1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 文科数学试卷 第卷 (共50分) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合 ,21|,0| = xxBxxA 则 BAU = (A)1| xx (B) 2| xx (C) 20| b 2 ”是“ ab”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）已知a n是等比数列，a 1=2,a4= 4 1 ,则公比 q= (A) 2 1 (B)-2 (C)2 (D) 2 1 (5)已知 则且 ,2,0
2、,0 =+ baba (A) 2 1 ab (B) 2 1 ab (C) 2 22 +ba (D) 3 22 +ba (6)在(x-1)(x-2)(x- 3)(x-4)(x-5)的展开式中，含 x 4 的项的系数是 （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274 （7）在同一平面直角坐标系中，函数 )2,0)( 2 3 2 cos( += x x y 的图象和直线 2 1 =y 的 交点个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 （8）若双曲线 1 2 2 2 2 = b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2，则双曲线的离心率 是 （A）3 （B）5 （C） 3 （
3、D） 5 （9）对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面,使得 （A） ba , （B） ba , （C） ba , (D) ba , (10)若 ,0,0 ba 且当 + 1 ,0 ,0 yx y x 时,恒有 1+byax ,则以a,b为坐标的点 P(a,b)所形成 的平面区域的面积是 (A) 2 1 (B) 4 (C)1 (D) 2 第卷 (共100 分) 二、填空题：本大题共7 小题，每小题 4分，共28 分。 （11）已知函数 =+= )1(|,2|)( 2 fxxxf 则 . (12)若 =+ 2cos, 5 3 ) 2 sin( 则 . (13)已知 F1、 F2为椭圆 1
4、 925 22 =+ yx 的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、 B 两点 若|F2A|+|F2B|=12，则| AB|= 。 （14）在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 。若 ,coscos)3( CaAcb = 则 cos A = . (15)如图，已知球 O 的面上四点 A、B、C、D ， DA平面 ABC。 AB BC， DA=AB=BC= 3 ， 则球 O 的体积等于 。 （16） 已知 a是平面内的单位向量， 若向量 b满足 b (a-b)=0, 则|b|的取值范围是 （17）用1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字） ， 要求任何相邻两个数字
5、的奇偶性不同，且 1 和2 相邻，这样 的六位数的个数是 （用数字作答） 。 三、解答题：本大题共 5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （18） （本题14 分） 已知数列x n的首项x 1=3,通项x n=2 n p-np(nN * ， p， p 为常数)， 且x 1,x4， x5成等差数列，求： （） p,q 的值； ()数列x n前 n 项和 Sn的公式。 （19） （本题 14 分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有 10 个球， 从中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 5 2 ;从中任意摸出 2个球，至少得到 1 个白球的概 率是 9
6、7 .求： （）从中任意摸出 2个球，得到的都是黑球的概率； （）袋中白球的个数。 （20） （本题14 分）如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平 面互相垂直，BECF BCF= CEF=90, AD= .2,3 =EF （）求证： AE平面 DCF； （）当 AB 的长为何值时，二面角 A-EF-C 的大小为 60？ （21） （本题15 分）已知a 是实数，函数 f(x)=x 2 (x-a). （）若 f 1 (1)=3,求a 的值及曲线 )(xfy = 在点 )1(,1( f 处的切线方程； （）求 )(xf 在区间0，2上的最大值。 （22） （本题 15 分）已知曲线 C
7、是到点 ) 8 3 , 2 1 (P 和到直线 8 5 =y 距离相等的点的轨迹， l是过点 Q（-1，0）的直线， M 是 C 上 （不在 l 上） 的动点； A、 B 在 l上， xMBlMA , 轴（如图） 。 （）求曲线 C 的方程； （）求出直线 l 的方程，使得 | | 2 QA QB 为常数。 数学（文科）试题参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 （1）A （2）B （3）D （4）D （5）C （6）A （7）C （8）D （9）B （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。 （11）2 （
8、12） 25 7 （13）8 （14） 3 3 （15） 2 9 （16）0,1 （17）40 三、解答题 （18）本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力。满分 14 分。 （）解：由 得,3 1 =x 45 45 154 55 23, 24,25, 2, 32 5 2 8, p q xpqxpqxxx pq pq += =+ =+ += +=+ 又且得 解得 p=1,q=1 ()解： . 2 )1( 22 )21()222( 1 2 + += += + nn nS n n n LL （19）本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。 满分
9、 14 分。 （）解：由题意知，袋中黑球的个数为 .4 5 2 10 = 记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件 A，则 . 15 2 )( 2 10 2 4 = C C AP （）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 B。 设袋中白球的个数为 x，则 , 9 7 1)(1)( 2 2 1 = n n C C BPBP 得到 x=5 (20)本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能 力和推理运算能力。满分 14 分。 方法一： （）证明：过点 E 作 EG CF 并 CF于 G，连结 DG，可得四边形 BCGE 为矩形。又 ABC
10、D 为矩形， 所以 AD EG,从而四边形 ADGE 为平行四边形，故 AE DG。 因为 AE平面 DCF， DG平面 DCF，所以 AE平面 DCF。 （） 解： 过点 B 作 BH EF 交 FE 的延长线于 H， 连结 AH。 由平面 ABCD平面 BEFG， AB BC，得 AB平面 BEFC， 从而 AH EF， 所以 AHB 为二面角 A-EF-C 的平面角。 在 Rt EFG 中，因为 EG=AD= .1,60,2,3 = FGCFEEF o 所以 又因为 CE EF，所以 CF=4， 从而 BE=CG=3。 于是 BH=BEsin BEH= . 2 33 因为 AB=BHta
11、n AHB, 所以当 AB 为 2 9 时，二面角 A-EF-G 的大小为60. 方法二： 如图，以点 C 为坐标原点，以 CB、CF 和 CD分别 作为 x 轴、 y轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 C-xyz. 设 AB=a,BE=b,CF=c, 则 C（0，0，0） ， A（ ),0,0,3(),0,3 Ba ).0,0(),0,3( cFbE （）证明： ),0,0(),0,0,3(),0( bBECBabAE = 所以 ,0,0 BECBAECBBECBAECB = 从而 所以 CB平面 ABE。 因为 GB平面 DCF，所以平面 ABE平面 DCF 故 AE平面 DCF （II）解
12、：因为 ( 3 0) ( 3 0)EF c b CE b = = uuur uuur ，-， ， ， 所以 0. 2EF CE EF= = uuur uuur uuur ，从而 2 3( )0, 3( ) 2. bc b cb + = + = 解得 b3， c4 所以 ( 3,3,0) (0,4,0)E F. 设 (1, , )nyz= 与平面 AEF 垂直， 则 n0,n0AE EF= uuur uuur ， 解得 33 (1, 3, )n a = 又因为 BA平面 BEFC， (0,0, )BAa= uuur ， 所以 2 33 1 cos , 2 427 BA n a nBA BA n
13、aa = = = + uuur uuur uuur ， 得到 9 2 a = 所以当 AB 为 9 2 时，二面角 A EFC 的大小为 60 （21）本题主要考查基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和 解决问题的能力。满分 15 分。 （I）解： 2 ( ) 3 2f xxax= 因为 (I) 3 2 3fa= =， 所以 0a = 又当 0a = 时， (I) 1, (I) 3ff=， 所以曲线 () (1, (I)yfx f= 在 处的切线方程为 3xy-2=0 （II）解：令 ( ) 0fx= ，解得 12 2 0, 3 a xx= 当 2 0 3 a ，即 a
14、0 时， ()f x 在0，2上单调递增，从而 max (2) 8 4f fa= 当 2 2 3 a 时，即 a3 时， ()f x 在0，2上单调递减，从而 max (0) 0ff= 当 2 02 3 a ，即 03a， ()f x 在 2 0, 3 a 上单调递减，在 2 ,2 3 a 上单调递增， 从而 max 84,0 2. 0, 2 3. aa f a = （22）本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基 本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 （I）解：设 (, )Nxy为 C 上的点，则 22 13 ()(y) 28 |NP|= x+ + N
15、 到直线 5 8 y = 的距离为 5 8 y+ 由题设得 22 135 ()(y) 288 x+ y+ =+ 化简，得曲线 C 的方程为 2 1 () 2 yxx= + （II）解法一： 设 2 (, ) 2 x x Mx + ，直线 l： ykxk= + ，则 (, )B xkx k+ ，从而 2 11QB k x=+ + 在Rt QMA中，因为 2 2 (1)(1 ) 4 x QM x=+ + ， 22 2 (1)( ) 2 1 x xk MA +k + = 所以 2 222 2 2 (1) (2) 4(1 ) x QA QM AM kx k + = + + 2 12 21 xkx QA
16、 k + + = + ， 2 22 2(1 ) 1 1 2 QB kkx QA k x+ k + + = 当 k2 时， 2 55 QB QA = 从而所求直线 l 方程为 220 xy+= 解法二： 设 2 (, ) 2 x Mx + ，直线直线 l： ykxk= + ，则 (, )B xkx k+ ，从而 2 11QB k x=+ + 过 (1,0) 垂直于 l的直线 l1： (1) 1 y= x k + ， 因为 QA MH= ，所以 2 12 21 xkx QA k + + = + ， 2 22 2(1 ) 1 1 2 QB kkx QA k x+ k + + =， 当 k2 时， 2 55 QB QA = ， 从而所求直线 l 方程为 220 xy+=
