1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（文科）试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第 1 至第 2 页，第卷第 3 至第 4 页全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 考生注意事项： 1 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致 2 答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3 答第卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写在试题卷上作答无效 4
2、 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回 参考公式： 如果事件 AB， 互斥，那么 球的表面积公式 2 4SR= ()()()PA B PA PB+= + 其中 R 表示球的半径 如果事件 AB， 相互独立，那么 球的体积公式 3 4 3 VR= ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 其中 R 表示球的半径 第I卷 （选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 （ 1） 若 A为全体实数的集合， 2, 1,1, 2B = 则下列结论中正确的是（ ） A 2, 1AB=I B ()
3、(,0) R CA B= U C (0, )AB=+U D () 2,1 R CA B= I （ 2） 若 (2,4)AB = uuur ， (1, 3)AC = uuur , 则 BC = uuur （ ） A （ 1， 1） B （ 1， 1） C （ 3， 7） D （ -3,-7） （ 3） 已知 ,mn是两条不同直线， , 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A , 若则 B ,mn mn 若则 C ,mn mn 若则 D ,mm 若则 （ 4） 0a 是方程 ax 2 +1=0 有一个负数根的（ ） A必要不充分条件 B充分必要条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件
4、（ 5） 在三角形 ABC 中， 5, 3, 7AB AC BC=,则 BAC 的大小为（ ） A 2 3 B 5 6 C 3 4 D 3 （ 6） 函数 2 () ( 1) 1( 0)fx x x=+ 的反函数为 A 1 () 1 1( 1)fx x x = B 1 () 1 1( 1)fx x x = + C 1 () 1 1( 2)fx x x = D 1 () 1 1( 2)fx x x = + （ 7） 设 88 01 8 (1 ) ,x aax ax+=+L 则 0, 1 8 ,aa aL 中奇数的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 （ 8） 函数 sin(2 ) 3 y
5、x =+图像的对称轴方程可能是（ ） A 6 x = B 12 x = C 6 x = D 12 x = （ 9） 设函数 1 () 2 1( 0),fx x x x = + +对任意 (0, )a + 都成立， 求实数 x 的取值范围。 （ 21） （本小题满分 12 分） 设数列 n a 满足 * 11 ,1, nn aaa ca ccN + =+其中 a , c 为实数，且 0c （）求数列 n a 的通项公式 （）设 11 , 22 ac=， * (1 ), nn bn anN= ,求数列 n b 的前 n 项和 n S ； （）若 01 n a对任意 * nN 成立，证明 01c其相
6、应于焦点 (2,0)F 的准线方程为 4x = . （）求椭圆 C 的方程； （）已知过点 1 (2,0)F 倾斜角为 的直线交椭圆 C 于 ,A B两点，求证： 2 42 2 AB COS = ; （）过点 1 (2,0)F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于点 A , B 和 D , E ,求 ABDE+ 的最小值 数学（文科）试题参考答案 一 . 选择题 1D 2B 3B 4B 5A 6C 7A 8D 9A 10D 11C 12C 二 . 13: 3, )+ 14: 4 15: 1 16: 4 3 三 . 解答题 17 解： （ 1） ( ) cos(2 ) 2sin( )sin(
7、) 344 fx x x x =+ +Q 13 cos 2 sin 2 (sin cos )(sin cos ) 22 x xxxxx=+ + + 22 13 cos 2 sin 2 sin cos 22 x xx x=+ + 13 cos 2 sin 2 cos 2 22 x xx=+ sin(2 ) 6 x = 2 T 2 =周期 （ 2） 5 ,2 , 12 2 6 3 6 xx Q 因为 () sin(2 ) 6 fx x =在区间 , 12 3 上单调递增，在区间 , 32 上单调递减， 所以 当 3 x = 时， ()f x 取得最大值 1 又 31 () () 12 2 2 2
8、ff =+对任意 (0, )a + 都成立 即 22 (2) 20ax x x+对任意 (0, )a + 都成立 设 22 () ( 2) 2( )ga ax x xa R=+, 则对任意 x R ， ()ga为单调递增函数 ()aR 所以对任意 (0, )a+， () 0ga 恒成立的充分必要条件是 (0) 0g 即 2 20 xx， 20 x 于是 x 的取值范围是 |2 0 xx 方法二 由题设知： 22 3(1) 1ax x a x x a+对任意 (0, )a + 都成立 即 22 (2) 20ax x x+对任意 (0, )a + 都成立 于是 2 2 2 2 x x a x +
9、+ 对任意 (0, )a + 都成立，即 2 2 2 0 2 xx x + + 20 x 于是 x 的取值范围是 |2 0 xx 21 本题主要考查数列的概念，数列通项公式的求法以及不等式的证明等；考查运算能 力，综合运用知识解决问题的能力。本小题满分 12 分。 解 (1) 方法一 ： 1 1( 1) nn aca + = 当 1a 时， 1 n a 是首项为 1a ，公比为 c 的等比数列。 1 1( 1) n n aac = ，即 1 (1) 1 n n aac = +。当 1a = 时， 1 n a = 仍满足上式。 数列 n a 的通项公式为 1 (1) 1 n n aac = +
10、* ()nN 。 方法二 由题设得：当 2n 时， 211 12 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) nn nn n aca ca ca ac = = = =L 1 (1) 1 n n aac = + 1n = 时， 1 aa= 也满足上式。 数列 n a 的通项公式为 1 (1) 1 n n aac = + * ()nN 。 (2) 由（ 1）得 1 1 (1 ) ( ) 2 nn n bn ac n = = 2 12 11 1 2( ) ( ) 22 2 n nn Sbb b n=+=+ +LL 23 1 111 11 () 2() ( 1)() () 22 22 nn n S
11、n + =+ + +L 21 111 1 1 () () () 222 2 2 nn n + =+ + L 21 11 1 1 1 1 1() ()()2(1()() 22 2 2 2 2 nn nn n Sn =+ + + + = L 1 2(2 )() 2 n n Sn= + (3) 证明：由（ 1）知 1 (1) 1 n n aac = + 若 1 0( 1) 11 n ac +，则 1 0(1 ) 1 n ac 1 01,aa= 1* 1 0() 1 n cnN a 对任意 * nN 成立，知 0c 。 下证 1c ，用反证法 方法一 ：假设 1c ，由函数 () x f xc= 的函
12、数图象知，当 n 趋于无穷大时， 1n c 趋 于无穷大 1 1 1 n a c 不能对 * nN 恒成立，导致矛盾。 1c 。 01c ， 1 1 1 n c a ， 1 1 log log 1 n cc c a 即 * 1 1log ( ) 1 c nnN a 恒成立 （） ,ac 为常数， （）式对 * nN 不能恒成立，导致矛盾， 1c 01c 22 本题主要考查直线的方程、椭圆的方程和性质、直线与椭圆的位置关系等知识，考试 数形结合的数学思想以及运算能力和综合解题能力。本小题满分 14 分。 解 ： （ 1） 由题意得： 2 2 2 222 2 8 4 4 c a a c b abc
13、 = = = = =+ 椭圆 C 的方程为 22 1 84 xy + = (2)方法一： 由（ 1）知 1 (2,0)F 是椭圆 C 的左焦点，离心率 2 2 e = 设 l 为椭圆的左准线。则 :4lx= 作 1111 ,AA l A BB l B于于， l 与 x 轴交于点 H(如图 ) 点 A 在椭圆上 11 2 2 AF AA= 11 2 (cos) 2 FH AF =+ 1 2 2cos 2 AF =+ 1 2 2cos AF = 同理 1 2 2cos BF = + 11 2 224 2cos 2 cos 2 cos AB AF BF =+= + = + 。 方法二： 当 2 时，
14、记 tank = ，则 :(2)AB y k x= + 将其代入方程 22 28xy+= 得 22 2 2 (1 2 ) 8 8( 1) 0kx kx k+= 设 11 2 2 (, ),(, )Ax y Bx y ，则 12 ,x x 是此二次方程的两个根 . 22 12 12 88(1) ,. 12 12 kk xx xx += = + 222222 12 12 12 12 12 ( ) ( ) (1 )( ) (1 )( ) 4 ABxx yy kxx kxx x=+=+ =+ + 22 2 22 8 32( 1) 4 2(1 ) (1 )( ) 12 12 12 kk k k + =+ = + .(1) 22 tan ,k = 代入（ 1）式得 2 42 2cos AB = .(2) 当 2 = 时， 22AB = 仍满足（ 2）式。 2 42 2cos AB = （ 3） 设直线 AB 的倾斜角为 ，由于 ,DE AB 由（ 2）可得 2 42 2cos AB = ， 2 42 2sin DE = 22 22 2 42 42 122 122 1 2cos 2sin 2sin cos 2sin 4 AB DE += + = = + + 当 3 44 =或 时， AB DE+ 取得最小值 16 2 3
