1、绝密 启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 . （ 1） i是虚数单位， () = + 1 1 3 i ii (A) 1 (B) 1 (C) i (D) i （ 2）设变量 yx, 满足约束条件 + + 12 1 0 yx yx yx ，则目标函数 yxz += 5 的最大值为 (A) 2 (B) 3
2、(C) 4 (D) 5 （ 3）设函数 () Rxxxf = , 2 2sin ，则 ( )xf 是 (A) 最小正周期为 的奇函数 (B) 最小正周期为 的偶函数 (C) 最小正周期为 2 的奇函数 (D) 最小正周期为 2 的偶函数 （ 4）设 ba, 是两条直线， , 是两个平面，则 ba 的一个充分条件是 (A) ,/,ba (B) /, ba (C) /, ba (D) ,/,ba （ 5） 设椭圆 ()11 1 2 2 2 2 = + m m y m x 上一点 P 到其左焦点的距离为 3， 到右焦点的距离为 1， 则 P 点到右准线的距离为 (A) 6 (B) 2 (C) 2 1
3、 (D) 7 72 （ 6）设集合 RTSaxaxTxxS =+= U,8|,32| ，则 a的取值范围是 (A) 13 a (B) 13 a (C) 3a 或 1a (D) 3a （ 7）设函数 () ()10 1 1 = x x xf 的反函数为 ( )xf 1 ，则 (A) ()xf 1 在其定义域上是增函数且最大值为 1 (B) ()xf 1 在其定义域上是减函数且最小值为 0 (C) ()xf 1 在其定义域上是减函数且最大值为 1 (D) ()xf 1 在其定义域上是增函数且最小值为 0 （ 8）已知函数 () + = 01 01 xx xx xf ，则不等式 ( ) ( ) 11
4、1 + xfxx 的解集是 (A) 121| xx (B) 1| xx (C) 12| xx (D) 1212| xx （ 9）已知函数 ()xf 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 )+,0 上是增函数 .令 = = = 7 5 tan, 7 5 cos, 7 2 sin fcfbfa ，则 (A) cab (B) abc (C) acb (D) cba a ，若仅有一个常数 c 使得对于任意的 aax 2, ，都有 , 2 aay 满足方程 cyx aa =+ loglog ，这时， a的取值的集合为 . 三、解答题（本题共 6 道大题，满分 76 分） （ 17） （本小题满分 12 分
5、） 已知 3 = 4 , 2 , 10 2 4 cos xx . （）求 xsin 的值； （）求 + 3 2sin x 的值 . （ 18） （本小题满分 12 分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 2 1 与 p ，且乙投球 2 次 均未命中的概率为 16 1 . （）求乙投球的命中率 p ； （）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期望 . （ 19） （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD是矩形 . 已知 o 60,22,2,2,3 = PABPDPAADAB . （）证明 AD 平面
6、 PAB； （）求异面直线 PC 与 AD所成的角的大小； （）求二面角 ABDP 的大小 . （ 20） （本小题满分 12 分） 已知函数 () ()0+= xb x a xxf ，其中 Rba , . （）若曲线 ( )xfy = 在点 ( )()2,2 fP 处的切线方程为 13 += xy ，求函数 ()xf 的解析式； （）讨论函数 ()xf 的单调性； （）若对于任意的 2, 2 1 a ，不等式 ( ) 10 xf 在 1, 4 1 上恒成立，求 b 的取值范围 . （ 21） （本小题满分 14 分） 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 ( )0,3 1 F ，一条渐近
7、线的方程是 025 = yx . （）求双曲线 C 的方程； （）若以 ()0kk 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M， N，且线段 MN 的 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2 81 ，求 k 的取值范围 . （ 22） （本小题满分 14 分） 在数列 n a 与 n b 中， 4,1 11 = ba ，数列 n a 的前 n 项和 n S 满足 ()03 1 =+ + nn SnnS , 1 2 +n a 为 n b 与 1+n b 的等比中项， *Nn . （）求 22 ,ba 的值； （ II）求数列 a n 与 b n 的通项公式； （ III）设 T
8、 n =(-1) 1 a b 1 +(-1) 2 a b 2 + +(-1) n a b n ， n N 证明 |T n | （ 0 x ） 这时 ()f x 在 (,0) ， (0, )+ 内是增函数 当 0a 时，令 () 0fx = ，解得 x a= 当 x变化时， ()f x ， ()f x 的变化情况如下表： x (, )a a (,0)a (0, )a a (),a + ()f x 0 0 ()f x 极大值 极小值 所以 ()f x 在 (, )a ， (),a + 内是增函数，在 (,0)a ， (0, a )内是减函数 （）解：由（）知， ()f x 在 1 ,1 4 上的最
9、大值为 1 () 4 f 与 (1)f 中的较大者，对于任意 的 1 ,2 2 a ， 不等式 0(1)fx 在 1 ,1 4 上恒成立， 当且仅当 10 (1 1 ( 4 )10 ) f f ， 即 39 4 4 9 a ba b ， 对任意的 1 ,2 2 a 成立 从而得 7 4 b ，所以满足条件的 b 的取值范围是 ( 7 , 4 （ 21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定 比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能 力满分 14 分 （）解：设双曲线 C 的方程为 22 22 1 xy ab = （ 0,
10、 0ab） 由题设得 22 9 5 2 ab b a += = ，解得 2 2 4 5 a b = = ，所以双曲线 C 的方程为 22 1 45 xy = （）解：设直线 l的方程为 ykxm=+（ 0k ） 点 11 (, )M xy， 22 (, )Nx y 的坐标满足方 程组 22 1 45 y kx m xy =+ = 将式代入式，得 22 () 1 45 xkxm+ =，整理得 22 2 (5 4 ) 8 4 20 0kx kmx m = 此方程有两个不等实根，于是 2 504k ，且 222 ( 8 ) 4(5 4 )(4 20) 0km k m= + + 整理得 22 54 0
11、mk+ 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 00 (, )x y 满足 12 0 2 4 254 xx km x k + = ， 00 2 5 54 m ykxm k =+= 从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 22 514 () 54 54 mkm yx kk k = 此直线与 x 轴， y 轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k ， 2 9 (0, ) 54 m k 由题设可得 22 19 9 81 | 25 4 5 4 2 km m kk = 整理得 22 2 (5 4 ) | k m k = ， 0k 将上式代入式得 22 2 (5 4 ) 54 0 | k k
12、 k + ，整理得 22 (4 5)(4 | | 5) 0kkk ， 0k 解得 5 0| | 2 k 所以 k 的取值范围是 55 55 ,)( ,0)(0,)(,) 42 24 ( + UUU （ 22）本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前 n项和公式、等比数列的概念、等比 中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想 方法满分 14 分 （） 解： 由题设有 12 1 40aa a+ =， 1 1a = ， 解得 2 3a = 由题设又有 12 2 2 4 bba = ， 1 4b = ， 解得 2 9b = （）解法一：由题设 1 (3) 0
13、nn nS n S + + =， 1 1a = ， 1 4b = ，及 2 3a = ， 2 9b = ，进一步 可得 3 6a = ， 3 16b = ， 4 10a = ， 4 25b = ，猜想 (1) 2 n nn a + = ， 2 (1) n bn= + ， * nN 先证 (1) 2 n nn a + = ， * nN 当 1n= 时， 1 (111 2 ) a = + ，等式成立当 2n 时用数学归纳法证明如下： （ 1）当 2n= 时， 2 (221 2 ) a = + ，等式成立 （ 2）假设 nk= 时等式成立，即 (1) 2 k kk a + = ， 2k 由题设， 1
14、 (3) kk kS k S + =+ 1 (1) (2) kk kSkS =+ 的两边分别减去的两边，整理得 1 (2) kk ka k a + = + ，从而 1 2 2 ( 1) ( 1)( 1) 1 22 kk kkk kk aa kk + + = 这就是说，当 1nk=+时等式也成立根据（ 1）和（ 2）可知，等式 (1) 2 n nn a + = 对任何 的 2n 成立 综上所述，等式 (1) 2 n nn a + = 对任何的 * nN 都成立 再用数学归纳法证明 2 (1) n bn=+， * nN （ 1）当 1n= 时， 2 1 (1 1)b =+ ，等式成立 （ 2）假设
15、当 nk= 时等式成立，即 2 (1) k bk= + ，那么 2 22 21 1 2 4 (1)(2) ( 1) 1 (1) k k k a kk bk bk + + + = =+ + 这就是说，当 1nk=+时等式也成立根据（ 1）和（ 2）可知，等式 2 (1) n bn= + 对任何的 * nN 都成立 解法二：由题设 1 (3) nn nS n S + =+ 1 (1) (2) nn nSnS =+ 的两边分别减去的两边，整理得 1 (2) nn na n a + = + ， 2n 所以 32 24aa= ， 43 35aa= ， 1 (1) (1) nn na na =+ ， 3n
16、 将以上各式左右两端分别相乘，得 2 (1)! (1)! 6 n n na a + = ， 由（）并化简得 2 (1) (1) 62 n nn nn aa + =， 3n 上式对 1, 2n= 也成立 由题设有 2 11 4 nn n bb a + = ， 所以 22 1 (2)(1) nn bb n n + = +， 即 1 22 1 (1)(2) nn bb nn + = + ， * nN 令 2 (1) n n b x n = + ，则 1 1 nn xx + = ，即 1 1 n n x x + = 由 1 1x = 得 1 n x = ， 1n 所以 2 1 (1) n b n =
17、+ ， 即 2 (1) n bn=+， 1n 解法三：由题设有 1 (3) nn nS n S + =+ ， * nN ，所以 21 4SS= ， 32 25SS= ， 1 (1) (2) nn nSnS =+ ， 2n 将以上各式左右两端分别相乘，得 1 2(1)145(2) n nS nS =+LL，化简得 1 3 (1)(2) (1)(2) 26 n nn n nn n Sa + = + ， 3n 由（） ，上式对 1, 2n= 也成立所以 1 (1) 2 nnn nn aSS + = = ， 2n 上式对 1n= 时也成立 以下同解法二，可得 2 (1) n bn=+， 1n （）证明
18、： 12 (1) 22 2 2 (1 (1) 2 3 (1) ( 1)(1) n aa n nn a n bTb nb + += + + =+ +LL 当 4nk= ， * kN 时， 22 2 2 222 (4 2)2(41(345 4)(41) n kkkkT = + + +L 注意到 2222 (4 2) (4 1) (4 ) (4 1) 32 4kkkkk+ += ，故 (1) (1 2 ) 4 32 432 2 n T kk kk k + + = = L 22 4(4 4) 4 (4) 3 4 3kk k k kn n=+=+ 当 41nk=， * kN 时， 222 2 4(41)
19、(1)3(1)(2(4 ) )3 n kkknnnTn= +=+=+ 当 42nk=， * kN 时， 22 222 4(41)(4)(4 3( 2) ()33 n kk k n n nknT + = + = + 当 43nk=， * kN 时， 22 22 4(41)(41)3(3)(4)(23)3 n kk n nTknn + = + = 所以 2 2 * 3, 4 3 33, 42 , ,41 3, 4 n nnk nn nk nn n N k = = = = += 从而 3n 时，有 2 2 2 13 2, 5,9,13, 33 12, 6,104, | 1 2, 3,7,11, 3 12, 4,812, n n nn n T nn n n n n n + = + = = = + = L L L L 总之，当 3n 时有 2 | 2 n T n ，即 2 |2 n Tn
