1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 第卷（共 60 分） 参考公式： 球的表面积公式： S 4 R 2 ，其中 R 是球的半径 . 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率： P n （ k） C k n p k (1-p) n-k （ k 0， 1， 2， n） . 如果事件 A、 B 互斥，那么 P（ A+B） P（ A） +P（ B） . 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P（ AB） P（ A） P（ B） . 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个
2、选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1）满足 M a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,且 M a 1 ,a 2 , a 3 = a 1 ,a 2 的集合 M 的个数是 （ A） 1 (B)2 (C)3 (D)4 （ 2）设 z 的共轭复数是 z ，若 z+ z =4, z z 8，则 z z 等于 （ A） i （ B） -i (C) 1 (D) i （ 3）函数 y lncosx(- 2 x 2 的图象是 ( A ) （ 4）设函数 f(x) x+1 + x-a的图象关于直线 x 1 对称，则 a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 （ 5）已知 cos（ -
3、 6 ） +sin = 47 3, sin( ) 56 +则 的值是 （ A） - 5 32 （ B） 5 32 (C)- 5 4 (D) 5 4 （ 6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几 何体的表面积是 (A)9 （ B） 10 (C)11 (D) 12 （ 7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1， 2， 3， 18 的 18 名火炬手。若从中任 选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为 （ A） 51 1 （ B） 68 1 （ C） 306 1 （ D） 408 1 (8)右图是根据山东统计年鉴 2007中的资料作成的 1997 年至
4、2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的茎 叶图，图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百 户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表 示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以 得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数 的平均数为 （ A） 304.6 （ B） 303.6 (C)302.6 (D)301.6 （ 9） （ X- 3 1 x ） 12 展开式中的常数项为 （ A） -1320 （ B） 1320 （ C） -220 (D)220 (10)设椭圆 C 1 的离心率为 13 5 ， 焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C 2 上的点到椭圆 C 1
5、 的两 个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C 2 的标准方程为 （ A） 1 34 2 2 2 2 = yx (B) 1 513 2 2 2 2 = yx (C) 1 43 2 2 2 2 = yx (D) 1 1213 2 2 2 2 = yx （ 11）已知圆的方程为 X 2 +Y 2 -6X-8Y 0.设该圆过点（ 3， 5）的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 （ A） 10 6 （ B） 20 6 （ C） 30 6 （ D） 40 6 （ 12）设二元一次不等式组 + + + 0142 ,08 0192 yx yx yx ， 所表示的平面区域
6、为 M，使函数 y a x (a 0， a 1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 （ A） 1,3 (B)2, 10 (C)2,9 (D) 10 ,9 29 1158 30 26 31 0247 第卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 . （ 13） 执行右边的程序框图， 若 p 0.8， 则输出的 n 4 . （ 14）设函数 f(x)=ax 2 +c(a 0)，若 )()( 0 1 0 xfdxxf = ， 0 x 0 1，则 x 0 的值为 3 3 . （ 15）已知 a， b， c 为 ABC 的三个内角 A， B， C 的对边，向 量
7、 m （ 1,3 ） ， n （ cosA, sinA ） 。若 m n ，且 acosB+bcosA=csinC，则角 B 6 . （ 16）若不等式 3x-b 4 的解集中的整数有且仅有 1， 2， 3，则 b 的取值范围为（ 5， 7） . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 . （ 17） （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x) )0,0)(cos()sin(3 + xx 为偶函数，且函数 y f(x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 （）求 f（ 8 ）的值； （）将函数 y f(x)的图象向右平移 6 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 原来的 4
8、倍，纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间 . 解： （） f(x) )cos()sin(3 + xx + )cos( 2 1 )sin( 2 3 2 xx 2sin( +x - 6 ) 因为 f(x)为偶函数， 所以 对 x R, f(-x)=f(x)恒成立， 因此 sin（ - +x - 6 ） sin( +x - 6 ). 即 -sin x cos( - 6 )+cos x sin( - 6 )=sin x cos( - 6 )+cos x sin( - 6 ), 整理得 sin x cos( - 6 )=0.因为 0，且 x R,所以 cos（ - 6 ）
9、 0. 又因为 0 ，故 - 6 2 .所以 f(x) 2sin( x + 2 )=2cos x . 由题意得 .2, 2 2 2 所以 = 故 f(x)=2cos2x. 因此 .2 4 cos2) 8 ( = f （）将 f(x)的图象向右平移个 6 个单位后，得到 ) 6 ( xf 的图象，再将所得图象横坐标 伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 () 46 x f 的图象 . ( ) ( ) 2cos 2( ) 2cos ( ). 46 46 23 xx x gx f f = = 所以 当 2k 23 x 2 k + (k Z), 即 4k 3 2 x 4k + 3 8 (k Z)时，
10、 g(x)单调递减 . 因此 g(x)的单调递减区间为 + 3 8 4, 3 2 4 kk (k Z) （ 18） （本小题满分 12 分） 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为 3 2 ，乙队中 3 人答对的概率分别为 2 1 , 3 2 , 3 2 ，且各人回答正确与否相互之间没有影响。用表示甲队的总得分。 （）求随机变量分布列和数学期望； （）用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于 乙队总得分”这一事件，求 P(AB). ( )解法一：由题意知，的可能取值为
11、 0， 1， 2， 3,且 所以的分布列为 0 1 2 3 P 27 1 9 2 9 4 27 8 03 1 2 33 22 33 21 2 22 (0) (1) ,(1) (1) , 327 3 39 224 28 (2) ()(1) ,(3) () . 339 27 PC PC PC PC = = = = = = = = 的数学期望为 E = .2 27 8 3 9 4 2 9 2 1 27 1 0 =+ 解法二：根据题设可知 ) 3 2 ,3(B 因此的分布列为 2 3 2 3), 3 2 ,3( .3,2,1,0, 3 2 ) 3 2 1() 3 2 ()( 3 3 2 3 = = E
12、B kCCkP k kkkk 所以因为 （）解法一：用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件，用 D 表示“甲得 3 分乙得 0 分” 这一事件，所以 AB=C D,且 C、 D 互斥，又 , 3 4 ) 2 1 3 1 3 1 () 3 2 ()( , 3 10 2 1 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 1 3 2 ) 3 2 1() 3 2 ()( 5 2 3 2 4 2 3 2 = = += CDP CCP 由互斥事件的概率公式得 243 34 3 34 35 4 3 10 )()()( 54 =+=+= DPCPABP . 解法二：用 A k 表示“甲队得 k
13、 分 ”这一事件，用 B k 表示“已队得 k 分”这一事件， k=0,1,2,3 由于事件 A 3 B 0 ,A 2 B 1 为互斥事件，故事 P(AB)=P(A 3 B 0 A 2 B 1 )=P(A 3 B 0 )+P(A 2 B 1 ). . 243 34 ) 3 2 2 1 3 1 2 1 ( 3 2 ) 2 1 3 1 () 3 2 ( 2 2 1 23 2 3 2 2 3 = + CC (19)(本小题满分 12 分 ) 将数列 a n 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 记表中的
14、第一列数 a 1 ， a 2 ， a 4 ， a 7 ， 构成的数列为 b n ,b 1 =a 1 =1. S n 为数列 b n 的前 n 项 和，且满足 n Nn n SSb b 2 2 =1（ n 2） . ( )证明数列 n S 1 成等差数列，并求数列 b n 的通项公式； （）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公 比为同一个正数 .当 91 4 81 =a 时，求上表中第 k(k 3)行所有项的和 . ( )证明：由已知，当 n2 时 2 12 1 2 1 1 1 1 11 1 1 2 1, , 2 1, () 2 1, 111 , 2 1. 11
15、 1. 2 11 1 11, 22 2 . 1 2 n nn n nn nnn n nn nn nn n n n nnn b bS S Sbb b SS SSSS SS SS SS Sba S n n S S n nbSS = =+ = = = = + = = + = K又 （） 所以 （） 即 所以 又 所以数列 是首项为，公差为 的等差数列 由上可知 （ ） 即 所以当 时， 22 2 1(1).nnn = + + 因此， = n b 1 n=1 - )1( 2 +nn n 2 （）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为 q,且 q 0. 因为 12 13 1 2 12 78, 2 + =
16、 = 所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 a n 的前 78 项， 故 a 81 在表中第 13 行第三列， 因此 2 81 13 4 . 91 abq=null 又 13 2 , 13 14 b = 所以 q=2. 记表中第 k(k 3)行所有项的和为 S， 则 (1 ) 2(12) 2 (1 2 ) 1() (1) k k kk bq S qkk k = = + + null （ k 3） . (20)(本小题满分 12 分 ) 如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形， PA平面 ABCD， 60ABC=,E， F 分别是 BC, PC 的中点 . （）证明： AE
17、 PD; （）若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PA D 所成最大角的正 切值为 6 2 ，求二面角 E AF C 的余弦值 . （）证明：由四边形 ABCD 为菱形， ABC=60，可得 ABC 为正三角形 . 因为 E 为 BC 的中点，所以 AE BC. 又 BC AD，因此 AE AD. 因为 PA平面 ABCD， AE平面 ABCD，所以 PA AE. 而 PA 平面 PA D， AD平面 PA D 且 PA AD=A， 所以 AE平面 PA D，又 PD平面 PA D. 所以 AE PD. （）解：设 AB=2， H 为 PD 上任意一点，连接 AH， EH. 由（）知
18、AE平面 PA D， 则 EHA 为 EH 与平面 PA D 所成的角 . 在 Rt EAH 中， AE= 3 ， 所以 当 AH 最短时， EHA 最大， 即 当 AH PD 时， EHA 最大 . 此时 tan EHA= 36 , 2 AE AH AH = 因此 AH= 2 .又 AD=2，所以 ADH=45， 所以 PA =2. 解法一：因为 PA平面 ABCD， PA 平面 PA C， 所以 平面 PA C平面 ABCD. 过 E 作 EO AC 于 O，则 EO平面 PA C， 过 O 作 OS AF 于 S，连接 ES，则 ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角， 在 Rt AO
19、E 中， EO=AE sin30 = 3 2 ， AO=AE cos30 = 3 2 , 又 F 是 PC 的中点，在 Rt ASO 中， SO=AO sin45 = 32 4 , 又 22 39 30 , 48 4 SE EO SO=+=+= 在 Rt ESO 中， cos ESO= 32 15 4 , 530 4 SO SE = 即所求二面角的余弦值为 15 . 5 解法二：由（）知 AE， AD， AP 两两垂直，以 A 为 坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又 E、 F 分别 为 BC、 PC 的中点，所以 E、 F 分别为 BC、 PC 的中点，所以 A（ 0， 0， 0） ，
20、 B（ 3 ， -1， 0） ， C（ 3 ， 1， 0） ， D（ 0， 2， 0） ， P（ 0， 0， 2） ， E（ 3 ， 0， 0） ， F（ 31 ,1 22 ） ， 所以 31 ( 3,0,0), ( , ,1). 22 AE AF= uuur uuur 设平面 AEF 的一法向量为 111 (, ,),mxyz= 则 0, 0, mAE mAF = = uuur null uuur null 因此 1 111 30, 31 0. 22 x xyz = += 取 1 1, (0, 2, 1),zm= = 则 因为 BD AC， BD PA， PA AC=A， 所以 BD平面 A
21、FC， 故 BD uuur 为平面 AFC 的一法向量 . 又 BD uuur =（ - 3,3,0） ， 所以 cos m, BD uuur = 23 15 . 5| | 512 mBD mBD = uuur null uuur null 因为 二面角 E-AF-C 为锐角， 所以所求二面角的余弦值为 15 . 5 （ 21） （本小题满分 12 分） 已知函数 1 () ln( 1), (1 ) n fx a x x = + 其中 n N*,a 为常数 . （）当 n=2 时，求函数 f(x)的极值； （）当 a=1 时，证明：对任意的正整数 n, 当 x 2 时，有 f(x) x-1.
22、（）解：由已知得函数 f(x)的定义域为 x|x 1， 当 n=2 时， 2 1 () ln( 1), (1 ) fx a x x =+ 所以 2 3 2(1) () . (1 ) ax fx x = （ 1）当 a 0 时，由 () 0fx = 得 1 2 1x a =+ 1， 2 2 1x a = 1， 此时 12 3 ()() () (1 ) ax x x x fx x = . 当 x（ 1， x 1 ）时， () 0, ()f xfx 单调递增 . （ 2）当 a 0 时， () 0fx . 所以当 x 2,+ 时， g(x)单调递增， 又 g(2)=0 因此 1 () 1 ln( 1
23、) (1) n gx x x x = g(2)=0 恒成立， 所以 f(x) x-1 成立 . 当 n 为奇数时， 要证 ()f x x-1,由于 1 (1 ) n x 0，所以只需证 ln(x-1) x-1, 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 12 () 1 11 x hx xx = = 0（ x 2） , 所以 当 x 2， + 时， () 1 ln( 1)hx x x= 单调递增，又 h(2)=1 0， 所以当 x 2 时，恒有 h(x) 0,即 ln（ x-1） x-1 命题成立 . 综上所述，结论成立 . 证法二：当 a=1 时， 1 () ln( 1). (1 ) n f
24、x x x =+ 当 x 2，时，对任意的正整数 n，恒有 1 (1 ) n x 1， 故只需证明 1+ln(x-1) x-1. 令 ) () 1 (1 ln( 1) 2 ln( 1), 2,hx x x x x x=+ = + 则 12 () 1 , 11 x hx xx = = 当 x 2 时， ()hx 0，故 h(x)在 ) 2,+ 上单调递增， 因此 当 x 2 时， h(x) h(2)=0，即 1+ln(x-1) x-1 成立 . 故 当 x 2 时，有 1 ln( 1) (1 ) n x x + x-1. 即 f（ x） x-1. (22)(本小题满分 14 分 ) 如图， 设抛
25、物线方程为 x 2 =2py(p 0),M 为 直线 y= -2p 上任意 一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A， B. （）求证： A， M， B 三点的横坐标成等差数列； （）已知当 M 点的坐标为（ 2， -2p）时， 410AB = ， 求此时抛物线的方程； （）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在 抛物线 2 2( 0)xpyp= 上，其中，点 C 满足 OC OA OB=+ uuur uuur uuur （ O 为坐标原点） .若存在， 求出所有适合题意的点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由 . （）证明：由题意设 22 12 120 ( , ),
26、 ( , ), , ( , 2 ). 22 xx Ax Bx x x M x p pp 由 2 2x py= 得 2 2 x y p = ，则 , x y p = 所以 12 ,. MA MB x x kk p p = 因此直线 MA 的方程为 1 0 2(), x y pxx p += 直线 MB 的方程为 2 0 2(). x y pxx p += 所以 2 11 10 2(), 2 xx p xx pp += 2 22 20 2(). 2 xx p xx pp += 由、得 2 12 120 , 2 xx x xx + = + 因此 12 0 2 x x x + = ，即 012 2.x
27、 xx= + 所以 A、 M、 B 三点的横坐标成等差数列 . （）解：由（）知，当 x 0 =2 时， 将其代入、并整理得： 22 11 44 0,xxp = 22 44 0,xxp= 所以 x 1 、 x 2 是方程 22 44 0 xxp =的两根， 因此 2 12 12 4, 4 ,x xxx p+= = 又 22 21 012 21 22 , 2 AB xx xxxpp k x xpp + = 所以 2 . AB k p = 由弦长公式得 22 2 12 12 2 4 1()4 1 1616.AB k x x x x p p =+ + =+ + 又 410AB = ， 所以 p=1
28、或 p=2， 因此所求抛物线方程为 2 2x y= 或 2 4.x y= （）解：设 D(x 3 ,y 3 )，由题意得 C(x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ), 则 CD 的中点坐标为 12312 3 (, ), 22 x xxyyy Q + + 设直线 AB 的方程为 0 11 (), x y yxx p = 由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点 1212 (, ) 22 x xy y+ + 也在直线 AB 上， 代入得 0 33 . x y x p = 若 D（ x 3 ,y 3 ）在抛物线上，则 2 3303 22,x py x x= 因此 x 3 =0 或 x 3 =2
29、x 0 . 即 D(0， 0)或 2 0 0 2 (2 , ). x Dx p （ 1）当 x 0 =0 时，则 12 0 20 xx x+= =，此时，点 M(0,-2p)适合题意 . （ 2）当 0 0 x ，对于 D(0， 0)，此时 22 12 22 22 12 12 0 00 2 (2 , ), , 4 CD xx x xxxp Cx k p xpx + + = 又 0 , AB x k p = AB CD， 所以 22 22 0 12 12 2 0 1, 44 AB CD x xx xx kk ppx p + =nullnull 即 22 2 12 4,x xp+= 矛盾 . 对于 2 0 0 2 (2 , ), x Dx p 因为 22 12 0 (2 , ), 2 x x Cx p + 此时直线 CD 平行于 y 轴， 又 0 0, AB x k p = 所以 直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾， 所以 0 0 x 时，不存在符合题意的 M 点 . 综上所述，仅存在一点 M(0， -2p)适合题意 .
