1、2008 年全国普通高等学校招生统一考试（上海） 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接填写结果，每个空格填对 得 4 分，否则一律得零分. 1.不等式 11x 的解集是 _. 2若集合 | 2 | A xx B xx a= =、 满足 2AB=I ，则实数 a = . 3若复数 z 满足 (2 )z iz= (i 是虚数单位 )，则 z = . 4若函数 ()f x 的反函数为 12 ()f xx = (0)x (x 0)，则 (4)f = . 5若向量 ab rr 、 满足 1, 2,ab= r r 且 a r 与 b r 的夹角为 3
2、，则 ab+ r r _ 6函数 () 3sin sin 2 f xx x =+ 的最大值是 _. 7 在平面直角坐标系中， 从六个点： (0, 0) (2, 0) (1,1) (0, 2) (2, 2) (3,3)ABCDEF、 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 _（结果用分数表示） . 8 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数 .若当 (0, )x + 时， () lgf xx= ， 则满足 () 0fx 的 x 的取值范围是 _. 9已知总体的各个体的值由小到大依次为 2， 3， 3， 7， a， b， 12， 13.7， 18.3， 20，且总 体的中位数为 10.5.若要使
3、该总体的方差最小，则 a、 b 的取值分别是 _ . 10某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界） ，其边界是 长轴长为 2a ,短轴长为 2b 椭圆。已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 12 ,hh，且两个 导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上。现有船只经过该海域（船只的大小忽 略不计） ，在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 12 、 ，那么船只已进入该浅水区的判别 条件是 _ 11方程 2 210 xx+=的解可视为函数 2yx=+ 的图像与函数 1 y x = 的图像交点的横 坐标。若方程 4 40 xax+=的各个实根 12 , ( 4) k xx
4、 xkL 所对应的点 1 4 , x x i （ I=1,2,， k）均在直线 yx= 的同侧，则实数 a 的取值范围是 _. 二、选择（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、 B、 C、 D 的四个结 论，其中有只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内） ，一律得零分 . 12 组合数 C rnrn r n 、,1( Z） 恒等于 答 （ ） （ A） . 1 1 1 1 + + r n C n r (B)(n+1)(r+1)C 1 1 r n (C)nrC 1 1 r n
5、 (D) C r n 1 1 r n . 13给定空间中的直线 l 及平面 。条件“直线 l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 垂直”的 答 （ ） （ A）充要条件 . （ B）充分非必要条件 . （ C）必要非充分条件 . （ D）既非充分又非必要条件 . 14若数列 n a 是首项为 l，公比为 3 2 a 的无穷等比数列，且 n a 各项的和为 a ，则 a 值 是 答 （ ） （ A） 1. (B)2. (C) . 2 1 (D) . 4 5 15如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴 的正半轴分别相切于点 CD、 的定圆所围成的区域（含边界）
6、 ， ABCD、 是被圆的四等分点。若点 (, )Pxy、点 ( , )Pxy )满 足 x x 且 yy ，则称 P 优于 P 。如果 中的点 Q 满足：不存 在 中的其它点优于 Q ，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧 答 （ ） （ A） null AB （ B） null BC （ C） null CD （ D） null DA 三、解答题（本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤 . 16 (本题满分 12 分 ) 如图，在棱长为 2 的正方体 111 1 ABCD A B C D 中， E 是 1 BC 的中点。求直线 DE 与平 面 ABCD
7、所成角的大小（结果用反三角函数值表示） . 解 x y O B A C D A E B 1 D 1 D C 1 A 1 B C 17 （本题满分 13 分） 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 o 120 的扇形 AOB 。小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，且小区里有一条平行于 BO 的小路 CD 。已知某人从 C 沿 CD走到 D 用了 10 分钟，从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟。若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径 OA的长（精确到 1 米） 解 18 （本题满分 15 分）本题共有 2 个小题，第 1 个题满分 5 分，第 2 小题满分 10 分 .
8、已知函数 () sin2f xx= ， () cosgx= + 6 2 x ,直线 ()x tt R= 与函数 () ()f xgx、 的图像分别交于 M、 N 两点。 (1) 当 4 t = 时，求 |MN 值； (2) 求 |MN 在 0, 2 t 时的最大值 . 解 A O D B C 19 （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 8 分 . 已知函数 | 1 () 2 2 x x fx= 。 (1) 若 () 2fx= ，求 x 的值； (2) 若 2(2) t f t + ()mf t 0 对于 1, 2t 恒成立，求实数 m 的取值范
9、围。 解 20 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分。 设 (,)( 0)Pab b 是平面直角坐标系 xOy 中的点， l 是经过原点与点 (1, )b 的直线，记 Q 是直线 l 与抛物线 2 2x py= （ p 0）的异于原点的交点 . （ 1）已知 1, 2, 2ab p= =.，求点 Q 的坐标； （ 2）已知点 (,)( 0)Pab ab 在椭圆 2 2 1 1, . 42 x yp ab += =上 求证：点 Q 落在双曲线 22 44x y =1 上； （ 3）已知动点 (,)Pab 满足 0
10、ab ， 1 2 p ab = ，若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对称的抛物 线上，试问动点 P 的轨迹落在哪条双曲线上，并说明理由 . 21 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 8 分。 已知 1 a 为首项的数列 n a 满足 : 1 ,3, ,3, nn n n n aca a a a d + + = . (1)当 1 1, 1, 3acd=时，求数列 n a 的通项公式； （ 2）当 1 01,1,3acd = =时，试用 1 a 表示数列 n a 前 100 项的和 100 S ； （ 3）当 1 1 0
11、,a m （ m 是正整数） ， 1 c m = ，正整数 3dm 时，求证：数列 2 1 a m ， 32 1 m a m + ， 62 1 m a m + ， 92 1 m a m + 成等比数列当且仅当 3dm= 。 参考答案 1. (0,2); 2. 2; 3. 1+i; 4. 2; 5. 7; 6. 2; 7. 3 4 ; 8. ( 1,0) (1,+ ); 9. 10.5 和 10.5; 10. h 1 cot 1 + h 2 cot 2 2 a； 11. ( , 6) (6,+ ); 1215. D C B D; 16. arctan 5 5 ; 17. 445; 18. 3 2 , 3;19. log 2 ( 2+1), 5,+ ); 20. Q(8,16), 反比例函数图像(双曲线) ; 21. a n 1， n 3k+1 2， n 3k+2 3， n 3k （ kN） a 1 2 (9 7 3 33) 199
