1、 - 1 - 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷) 数 学（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1集合 1,0,1A= ， A的子集中，含有元素 0 的子集共有（ ） A2 个 B 4 个 C6 个 D8 个 解： A的子集共 3 28= 个，含有元素 0 的和不含元素 0 的子集各占一半，有 4 个选 B 2函数 1lgyxx=+ 的定义域为（ ） A (0, )+ B (,1 C (,0)1,)+U D (0,1 解：选 D由 10 0 x x 01x 3 4 1 (1 )(1 )x
2、 x +的展开式中含 2 x 项的系数为（ ） A4 B5 C 10 D12 解： 选 C 4123 44 4 11 (1 )(1 ) (1 )(1 )xCxCxCx xx +=+ +L ， 其展开式中含 2 x 项的系数为 23 44 10CC+ = 4不等式 21x的解集为（ ） A |1 3xx B |0 2xx C |1 2xx D |2 3xx 解：选 A 21x 121x 13x 5已知 1 tan 2 = ，则 cos sin cos sin + = （ ） A2 B 2 C 3 D 3 解：选 C cos sin 1 tan 3 cos sin 1 tan + = 6一个正三棱
3、锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球 的体积与正三棱锥体积的比值为 （ ） A 83 3 B 3 3 C 3 2 D 83 解： 设球的半径为 r 3 1 4 3 Vr= ；正三棱锥的底面面积 2 3 4 Sr= ， 2hr= ， - 2 - 23 2 13 3 2 34 6 Vrrr= = 。所以 1 2 83 3 V V = ，选 A 7若点 (2,0)P 到双曲线 22 22 1 xy ab =的一条渐近线的距离为 2 ，则双曲线的离心率为 （ ） A 2 B 3 C 22 D 23 解：设过一象限的渐近线倾斜角为 2 sin 45 1 2 k= o 所以
4、b yxx a = = ab=，因此 2, 2 c cae a =，选 A。 8在一次读书活动中，一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本，则所 选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ）A 1 5 B 1 2 C 2 3 D 4 5 解：因文艺书只有 2 本，所以选 3 本必有科技书。问题等价于选 3 本书有文艺书的概率： 3 4 3 6 44 () 1 () 1 1 20 5 C PA PA C = = = = 9过点 (0,1)的直线与圆 22 4xy+=相交于 A， B 两点，则 AB 的最小值为（ ） A2 B 23 C3 D 25 解：如图 AB 最小时，弦
5、心距最大为 1， 22 22 1 23AB = 10已知两个单位向量 a r 与 b r 的夹角为 3 ，则 ab+ r r 与 ab r r 互相垂直的充要条件是 （ ） A 3 2 = 或 3 2 = B 1 2 = 或 1 2 = C 1 = 或 1 = D 为任意实 数 解： 22 22 ()()()() (1) (1) 0ab ab ab ab a b ab ab +=+= r r rr r r rr r r rr rr 2 010 1ab = rr 。另 外 a r 与 b r 是夹角为 3 的单位向量，画图知 1 = 时 ab+ rr 与 ab rr 构成菱形，排除 AB，而 D
6、 选项明显不对，故选 C。 - 3 - 11设函数 ()yfx= ()x R 的图像关于直线 0 x = 及直线 1x = 对称，且 0,1x 时， 2 ()f xx= ，则 3 () 2 f =（ ） A 1 2 B 1 4 C 3 4 D 9 4 解： 2 3311111 ( ) () (1 ) (1 ) () () 22 2 2224 fff f f= =+= = = 12在正方体 111 1 ABCD ABC D 中， E 是棱 11 AB的中点，则 1 AB与 1 DE所成角的余弦值 为（ ） A 5 10 B 10 10 C 5 5 D 10 5 解：如图以 D 为坐标系原点, A
7、B 为单位长， 1 ,DA DC DD 分别为 ,x yz轴建立坐标系，易见 1 (0,1, 1)AB= uuur ， 1 1 (1, , 0) 2 DE= uuuur ，所以 11 11 (0,1, 1) (1, ,0) 10 22 cos , 1 10 5 (0,1, 1) (1, ,0) 2 2 4 AB DE = = null uuur uuuur null null ，选 B 。 （如果连结 1 ,DC EC,用余 弦定理解三角形也可以求得答案。 ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13函数 1 1 x ye + =()x R 的反函数为_ _ 解： 1
8、1 1ln(1) xx ye e y x y + =+=+，所以反函数 ln( 1) 1( 1)yx x= + ， 14函数 2 () 3sin cosf xxx=的最大值是_ 解： 因为 3sin 3x ， 2 cos 0 x ， 2 () 3sin cos 3fx x x= ，正好 sin 1,cos 0 xx= = 时取等号。 （另 22 2 37 ( ) 3sin cos sin 3sin 1 (sin ) 24 fx x x x x x=+=+在 sin 1x= 时取最 大值） 15设等差数列 n a 的前 n项和为 n S ，且 55 Sa= 若 4 0a ，则 7 4 a a =
9、_ - 4 - 解： 5 5 1234 14 23 00Sa aaaa aaaa=+=+=+=，取特殊值 令 23 1, 1,aa= 4 3a= 741 29aaa= =，所以 7 4 3 a a = 16已知 90AOB=， C 为空间中一点，且 60AOC BOC = = ， 则直线 OC 与平面 AOB所成角的正弦值为_ 解：由对称性点 C 在平面 AOB内的射影 D必在 AOB 的平分线上 作 DE OA 于 E ，连结 CE则由三垂线定理 CE OE ，设 1DE = 1, 2OE OD= =，又 60 , 2COE CE OE OE= = o ,所以 22 2CD OC OD=，因
10、此直线 OC 与平面 AOB所成角的正弦值 2 sin 2 COD= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A， B ， C 对边的边长分别是 a， b ， c，已 知 22 2 2ac b+= （）若 4 B = ，且 A为钝角，求内角 A与 C 的大小； （）求 sin B 的最大值 解： （）由题设及正弦定理，有 22 2 sin sin 2sin 1AC B+ = 故 22 sin cosCA= 因为 A为钝角，所以 sin cosCA= 由 cos cos( ) 4 A C =，可得 s
11、in sin( ) 4 CC = ，得 8 C = ， 5 8 A = （）由余弦定理及条件 222 1 () 2 bac=+，有 22 cos 4 ac B ac + = ， 因 22 2ac ac+ ，所以 1 cos 2 B 故 3 sin 2 B ， 当 ac= 时，等号成立从而， sin B 的最大值为 3 2 18（本小题满分 12 分） 一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类： A类、 B 类、 C 类 检 验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检， 若发现其中含有 C 类产品或2件都是 B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整已知该生产线上生产的每件产品为 A类品， B
12、 - 5 - 类品和 C 类品的概率分别为 0.9 ， 0.05和 0.05，且各件产品的质量情况互不影响 （）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； （）若检验员一天抽检 3 次，求一天中至少有一次需要调整设备的概率 解： （）设 i A 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i件产品为 A类品” ， 1, 2i = i B 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i件产品为 B 类品” ， 1, 2i = i C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整” 则 12 12 12 CAAABBA=+ 由已知 ()0.9 i PA = ， ( ) 0.05 i PB = ， 1, 2i = 所以，所求的概率为
13、12 12 12 ()()()()PC PA A PA B PB A=+ 2 0.9 2 0.9 0.05 0.9=+= （）由（）知，一次抽检后，设备不需要调整的概率为 () 0.9PC = 故所求概率为： 3 1 0.9 0.271= 19 （本小题满分 12 分）如图，一张平行四边形的硬纸片 0 ABC D 中， 1ADBD=， 2AB = 沿它的对角线 BD把 0 BDC 折起，使点 0 C 到达平面 0 ABC D 外点 C 的位置 （）证明：平面 0 ABC D 平面 0 CBC ； （）当二面角 A BD C 为 120时，求 AC 的长 解： （）证明：因为 0 1AD BC
14、BD=， 0 2AB C D=，所以 0 90DBC= 因为折叠过程中， 0 90DBC DBC= =， 所以 DB BC ，又 0 DB BC ，故 DB 平面 0 CBC 又 DB平面 0 ABC D ， 所以平面 0 ABC D 平面 0 CBC （）解法一：如图，由（）知 BCDB ， 0 BCDB ， - 6 - 所以 0 CBC 是二面角 0 CBDC的平面角由已知得， 0 60CBC = 作 0 CF C B ，垂足为 F ， 由 0 1BC BC= 可得 3 2 CF = ， 1 2 BF = 连结 AF ，在 ABF 中， 222 1113 ( 2) ( ) 2 2 cos1
15、35 22 4 AF =+= 因为平面 0 ABC D 平面 0 CBC ， 所以 CF 平面 0 ABC D ，可知 CF AF 在 Rt AFC 中， 22 13 3 2 44 AC AF CF=+=+= 解法二：由已知得 0 90ADB DBC= =以 D为原点，射线 DA， DB分别为 x， y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz 则 (1,0,0)A ， (0,1,0)B ， 0 (1,1,0)C ， (0,0,0)D 由（）知 BCDB ， 0 BCDB ，所以 0 CBC 为二面角 0 CBDC的平面角 由已知可得 0 60CBC =， 所以 13 (,1,) 2
16、2 C 所以 22 13 (1)1()2 22 AC =+ = uuur ， 即 AC 的长为 2 20 （本小题满分 12 分）在数列 n a 中， 1 1a = ， 2 1 1 2(1) nn aa n + = + （）证明数列 2 n a n 是等比数列，并求 n a 的通项公式； （）令 1 1 2 nn n ba a + =，求数列 n b 的前 n项和 n S ； （）求数列 n a 的前 n项和 n T - 7 - 解： （）由条件得 1 22 1 (1) 2 nn aa + = + ，又 1n= 时， 2 1 n a n = ， 故数列 2 n a n 构成首项为 1，公式为
17、1 2 的等比数列从而 21 1 2 n n a n = ，即 2 1 2 n n n a = （）由 22 (1) 21 222 n nnn b + =得 2 35 21 22 2 n n n S + =+ +L ， 23 1 135 212 222 2 2 n nn S + + =+ +L ， 两式相减得 ： 23 1 1311 121 2( ) 2222 22 n nn n S + + =+ + + L ， 所以 25 5 2 n n n S + = （）由 23 1 12 1 ()() 2 nn n Saa a aa a + = + +LL得 11 1 2 nnnn Taa TS +
18、+ = 所以 11 222 nn n TSaa + =+ 2 1 46 12 2 n nn + + = 21 （本小题满分 12 分）已知椭圆 1 C 的中心和抛物线 2 C 的顶点都在坐标原点 O， 1 C 和 2 C 有公共焦点 F ，点 F 在 x 轴正半轴上，且 1 C 的长轴长、短轴长及点 F 到 1 C 右准线的距离 成等比数列 （）当 2 C 的准线与 1 C 右准线间的距离为 15 时，求 1 C 及 2 C 的方程； （） 设过点 F 且斜率为 1 的直线 l交 1 C 于 P ， Q两点， 交 2 C 于 M ， N 两点 当 8MN = 时，求 PQ 的值 解： （）设
19、1 C ： 22 22 1 xy ab +=(0)ab ，其半焦距为 c (0)c 则 2 C ： 2 4y cx= 由条件知 2 2 (2 ) 2 ( ) a bac c =，得 2ac= 1 C 的右准线方程为 2 a x c = ，即 4x c= 2 C 的准线方程为 x c= 由条件知 515c = ， 所以 3c = ，故 6a = ， 33b= - 8 - 从而 1 C ： 22 1 36 27 xy + = ， 2 C ： 2 12y x= （）由题设知 l： yxc=，设 11 (, )M xy， 22 (, )Nx y ， 33 (, )Px y ， 44 (, )Qx y
20、由 2 4ycx yxc = = ，得 22 60 xcxc+=，所以 12 6x xc+ = 而 12 28MNMFFNxx cc=+=+=，由条件 8MN = ，得 1c= 由（）得 2a = ， 3b= 从而， 1 C ： 22 1 43 xy + = ，即 22 3412xy+ = 由 22 3412 1 xy yx += = ，得 2 7880 xx =所以 34 8 7 xx+ = ， 34 8 7 xx = 故 22 34 8824 2( ) 2( ) 4 777 PQ x x= += 22 （本小题满分 14 分）设函数 32 () 2fx x x x= + （）求 ()f x
21、 的单调区间和极值； （）若当 1,2x 时， 3()3af x ，求 ab 的最大值 解： （） 2 ( ) 3 2 1 (3 1)( 1)fx x x x x=+ 于是，当 1 (,1) 3 x 时， ( ) 0fx 故 ()f x 在 1 (,1) 3 单调减少，在 1 (,) 3 ， (1, )+ 单调增加 当 1 3 x= 时， ()f x 取得极大值 159 () 327 f = ； 当 1x = 时， ()f x 取得极小值 (1) 1f = （）根据（）及 (1) 1f =， (2) 4f = ， ()f x 在 1,2 的最大值为 4，最小值为 1 因此，当 1,2x 时， 3() 3af x b +的充要条件是 33 34 3 ab ab + + ， 即 a， b 满足约束条件 - 9 - 3 3 43 43 ab ab ab ab + + + + ， 由线性规划得， ab 的最大值为 7
