中一个是 x c= （）求函数 ()f x 的另一个极值点； （）求函数 ()f x 的极大值 M 和极小值 m ，并求 1Mm 时 k 的取值范围 22 （本小题满分 14 分）
10、 已知数列 n a 的首项 1 3 5 a = ， 1 3 21 n n n a a a + = + ， 12n = L， （）求 n a 的通项公式； （）证明：对任意的 0 x ， 2 112 1(1)3 n n ax xx + ， 12n = L， ； （）证明： 2 12 1 n n aa a n + + L 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学（必修+选修）参考答案 一、 1 D 2 B 3 D 4 B 5 C 6 A 7 A 8 B 9 D 10 B 11 C 12 C 二、 13 1 14 1 2 15 16 96 三、 17解： （） 2 () sin
11、3(1 2sin ) 24 x x fx=+Q sin 3 cos 22 x x =+ 2sin 23 x =+ ()f x 的最小正周期 2 4 1 2 T = 当 sin 1 23 x += 时， ()f x 取得最小值 2 ；当 sin 1 23 x + = 时， ()f x 取得最大值 2 （）由（）知 () 2sin 23 x fx =+ 又 () 3 gx f x =+ 1 () 2sin 233 gx x =+ 2sin 22 x =+ 2cos 2 x = Q ( ) 2cos 2cos ( ) 22 xx gx gx = = = 函数 ()gx是偶函数 18 （）设该射手第
12、i 次击中目标的事件为 (123) i Ai= ， ， ，则 ()0.8 ()0.2 ii PA PA=， ， ( ) ( ) ( ) 0.2 0.8 0.16 ii i i PAA PAPA= （） 可能取的值为 0， 1， 2， 3 的分布列为 0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8 2.752E = + + + = . 19解法一： （） Q 1 AA平面 ABC BC ， 平面 ABC ， 1 AA BC 在 Rt ABC 中， 22 6AB AC BC=， ， 0 1 2 3 P 0.008 0.032 0.16 0.8 :1:2BD DC =Q ， 6 3 BD
13、= ，又 3 3 BDAB AB BC =， DBA ABC ， 90ADB BAC= o ，即 AD BC 又 1 AA AD A=I ， BC 平面 1 AAD， BC Q 平面 11 BCC B ， 平面 1 AAD平面 11 BCC B （）如图，作 1 AE C C 交 1 CC于 E 点，连接 BE ， 由已知得 AB 平面 11 ACC A AE 是 BE 在面 11 ACC A 内的射影 由三垂线定理知 1 BECC ， AEB 为二面角 1 ACC B的平面角 过 1 C 作 1 CF AC 交 AC 于 F 点， 则 1CF AC AF=， 11 3CF AA=， 1 60
14、CCF= o 在 Rt AEC 中， 3 sin 60 2 3 2 AE AC= o 在 Rt BAE 中， 26 tan 3 3 AB AEB AE = 6 arctan 3 AEB= ， 即二面角 1 ACC B为 6 arctan 3 解法二： （）如图，建立空间直角坐标系， 则 11 (000) ( 200) (020) (00 3) (01 3)AB CA C， ， ， ， ， ， ， ， ， ， :1:2BD DC =Q ， 1 3 BDBC = uuur uuur A 1 A C 1 B 1 B D C F E （第 19 题， 解法一） A 1 A C 1 B 1 B D C
15、z y x （第 19 题，解法二） D 点坐标为 222 0 33 ， 222 0 33 AD = uuur ， ， 1 ( 220) (00 3)BC AA= = uuur uuur ， ， ， ， 1 0BC AA = uuur uuur Qnull ， 0BC AD = uuur uuur null ， 1 BCAA ， BCAD ，又 1 AA AD A=I ， BC 平面 1 AAD，又 BC 平面 11 BCC B ， 平面 1 AAD平面 11 BCC B （） BAQ 平面 11 ACC A ，取 ( 200)AB= uuur ， ，m 为平面 11 ACC A 的法向量，
16、设平面 11 BCC B 的法向量为 ()lmn= ，n ，则 1 00BC CC= = uuur uuuur nullnull，nn 22 0 30 lm mn += + = ， ， 3 2 3 lmn m =， ， 如图，可取 1m = ，则 3 21 3 = ， ，n ， 2 222 22 3 22010 15 3 cos 5 3 (2) 0 0 (2) 1 3 + = = + + null ，mn ， 即二面角 1 ACC B为 15 arccos 5 20解法一： （）如图，设 2 11 (2 )A xx， ， 2 22 (2 )B xx， ，把 2y kx= + 代入 2 2y x
17、= 得 2 220 xkx=， 由韦达定理得 12 2 k xx+=， 12 1xx = ， 12 24 NM xx k xx + = =， N 点的坐标为 2 48 kk ， 设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 2 84 kk ymx = ， 将 2 2y x= 代入上式得 2 2 20 48 mk k xmx+=， Q直线 l 与抛物线 C 相切， x A y 1 1 2 M N B O 2 2222 82()0 48 mk k mmmkmk = = + = = ， mk = 即 lAB （）假设存在实数 k ，使 0NA NB = uuur uuur null ，则 NA NB ，
18、又 MQ 是 AB 的中点， 1 | 2 MNAB = 由（）知 12 1 2 12 11 1 ()(2 2)()4 22 2 M yyykxkx kxx=+= += + 22 1 42 22 4 kk =+=+ MN Q x 轴， 222 16 | | 2 488 MN kkk MN y y + =+= 又 222 12 12 12 |1 | |1 ( )4ABkxx kxxx=+ =+ + nullnull 2 1 14()116 22 k kkk =+ = + + nullnull 2 22 16 1 116 84 k kk + =+null ，解得 2k = 即存在 2k = ，使 0
19、NA NB = uuur uuur null 解法二： （）如图，设 22 11 2 2 (2) (2)A xx Bxx， ， ，把 2y kx= + 代入 2 2y x= 得 2 220 xkx=由韦达定理得 12 12 1 2 k xx xx+ =， 12 24 NM xx k xx + = =， N 点的坐标为 2 48 kk ， 2 2y x=Q ， 4y x = ， 抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4 4 k k = ， lAB （）假设存在实数 k ，使 0NA NB = uuur uuur null 由（）知 22 11 2 2 48 48 kk kk NA x x NB
20、 x x = = uuuruur ， ， ，则 22 22 12 1 2 44 8 8 kk k k NA NB x x x x = + uuur uuur null 22 22 12 1 2 4 4 4 16 16 kk k k xx x x = + 12 12 14 44 44 kk kk xx xx = + + + null () 22 12 1 2 12 1 2 14 ( ) 416 4 kk k xx x x xx k x x =+ + null 22 114(1) 4216 2 4 kkk kk k =+ + null 2 2 3 13 16 4 k k = + 0= ， 2 10
21、 16 k 时， 0k ；当 01c时， 2k 时， ()f x 在 ()c ， 和 (1 )+， 内是减函数，在 (1)c ， 内是增函数 1 (1) 0 12 kk Mf c + = + ， 2 2 1 () 0 2( 2) kc k mfc cc k + = = ，解得 2k （ ii）当 2k + ， (1) 0 2 k mf= = + ， 2 112 1(1)3 n x xx + 2 112 11 1(1)3 n x xx = + + 2 111 (1 ) 1(1) n x xxa = + + 2 11 2 (1 ) 1 n ax x = + + null 2 11 1 nn n a
22、a ax = + + n a ， 原不等式成立 （）由（）知，对任意的 0 x ，有 12 222 112 11 1(1)3 1(1)3 n aa a x x xx xx + + + + L 2 112 1(1)3 n x xx + + + L 22 122 2 1(1)33 3 n n nx xx = + + L 取 2 21 1 12 2 2 1 133 1 133 3 3 1 3 n nn x nn n =+= = L ， 则 22 12 1 11 1 1 11 3 3 n n n nnn aa a n n n + = + + + L 原不等式成立 解法二： （）同解法一 （）设 2 112 () 1(1)3 n f xx xx = + ， 则 2 22 2 22 (1 ) 2(1 ) 2 1 33 () (1 ) (1 ) (1 ) nn x xx x fx xx + + = = + + null 0 x Q ， 当 2 3 n x ；当 2 3 n x 时， () 0fx ， 当 2 3 n x = 时， ()f x 取得最大值 21 2 3 1 3 n n n f a = = + 原不等式成立 （）同解法一
