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    2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-全国卷1.pdf

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    2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-全国卷1.pdf

    1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 9 页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 第卷 考生注意: 1答题前,考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 填写清楚 ,并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后,用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有

    2、一项是 符合题目要求的 参考公式: 如果事件 A B, 互斥,那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B, 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 3 4 3 VR= n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) ( 01,2 ) kk nk nn Pk CP P k n =L, 一、选择题 1函数 (1)yxx x=+的定义域为( ) A |0 xx B |1xx C |10 xx

    3、U D |0 1xx 2汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( ) 3在 ABC 中, AB = uuur c, AC = uuur b 若点 D 满足 2BDDC= uuur uuur ,则 AD = uuur ( ) A 21 33 +bc B 52 33 cb C 21 33 bc D 12 33 +bc 4设 aR ,且 2 ()aii+ 为正实数,则 a =( ) A 2 B 1 C 0 D 1 5已知等差数列 n a 满足 24 4aa+=, 35 10aa+ = ,则它的前 10 项的和 10

    4、S =( ) A 138 B 135 C 95 D 23 6若函数 (1)yfx=的图像与函数 ln 1yx= + 的图像关于直线 yx= 对称,则 ()f x = ( ) A e 2x-1 B e 2x C e 2x+1 D e 2x+2 7设曲线 1 1 x y x + = 在点 (3 2), 处的切线与直线 10ax y+ +=垂直,则 a =( ) A 2 B 1 2 C 1 2 D 2 8为得到函数 cos 2 3 yx =+ 的图像,只需将函数 sin 2yx= 的图像( ) A向左平移 5 12 个长度单位 B向右平移 5 12 个长度单位 C向左平移 5 6 个长度单位 D向右

    5、平移 5 6 个长度单位 9设奇函数 ()f x 在 (0 )+, 上为增函数,且 (1) 0f = ,则不等式 () ( ) 0 fx f x x 的解 集为( ) A (10) (1 )+U, B (1)(01) U, C (1)(1) +U, D (10) (01) U, 10若直线 1 xy ab +=通过点 (cos sin )M , ,则( ) A 22 1ab+ B 22 1ab+ C 22 11 1 ab + D 22 11 1 ab + 11已知三棱柱 111 ABC A B C 的侧棱与底面边长都相等, 1 A 在底面 ABC 内的射影为 s t O A s t O s t

    6、 O s t O B C D ABC 的中心,则 1 AB 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( ) A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 12如图,一环形花坛分成 A BCD, 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里 种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( ) A 96 B 84 C 60 D 48 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修 +选修) 第卷 注意事项: 1答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚,然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第卷共 7 页,

    7、请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 在试题卷上作答无效 3本卷共 10 小题,共 90 分 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上 (注意:在试题卷上作答无效 ) 13 13若 x y, 满足约束条件 0 30 03 xy xy x + + , , , 则 2zxy= 的最大值为 14已知抛物线 2 1yax= 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点 的三角形面积为 15在 ABC 中, AB BC= , 7 cos 18 B = 若以 AB, 为焦点的椭圆经过点 C ,则该 椭圆的离心率 e = 16

    8、等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,二面角 CABD 的余弦值为 3 3 , M、 N 分别是 AC、 BC 的中点,则 EM、 AN 所成角的余弦值等于 D B C A 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) 设 ABC 的内角 ABC, 所对的边长分别为 a、 b、 c,且 3 cos cos 5 aBbAc= ()求 tan cotAB的值; ()求 tan( )AB 的最大值 18 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) 四棱锥 ABCD

    9、E 中, 底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC 底面 BCDE , 2BC = , 2CD = , AB AC= ()证明: AD CE ; ()设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 o ,求二面角 CADE 的大小 19 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) 已知函数 32 () 1f xxaxx=+ +, aR ()讨论函数 ()f x 的单调区间; ()设函数 ()f x 在区间 21 33 , 内是减函数,求 a 的取值范围 20 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的

    10、动物血液化验 结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止 C D E A B 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中 任取 1 只化验 ()求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; () 表示依方案乙所需化验次数,求 的期望 21 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) 双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 12 ll, ,经过右焦点 F 垂直于

    11、 1 l 的直线分别交 12 ll, 于 AB, 两点已知 OA AB OB uuur uuur uuur 、 成等差数列,且 BF uuur 与 FA uuur 同向 ()求双曲线的离心率; ()设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程 22 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) 设函数 () lnf xxxx= 数列 n a 满足 1 01a , 1 () nn afa + = ()证明:函数 ()f x 在区间 (0 1), 是增函数; ()证明: 1 1 nn aa + 参考答案 一、选择题 1、 C 2、 A 3、 A 4、 D 5、 C 6、 B

    12、 7、 D 8、 A 9.D 10.D 11.B 12.B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上 13.答案: 9 14. 答案: 2. 15.答案: 3 8 . 16.答案: 1 6 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.解析: ()由正弦定理得 a= C Bc b C Ac sin sin , sin sin = acosB-bcosA=( A C B B C A cos sin sin cos sin sin )c = c BA ABBA + )sin( cossincossin = c

    13、 BABA BABA + sincoscossin sincoscossin = 1cottan )1cot(tan + BA cBA 依题设得 c BA cBA 5 3 1cottan )1cot(tan = + 解得 tanAcotB=4 (II)由( I)得 tanA=4tanB,故 A、 B 都是锐角,于是 tanB0 tan(A-B)= BA BA tantan1 tantan + = B B 2 tan41 tan3 + 4 3 , 且当 tanB= 2 1 时,上式取等号,因此 tan(A-B)的最大值为 4 3 18解: (I)作 AO BC, 垂足为 O, 连接 OD, 由题

    14、设知, AO底面 BCDE, 且 O 为 BC 中点, 由 2 1 = DE CD CD OC 知, Rt OCD Rt CDE, 从而 ODC= CED,于是 CE OD, 由三垂线定理知, AD CE ( II)由题意, BE BC,所以 BE侧面 ABC,又 BE侧面 ABE,所以侧面 ABE侧面 ABC。 作 CF AB,垂足为 F,连接 FE,则 CF平面 ABE 故 CEF 为 CE 与平面 ABE 所成的角, CEF=45 由 CE= 6 ,得 CF= 3 又 BC=2,因而 ABC=60,所以 ABC 为等边三角形 作 CG AD,垂足为 G,连接 GE。 由( I)知, CE

    15、 AD,又 CE CG=C, 故 AD平面 CGE, AD GE, CGE 是二面角 C-AD-E 的平面角。 CG= 3 2 6 22 = = AD CDAC GE= ,6, 3 10 6 52 ) 2 1 ( 22 = = CE AD DEADDE cos CGE= 10 10 3 10 3 2 2 6 3 10 3 4 2 222 = + = + GECG CEGECG 所以二面角 C-AD-E 为 arccos( 10 10 ) 解法二: ( I)作 AO BC,垂足为 O,则 AO底面 BCDE,且 O 为 BC 的中点,以 O 为坐标原点,射线 OC 为 x 轴正向, 建立如图所示

    16、的直角坐标系 O-xyz. 设 A( 0,0,t) ,由已知条件有 C(1,0,0), D(1, 2 ,0), E(-1, 2 ,0), ),2,1(),0,2,2( tADCE = 所以 0= ADCE ,得 AD CE ( II)作 CF AB,垂足为 F,连接 FE, 设 F( x,0,z)则 CF =(x-1,0,z), 0),0,2,0( = BECFBE 故 CF BE,又 AB BE=B,所以 CF平面 ABE, CEF 是 CE 与平面 ABE 所成的角, CEF=45 由 CE= 6 ,得 CF= 3 又 CB=2,所以 FBC=60, ABC 为等边三角形,因此 A( 0,

    17、 0, 3 ) 作 CG AD,垂足为 G,连接 GE,在 Rt ACD 中,求得 |AG|= 3 2 |AD| 故 G 3 3 , 3 22 , 3 2 = = 3 3 , 3 2 , 3 5 , 3 3 , 3 22 , 3 1 GEGC 又 )3,2,1( =AD 0,0 = ADGEADGC 所以 GEGC与 的夹角等于二面角 C-AD-E 的平面角。 由 cos( GEGC, )= 10 10 | = GEGC GEGC 知二面角 C-AD-E 为 arccos( 10 10 ) ( 19)解: () f(x)=3x 2 +2ax+1,判别式 =4(a 2 -3) ( i)若 a 3

    18、 或 a0, f(x)是增函数; 在 + 3 3aa , 3 3aa 22 内 f(x)0, f(x)是增函数。 ( ii)若 3 a0,故此时 f(x)在 R 上是增函数。 ( iii)若 a= 3 ,则 f( 3 a )=0,且对所有的 x 3 a 都有 f(x)0,故当 a= 3 时, f(x)在 R 上是增函数。 () 由 () 知, 只有当 a 3 或 a 3 时,由、解得 a 2 因此 a 的取值范围是 2,+) 。 ( 20)解: 记 A 1 、 A 2 分别表示依方案甲需化验 1 次、 2 次, B 1 、 B 2 分别表示依方案乙需化验 2 次、 3 次, A表示依方案甲所需

    19、化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知 A 2 与 B 2 独 立。 () 221 BAAA += 5 1 C 1 )A(P 1 5 1 = , 5 1 A A )A(P 2 5 1 4 2 = , 5 2 CC CC )B(P 1 3 3 5 1 2 2 4 2 = = 。 P(A )=P(A 1 +A 2 B 2 ) =P(A 1 )+P(A 2 B 2 ) =P(A 1 )+P(A 2 )P(B 2 ) = 5 2 5 1 5 1 + = 25 7 所以 P(A)=1-P( A )= 25 18 =0.72 ()的可能取值为 2, 3. P(B 1 )= 5 3 CC C C C

    20、1 3 3 5 2 4 3 5 3 4 = + , P(B 2 )= 5 2 , P( =2)=P(B 1 )= 5 3 , P( =3)=P(B 2 )= 5 2 , 所以 E = 4.2 5 12 5 2 3 5 3 2 =+ (次) 。 ( 21)解: ()设双曲线方程为 1 b y a x 2 2 2 2 = (a0,b0),右焦点为 F(c,0)(c0),则 c 2 =a 2 +b 2 不妨设 l 1 : bx-ay=0, l 2 : bx+ay=0 则 b ba |0acb| |FA| 22 = + = , aAFOF|OA| 22 = 。 因为 |AB| 2 + |OA| 2 =

    21、 |OB| 2 ,且 |OB| =2 |AB| - |OA| , 所以 |AB| 2 + |OA| 2 =(2 |AB| - |OA| ) 2 , 于是得 tan AOB= 3 4 | | = OA AB 。 又 BF 与 FA 同向,故 AOF= 2 1 AOB, 所以 3 4 AOFtan1 AOFtan2 2 = 解得 tan AOF= 2 1 ,或 tan AOF=-2(舍去) 。 因此 b5bac,b2a, 2 1 a b 22 =+= 。 所以双曲线的离心率 e= a c = 2 5 ()由 a=2b 知,双曲线的方程可化为 x 2 -4y 2 =4b 2 由 l 1 的斜率为 2

    22、 1 , c= 5 b 知,直线 AB 的方程为 y=-2(x- 5 b) 将代入并化简,得 15x 2 -32 5 bx+84b 2 =0 设 AB 与双曲线的两交点的坐标分别为 (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ),则 x 1 +x 2 = 15 b532 , x 1 x 2 = 15 b84 2 AB 被双曲线所截得的线段长 l= xx4)xx(5|xx|)2(1 21 2 2121 2 +=+ 将代入,并化简得 l= 3 b4 ,而由已知 l=4,故 b=3, a=6 所以双曲线的方程为 1 9 y 36 x 22 = 22、解: ( I)当 0x0 所以函数 f(x)在区

    23、间( 0,1)是增函数, ( II)当 0xx 又由( I)有 f(x)在 x=1 处连续知, 当 0x1 时, f(x)f(1)=1 因此,当 0x1 时, 0xf(x)1 下面用数学归纳法证明: 0a n a n+1 1 (i)由 0a 1 1, a 2 =f(a 1 ),应用式得 0a 1 a 2 1,即当 n=1 时,不等式成立 (ii)假设 n=k 时,不等式成立,即 0a k a k+1 1 则由可得 0a k+1 f(a k+1 )1,即 0a k+1 a k+2 1 故当 n=k+1 时,不等式也成立 综合 (i)(ii)证得: a n a n+1 a m b 否则,若 a m b(m k),则由 0a 1 a m b1(m k)知, a m lna m a 1 lna m a 1 lnb0 a k+1 =a k -a k lna k =a k-1 -a k-1 lna k-1 -a k lna k =a 1 - = k m 1 a m lna m 由知 = k m 1 a m lna m a 1 +k|a 1 lnb| a 1 +(b-a 1 ) =b


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