1、2008 年普通高等学校统一考试(宁夏卷) 数学(文科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 M = x|(x + 2)(x 1) 0 , N = x| x + 1 x B. x c C. c b D. b c 7、已知 123 0aaa,则使得 2 (1 ) 1 i ax x 输出 x 结束 x=b x=c 否 是 离的取值范围是( ) A. 0, 5 B. 0, 10 C. 5, 10 D. 5, 15 11、函数 () cos2 2sinf xxx=+的最小值和最大值分别为( ) A. 3
2、, 1 B. 2, 2 C. 3, 3 2 D. 2, 3 2 12、已知平面平面, = l,点 A, Al,直线 AB l,直线 AC l,直线 m , m,则下列四种位置关系中,不一定 成立的是( ) A. AB m B. AC m C. AB D. AC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13、已知 a n 为等差数列, a 3 + a 8 = 22, a 6 = 7,则 a 5 = _ 14、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 _ 15、过椭圆 22
3、 1 54 xy +=的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、 B 两点, O 为坐标 原点,则 OAB 的面积为_ 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位: mm) ,结果如下: 由以上数据设计了如下茎叶图: 甲 乙 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 根据以上茎叶图,对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: _ _ 甲品 种:
4、271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品 种: 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 _ _ 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) 如图, ACD 是等边三角形, ABC 是等腰直角三角形
5、, ACB=90, BD 交 AC 于 E, AB=2。 ( 1)求 cos CBE 的值; ( 2)求 AE。 18、 (本小题满分 12 分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直 观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位: cm) 。 ( 1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; ( 2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; ( 3)在所给直观图中连结 BC ,证明: BC 面 EFG。 E D C BA 2 2 4 侧视图正视图 6 2 4 G E F C B D C A B D 19、 (本小题满分 12 分)为了了解中华人民共和国道路交通安全法在
6、学生中的普及情况, 调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查, 6 人得分情况如下: 5, 6, 7, 8, 9, 10。把 这 6 名学生的得分看成一个总体。 ( 1)求该总体的平均数; ( 2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本。求该 样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。 20、 (本小题满分 12 分) 已知 m R,直线 l: 2 (1)4mx m y m+=和圆 C: 22 84160 xy xy+ +=。 ( 1)求直线 l 斜率的取值范围; ( 2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 1 2 的两段圆弧?为什么?
7、21、 (本小题满分 12 分) 设函数 () b fx ax x = ,曲线 ()y fx= 在点 (2, (2)f 处的切线方程为 74120 xy=。 ( 1)求 ()y fx= 的解析式; ( 2)证明:曲线 ()y fx= 上任一点处的切线与直线 0 x = 和直线 y x= 所围成的三角形 面积为定值,并求此定值。 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22、 (本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A,过 A 点作直线 AP
8、 垂直直线 OM, 垂足为 P。 ( 1)证明: OM OP = OA 2 ; ( 2) N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交 直线 ON 于 K。证明: OKM = 90。 23、 (本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程 已知曲线 C 1 : cos () sin x y = = 为参数 ,曲线 C 2 : 2 2 2 () 2 2 xt t yt = = 为参数 。 ( 1)指出 C 1 , C 2 各是什么曲线,并说明 C 1 与 C 2 公共点的个数; ( 2)若把 C 1 , C 2 上各点的纵坐标都压缩为原来
9、的一半,分别得到曲线 1 C , 2 C 。写出 1 C , 2 C 的参数方程。 1 C 与 2 C 公共点的个数和 C 1 与 C 2 公共点的个数是否相同? 说明你的理由。 K B P A O M N 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 文科数学试题参考答案和评分参考 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 工考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半;如果后继部
10、分的解答有较严重的错误,就不再给分 3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题: 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 A 7 B 8 C 9 D 10 B 11 C 12 D 二、填空题: 13 15 14 4 3 15 5 3 16 ( 1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤 维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) ( 2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散 (或:乙品种棉花的纤维长度 较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花 的纤维长度
11、的分散程度更大) ( 3) 甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm, 乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm ( 4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) 甲品种棉 花的纤维长度除一个特殊值( 352)外,也大致对称,其分布较均匀 注:上面给出了四个结论如果考生写出其他正确答案,同样给分 三、解答题 17解: ()因为 90 60 150BCD =+= oo o , CB AC CD= = , 所以 15CBE = o 所以 62 cos cos(45 30 ) 4 CBE + = oo 6 分 ()在 ABE 中, 2AB = , 由正弦定理 2 sin
12、(45 15 ) sin(90 15 ) AE = + oo oo 故 2sin30 cos15 AE = o o 1 2 2 62 4 = + 62= 12 分 18解: ()如图 3 分 ()所求多面体体积 VV V= 长方体 正三棱锥 11 446 22 2 32 = 2 284 (cm ) 3 = 7 分 ()证明:在长方体 ABCD A B C D 中, 连结 AD,则 ADBC 因为 E G, 分别为 AA, A D中点, 所以 ADEG , 从而 EGBC 又 BC平面 EFG , 所以 BC 面 EFG 12 分 19解: ()总体平均数为 1 (5 6 7 8 9 10) 7
13、.5 6 + = 4 分 ()设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有: (5 6), , (5 7), , (5 8), , (5 9), , (5 10), , (6 7), , (6 8), , (6 9), , (6 10), , (7 8), , (7 9), , (7 10), , (8 9), , (8 10), , (9 10), 共 15 个基本结果 事件 A 包括的基本结果有: (5 9), , (5 10), , (6 8), , (6 9), , (6 10), , (7 8), , (7 9),
14、 共 有 7 个基本结果 所以所求的概率为 4 6 4 2 2 2 4 6 2 2 (俯视图) (正视图) (侧视图) A B C D E F G A B C D 7 () 15 PA= 12 分 20解: ()直线 l 的方程可化为 22 4 11 mm yx mm = + + , 直线 l 的斜率 2 1 m k m = + , 2 分 因为 2 1 (1) 2 mm+ , 所以 2 1 12 m k m = + ,当且仅当 1m = 时等号成立 所以,斜率 k 的取值范围是 11 22 , 5 分 ()不能 6 分 由()知 l 的方程为 (4)ykx=,其中 1 2 k 圆 C 的圆心
15、为 (4 2)C , ,半径 2r = 圆心 C 到直线 l 的距离 2 2 1 d k = + 9 分 由 1 2 k ,得 4 1 5 d ,即 2 r d 从而,若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得 的弦所对的圆心角小于 2 3 所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 1 2 的两段弧 12 分 21解: ()方程 74120 xy =可化为 7 3 4 yx= 当 2x = 时, 1 2 y = 2 分 又 2 () b fx a x =+ , 于是 1 2 22 7 44 b a b a = += , , 解得 1 3. a b = = , 故 3 ()fx x x
16、 = 6 分 ()设 00 ()Px y, 为曲线上任一点,由 2 3 1y x =+ 知曲线在点 00 ()Px y, 处的切线方 程为 002 0 3 1()yy xx x =+ , 即 002 00 33 1()yx xx xx =+ 令 0 x = 得 0 6 y x = ,从而得切线与直线 0 x = 的交点坐标为 0 6 0 x , 令 yx= 得 0 2y xx= ,从而得切线与直线 yx= 的交点坐标为 00 (2 2 )x x, 10 分 所以点 00 ()Px y, 处的切线与直线 0 x = , yx= 所围成的三角形面积为 0 16 26 2 x x = 故曲线 ()y
17、fx= 上任一点处的切线与直线 0 x = , yx= 所围成的三角形的面积为定 值,此定值为 6 12 分 22解: ()证明:因为 MA是圆 O 的切线,所以 OA AM 又因为 APOM ,在 Rt OAM 中,由射影定理知, 2 OA OM OP= g 5 分 ()证明:因为 BK 是圆 O 的切线, BNOK 同() ,有 2 OB ON OK= g ,又 OB OA= , 所以 OP OM ON OK=gg,即 ON OM OP OK = 又 NOP MOK= , 所以 ONP OMK ,故 90OKM OPN= o 10 分 23解: () 1 C 是圆, 2 C 是直线 2 分
18、 1 C 的普通方程为 22 1xy+=,圆心 1 (0 0)C , ,半径 1r = 2 C 的普通方程为 20 xy+ = 因为圆心 1 C 到直线 20 xy+ =的距离为 1, 所以 2 C 与 1 C 只有一个公共点 4 分 ()压缩后的参数方程分别为 1 C : cos 1 sin 2 x y = = , ( 为参数) 2 C : 2 2 2 2 4 xt yt = = , ( t 为参数) 8 分 化为普通方程为: 1 C : 22 41xy+=, 2 C : 12 22 yx=+, 联立消元得 2 22210 xx+=, 其判别式 2 (2 2) 4 2 1 0= = , 所以压缩后的直线 2 C 与椭圆 1 C 仍然只有一个公共点,和 1 C 与 2 C 公共点个数相同 10 分