1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 文科数学（必修+选修） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分） 1 sin 330等于（ ） A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 2已知全集 12345U = ， ， ， ， ，集合 1, 3A = ， 3, 4, 5B = ，则集合 () U AB=I （ ） A 3 B 4,5 C 3, 4, 5 D 1 2 4 5， ， ， 3某林场有树苗 30000 棵，其中松树苗 4000 棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的 方法抽取一个容量为 150
2、的样本，则样本中松树苗的数量为（ ） A 30 B 25 C 20 D 15 4已知 n a 是等差数列， 12 4aa+=， 78 28aa+ = ，则该数列前 10 项和 10 S 等于（ ） A 64 B 100 C 110 D 120 5直线 30 xym+=与圆 22 220 xy x+=相切，则实数 m 等于（ ） A 33 或 3 B 33 或 33 C 3 或 3 D 3 或 33 6 “ 1a = ”是“对任意的正数 x ， 21 a x x + ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知函数 3 () 2 x fx + = ，
3、 1 ()f x 是 ()f x 的反函数，若 16mn = （ mn + R， ） ，则 11 () ()f mfn + 的值为（ ） A 10 B 4 C 1 D 2 8 长方体 111 1 ABCD A B C D 的各顶点都在半径为 1 的球面上 , 其中 1 : 2:1:3AB AD AA = , 则两 ,A B 点的球面距离为 ( ) A 4 B 3 C 2 D 2 3 9双曲线 22 22 1 xy ab =（ 0a ， 0b ）的左、右焦点分别是 12 FF， ，过 1 F 作倾斜角为 30 o 的直线交双曲线右支于 M 点，若 2 MF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（
4、） A 6 B 3 C 2 D 3 3 10如图， lA B AB =I， 到 l 的距离分别是 a 和 b ， AB 与 ， 所成的角分别是 和 ， AB 在 ， 内的射影分别是 m 和 n ， 若 ab ， 则 （ ） A mn ， C mn ， D mn ， 11 定义在 R 上的函数 ()f x 满足 ()()()2f xy fx fy xy+ =+ （ xyR， ） ， (1) 2f = ，则 (2)f 等于（ ） A 2 B 3 C 6 D 9 12为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信息设定原信息为 012 i aaa a， 0 1 ，
5、（ 012i = ， ， ） ，传输信息为 00121 haaah ，其中 00110 2 haahha= =， ， 运算规则为： 000 = ， 011 = ， 101 = ， 110=， 例如原信息为 111，则传输信息为 01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信 息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A 11010 B 01100 C 10111 D 00011 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13 ABC 的内角 ABC， 的对边分别为 abc， ，若 2 6 120cbB= o ， ，则 a = 14
6、 7 2 (1 ) x 的展开式中 2 1 x 的系数为 (用数字作答 ) 15关于平面向量 ，abc有下列三个命题： 若 ab=acgg，则 =bc若 (1 ) ( 2 6)k= =， ，ab， ab，则 3k = 非零向量 a 和 b 满足 | |=abab，则 a 与 +ab的夹角为 60 o 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 16某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成如果第一棒火 炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传 递方案共有 种 （用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
7、（本大题共 6 小题，共 74 分） 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 () 2sin cos 3cos 44 2 x xx fx=+ （）求函数 ()f x 的最小正周期及最值； （）令 () 3 gx f x =+ ，判断函数 ()gx的奇偶性，并说明理由 18 （本小题满分 12 分） 一个口袋中装有大小相同的 2 个红球 ,3 个黑球和 4 个白球 ,从口袋中一次摸出一个球 ,摸出的 球不再放回 . （）连续摸球 2 次 ,求第一次摸出黑球 ,第二次摸出白球的概率； （）如果摸出红球 ,则停止摸球 ,求摸球次数不超过 3 次的概率 19 （本小题满分 12 分） 三棱锥被平行于
8、底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示， 截面为 111 ABC ， 90BAC= o ， 1 AA平面 ABC ， 1 3AA= ， 11 22AB AC AC= =， D 为 BC 中点 （）证明：平面 1 AAD平面 11 BCC B ； （）求二面角 1 ACC B 的大小 A 1 A C 1 B 1 B D C 20 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a 的首项 1 2 3 a = ， 1 2 1 n n n a a a + = + ， 1, 2, 3,n = （）证明：数列 1 1 n a 是等比数列； （）数列 n n a 的前 n 项和 n S 21 （本小题满分 1
9、2 分） 已知抛物线 C ： 2 2y x= ， 直线 2y kx=+交 C 于 A B， 两点， M 是线段 AB 的中点， 过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N （）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； （）是否存在实数 k 使 0NA NB = uur uuur g ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由 22本小题满分 14 分） 设函数 322 2 () 1, () 2 1,fx x ax ax gx ax x=+ + = +其中实数 0a （）若 0a ，求函数 ()f x 的单调区间； （）当函数 ()yfx= 与 ()ygx= 的图象只有一个公共点且 (
10、)gx存在最小值时，记 ()gx 的最小值为 ()ha ，求 ()ha 的值域； （）若 ()f x 与 ()gx在区间 (, 2)aa+ 内均为增函数，求 a 的取值范围 参考答案及评分标准 一、 选择题 1 B 2 D 3 C 4 B 5 A 6 A 7 D 8 C 9 B 10 D 11 A 12 C 二、填空题 13 2 14 84 15 16 96 三、解答题 17解： （） ()f xQ sin 3 cos 22 x x =+ 2sin 23 x =+ ()f x 的最小正周期 2 4 1 2 T = 当 sin 1 23 x += 时， ()f x 取得最小值 2 ；当 sin
11、1 23 x + = 时， ()f x 取得最大值 2 （）由（）知 () 2sin 23 x fx =+ 又 () 3 gx f x =+ 1 () 2sin 233 gx x =+ 2sin 22 x =+ 2cos 2 x = ( ) 2cos 2cos ( ) 22 xx gx gx = = = 函数 ()gx是偶函数 18解： （）从袋中依次摸出 2 个球共有 2 9 A 种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球 有 22 34 A A 种结果，则所求概率 22 34 112 9 1341 () 6986 AA PP A = =或 （）第一次摸出红球的概率为 1 2 1 9 A A ，
12、第二次摸出红球的概率为 11 72 2 9 AA A ，第三次摸出红球的 概率为 21 72 3 9 AA A ，则摸球次数不超过 3 次的概率为 11 211 72 7 22 2 12 3 99 9 7 12 AA AAA P AA A =+ + = 19 解法一： （） 1 AA平面 ABC BC ， 平面 ABC ， 1 AA BC 在 Rt BAC 中， ABAC= ， D 为 BC 中点， BCAD，又 1 AA AD A=I BC平面 A 1AD，又 11BCBCB平面 平面 1 AAD平面 11 BCC B （）如图，作 1 AE C C 交 1 CC于 E 点，连接 BE ，
13、由已知得 AB 平面 11 ACC A AE 是 BE 在面 11 ACC A 内的射影 由三垂线定理知 1 BECC ， AEB 为二面角 1 ACC B的平面角 过 1 C 作 1 CF AC 交 AC 于 F 点， 则 1CF AC AF=， 11 3CF AA=， 1 60CCF= o 在 Rt AEC 中， 3 sin 60 2 3 2 AE AC= o 在 Rt BAE 中， 223 tan 3 3 AB AEB AE = 23 arctan 3 AEB= ， A 1 A C 1 B 1 B D C F E （第 19 题，解法一） 即二面角 1 ACC B为 23 arctan
14、3 解法二： （）如图，建立空间直角坐标系， 则 11 (000) (200) (020) (00 3) (01 3)ABCA C， ， ， ， ， ， ， ， ， ， D 为 BC 的中点，D 点的坐标为（1，1，0） 1(1,1,0), (0,0, 3), ( 2,2,0),AD AA BC= = uuuruur 1(2)12 00 0AD BC=+= uuuruur 1 0(2)02 30 0AA BC=+= uuuruur BCAD ， 1BCAA ，又 1 AA AD A=I ， BC 平面 1 AAD，又 BC 平面 11 BCC B ， 平面 1 AAD平面 11 BCC B （
15、） BA 平面 11 ACC A ， 如图，可取 (200)AB=， ， uuur m 为平面 11 ACC A 的法向量， 设平面 BC 的法向量为 ()lmn= ，n ， 则 10, 0BC n CC n= uuur gg 22 0 30 lm mn + = + = ， ， 3 2 3 lmn m=， ， 如图，可取 1m = ，则 3 11 3 = ， ，n ， 22222 2 3 21 01 0 21 3 cos 7 3 20011() 3 + = = + + ，mn g ， A 1 A C 1 B 1 B D C z y x （第 19 题，解法二） 二面角 1 ACC B为 21
16、arccos 7 20解： （） 1 2 1 n n n a a a + = + ， 1 1111 222 n nn n a aa a + + = =+ ， 1 111 1( 1) 2 nn aa + =，又 1 2 3 a = ， 1 11 1 2a = ， 数列 1 1 n a 是以为 1 2 首项， 1 2 为公比的等比数列 （）由（）知 1 1 11 1 1 22 2 nn n a + = = ，即 11 1 2 n n a = + ， 2 n n nn n a = + 设 23 12 3 22 2 n T =+ + + 2 n n + ， 则 23 112 222 n T =+ 1
17、1 22 nn+ +， 由 得 2 111 22 n T =+ + 111 11 (1 ) 22 1 1 22 2 22 1 2 n nn n nn+ + + = = ， 1 1 2 22 n nn n T = 又 123+ + (1) 2 nn n + += 数列 n n a 的前 n 项和 2 2(1) 42 2 22 22 n nn nnn n n n S + + = + = = 21. 解法一： （）如图，设 2 11 (2 )A xx， ， 2 22 (2 )B xx， ，把 2y kx= + 代入 2 2y x= 得 2 220 xkx=， 由韦达定理得 12 2 k xx+=，
18、12 1xx = ， 12 24 NM xx k xx + = =， N 点的坐标为 2 48 kk ， 设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 2 84 kk ymx = ， x A y 1 1 2 M N B O 将 2 2y x= 代入上式得 2 2 20 48 mk k xmx+=， Q直线 l 与抛物线 C 相切， 2 2222 82()0 48 mk k mmmkmk = = + = = ， mk = 即 lAB （）假设存在实数 k ，使 0NA NB = uur uuur g ，则 NA NB ，又 MQ 是 AB 的中点， 1 | 2 MNAB = 由（）知 12 1 2
19、12 11 1 ()(2 2)()4 22 2 M yyykxkx kxx=+= += + 22 1 42 22 4 kk =+=+ MN Q x 轴， 222 16 | | 2 488 MN kkk MN y y + =+= 又 222 12 12 12 |1 | |1 ( )4ABkxx kxxx=+ =+ + nullnull 2 1 14()116 22 k kkk =+ = + + nullnull 2 22 16 1 116 84 k kk + =+null ，解得 2k = 即存在 2k = ，使 0NA NB = uur uuur g 解法二： （）如图，设 22 11 2 2
20、 (2) (2)A xx Bxx， ， ，把 2ykx= + 代入 2 2y x= 得 2 220 xkx=由韦达定理得 12 12 1 2 k xx xx+ =， 12 24 NM xx k xx + = =， N 点的坐标为 2 48 kk ， 2 2y x=Q ， 4yx = ， 抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4 4 k k = ， lAB （）假设存在实数 k ，使 0NA NB = uur uuur g 由（）知 22 11 2 2 48 48 kk kk NA x x NB x x = = ， ， uur uuur ，则 22 22 12 1 2 44 8 8 kk k
21、k NA NB x x x x = + uur uuur g 22 22 12 1 2 4 4 4 16 16 kk k k xx x x = + 12 12 14 44 44 kk kk xx xx = + + + null () 22 12 1 2 12 1 2 14 ( ) 416 4 kk k xx x x xx k x x =+ + null 22 114(1) 4216 2 4 kkk kk k =+ + null 2 2 3 13 16 4 k k = + 0= ， 2 10 16 k ， 当 3 a xax或 时， () 0fx ；当 3 a ax 时， () 0fx 时， (
22、)gx才存在最小值， (0, 2a 2 11 () ( )gx ax a aa = +， 1 () , (0, 2ha a a a = ()ha 的值域为 2 (,1 2 （） 当 0a 时， ()f x 在 (,)a 和 (, ) 3 a + 内是增函数， ()gx在 1 (, ) a + 内是增函数 由题意得 0 3 1 a a a a a ，解得 a 1； 当 0a 时， ()f x 在 (,) 3 a 和 (, )a+内是增函数， ()gx在 1 (,) a 内是增函数 由题意得 0 2 3 1 2 a a a a a + + ，解得 a 3 ； 综上可知，实数 a 的取值范围为 (,31,) +U
