1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学 （理工农医类） 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，第卷第 1 至第 2 页，第卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中 “座位号、姓名、科类 ”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2. 答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3. 答第卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答
2、题卡上 书写。在试题卷上作答无效 。 4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) () ()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次实验中发生的概率是 p ，那么 3 4 3 VR= n次独立重复实验中事件 A恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () ( ) ( )1 , 0,1, 2, , nk kk nn Pk Cp p k n = =L 第卷 一选择题： 设集合 1,
3、2,3, 4,5 , 1, 2,3 , 2,3, 4UAB=，则 ( ) U A B =I ( ) （） 2,3 （） 1, 4, 5 （） 4,5 （） 1, 5 复数 () 2 21ii+=( ) （） 4 （） 4 （） 4i （） 4i () 2 tan cot cosx xx+=( ) （） tan x （） sin x （） cos x （） cot x 直线 3yx= 绕原点逆时针旋转 0 90 ，再向右平移个单位，所得到的直线为 ( ) （） 11 33 yx= + （） 1 1 3 yx=+ （） 33yx= （） 1 1 3 yx=+ 设 02,sin3cos 若 ，则 的
4、取值范围是： ( ) （） , 32 （） , 3 （） 4 , 33 （） 3 , 32 从甲、乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有 1 人参加， 则不同的挑选方法共有 ( ) （） 70 种 （） 112种 （） 140种 （） 168种 7已知等比数列 na 中 2 1a = ，则其前 3 项的和 3 S 的取值范围是 ( ) （） ( ,1 （） ( ) ( ),0 1,+U （） ) 3,+ （） ( ( ) ,1 3, +U 设 ,M N 是球 O半径 OP 上的两点， 且 NP MN OM= = ， 分别过 ,NMO作垂直于 OP 的平面，截球面得
5、三个圆，则这三个圆的面积之比为： ( ) （） 3:5:6 （） 3:6:8 （） 5:7:9 （） 5:8:9 直线 l 平面 ，经过平面 外一点 A与 ,l 都成 0 30 角的直线有且只有： ( ) （）条 （）条 （）条 （）条 10设 () ( )sinfx x =+，其中 0 ，则 ( )f x 是偶函数的充要条件是 ( ) （） ()01f = （） ( )00f = （） ( ) 01f = （） ( ) 00f = 11设定义在 R 上的函数 ()f x 满足 ( ) ( )213fx fx +=，若 ( )12f = ，则 ()99f =( ) （） 13 （） 2 （）
6、13 2 （） 2 13 12已知抛物线 2 :8Cy x= 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 K ，点 A 在 C 上且 2AK AF= ，则 AFK 的面积为 ( ) （） 4 （） 8 （） 16 （） 32 第卷 二填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。 13 ()() 34 12 1x x+展开式中 2 x 的系数为 _。 14已知直线 :40lx y+=与圆 ()() 22 :1 12Cx y +=，则 C 上各点到 l距离的最小值 为 _。 15已知正四棱柱的对角线的长为 6 ，且对角线与底面所成角的余弦值为 3 3 ，则该正四
7、棱柱的体积等于 _。 16设等差数列 n a 的前 n项和为 n S ，若 45 10, 15SS，则 4 a 的最大值为 _。 三解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 求函数 24 7 4sin cos 4cos 4cosy xx x x= + 的最大值与最小值。 18 （本小题满分 12 分） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买乙种商品的概率为 0.6 ， 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概
8、率； （）求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （）记 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 的 分布列及期望。 19 （本小题满分 12 分） 如图，平面 ABEF 平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD都是直角梯形， 0 90 ,BAD FAB BC= / = 1 2 AD， BE / = 1 2 AF （）证明： ,CDFE四点共面； （）设 AB BC BE=，求二面角 A ED B 的大小； 20 （本小题满分 12 分） 设数列 n a 的前 n项和为 n S ，已知 ( )21 n nn ba b S= （）证明：
9、当 2b= 时， 1 2 n n an 是等比数列； （）求 n a 的同项公式 21 （本小题满分 12 分） 设椭圆 () 22 22 1, 0 xy ab ab += 的左右焦点分别为 12 ,FF， 离心率 2 2 e= ， 右准线为 l， ,M N 是 l上的两个动点， 12 0FM FN= uuuur uuuur （）若 12 25FM FN= uuuur uuuur ，求 ,ab的值； （）证明：当 MN 取最小值时， 12 FM FN+ uuuur uuuur 与 12 FF uuuur 共线。 22 （本小题满分 14 分） 已知 3x= 是函数 () ( ) 2 ln 1
10、10f xa xx x=+的一个极值点。 （）求 a； （）求函数 ()f x 的单调区间； （）若直线 yb= 与函数 ( )yfx= 的图象有 3 个交点，求 b的取值范围。 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学参考答案 （理工农医类） 第卷 一选择题： B A D A C C 7 D D B 10 D 11 C 12 B 第卷 二填空题： 13 6 14 2 15 2 16 4 三解答题： 17 解： 24 7 4sin cos 4cos 4cosy xx x x= + () 22 72sin2 4cos 1cosx xx= + 22 7 2sin 2 4cos si
11、nx xx= + 2 7 2sin 2 sin 2x x= + () 2 1sin2 6x= + 由于函数 () 2 16zu=+在 11 ， 中的最大值为 () 2 max 11 6 10z = += 最小值为 () 2 min 11 6 6z = += 故当 sin 2 1x= 时 y 取得最大值 10，当 sin 2 1x= 时 y 取得最小值 6 18 解： 记 A表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲种商品， 记 B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品， 记 C 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记 D表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购买甲、
12、乙两种商品中的一种， （） CABAB=+ () () PC PAB AB=+ ()() PAB PAB=+ () () () () PA PB PA PB=+ 0.5 0.4 0.5 0.6=+ 0.5= （） DAB= () () PD PAB= () () PA PB= 0.5 0.4= 0.2= () () 1 0.8PD PD= = （） ()3, 0.8B null ，故 的分布列 () 3 0 0.2 0.008P = = () 12 3 1 0.8 0.2 0.096PC = = () 22 3 2 0.8 0.2 0.384PC = = () 3 3 0.8 0.512P =
13、 = 所以 30.8 2.4E = = 19 解法一： （）延长 DC 交 AB 的延长线于点 G ，由 BC / = 1 2 AD得 1 2 GB GC BC GA GD AD = 延长 FE交 AB 的延长线于 G 同理可得 1 2 GE GB BE GF GA AF = 故 GB GB GA GA = ，即 G 与 G 重合 因此直线 CD EF、 相交于点 G ，即 ,CDFE四点共面。 （）设 1AB = ，则 1BC BE=， 2AD = 取 AE 中点 M ，则 BMAE ，又由已知得， AD 平面 ABEF 故 ADBM ， BM 与平面 ADE 内两相交直线 AD AE、 都
14、垂直。 所以 BM 平面 ADE ，作 MNDE ，垂足为 N ，连结 BN 由三垂线定理知 BN ED BNM， 为二面角 A ED B 的平面角。 21 3 22 AD AE BM MN DE =， 故 6 tan 2 BM BNM MN = 所以二面角 A ED B的大小 6 arctan 2 解法二： 由平面 ABEF 平面 ABCD， AFAB ，得 FA平面 ABCD，以 A为坐标原点， 射线 AB 为 x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 A xyz （）设 ,ABaBCbBEc=, ，则 ()( )( )( ) ( ),0,0 , ,0 , ,0, , 0,2 ,0 , 0,0
15、,2Ba Cab Ea c D b F c, ()( )0, , , 0, 2 , 2EC b c FD b c= = uuur uuur 故 1 2 ECFD= uuur uuur ，从而由点 EFD ，得 /EC FD 故 ,CDFE四点共面 （）设 1AB = ，则 1BC BE=， ()()()( )1,0, 0 , 1,1, 0 , 0, 2, 0 , 1, 0,1BCD E 在 DE 上取点 M ，使 5DMME= uuuur uuur ，则 515 , 636 M 从而 115 , 636 MB = uuur 又 ()1, 2,1 , 0,DE MB DE MB DE= = uu
16、ur uuur uuur 在 DE 上取点 N ，使 2DNNE= uuur uuur ，则 222 , 333 N 从而 222 , , 0, 333 NA NA DE NA DE = = uuur uuur uuur 故 MB uuur 与 NA uuur 的夹角等于二面角 A DE B 的平面角， 10 cos 5 MB NA MB NA MB NA = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur 所以二面角 A DE B的大小 10 arccos 5 20 解： 由题意知 1 2a = ，且 ()21 n nn ba b S= () 1 11 21 n nn ba
17、b S + + = 两式相减得 ()()21 n nn n ba a b a= 即 1 2 n nn aba + =+ （）当 2b= 时，由知 1 22 n nn aa + =+ 于是 () ( ) 1 12 2 2 12 nn n nn an a n + += + () 1 22 n n an = 又 1 1 12 1 0 n a = ，所以 1 2 n n an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列。 （）当 2b= 时，由（）知 11 22 nn n an = ，即 ( ) 1 12 n n an =+ 当 2b 时，由由得 11 1 222 nnn nn aba bb + + =+
18、2 2 n n b ba b = 1 2 2 n n ba b = 因此 1 1 11 22 nn nn aba bb + + = ( )21 2 n b b b = 得 () 1 21 1 222 2 2 n nn n a bb n b = = + 21 解： 由 22 2 abc=与 2 2 a e c = ，得 22 2ab= 12 22 00F aF a ， ， ， l的方程为 2x a= 设 ()() 12 22M ay N ay， ， 则 1122 32 2 22 FMayFNay = uuuur uuuur ， ， 由 12 0FM FN= uuuur uuuur 得 2 12
19、3 0 2 yy a= （）由 12 25FM FN= uuuur uuuur ，得 2 2 1 32 25 2 ay += 2 2 2 2 25 2 ay += 由、三式，消去 12 ,y y ，并求得 2 4a = 故 2 2, 2 2 ab= （） () 2 2 22 2 1 2 1 2 12 12 12 12 22246MNyyyyy y y y a= =+ = = 当且仅当 12 6 2 yy a= = 或 21 6 2 yy a= = 时， MN 取最小值 6a 此时， ()() 12 1 2 12 12 32 2 22, 22,0 2 22 FMFN ay ay ayy a FF
20、 += + = += = uuuur uuuur uuuur ， 故 12 FM FN+ uuuur uuuur 与 12 FF uuuur 共线。 22 解： （）因为 () 210 1 a fx x x =+ + 所以 () 36100 4 a f =+= 因此 16a= （）由（）知， () ( ) ( ) 2 16ln 1 10 , 1,fx x x xx=+ () () 2 243 1 xx fx x + = + 当 ()( )1,1 3,x +U 时， ( ) 0fx 当 ()1, 3x 时， ( ) 0fx = () ( ) 2 1321 21 3fe f += 所以在 ()f x 的三个单调区间 ()( ) ( )1,1 , 1, 3 , 3,+直线 yb= 有 ()yfx= 的图象各有一 个交点，当且仅当 () ()31f bf 因此， b的取值范围为 32ln 2 21,16ln 2 9。
