1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供理科考生使用） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷（选择题共 60 分） 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 3 4 3 VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概
2、率 () (1 ) ( 012 ) kk nk nn Pk CP p k n =L， ， ， 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知集合 3 |0 |3 1 x Mx x N xx x + = 0 时 ()f x 是单调函数，则满足 3 () 4 x fx f x + = + 的 所有 x 之和为（ ） A 3 B 3 C 8 D 8 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13函数 10 0 x xx y ex + = ， ， 且
3、()f x 在区间 63 ， 有最小值， 无最大值，则 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 ABC， 对边的边长分别是 abc， ，已知 2c = ， 3 C = （）若 ABC 的面积等于 3 ，求 ab， ； （）若 sin sin( ) 2sin 2CBA A+= ，求 ABC 的面积 18 （本小题满分 12 分） 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下 表所示： 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 （）根据上面统计结果，求周销
4、售量分别为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率； （）已知每吨该商品的销售利润为 2 千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千 元） 若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望 19 （本小题满分 12 分） 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 中， AP=BQ=b（ 0b0 时，恒有 |OA uuur |OB uuur | 21 （本小题满分 12 分） 在数列 | n a ， | n b 中， a 1 =2， b 1 =4，且 1nnn aba + ， 成等差数列， 11nn n ba b + ， 成等 比数列（ n * N ） （）求 a
5、 2 ， a 3 ， a 4 及 b 2 ， b 3 ， b 4 ，由此猜测 | n a ， | n b 的通项公式，并证明你的结论； （）证明： 11 2 2 11 15 12 nn ab ab ab + + + 22 （本小题满分 14 分） 设函数 ln () ln ln( 1) 1 x fx x x x =+ + （）求 f(x)的单调区间和极值； （）是否存在实数 a，使得关于 x 的不等式 ()f xa 的解集为（ 0， +）？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，试说明理由 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考 说明：
6、一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果 考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，共 60 分 1 D 2 B 3 C 4 B 5 A 6 A 7 C
7、8 A 9 B 10 A 11 D 12 C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分 13 11 ln 1. xx y xx = ， ， 14 3 2 15 5 16 14 3 三、解答题 17本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数 有关知识的能力满分 12 分 解： （）由余弦定理及已知条件得， 22 4abab+ =， 又因为 ABC 的面积等于 3 ，所以 1 sin 3 2 ab C = ，得 4ab = 4 分 联立方程组 22 4 4 abab ab += = ， ， 解得 2a = ， 2b = 6 分 （）由题
8、意得 sin( ) sin( ) 4sin cosB ABA AA+ = ， 即 sin cos 2sin cosB AAA= ， 8 分 当 cos 0A = 时， 2 A = ， 6 B = ， 43 3 a = ， 23 3 b = ， 当 cos 0A 时，得 sin 2sinB A= ，由正弦定理得 2ba= ， 联立方程组 22 4 2 abab ba += = ， ， 解得 23 3 a = ， 43 3 b = 所以 ABC 的面积 123 sin 23 SabC= 12 分 18本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的 能力满分 12 分
9、解： （）周销售量为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2， 0.5 和 0.3 3 分 （） 的可能值为 8， 10， 12， 14， 16，且 P（ =8） =0.2 2 =0.04， P（ =10） =20.20.5=0.2， P（ =12） =0.5 2 +20.20.3=0.37， P（ =14） =20.50.3=0.3， P（ =16） =0.3 2 =0.09 的分布列为 8 10 12 14 16 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 9 分 E =80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=12.4（千元） 12 分 19本小题主要
10、考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能 力与逻辑思维能力。满分 12 分 解法一： （）证明：在正方体中， AD A D ， AD AB ，又由已知可得 PF A D ， PH AD ， PQ AB ， 所以 PH PF ， PH PQ ， 所以 PH 平面 PQEF 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分 （）证明：由（）知 22PF AP PH PA=， ，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且 PQ=1，所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是 (2 2 ) 2AP PA PQ+=，是定值 8 分 （ III）解：连结 BC交
11、 EQ 于点 M 因为 PH AD ， PQ AB ， A B C D E F P Q H A B C D G N M 所以平面 ABC D和平面 PQGH 互相平行，因此 DE 与平面 PQGH 所成角与 DE 与平面 ABC D所成角相等 与（）同理可证 EQ平面 PQGH，可知 EM平面 ABC D ，因此 EM 与 DE 的比值就 是所求的正弦值 设 AD交 PF 于点 N， 连结 EN，由 1FDb= 知 2 22 (1 ) 2 (1 ) 22 DE b ND b=+ =+ ， 因为 AD平面 PQEF， 又已知 DE 与平面 PQEF 成 45 o 角， 所以 2DE ND= ，即
12、 2 22 2(1)(1) 22 bb + =+ ， 解得 1 2 b = ，可知 E 为 BC 中点 所以 EM= 2 4 ，又 2 3 (1 ) 2 2 DE b =+=， 故 DE 与平面 PQGH 所成角的正弦值为 2 6 EM DE = 12 分 解法二： 以 D 为原点，射线 DA， DC， DD分别为 x， y， z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 D xyz 由已知得 1DF b=，故 (1 0 0)A ， ， ， (1 0 1)A ， ， ， (000)D ， ， ， (0 0 1)D ， ， ， (1 0 )Pb， ， ， (1 1 )Qb， ， ， (1 1 0)Eb
13、 ， ， ， (1 0 0)Fb ， ， ， (11)Gb， ， ， (01)Hb， ， （）证明：在所建立的坐标系中，可得 (0 1 0) ( 0 )PQ PF b b= uuur uuur ， ， ， ， ， (101)PH b b= uuur ， ， ， (101) (10 1)AD A D= = uuuur uuuur ， ， ， ， 因为 00AD PQ AD PF= = uuuur uuur uuuur uuur ， ，所以 AD uuuur 是平面 PQEF 的法向量 因为 00AD PQ AD PH= = uuuur uuur uuuur uuur ， ，所以 A D uuuu
14、r 是平面 PQGH 的法向量 因为 0AD A D= uuuur uuuur ，所以 A DAD uuuur uuuur ， 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分 A B C D E F P Q H A B C D y x z G （）证明：因为 (0 1 0)EF = uuur ， ，所以 EFPQEF PQ= uuuur uuuur uuur uuur ， ，又 PF PQ uuur uuur ，所以 PQEF 为矩形，同理 PQGH 为矩形 在所建立的坐标系中可求得 2(1 )PH b= uuuur ， 2PF b= uuuur ， 所以 2PH PF+= uuuur
15、 uuuur ，又 1PQ = uuuur ， 所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 2 ，是定值 8 分 （）解：由已知得 DE uuuur 与 AD uuuur 成 45 o 角，又 (1 1 1) ( 1 0 1)DE b AD= = uuuur uuuur ， ， ， ， 可得 2 22 2 2(1 ) 2 DE AD b DE AD b = + uuuur uuuur uuuuuruuuuur ， 即 2 2 1 (1 ) 2 b b = + ，解得 1 2 b = 所以 1 11 2 DE = uuuur ， ， ，又 (10 1)AD = uuuur ， ， ，所以
16、DE 与平面 PQGH 所成角的正弦值为 1 1 2 2 |cos | 3 6 2 2 DEAD + = uuuur uuuur ， 12 分 20本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识， 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 12 分 解： （）设 P（ x， y） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 (0 3) (0 3)， 为焦点，长半 轴为 2 的椭圆它的短半轴 22 2(3)1b = =， 故曲线 C 的方程为 2 2 1 4 y x += 3 分 （）设 11 2 2 ()( )Ax y Bx y， ， ，其坐标满足 2 2 1 4
17、 1. y x ykx += =+ ， 消去 y 并整理得 22 (4)230kxkx+ +=， 故 12 1222 23 44 k xx xx kk += = + ， 5 分 若 OA OB uuur uuur ，即 12 12 0 xx yy+= 而 2 12 12 1 2 ()1yy k xx k x x=+， 于是 22 12 12 222 33 10 444 kk xx yy kkk += += + ， 化简得 2 410k+=，所以 1 2 k = 8 分 （） 22 22 22 11 22 ()OA OB x y x y=+ uuuur uuuur 22 2 2 12 1 2 (
18、)4(11)x xxx=+ 1212 3( )( )x xxx= + 12 2 6( ) 4 kx x k = + 因为 A 在第一象限，故 1 0 x 由 12 2 3 4 xx k = + 知 2 0 x 又 0k ， 故 22 0OA OB uuuur uuuur ， 即在题设条件下，恒有 OA OB uuuur uuuur 12 分 21本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用 数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力满分 12 分 解： （）由条件得 2 11 1 2 nnn n nn baa a bb + + =+ =， 由此可得 223 3 4
19、 4 6 9 12 16 20 25aba b a b= = = =， ， ， ， 2 分 猜测 2 (1) (1) nn ann b n=+ =+， 4 分 用数学归纳法证明： 当 n=1 时，由上可得结论成立 假设当 n=k 时，结论成立，即 2 (1) (1) kk akk b k=+ =+， ， 那么当 n=k+1 时， 2 2 21 1 1 22(1)(1)(1)(2) () k kkk k k a abak k kk b k b + + + = = + +=+ + = =+， 所以当 n=k+1 时，结论也成立 由，可知 2 (1) (1) nn ann bn=+ +， 对一切正整
20、数都成立 7 分 （） 11 115 612ab = + 9 分 故 11 2 2 11 11111 1 6 223 34 ( 1) nn ab ab ab nn + + + + + 111111 1 1 622334 1nn =+ + + 111 1 11 5 622 1 6412n =+ ， (1 )x+， 时， () 0fx ， 故关于 x 的不等式 ()f xa 的解集为 (0 )+， 10 分 （）当 0a 时，由 ln 1 () ln1 1 x fx x x =+ + 知 ln 2 1 (2 ) ln 1 12 2 n n nn f =+ + ，其中 n 为 正整数，且有 22 2
21、 11 ln 1 1 log ( 1) 222 aa nn a en e + 12 分 又 2n 时， ln 2 ln 2 ln 2 2ln 2 (1) 12 1(11) 1 2 n nn nn nn n = + 且 2ln2 4ln2 1 12 a n na + 取整数 0 n 满足 2 02 log ( 1) n ne ， 0 4ln2 1n a +，且 0 2n ， 则 0 00 0 ln 2 1 (2 ) ln 1 12 2 2 2 n nn n aa f a =+ 时，关于 x 的不等式 ()f xa 的解集不是 (0 )+， 综合（） （）知，存在 a ，使得关于 x 的不等式 ()f xa 的解集为 (0 )+， ，且 a 的取 值范围为 ( 0， 14 分
