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    2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-辽宁卷.pdf

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    2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-辽宁卷.pdf

    1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供理科考生使用) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷 1 至 2 页,第卷 3 至 4 页,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 第卷(选择题共 60 分) 参考公式: 如果事件 A B, 互斥,那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B, 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 3 4 3 VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概

    2、率 () (1 ) ( 012 ) kk nk nn Pk CP p k n =L, , , 其中 R 表示球的半径 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1已知集合 3 |0 |3 1 x Mx x N xx x + = 0 时 ()f x 是单调函数,则满足 3 () 4 x fx f x + = + 的 所有 x 之和为( ) A 3 B 3 C 8 D 8 第卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13函数 10 0 x xx y ex + = , , 且

    3、()f x 在区间 63 , 有最小值, 无最大值,则 _ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12 分) 在 ABC 中,内角 ABC, 对边的边长分别是 abc, ,已知 2c = , 3 C = ()若 ABC 的面积等于 3 ,求 ab, ; ()若 sin sin( ) 2sin 2CBA A+= ,求 ABC 的面积 18 (本小题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结果如下 表所示: 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 ()根据上面统计结果,求周销

    4、售量分别为 2 吨, 3 吨和 4 吨的频率; ()已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, 表示该种商品两周销售利润的和(单位:千 元) 若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 的分布列和数学期望 19 (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 中, AP=BQ=b( 0b0 时,恒有 |OA uuur |OB uuur | 21 (本小题满分 12 分) 在数列 | n a , | n b 中, a 1 =2, b 1 =4,且 1nnn aba + , 成等差数列, 11nn n ba b + , 成等 比数列( n * N ) ()求 a

    5、 2 , a 3 , a 4 及 b 2 , b 3 , b 4 ,由此猜测 | n a , | n b 的通项公式,并证明你的结论; ()证明: 11 2 2 11 15 12 nn ab ab ab + + + 22 (本小题满分 14 分) 设函数 ln () ln ln( 1) 1 x fx x x x =+ + ()求 f(x)的单调区间和极值; ()是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 ()f xa 的解集为( 0, +)?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,试说明理由 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供理科考生使用)试题参考答案和评分参考 说明:

    6、一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果 考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分,共 60 分 1 D 2 B 3 C 4 B 5 A 6 A 7 C

    7、8 A 9 B 10 A 11 D 12 C 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分,满分 16 分 13 11 ln 1. xx y xx = , , 14 3 2 15 5 16 14 3 三、解答题 17本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数 有关知识的能力满分 12 分 解: ()由余弦定理及已知条件得, 22 4abab+ =, 又因为 ABC 的面积等于 3 ,所以 1 sin 3 2 ab C = ,得 4ab = 4 分 联立方程组 22 4 4 abab ab += = , , 解得 2a = , 2b = 6 分 ()由题

    8、意得 sin( ) sin( ) 4sin cosB ABA AA+ = , 即 sin cos 2sin cosB AAA= , 8 分 当 cos 0A = 时, 2 A = , 6 B = , 43 3 a = , 23 3 b = , 当 cos 0A 时,得 sin 2sinB A= ,由正弦定理得 2ba= , 联立方程组 22 4 2 abab ba += = , , 解得 23 3 a = , 43 3 b = 所以 ABC 的面积 123 sin 23 SabC= 12 分 18本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的 能力满分 12 分

    9、解: ()周销售量为 2 吨, 3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2, 0.5 和 0.3 3 分 () 的可能值为 8, 10, 12, 14, 16,且 P( =8) =0.2 2 =0.04, P( =10) =20.20.5=0.2, P( =12) =0.5 2 +20.20.3=0.37, P( =14) =20.50.3=0.3, P( =16) =0.3 2 =0.09 的分布列为 8 10 12 14 16 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 9 分 E =80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=12.4(千元) 12 分 19本小题主要

    10、考查空间中的线面关系,面面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能 力与逻辑思维能力。满分 12 分 解法一: ()证明:在正方体中, AD A D , AD AB ,又由已知可得 PF A D , PH AD , PQ AB , 所以 PH PF , PH PQ , 所以 PH 平面 PQEF 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分 ()证明:由()知 22PF AP PH PA=, ,又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形,且 PQ=1,所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是 (2 2 ) 2AP PA PQ+=,是定值 8 分 ( III)解:连结 BC交

    11、 EQ 于点 M 因为 PH AD , PQ AB , A B C D E F P Q H A B C D G N M 所以平面 ABC D和平面 PQGH 互相平行,因此 DE 与平面 PQGH 所成角与 DE 与平面 ABC D所成角相等 与()同理可证 EQ平面 PQGH,可知 EM平面 ABC D ,因此 EM 与 DE 的比值就 是所求的正弦值 设 AD交 PF 于点 N, 连结 EN,由 1FDb= 知 2 22 (1 ) 2 (1 ) 22 DE b ND b=+ =+ , 因为 AD平面 PQEF, 又已知 DE 与平面 PQEF 成 45 o 角, 所以 2DE ND= ,即

    12、 2 22 2(1)(1) 22 bb + =+ , 解得 1 2 b = ,可知 E 为 BC 中点 所以 EM= 2 4 ,又 2 3 (1 ) 2 2 DE b =+=, 故 DE 与平面 PQGH 所成角的正弦值为 2 6 EM DE = 12 分 解法二: 以 D 为原点,射线 DA, DC, DD分别为 x, y, z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 D xyz 由已知得 1DF b=,故 (1 0 0)A , , , (1 0 1)A , , , (000)D , , , (0 0 1)D , , , (1 0 )Pb, , , (1 1 )Qb, , , (1 1 0)Eb

    13、 , , , (1 0 0)Fb , , , (11)Gb, , , (01)Hb, , ()证明:在所建立的坐标系中,可得 (0 1 0) ( 0 )PQ PF b b= uuur uuur , , , , , (101)PH b b= uuur , , , (101) (10 1)AD A D= = uuuur uuuur , , , , 因为 00AD PQ AD PF= = uuuur uuur uuuur uuur , ,所以 AD uuuur 是平面 PQEF 的法向量 因为 00AD PQ AD PH= = uuuur uuur uuuur uuur , ,所以 A D uuuu

    14、r 是平面 PQGH 的法向量 因为 0AD A D= uuuur uuuur ,所以 A DAD uuuur uuuur , 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分 A B C D E F P Q H A B C D y x z G ()证明:因为 (0 1 0)EF = uuur , ,所以 EFPQEF PQ= uuuur uuuur uuur uuur , ,又 PF PQ uuur uuur ,所以 PQEF 为矩形,同理 PQGH 为矩形 在所建立的坐标系中可求得 2(1 )PH b= uuuur , 2PF b= uuuur , 所以 2PH PF+= uuuur

    15、 uuuur ,又 1PQ = uuuur , 所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 2 ,是定值 8 分 ()解:由已知得 DE uuuur 与 AD uuuur 成 45 o 角,又 (1 1 1) ( 1 0 1)DE b AD= = uuuur uuuur , , , , 可得 2 22 2 2(1 ) 2 DE AD b DE AD b = + uuuur uuuur uuuuuruuuuur , 即 2 2 1 (1 ) 2 b b = + ,解得 1 2 b = 所以 1 11 2 DE = uuuur , , ,又 (10 1)AD = uuuur , , ,所以

    16、DE 与平面 PQGH 所成角的正弦值为 1 1 2 2 |cos | 3 6 2 2 DEAD + = uuuur uuuur , 12 分 20本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识, 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 12 分 解: ()设 P( x, y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0 3) (0 3), 为焦点,长半 轴为 2 的椭圆它的短半轴 22 2(3)1b = =, 故曲线 C 的方程为 2 2 1 4 y x += 3 分 ()设 11 2 2 ()( )Ax y Bx y, , ,其坐标满足 2 2 1 4

    17、 1. y x ykx += =+ , 消去 y 并整理得 22 (4)230kxkx+ +=, 故 12 1222 23 44 k xx xx kk += = + , 5 分 若 OA OB uuur uuur ,即 12 12 0 xx yy+= 而 2 12 12 1 2 ()1yy k xx k x x=+, 于是 22 12 12 222 33 10 444 kk xx yy kkk += += + , 化简得 2 410k+=,所以 1 2 k = 8 分 () 22 22 22 11 22 ()OA OB x y x y=+ uuuur uuuur 22 2 2 12 1 2 (

    18、)4(11)x xxx=+ 1212 3( )( )x xxx= + 12 2 6( ) 4 kx x k = + 因为 A 在第一象限,故 1 0 x 由 12 2 3 4 xx k = + 知 2 0 x 又 0k , 故 22 0OA OB uuuur uuuur , 即在题设条件下,恒有 OA OB uuuur uuuur 12 分 21本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运用 数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力满分 12 分 解: ()由条件得 2 11 1 2 nnn n nn baa a bb + + =+ =, 由此可得 223 3 4

    19、 4 6 9 12 16 20 25aba b a b= = = =, , , , 2 分 猜测 2 (1) (1) nn ann b n=+ =+, 4 分 用数学归纳法证明: 当 n=1 时,由上可得结论成立 假设当 n=k 时,结论成立,即 2 (1) (1) kk akk b k=+ =+, , 那么当 n=k+1 时, 2 2 21 1 1 22(1)(1)(1)(2) () k kkk k k a abak k kk b k b + + + = = + +=+ + = =+, 所以当 n=k+1 时,结论也成立 由,可知 2 (1) (1) nn ann bn=+ +, 对一切正整

    20、数都成立 7 分 () 11 115 612ab = + 9 分 故 11 2 2 11 11111 1 6 223 34 ( 1) nn ab ab ab nn + + + + + 111111 1 1 622334 1nn =+ + + 111 1 11 5 622 1 6412n =+ , (1 )x+, 时, () 0fx , 故关于 x 的不等式 ()f xa 的解集为 (0 )+, 10 分 ()当 0a 时,由 ln 1 () ln1 1 x fx x x =+ + 知 ln 2 1 (2 ) ln 1 12 2 n n nn f =+ + ,其中 n 为 正整数,且有 22 2

    21、 11 ln 1 1 log ( 1) 222 aa nn a en e + 12 分 又 2n 时, ln 2 ln 2 ln 2 2ln 2 (1) 12 1(11) 1 2 n nn nn nn n = + 且 2ln2 4ln2 1 12 a n na + 取整数 0 n 满足 2 02 log ( 1) n ne , 0 4ln2 1n a +,且 0 2n , 则 0 00 0 ln 2 1 (2 ) ln 1 12 2 2 2 n nn n aa f a =+ 时,关于 x 的不等式 ()f xa 的解集不是 (0 )+, 综合() ()知,存在 a ,使得关于 x 的不等式 ()f xa 的解集为 (0 )+, ,且 a 的取 值范围为 ( 0, 14 分


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