1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（供文科考生使用） 第卷（选择题 共 60 分） 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4R 2 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P(AB)=P(A) P(B) 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 V= 4 3 R 3 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R
2、表示球的半径 P n (k)=C k n P k (1-p) n-k (k=0,1,2,n) () (1 ) ( 012 ) kk nk nn Pk CP p k n =L， ， ， 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知集合 31Mx x=， 3Nxx= ，则 M N =U （ ） A B 3xx C 1xx D 1xx 2若函数 (1)( )yx xa=+ 为偶函数，则 a=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 3圆 22 1xy+=与直线 2y kx=+没有 公共点的充要条件是
3、（ ） A (22)k ， B (33)k ， C (2)(2)k +U， ， D (3)(3)k +U， ， 4 已知 01a B zyx C yxz D zxy 5已知四边形 ABCD的三个顶点 (0 2)A ， ， (1 2)B ， ， (31)C ， ，且 2BCAD= uuur uuur ，则顶点 D 的坐标为（ ） A 7 2 2 ， B 1 2 2 ， C (3 2)， D (1 3)， 6设 P 为曲线 C： 2 23y xx=+上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 0 4 ， ，则点 P 横坐标的取值范围为（ ） A 1 1 2 ， B 10 ， C 01，
4、 D 1 1 2 ， 7 4 张卡片上分别写有数字 1， 2， 3， 4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡 片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 8将函数 21 x y =+的图象按向量 a 平移得到函数 1 2 x y + = 的图象，则（ ） A (1 1)=，a B (1 1)=，a C (1 1)= ，a D (11)=，a 9已知变量 x y， 满足约束条件 10 310 10 yx yx yx + + ， ， ， 则 2zxy= + 的最大值为（ ） A 4 B 2 C 1 D 4 10一生产过程有 4 道工序，每
5、道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等 6 名工人中安 排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从 甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有（ ） A 24 种 B 36 种 C 48 种 D 72 种 11已知双曲线 222 91(0)ymx m=的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 1 5 ，则 m = （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12在正方体 111 1 ABCD A B C D 中， EF， 分别为棱 1 AA ， 1 CC 的中点，则在空间中与三 条直线 11 AD， EF ， CD都相交的直线（ ） A不存在 B有且只
6、有两条 C有且只有三条 D有无数条 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13函数 21 () x ye x + =+的反函数是 14在体积为 43的球的表面上有 A、 B， C 三点， AB=1， BC= 2 ， A， C 两点的球面距 离为 3 3 ，则球心到平面 ABC 的距离为 _ 15 6 3 2 1 (1 )xx x + 展开式中的常数项为 16设 0 2 x ， ，则函数 2 2sin 1 sin 2 x y x + = 的最小值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本
7、小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 ABC， 对边的边长分别是 abc， ，已知 2c = ， 3 C = （）若 ABC 的面积等于 3 ，求 ab， ； （）若 sin 2sinB A= ，求 ABC 的面积 18 （本小题满分 12 分） 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下 表所示： 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 （）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率； （）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 （） 4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率； （）该种商品 4
8、 周的销售量总和至少为 15 吨的概率 19 （本小题满分 12 分） 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 中， AP=BQ=b（ 0b ，求 b 的取值范围 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供文科考生使用）试题 参考答案和评分参考 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，共 60 分 1 D 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 C 8 A 9 B 10 B 11 D 12 D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分 13 1 (ln 1)( 0) 2 yxx= 14 3 2 15 35 16 3
9、 三、解答题 17本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力满分 12 分 解： （）由余弦定理得， 22 4abab+=， 又因为 ABC 的面积等于 3 ，所以 1 sin 3 2 ab C = ，得 4ab = 4 分 联立方程组 22 4 4 abab ab += = ， ， 解得 2a = ， 2b = 6 分 （）由正弦定理，已知条件化为 2ba= ， 8 分 联立方程组 22 4 2 abab ba += = ， ， 解得 23 3 a = ， 43 3 b = 所以 ABC 的面积 123 sin 23 SabC= 12 分 18本小题主要考查频率、概率等基础知
10、识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分 解： （）周销售量为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2， 0.5 和 0.3 4 分 （）由题意知一周的销售量为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2， 0.5 和 0.3，故所求的 概率为 （） 4 1 1 0.7 0.7599P = = 8 分 （） 334 24 0.5 0.3 0.3 0.0621PC= + = 12 分 19本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能 力与逻辑思维能力满分 12 分 解法一： （）证明：在正方体中， ADAD ， ADAB ，又由已知可得 P
11、F A D ， PH AD ， PQ AB ， 所以 PH PF ， PH PQ ， 所以 PH 平面 PQEF 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分 （）证明：由（）知 22PF AP PH PA=， ，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且 PQ=1，所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是 (2 2 ) 2AP PA PQ+=，是定值 8 分 （）解：设 AD交 PF 于点 N ，连结 EN ， 因为 AD平面 PQEF ， 所以 DEN 为 DE 与平面 PQEF 所成的角 因为 1 2 b = ，所以 PQEF， 分别为 AA， BB， BC ，
12、AD 的中点 可知 32 4 DN = ， 3 2 DE = 所以 32 2 4 sin 3 2 2 DEN = 12 分 解法二： 以 D 为原点，射线 DA， DC， DD分别为 x， y， z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 D xyz由已知得 1DF b=，故 (1 0 0)A ， ， ， (1 0 1)A ， ， ， (000)D ， ， ， (0 0 1)D ， ， ， (1 0 )Pb， ， ， (1 1 )Qb， ， ， (1 1 0)Eb ， ， ， (1 0 0)Fb ， ， ， (11)Gb， ， ， (01)Hb， ， （）证明：在所建立的坐标系中，可得 (0 1
13、0) ( 0 )PQ PF b b= uuur uuur ， ， ， ， ， (101)PH b b= uuur ， ， ， (101) (10 1)AD A D= = uuuur uuuur ， ， ， ， 因为 00AD PQ AD PF= uuuur uuur uuuur uuur nullnull， ，所以 AD uuuur 是平面 PQEF 的法向量 因为 00AD PQ AD PH= uuuur uuur uuuur uuur nullnull， ，所以 A D uuuur 是平面 PQGH 的法向量 A B C D E F P Q H A B C D y x z G A B C
14、D EF P Q H A B C D G N 因为 0AD A D= uuuur uuuur null ，所以 A DAD uuuur uuuur ， 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分 （）证明：因为 (0 1 0)EF = uuur ， ，所以 EFPQEFPQ uuuur uuuur uuuruur ，= ，又 PF PQ uuur uuur ，所以 PQEF 为矩形，同理 PQGH 为矩形 在所建立的坐标系中可求得 2(1 )PH b= uuuur ， 2PF b= uuuur ， 所以 2PH PF+= uuuur uuuur ，又 1PQ = uuuur ， 所
15、以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 2 ，是定值 8 分 （）解：由（）知 (101)AD= uuuur ， ， 是平面 PQEF 的法向量 由 P 为 AA中点可知， QEF， 分别为 BB， BC ， AD 的中点 所以 1 10 2 E ， ， ， 1 11 2 DE = uuuur ， ， ，因此 DE 与平面 PQEF 所成角的正弦值等于 2 |cos | 2 AD D E= uuuur uuuur ， 12 分 20本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，考查综合运用数学知识解决问 题的能力满分 12 分 解： （） n c 是等比数列 2 分 证明：设 n
16、a 的公比为 11 (0)qq ， n b 的公比为 22 (0)qq ，则 11 1 2 111 0 nnnnn nnnnn cbabaq cabba q + + + = =nullnull ，故 n c 为等比数列 5 分 （）数列 ln n a 和 ln n b 分别是公差为 1 ln q 和 2 ln q 的等差数列 由条件得 11 12 (1) ln ln 2 2 (1) 21 ln ln 2 nn na q nn n nb q + = + + ，即 11 12 2ln ( 1)ln 2ln ( 1)ln 2 1 an q n bn q n + = + + 7 分 故对 1n = ，
17、 2 ， 2 12 11 12 11 (2ln ln ) (4ln ln 2ln ln ) (2ln ln ) 0qqn aq bqn aq+= 于是 12 11 1 2 11 2ln ln 0 4ln ln 2ln ln 0 2ln ln 0. qq aq bq aq = += = ， ， 将 1 2a = 代入得 1 4q = ， 2 16q = ， 1 8b = 10 分 从而有 1 1 816 4 24 n n n n c = null null 所以数列 n c 的前 n 项和为 2 4 44 4 (4 1) 3 nn += 12 分 21本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程
18、及直线与椭圆位置关系等基础知识， 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 12 分 解： （）设 P（ x， y） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 (0 3) (0 3)， 为焦点，长半 轴为 2 的椭圆它的短半轴 22 2(3)1b = =， 故曲线 C 的方程为 2 2 1 4 y x += 4 分 （）设 11 2 2 ()( )Ax y Bx y， ， ，其坐标满足 2 2 1 4 1. y x ykx += =+ ， 消去 y 并整理得 22 (4)230kxkx+ +=， 故 12 1222 23 44 k xx xx kk += = + ， 6 分 OA OB u
19、uur uuur ，即 12 12 0 xx yy+ = 而 2 12 12 1 2 ()1yy k xx k x x=+， 于是 22 2 12 12 222 2 33 2 41 1 444 4 kk k xx yy kkk k + += += + + 所以 1 2 k = 时， 12 12 0 xx yy+=，故 OA OB uuur uuur 8 分 当 1 2 k = 时， 12 4 17 xx+=m ， 12 12 17 xx = 2222 21 21 21 ()( )(1)()ABxxyy kxx=+=+ uuuur ， 而 22 21 21 12 ()()4x xxxx=+ 23
20、 22 443413 4 17 17 17 =+ = ， 所以 465 17 AB = uuuur 12 分 22本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究 函数的有关性质的能力满分 14 分 解： 22 () 3 2 3f xaxbxa =+ 2 分 （）当 1a = 时， 2 () 3 2 3f xxbx =+； 由题意知 12 x x， 为方程 2 3230 xbx+=的两根，所以 2 12 436 3 b xx + = 由 12 2xx=，得 0b = 4 分 从而 2 () 3 1f xx x=+， 2 () 3 3 3( 1)( 1)fx x x
21、x =+ 当 (11)x， 时， () 0fx 故 ()f x 在 (11) ， 单调递减，在 (1)， ， (1 )+， 单调递增 6 分 （）由式及题意知 12 x x， 为方程 22 3230 xbxa+ =的两根， 所以 23 12 436 3 ba xx a + = 从而 22 12 29(1)x xbaa= ， 由上式及题设知 01a 8 分 考虑 23 () 9 9ga a a=， 2 2 ( ) 18 27 27 3 ga a a aa = = 10 分 故 ()ga在 2 0 3 ， 单调递增，在 2 1 3 ， 单调递减，从而 ()ga在 ( 01， 的极大值为 24 33 g = 又 ()ga在 ( 01， 上只有一个极值，所以 24 33 g = 为 ()ga在 ( 01， 上的最大值，且最小值为 (1) 0g = 所以 2 4 0 3 b ， ，即 b 的取值范围为 2323 33 ， 14 分
