1、绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1至 2 页，第卷 3 至 4 页，共150 分。 第卷 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡 上作答。若在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一
2、并收回。 参考公式 如果事件 ,A B互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 ,AB，相互独立，那么 其中 R表示球的半径 ()()()P AB PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) kk nk nn Pk Cp p = 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 “ x y= ”是“ x y= ”的 A充分不必要条件 B必要
3、不充分条件 C充要条件 D既不充分也 不必要条件 2定义集合运算: ,A BzzxyxAyB= = .设 1, 2A= , 0, 2B= ,则集合 A B 的所有元素之和为 A0 B2 C3 D6 3若函数 ()y fx= 的定义域是 0,2，则函数 (2 ) () 1 f x gx x = 的定义域是 A 0,1 B 0,1) C 0,1) (1,4U D (0,1) 4若 01x y，则 A 33 yx B log 3 log 3 x y C 44 log logx y D 11 () () 44 x y 的两条渐近线方程为 3 3 y x= ，若顶点到渐近 线的距离为 1，则双曲线方程为
4、 15连结球面上两点的线段称为球的弦半径为 4 的球的两条弦 ABCD、 的长度分别等于 27、 43，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 16如图，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题： A 2ACAF BC+= uuur uuur uuur B 22ADABAF=+ uuur uuuur uuur C ACAD ADAB= uuur uuur uuur uuur D () ()ADAFEF ADAFEF= uuur uuur uuur uuur uuur uuur 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文
5、字说明,证明过程或演算步骤 17已知 1 tan 3 = ， 5 cos , 5 = ,(0,) （1）求 tan( ) + 的值； （2）求函数 () 2sin( ) cos( )fx x x = + +的最大值 18因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方 案需分两年实施且相互独立该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4 （1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率； A
6、 B D E C F （2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率. 19等差数列 n a 的各项均为正数， 1 3a = ，前 n项和为 n S ， n b 为等比数列, 1 1b = ， 且 22 64,bS = 33 960bS = (1)求 n a 与 n b ； (2)求和： 12 11 1 n SS S +L 20如图，正三棱锥 O ABC 的三条侧棱 OA、 OB 、 OC 两两垂 直，且长度均为 2 E、 F 分别是 AB、 AC 的中点， H 是 EF 的 中点，过 EF 的平面与侧棱 OA、 OB 、 OC 或其延长线分别相交于 1 A 、 1 B 、 1 C ，已知 1 3
7、2 OA = （1）求证： 11 BC 面 OAH ； （2）求二面角 11 1 OABC的大小 21已知函数 4324 11 () ( 0) 43 fx x ax ax aa= + （1）求函数 ()y fx= 的单调区间； （2）若函数 ()y fx= 的图像与直线 1y = 恰有两个交点，求 a的取值范围 22已知抛物线 2 y x= 和三个点 00 0 00 (, ) (0, ) ( , )M xy P y N xy、 2 000 (,0)yxy，过 点 M 的一条直线交抛物线于 A、 B两点， AP BP、 的延长线分 别交抛物线于点 EF、 （1）证明 EFN、 三点共线； （2）
8、如果 A、 B、 M 、 N 四点共线，问：是否存在 0 y ，使以 线段 AB为直径的圆与抛物线有异于 A、 B的交点？如果存在， 求出 0 y 的取值范围， 并求出该交点到直线 AB的距离； 若不存在， 请说明理由 y x P N O M A E B F 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学参考答案 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5分，共60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B C A A C D B D C C 1B.因 x y= x y= 但 x y=x y= 。 2 D.因 * 0, 2, 4AB= ，
9、 3B. 因为 ()f x 的定义域为0，2，所以对 ()gx， 02 2x 但 1x 故 0,1)x 。 4 C 函数 4 () logf xx= 为增函数 5 A 21 1 ln(1 ) 1 aa=+ +， 32 1 ln(1 ) 2 aa=+ +， 1 1 ln(1 ) 1 nn aa n =+ 1 234 ln()()() ( ) 2 ln 123 1 n n aa n n =+ =+ L 6 A sin( ) () () sin( ) 2sin 2 x f xfx x x = = + (4 ) ( ) (2 )f xfxf x + =+ 7. C.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆
10、,则 2222 2 1 2 cb c b a c e = 又 (0,1)e ,所以 1 (0, ) 2 e 8. D 20 10 10 10 1(1) (1 ) (1 ) x x xx + += 9. C. 10 D.函数 2tan , tan sin tan sin tan sin 2sin , tan sin x xx yxxxx x xx =+= 当时 11.C.一天显示的时间总共有 24 60 1440= 种,和为23 总共有 4种,故所求概率为 1 360 . 12 C.当 2 16 0m= 时，显然成立 当 4, (0) (0) 0mf g=时，显然不成立；当 2 4, ( ) 2
11、( 2) , ( ) 4mfxxgxx=+ =显 然成立； 当 4m 时 12 12 0, 0 xx xx+，则 () 0fx= 两根为负，结论成立 故 4m 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4分，共16 分。 13. 3,1 14. 22 3 1 44 xy = 15. 5 16. A、B、D 13依题意 2 241(3)(1)0 xx xx+ 3,1x 14 22 3 1 44 xy = 15. 易求得 M 、 N 到球心 O的距离分别为 3、2，类比平面内圆的情形可知当 M 、 N 与 球心 O共线时， MN 取最大值 5。 16. 2ACAFACCDAD BC+=+= uuur
12、uuur uuur uuur uuur uuur , A对 取 AD的中点 O,则 22ADAOABAF=+ uuur uuur uuuruur , B对 设 1AB = uuur , 则 32cos 3 6 AC AD = = uuur uuur ,而 21cos 1 3 AD AF = = uuur uuur , C错 又 2 12cos 1 ( ) 3 ABAD AF = = uuur uuur uuur , D对 真命题的代号是 ,A BD 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分。 17解： （1）由 5 cos , 5 = (0, ) 得 tan 2 = ， 25 sin 5 =
13、于是 tan( ) + = 1 2 tan tan 3 1 2 1tan tan 1 3 + + = = + . （2）因为 1 tan , (0, ) 3 = 所以 13 sin ,cos 10 10 = 35 5 5 25 () sin cos cos sin 55 f xxxxx= + 5sinx= ()f x 的最大值为 5 . 18解： （1）令 A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件 ( ) 0.2 0.4 0.4 0.3 0.2PA=+= （2）令B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件 ( ) 0.2 0.6 0.4 0.6 0.4 0.3 0.48PB=+= 19
14、（1）设 n a 的公差为 d ， n b 的公比为 q，则 d 为正整数， 3( 1) n and=+ ， 1n n bq = 依题意有 2 33 22 (9 3 ) 960 (6 ) 64 Sb dq Sb dq =+ = =+ = 解得 2 , 8 d q = = 或 6 5 40 3 d q = = (舍去) 故 1 32( 1) 2 1, 8 n nn annb =+ = + = （2） 35 (2 1) ( 2) n Snn=+ + += +L 12 11 1 1 1 1 1 13 24 35 ( 2) n SS S nn += + + + + LL 111111 11 (1 )
15、232435 2nn = + + L 111 1 (1 ) 22 1 2nn =+ + 323 42( 1)( 2) n nn + = + + 20解 ： （1）证明：依题设， EF 是 ABC 的中位线，所以 EF BC， 则 EF 平面 OBC，所以 EF 11 BC 。 又 H 是 EF 的中点，所以 AH EF ， 则 AH 11 BC 。 因为 OA OB， OA OC ， 所以 OA面 OBC ，则 OA 11 BC ， 因此 11 BC 面 OAH 。 N M B1 C1 A1 H F E C B A O （2）作 ON 11 AB于 N ，连 1 CN。 因为 1 OC 平面
16、11 OAB ， 根据三垂线定理知， 1 CN 11 AB， 1 ONC 就是二面角 11 1 OABC的平面角。 作 EM 1 OB 于 M ，则 EM OA，则 M 是 OB的中点，则 1EM OM= = 。 设 1 OB x= ，由 11 1 OB OA MBEM = 得， 3 12 x x = ，解得 3x= ， 在 11 Rt OAB 中， 22 11 1 1 3 5 2 AB OA OB=+=，则， 11 11 3 5 OA OB ON AB =。 所以 1 1 tan 5 OC ONC ON =，故二面角 11 1 OABC 为 arctan 5 。 解法二： （1）以直线 OA
17、 OC OB、 分别为 x y、z 轴，建立空间直角坐标系， Oxyz 则 11 (2,0,0), (0,0,2), (0,2,0), (1,0,1), (1,1,0), (1, , ) 22 ABCEFH 所以 11 11 (1,), (1,), (0,2,2) 22 22 AH OH BC= = = uuur uuur uuur 所以 0, 0AH BC OH BC= = uuur uuur uuur uuur 所以 BC 平面 OAH 由 EF BC得 11 BC BC，故： 11 BC 平面 OAH (2)由已知 1 3 (,0,0), 2 A 设 1 (0,0, )B z 则 11
18、1 ( , 0,1), ( 1, 0, 1) 2 AE EB z= = uuur uuur 由 1 AE uuur 与 1 EB uuur 共线得:存在 R 有 11 AEEB= uuur uuur 得 1 1 3 2 1(1) (0,0,3) z z B = = = 同理: 1 (0,3,0)C B1 C1 A1 H F E C B A O x y z 11 11 33 (,0,3), (,3,0) 22 AB AC = = uuuur uuuur 设 1 111 (, ,)nxyz= r 是平面 111 ABC的一个法向量, 则 3 30 2 3 30 2 xz xy += += 令 2x
19、= 得 1yx= 1 (2,1,1).n = ur 又 2 (0,1,0)n = uur 是平面 11 OAB 的一个法量 12 16 cos , 6 411 nn = = + ur uur 所以二面角的大小为 6 arccos 6 21. 解： （1）因为 32 2 () 2 ( 2)( )f xxax axxxaxa =+ = + 令 () 0fx = 得 123 2, 0,x ax x a= = = 由 0a 时， ()f x 在 () 0fx = 根的左右的符号如下表所示 x (,2)a 2a (2,0)a 0 (0, )a a (, )a + ()f x 0 + 0 0 + ()f
20、x null 极小值 null 极大值 null 极小值 null 所以 ()f x 的递增区间为 (2,0) (, )aa+与 ()f x 的递减区间为 (2)(0)aa ，与， （2）由（1）得到 4 5 () (2) 3 f xfaa= = 极小值 ， 4 7 () () 12 f xfaa= 极小值 4 () (0)f xfa= 极大值 要使 ()f x 的图像与直线 1y = 恰有两个交点，只要 44 57 1 312 aa 或 4 1a 或 01a. 22 （1）证明：设 22 11 2 2 (, ) (, )A xx Bxx、 ， (, ) (, ) EE FF Ex y Bx
21、y、 则直线 AB的方程： () 22 212 11 12 xx y xx x xx =+ 即： 12 12 ()y xxxxx=+ 因 00 (, )M xy在 AB上，所以 012012 ()yxxxx=+ LL 又直线 AP方程： 2 10 0 1 xy y xy x =+ 由 2 10 0 1 2 xy y xy x xy =+ = 得： 2 2 10 0 1 0 xy xxy x = 所以 22 10 0 0 1 2 111 , EEE x yyy xx x y x xx += = = 同理， 2 00 2 22 , FF y y xy x x = = 所以直线 EF 的方程： 2
22、012 0 12 12 () yxx yyx x xxx + = 令 0 x x= 得 0 120 0 12 ( ) y y xxxy xx =+ 将代入上式得 0 y y= ，即 N 点在直线 EF 上 所以 ,E FN三点共线 （2）解：由已知 ABMN、 、 共线，所以 ( ) 00 00 ,( ,)AyyByy 以 AB为直径的圆的方程： () 2 2 00 x yy y+ = 由 () 2 2 00 2 x yy y xy + = = 得 () 22 000 21 0yyyyy+= 所以 0 y y= （舍去） ， 0 1yy= 要使圆与抛物线有异于 ,A B的交点，则 0 10y 所以存在 0 1y ，使以 AB为直径的圆与抛物线有异于 ,AB的交点 ( ), TT Tx y 则 0 1 T yy=，所以交点 T 到 AB的距离为 ( ) 000 11 T yyy y = =
