1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 考生注意： 1答题前，考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项是 符合题目要求的 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 3 4 3 VR= n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) ( 01,2 ) kk nk nn Pk CP P k n =L， 一、选择题 1函数 (1)yxx x=+的定义域为（ ） A |0 xx B |1xx C |10 xx
3、U D |0 1xx 2汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（ ） 3在 ABC 中， AB = uuur c， AC = uuur b 若点 D 满足 2BDDC= uuur uuur ，则 AD = uuur （ ） A 21 33 +bc B 52 33 cb C 21 33 bc D 12 33 +bc 4设 aR ，且 2 ()aii+ 为正实数，则 a =（ ） A 2 B 1 C 0 D 1 5已知等差数列 n a 满足 24 4aa+=， 35 10aa+ = ，则它的前 10 项的和 10
4、S =（ ） A 138 B 135 C 95 D 23 6若函数 (1)yfx=的图像与函数 ln 1yx= + 的图像关于直线 yx= 对称，则 ()f x = （ ） A e 2x-1 B e 2x C e 2x+1 D e 2x+2 7设曲线 1 1 x y x + = 在点 (3 2)， 处的切线与直线 10ax y+ +=垂直，则 a =（ ） A 2 B 1 2 C 1 2 D 2 8为得到函数 cos 2 3 yx =+ 的图像，只需将函数 sin 2yx= 的图像（ ） A向左平移 5 12 个长度单位 B向右平移 5 12 个长度单位 C向左平移 5 6 个长度单位 D向右
5、平移 5 6 个长度单位 9设奇函数 ()f x 在 (0 )+， 上为增函数，且 (1) 0f = ，则不等式 () ( ) 0 fx f x x 的解 集为（ ） A (10) (1 )+U， B (1)(01) U， C (1)(1) +U， D (10) (01) U， 10若直线 1 xy ab +=通过点 (cos sin )M ， ，则（ ） A 22 1ab+ B 22 1ab+ C 22 11 1 ab + D 22 11 1 ab + 11已知三棱柱 111 ABC A B C 的侧棱与底面边长都相等， 1 A 在底面 ABC 内的射影为 s t O A s t O s t
6、 O s t O B C D ABC 的中心，则 1 AB 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（ ） A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 12如图，一环形花坛分成 A BCD， 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里 种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A 96 B 84 C 60 D 48 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修 +选修） 第卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第卷共 7 页，
7、请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作答无效 3本卷共 10 小题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 （注意：在试题卷上作答无效 ） 13 13若 x y， 满足约束条件 0 30 03 xy xy x + + ， ， ， 则 2zxy= 的最大值为 14已知抛物线 2 1yax= 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点 的三角形面积为 15在 ABC 中， AB BC= ， 7 cos 18 B = 若以 AB， 为焦点的椭圆经过点 C ，则该 椭圆的离心率 e = 16
8、等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角 CABD 的余弦值为 3 3 ， M、 N 分别是 AC、 BC 的中点，则 EM、 AN 所成角的余弦值等于 D B C A 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 设 ABC 的内角 ABC， 所对的边长分别为 a、 b、 c，且 3 cos cos 5 aBbAc= （）求 tan cotAB的值； （）求 tan( )AB 的最大值 18 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 四棱锥 ABCD
9、E 中， 底面 BCDE 为矩形， 侧面 ABC 底面 BCDE ， 2BC = ， 2CD = ， AB AC= （）证明： AD CE ； （）设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 o ，求二面角 CADE 的大小 19 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知函数 32 () 1f xxaxx=+ +， aR （）讨论函数 ()f x 的单调区间； （）设函数 ()f x 在区间 21 33 ， 内是减函数，求 a 的取值范围 20 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的
10、动物血液化验 结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止 C D E A B 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中 任取 1 只化验 （）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （） 表示依方案乙所需化验次数，求 的期望 21 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 12 ll， ，经过右焦点 F 垂直于
11、 1 l 的直线分别交 12 ll， 于 AB， 两点已知 OA AB OB uuur uuur uuur 、 成等差数列，且 BF uuur 与 FA uuur 同向 （）求双曲线的离心率； （）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程 22 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 设函数 () lnf xxxx= 数列 n a 满足 1 01a ， 1 () nn afa + = （）证明：函数 ()f x 在区间 (0 1)， 是增函数； （）证明： 1 1 nn aa + 参考答案 一、选择题 1、 C 2、 A 3、 A 4、 D 5、 C 6、 B
12、 7、 D 8、 A 9.D 10.D 11.B 12.B. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 13.答案： 9 14. 答案： 2. 15.答案： 3 8 . 16.答案： 1 6 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.解析： （）由正弦定理得 a= C Bc b C Ac sin sin , sin sin = acosB-bcosA=( A C B B C A cos sin sin cos sin sin )c = c BA ABBA + )sin( cossincossin = c
13、 BABA BABA + sincoscossin sincoscossin = 1cottan )1cot(tan + BA cBA 依题设得 c BA cBA 5 3 1cottan )1cot(tan = + 解得 tanAcotB=4 (II)由（ I）得 tanA=4tanB，故 A、 B 都是锐角，于是 tanB0 tan(A-B)= BA BA tantan1 tantan + = B B 2 tan41 tan3 + 4 3 ， 且当 tanB= 2 1 时，上式取等号，因此 tan(A-B)的最大值为 4 3 18解： (I)作 AO BC， 垂足为 O， 连接 OD， 由题
14、设知， AO底面 BCDE， 且 O 为 BC 中点， 由 2 1 = DE CD CD OC 知， Rt OCD Rt CDE， 从而 ODC= CED，于是 CE OD， 由三垂线定理知， AD CE （ II）由题意， BE BC，所以 BE侧面 ABC，又 BE侧面 ABE，所以侧面 ABE侧面 ABC。 作 CF AB，垂足为 F，连接 FE，则 CF平面 ABE 故 CEF 为 CE 与平面 ABE 所成的角， CEF=45 由 CE= 6 ，得 CF= 3 又 BC=2，因而 ABC=60，所以 ABC 为等边三角形 作 CG AD，垂足为 G，连接 GE。 由（ I）知， CE
15、 AD，又 CE CG=C， 故 AD平面 CGE， AD GE， CGE 是二面角 C-AD-E 的平面角。 CG= 3 2 6 22 = = AD CDAC GE= ,6, 3 10 6 52 ) 2 1 ( 22 = = CE AD DEADDE cos CGE= 10 10 3 10 3 2 2 6 3 10 3 4 2 222 = + = + GECG CEGECG 所以二面角 C-AD-E 为 arccos( 10 10 ) 解法二： （ I）作 AO BC，垂足为 O，则 AO底面 BCDE，且 O 为 BC 的中点，以 O 为坐标原点，射线 OC 为 x 轴正向， 建立如图所示
16、的直角坐标系 O-xyz. 设 A（ 0,0,t） ，由已知条件有 C(1,0,0), D(1, 2 ,0), E(-1, 2 ,0), ),2,1(),0,2,2( tADCE = 所以 0= ADCE ，得 AD CE （ II）作 CF AB，垂足为 F，连接 FE， 设 F（ x,0,z）则 CF =(x-1,0,z), 0),0,2,0( = BECFBE 故 CF BE，又 AB BE=B，所以 CF平面 ABE， CEF 是 CE 与平面 ABE 所成的角， CEF=45 由 CE= 6 ，得 CF= 3 又 CB=2，所以 FBC=60， ABC 为等边三角形，因此 A（ 0，
17、 0， 3 ） 作 CG AD，垂足为 G，连接 GE，在 Rt ACD 中，求得 |AG|= 3 2 |AD| 故 G 3 3 , 3 22 , 3 2 = = 3 3 , 3 2 , 3 5 , 3 3 , 3 22 , 3 1 GEGC 又 )3,2,1( =AD 0,0 = ADGEADGC 所以 GEGC与 的夹角等于二面角 C-AD-E 的平面角。 由 cos( GEGC, )= 10 10 | = GEGC GEGC 知二面角 C-AD-E 为 arccos( 10 10 ) （ 19）解： （） f(x)=3x 2 +2ax+1，判别式 =4(a 2 -3) （ i）若 a 3
18、 或 a0， f(x)是增函数； 在 + 3 3aa , 3 3aa 22 内 f(x)0， f(x)是增函数。 （ ii）若 3 a0，故此时 f(x)在 R 上是增函数。 （ iii）若 a= 3 ，则 f( 3 a )=0，且对所有的 x 3 a 都有 f(x)0，故当 a= 3 时， f(x)在 R 上是增函数。 （） 由 （） 知， 只有当 a 3 或 a 3 时，由、解得 a 2 因此 a 的取值范围是 2,+） 。 （ 20）解： 记 A 1 、 A 2 分别表示依方案甲需化验 1 次、 2 次， B 1 、 B 2 分别表示依方案乙需化验 2 次、 3 次， A表示依方案甲所需
19、化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知 A 2 与 B 2 独 立。 （） 221 BAAA += 5 1 C 1 )A(P 1 5 1 = ， 5 1 A A )A(P 2 5 1 4 2 = ， 5 2 CC CC )B(P 1 3 3 5 1 2 2 4 2 = = 。 P(A )=P(A 1 +A 2 B 2 ) =P(A 1 )+P(A 2 B 2 ) =P(A 1 )+P(A 2 )P(B 2 ) = 5 2 5 1 5 1 + = 25 7 所以 P(A)=1-P( A )= 25 18 =0.72 （）的可能取值为 2， 3. P(B 1 )= 5 3 CC C C C
20、1 3 3 5 2 4 3 5 3 4 = + ， P(B 2 )= 5 2 ， P( =2)=P(B 1 )= 5 3 ， P( =3)=P(B 2 )= 5 2 ， 所以 E = 4.2 5 12 5 2 3 5 3 2 =+ （次） 。 （ 21）解： （）设双曲线方程为 1 b y a x 2 2 2 2 = (a0,b0)，右焦点为 F(c,0)(c0)，则 c 2 =a 2 +b 2 不妨设 l 1 ： bx-ay=0， l 2 ： bx+ay=0 则 b ba |0acb| |FA| 22 = + = ， aAFOF|OA| 22 = 。 因为 |AB| 2 + |OA| 2 =
21、 |OB| 2 ，且 |OB| =2 |AB| - |OA| ， 所以 |AB| 2 + |OA| 2 =(2 |AB| - |OA| ) 2 ， 于是得 tan AOB= 3 4 | | = OA AB 。 又 BF 与 FA 同向，故 AOF= 2 1 AOB， 所以 3 4 AOFtan1 AOFtan2 2 = 解得 tan AOF= 2 1 ，或 tan AOF=-2（舍去） 。 因此 b5bac,b2a, 2 1 a b 22 =+= 。 所以双曲线的离心率 e= a c = 2 5 （）由 a=2b 知，双曲线的方程可化为 x 2 -4y 2 =4b 2 由 l 1 的斜率为 2
22、 1 ， c= 5 b 知，直线 AB 的方程为 y=-2(x- 5 b) 将代入并化简，得 15x 2 -32 5 bx+84b 2 =0 设 AB 与双曲线的两交点的坐标分别为 (x 1 ,y 1 )， (x 2 ,y 2 )，则 x 1 +x 2 = 15 b532 ， x 1 x 2 = 15 b84 2 AB 被双曲线所截得的线段长 l= xx4)xx(5|xx|)2(1 21 2 2121 2 +=+ 将代入，并化简得 l= 3 b4 ，而由已知 l=4，故 b=3， a=6 所以双曲线的方程为 1 9 y 36 x 22 = 22、解： （ I）当 0x0 所以函数 f(x)在区
23、间（ 0,1）是增函数， （ II）当 0xx 又由（ I）有 f(x)在 x=1 处连续知， 当 0x1 时， f(x)f(1)=1 因此，当 0x1 时， 0xf(x)1 下面用数学归纳法证明： 0a n a n+1 1 (i)由 0a 1 1, a 2 =f(a 1 )，应用式得 0a 1 a 2 1，即当 n=1 时，不等式成立 (ii)假设 n=k 时，不等式成立，即 0a k a k+1 1 则由可得 0a k+1 f(a k+1 )1，即 0a k+1 a k+2 1 故当 n=k+1 时，不等式也成立 综合 (i)(ii)证得： a n a n+1 a m b 否则，若 a m b(m k)，则由 0a 1 a m b1(m k)知， a m lna m a 1 lna m a 1 lnb0 a k+1 =a k -a k lna k =a k-1 -a k-1 lna k-1 -a k lna k =a 1 - = k m 1 a m lna m 由知 = k m 1 a m lna m a 1 +k|a 1 lnb| a 1 +(b-a 1 ) =b
