1、2008 年普通高等学校统一考试（宁夏卷） 数学（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 M = x|(x + 2)(x 1) 0 ， N = x| x + 1 x B. x c C. c b D. b c 7、已知 123 0aaa，则使得 2 (1 ) 1 i ax x 输出 x 结束 x=b x=c 否 是 离的取值范围是（ ） A. 0， 5 B. 0， 10 C. 5， 10 D. 5， 15 11、函数 () cos2 2sinf xxx=+的最小值和最大值分别为（ ） A. 3
2、， 1 B. 2， 2 C. 3， 3 2 D. 2， 3 2 12、已知平面平面， = l，点 A， Al，直线 AB l，直线 AC l，直线 m ， m，则下列四种位置关系中，不一定 成立的是（ ） A. AB m B. AC m C. AB D. AC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13、已知 a n 为等差数列， a 3 + a 8 = 22， a 6 = 7，则 a 5 = _ 14、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上，且该六棱柱的高为 3 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _ 15、过椭圆 22
3、 1 54 xy +=的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、 B 两点， O 为坐标 原点，则 OAB 的面积为_ 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位： mm） ，结果如下： 由以上数据设计了如下茎叶图： 甲 乙 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： _ _ 甲品 种：
4、271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品 种： 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 _ _ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17、 （本小题满分 12 分） 如图， ACD 是等边三角形， ABC 是等腰直角三角形
5、， ACB=90， BD 交 AC 于 E， AB=2。 （ 1）求 cos CBE 的值； （ 2）求 AE。 18、 （本小题满分 12 分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直 观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位： cm） 。 （ 1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （ 2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积； （ 3）在所给直观图中连结 BC ，证明： BC 面 EFG。 E D C BA 2 2 4 侧视图正视图 6 2 4 G E F C B D C A B D 19、 （本小题满分 12 分）为了了解中华人民共和国道路交通安全法在
6、学生中的普及情况， 调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查， 6 人得分情况如下： 5， 6， 7， 8， 9， 10。把 这 6 名学生的得分看成一个总体。 （ 1）求该总体的平均数； （ 2）用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分组成一个样本。求该 样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。 20、 （本小题满分 12 分） 已知 m R，直线 l： 2 (1)4mx m y m+=和圆 C： 22 84160 xy xy+ +=。 （ 1）求直线 l 斜率的取值范围； （ 2）直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 1 2 的两段圆弧？为什么？
7、21、 （本小题满分 12 分） 设函数 () b fx ax x = ，曲线 ()y fx= 在点 (2, (2)f 处的切线方程为 74120 xy=。 （ 1）求 ()y fx= 的解析式； （ 2）证明：曲线 ()y fx= 上任一点处的切线与直线 0 x = 和直线 y x= 所围成的三角形 面积为定值，并求此定值。 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22、 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A 点作直线 AP
8、 垂直直线 OM， 垂足为 P。 （ 1）证明： OM OP = OA 2 ； （ 2） N 为线段 AP 上一点，直线 NB 垂直直线 ON，且交圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交 直线 ON 于 K。证明： OKM = 90。 23、 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C 1 ： cos () sin x y = = 为参数 ，曲线 C 2 ： 2 2 2 () 2 2 xt t yt = = 为参数 。 （ 1）指出 C 1 ， C 2 各是什么曲线，并说明 C 1 与 C 2 公共点的个数； （ 2）若把 C 1 ， C 2 上各点的纵坐标都压缩为原来
9、的一半，分别得到曲线 1 C ， 2 C 。写出 1 C ， 2 C 的参数方程。 1 C 与 2 C 公共点的个数和 C 1 与 C 2 公共点的个数是否相同？ 说明你的理由。 K B P A O M N 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷） 文科数学试题参考答案和评分参考 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 工考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半；如果后继部
10、分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题： 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 A 7 B 8 C 9 D 10 B 11 C 12 D 二、填空题： 13 15 14 4 3 15 5 3 16 （ 1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤 维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度） （ 2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散 （或：乙品种棉花的纤维长度 较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定） 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花 的纤维长度
11、的分散程度更大） （ 3） 甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm， 乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm （ 4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近） 甲品种棉 花的纤维长度除一个特殊值（ 352）外，也大致对称，其分布较均匀 注：上面给出了四个结论如果考生写出其他正确答案，同样给分 三、解答题 17解： （）因为 90 60 150BCD =+= oo o ， CB AC CD= = ， 所以 15CBE = o 所以 62 cos cos(45 30 ) 4 CBE + = oo 6 分 （）在 ABE 中， 2AB = ， 由正弦定理 2 sin
12、(45 15 ) sin(90 15 ) AE = + oo oo 故 2sin30 cos15 AE = o o 1 2 2 62 4 = + 62= 12 分 18解： （）如图 3 分 （）所求多面体体积 VV V= 长方体 正三棱锥 11 446 22 2 32 = 2 284 (cm ) 3 = 7 分 （）证明：在长方体 ABCD A B C D 中， 连结 AD，则 ADBC 因为 E G， 分别为 AA， A D中点， 所以 ADEG ， 从而 EGBC 又 BC平面 EFG ， 所以 BC 面 EFG 12 分 19解： （）总体平均数为 1 (5 6 7 8 9 10) 7
13、.5 6 + = 4 分 （）设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有： (5 6)， ， (5 7)， ， (5 8)， ， (5 9)， ， (5 10)， ， (6 7)， ， (6 8)， ， (6 9)， ， (6 10)， ， (7 8)， ， (7 9)， ， (7 10)， ， (8 9)， ， (8 10)， ， (9 10)， 共 15 个基本结果 事件 A 包括的基本结果有： (5 9)， ， (5 10)， ， (6 8)， ， (6 9)， ， (6 10)， ， (7 8)， ， (7 9)，
14、 共 有 7 个基本结果 所以所求的概率为 4 6 4 2 2 2 4 6 2 2 （俯视图） （正视图） （侧视图） A B C D E F G A B C D 7 () 15 PA= 12 分 20解： （）直线 l 的方程可化为 22 4 11 mm yx mm = + + ， 直线 l 的斜率 2 1 m k m = + ， 2 分 因为 2 1 (1) 2 mm+ ， 所以 2 1 12 m k m = + ，当且仅当 1m = 时等号成立 所以，斜率 k 的取值范围是 11 22 ， 5 分 （）不能 6 分 由（）知 l 的方程为 (4)ykx=，其中 1 2 k 圆 C 的圆心
15、为 (4 2)C ， ，半径 2r = 圆心 C 到直线 l 的距离 2 2 1 d k = + 9 分 由 1 2 k ，得 4 1 5 d ，即 2 r d 从而，若 l 与圆 C 相交，则圆 C 截直线 l 所得 的弦所对的圆心角小于 2 3 所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 1 2 的两段弧 12 分 21解： （）方程 74120 xy =可化为 7 3 4 yx= 当 2x = 时， 1 2 y = 2 分 又 2 () b fx a x =+ ， 于是 1 2 22 7 44 b a b a = += ， ， 解得 1 3. a b = = ， 故 3 ()fx x x
16、 = 6 分 （）设 00 ()Px y， 为曲线上任一点，由 2 3 1y x =+ 知曲线在点 00 ()Px y， 处的切线方 程为 002 0 3 1()yy xx x =+ ， 即 002 00 33 1()yx xx xx =+ 令 0 x = 得 0 6 y x = ，从而得切线与直线 0 x = 的交点坐标为 0 6 0 x ， 令 yx= 得 0 2y xx= ，从而得切线与直线 yx= 的交点坐标为 00 (2 2 )x x， 10 分 所以点 00 ()Px y， 处的切线与直线 0 x = ， yx= 所围成的三角形面积为 0 16 26 2 x x = 故曲线 ()y
17、fx= 上任一点处的切线与直线 0 x = ， yx= 所围成的三角形的面积为定 值，此定值为 6 12 分 22解： （）证明：因为 MA是圆 O 的切线，所以 OA AM 又因为 APOM ，在 Rt OAM 中，由射影定理知， 2 OA OM OP= g 5 分 （）证明：因为 BK 是圆 O 的切线， BNOK 同（） ，有 2 OB ON OK= g ，又 OB OA= ， 所以 OP OM ON OK=gg，即 ON OM OP OK = 又 NOP MOK= ， 所以 ONP OMK ，故 90OKM OPN= o 10 分 23解： （） 1 C 是圆， 2 C 是直线 2 分
18、 1 C 的普通方程为 22 1xy+=，圆心 1 (0 0)C ， ，半径 1r = 2 C 的普通方程为 20 xy+ = 因为圆心 1 C 到直线 20 xy+ =的距离为 1， 所以 2 C 与 1 C 只有一个公共点 4 分 （）压缩后的参数方程分别为 1 C ： cos 1 sin 2 x y = = ， （ 为参数） 2 C ： 2 2 2 2 4 xt yt = = ， （ t 为参数） 8 分 化为普通方程为： 1 C ： 22 41xy+=， 2 C ： 12 22 yx=+， 联立消元得 2 22210 xx+=， 其判别式 2 (2 2) 4 2 1 0= = ， 所以压缩后的直线 2 C 与椭圆 1 C 仍然只有一个公共点，和 1 C 与 2 C 公共点个数相同 10 分
