1、 1 页 共 10 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷（文史类） 数学试题卷 (文史类 )共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，
2、那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P(A B)=P(A) P(B). 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 P n (K)= k m P k (1-P) n-k 一、选择题 :本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的 . (1)已知 a n 为等差数列， a 2 +a 8 =12,则 a 5 等于 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (2)设 x 是实数，则“ x 0”是“ |x| 0”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而
3、不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)曲线 C: cos 1. sin 1 x y = =+ ( 为参数 )的普通方程为 (A)(x-1) 2 +(y+1) 2 =1 (B) (x+1) 2 +(y+1) 2 =1 (C) (x+1) 2 +(y-1) 2 =1 (D) (x-1) 2 +(y-1) 2 =1 (4)若点 P 分有向线段 AB uuur 所成的比为 - 1 3 ，则点 B 分有向线段 PA uuur 所成的比是 (A)- 3 2 (B)- 1 2 (C) 1 2 (D)3 2 页 共 10 页 (5)某交高三年级有男生 500 人，女生 400 人，为了
4、解该年级学生的健康情况，从男生 中任意抽取 25 人，从女生中任意抽取 20 人进行调查 .这种抽样方法是 (A)简单随机抽样法 (B)抽签法 (C)随机数表法 (D)分层抽样法 (6)函数 2 1 10 (0 1) x yx = 则 13 11 1 1 42 42 2 2 ()x x - （2x +3 ）(2x -3 )-4x . （ 15）已知圆 C： 22 230 xy xay+=（ a 为实数）上任意一点关于直线 l： x-y+2=0 的对称点都在圆 C 上，则 a= . （ 16）某人有 3 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多） ，要在如题（ 16）图所示的 6 个点 A、 B、 C
5、、 A 1 、 B 1 、 C 1 上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不 同的安装方法共有 种（用数字作答） . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 17） （本小题满 13 分， （）小问 5 分， （）小问 8 分 .） 设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a,b,c.已知 22 2 3bc a bc+=+ ，求： 4 页 共 10 页 （） A 的大小 ; （） 2sin cos sin( )B CBC的值 . （ 18） （本小题满分 13 分， （）小问 8 分， （）小问 5 分 .） 在每
6、道单项选择题给出的 4 个备选答案中，只有一个是正确的 .若对 4 道选择题中的 每一道都任意选定一个答案，求这 4 道题中： （）恰有两道题答对的概率 ; （）至少答对一道题的概率 . （ 19） （本小题满分 12 分， （）小问 6 分， （）小问 6 分 .） 设函数 32 () 9 1( 0).fx x ax x a=+ 若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行，求： （） a 的值 ; （）函数 f(x)的单调区间 . （ 20） （本小题满分 12 分， （）小问 6 分， （）小问 6 分 .） 如图（ 20）图， 和 为平面， ,lA B= AB=5,
7、A,B 在棱 l 上的射影 分别为 A， B， AA 3， BB 2.若二面角 l的大小为 2 3 ，求： （）点 B 到平面 的距离 ; （）异面直线 l 与 AB 所成的角（用反三角函数表示） . （ 21） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分 .） 如题 （ 21） 图， M（ -2， 0） 和 N（ 2， 0） 是平面上的两点， 动点 P 满足： 2.PM PN= （）求点 P 的轨迹方程 ; （）设 d 为点 P 到直线 l： 1 2 x = 的距离，若 2 2PM PN= ,求 PM d 的值 . 5 页 共 10 页 （ 22） （本小题满分 12 分
8、， （）小问 6 分 .（）小问 6 分） 设各项均为正数的数列 a n 满足 3 2 112 2, ( N*) nnn aaaan + = . （）若 2 1 , 4 a = 求 a 3 ,a 4 ,并猜想 a 2008 的值（不需证明） ; （）若 12 22 4 n aa a nullnullnull 对 n 2 恒成立，求 a 2 的值 . 6 页 共 10 页 绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题（文史类）答案 一、选择题：每小题 5 分，满分 60 分 . (1)C (2)A (3)C (4)A (5)D (6)D (7)B (8)C (9)B
9、(10)B (11)A (12)C 二、填空题：每小题 4 分，满分 16 分 . (13) |2 , 3| (14) -23 (15) -2 (16) 12 三、解答题：满分 74 分. (17)（本小题 13 分） 解：()由余弦定理， 222 2cos,abc bc A=+ 222 33 cos , 222 . 6 bca bc A bc bc A + = = 故 所以 () 2sin cos sin( )B CBC 2sin cos (sin cos cos sin ) sin cos cos sin sin( ) sin( ) 1 sin . 2 B CBCBC BC BC BC A
10、 A = =+ =+ = = (18)（本小题 13 分） 解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是 4 次独立重复试验，且每次试验中 “选择正确”这一事件发生的概率为 1 4 . 由独立重复试验的概率计算公式得： ()恰有两道题答对的概率为 422 42 13 (2) C()() 44 P = 27 . 128 = ()解法一：至少有一道题答对的概率为 004 44 13 1(0)1C()() 44 P= 81 175 1. 256 256 = = 解法二：至少有一道题答对的概率为 7 页 共 10 页 1 2 222 33 440 44 44 13 13 13 13 C()() C()
11、() C()() C()() 44 44 44 44 + 108 54 12 1 256 256 256 256 175 . 256 =+ = (19)(本小题12 分) 解：()因 22 () 9 1f xxax x=+ 所以 2 () 3 2 9f xxax =+ 2 2 3( ) 9 . 33 aa x= 即当 2 () 9 .xfx= 时， 取得最小值 因斜率最小的切线与 12 6xy+ = 平行，即该切线的斜率为-12， 所以 2 2 912,9. 3 a a = =即 解得 3, 0, 3.aaa= + + 令 解得： 当 时， 故 在 ， ）上为增函数； 当 时， 故 在（ ，）
12、上为减函数； 当x (3,+ )时， 故 在（ ， ）上为增函数 由此可见，函数 的单调递增区间为 ）和（ ， ）； 单调递减区 13 .间为（ ， ） （ 20） （本小题 12 分） 解： （ 1）如答（ 20）图，过点 B C A A 且使 B C=A A.过点 B 作 BD CB，交 CB的延长线于 D. 由已知 AA l，可得 DB l，又已知 BB l，故 l平面 BB D， 得 BD l 又因 BD CB，从而 BD平面 ,BD 之长即为点 B 到平面 的距离 . 因 B C l 且 BB l，故 BB C 为二面角 -l- 的平面角 .由题意， BB C= 8 页 共 10 页
13、 3 2 .因此在 Rt BB D 中， BB =2, BB D= - BB C= 3 ,BD=BB sinBB D = 3 . （）连接 AC、 BC.因 B C A A， B C=A A,AA l,知 A ACB 为矩形，故 AC l. 所以 BAC 或其补角为异面直线 l 与 AB 所成的角 . 在 BB C 中， B B=2， B C=3， BB C= 3 2 ，则由余弦定理， BC= 22 cos19BB BC BC BBC+ =. 因 BD平面 ，且 DCCA，由三策划线定理知 ACBC. 故在 ABC 中， BCA= 2 ， sinBAC= 19 5 BC AB = . 因此，异
14、面直线 l 与 AB 所成的角为 arcsin （ 21） （本小题 12 分） 解： （ I）由双曲线的定义，点 P 的轨迹是以 M、 N 为焦点，实轴长 2a=2 的双曲线 . 因此半焦距 c=2，实半轴 a=1，从而虚半轴 b= 3 , 所以双曲线的方程为 x 2- 2 3 y =1. (II)解法一： 由（ I）由双曲线的定义，点 P 的轨迹是以 M、 N 为焦点，实轴长 2a=2 的双曲线 . 因此半焦距 e=2，实半轴 a=1，从而虚半轴 b= 3 . R 所以双曲线的方程为 x 2 - 2 3 y =1. (II)解法一： 由（ I）及答（ 21）图，易知 |PN|1,因 |PM
15、|=2|PN| 2 , 知 |PM|PN|,故 P 为双曲线右支上的点，所以 |PM|=|PN|+2. 将代入，得 2|PN| 2 -|PN|-2=0，解得 |PN|= 117 117 , 44 舍去 ,所以 |PN|= 117 4 + . 因为双曲线的离心率 e= c a =2,直线 l:x= 1 2 是双曲线的右准线，故 |PN d =e=2, 所以 d= 1 2 |PN|,因此 2 |2|4| 4| | 1 17 | | PM PM PN PN dPNPN =+ 9 页 共 10 页 解法： 设 P（ x,y） ，因 |PN|1 知 |PM|=2|PN| 2 2|PN|PN|, 故 P
16、在双曲线右支上，所以 x1. 由双曲线方程有 y 2 =3x 2 -3. 因此 22 2 2 2 |(2) (2)33441.PN x y x x x x=+=+= + 从而由 |PM|=2|PN| 2 得 2x+1=2(4x 2 -4x+1)，即 8x 2 -10 x+1=0. 所以 x= 517 8 + (舍去 x= 517 8 + ). 有 |PM|=2x+1= 917 4 + d=x- 1 2 = 117 8 + . 故 |917 8 117. 4 117 PM d + =+ + （ 22） （本小题 12 分） 解： （ I）因 a 1 =2,a 2 =2 -2 ,故 由此有 a 1
17、 =2 (-2)0 , a 2 =2 (-2)4 , a 3 =2 (-2)2 , a 4 =2 (-2)3 , 从而猜想 a n 的通项为 *)N(2 1 )2( = na n n , 所以 a 2xn = xn2 )2( 2 . ( )令 x n =log 2 a n .则 a 2 =2 x2 ,故只需求 x 2 的值。 设 S n 表示 x 2 的前 n 项和，则 a 1 a 2 a n = n s 2 ,由 2 2 a 1 a 2 a n 4 得 3 2 S n x 1 +x 2 + +x n 2(n 2). 因上式对 n=2 成立，可得 3 2 x 1 +x 2 ，又由 a 1 =2
18、,得 x 1 1,故 x 2 2 1 . 由于 a 1 =2， 2 3 2 1 + = nnn aaa (n N*),得 21 2 3 + += nnn xxx (n N*),即 )2( 2 1 2 1 ) 2 3 (2 111212 nnnnnnn xxxxxxx +=+=+ + ， 10 页 共 10 页 因此数列 x n+1 +2x n 是首项为 x 2 +2,公比为 2 1 的等比数列，故 x n+1 +2x n =(x 2 +2) 1 2 1 n (n N*). 将上式对 n 求和得 S n+1 x 1 +2S n =(x 2 +2)(1+ 2 1 + + 1 2 1 n )=(x 2 +2)(2 1 2 1 n )（ n 2） . 因 S n 2， S n+1 2（ n 2）且 x 1 =1,故 (x 2 +2)(2 1 2 1 n ) 5（ n 2） . 因此 2x 2 1 1 2 2 2 + n x （ n 2） . 下证 x 2 2 1 ，若淆，假设 x 2 2 1 ，则由上式知，不等式 2 n 1 12 2 2 2 + x x 对 n 2 恒成立，但这是不可能的，因此 x 2 2 1 . 又 x 2 2 1 ，故 z 2 = 2 1 ，所以 a 2 =2 2 z = 2 .
