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    2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-辽宁卷.pdf

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    2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-辽宁卷.pdf

    1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数 学(供文科考生使用) 第卷(选择题 共 60 分) 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分。第卷 1 至 2 页,第卷 3 至 4 页。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 如果事件 A、 B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4R 2 如果事件 A、 B 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径 P(AB)=P(A) P(B) 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 V= 4 3 R 3 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R

    2、表示球的半径 P n (k)=C k n P k (1-p) n-k (k=0,1,2,n) () (1 ) ( 012 ) kk nk nn Pk CP p k n =L, , , 其中 R 表示球的半径 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1已知集合 31Mx x=, 3Nxx= ,则 M N =U ( ) A B 3xx C 1xx D 1xx 2若函数 (1)( )yx xa=+ 为偶函数,则 a=( ) A 2 B 1 C 1 D 2 3圆 22 1xy+=与直线 2y kx=+没有 公共点的充要条件是

    3、( ) A (22)k , B (33)k , C (2)(2)k +U, , D (3)(3)k +U, , 4 已知 01a B zyx C yxz D zxy 5已知四边形 ABCD的三个顶点 (0 2)A , , (1 2)B , , (31)C , ,且 2BCAD= uuur uuur ,则顶点 D 的坐标为( ) A 7 2 2 , B 1 2 2 , C (3 2), D (1 3), 6设 P 为曲线 C: 2 23y xx=+上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 0 4 , ,则点 P 横坐标的取值范围为( ) A 1 1 2 , B 10 , C 01,

    4、 D 1 1 2 , 7 4 张卡片上分别写有数字 1, 2, 3, 4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡 片上的数字之和为奇数的概率为( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 8将函数 21 x y =+的图象按向量 a 平移得到函数 1 2 x y + = 的图象,则( ) A (1 1)=,a B (1 1)=,a C (1 1)= ,a D (11)=,a 9已知变量 x y, 满足约束条件 10 310 10 yx yx yx + + , , , 则 2zxy= + 的最大值为( ) A 4 B 2 C 1 D 4 10一生产过程有 4 道工序,每

    5、道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等 6 名工人中安 排 4 人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人,第四道工序只能从 甲、丙两工人中安排 1 人,则不同的安排方案共有( ) A 24 种 B 36 种 C 48 种 D 72 种 11已知双曲线 222 91(0)ymx m=的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 1 5 ,则 m = ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 12在正方体 111 1 ABCD A B C D 中, EF, 分别为棱 1 AA , 1 CC 的中点,则在空间中与三 条直线 11 AD, EF , CD都相交的直线( ) A不存在 B有且只

    6、有两条 C有且只有三条 D有无数条 第卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13函数 21 () x ye x + =+的反函数是 14在体积为 43的球的表面上有 A、 B, C 三点, AB=1, BC= 2 , A, C 两点的球面距 离为 3 3 ,则球心到平面 ABC 的距离为 _ 15 6 3 2 1 (1 )xx x + 展开式中的常数项为 16设 0 2 x , ,则函数 2 2sin 1 sin 2 x y x + = 的最小值为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 (本

    7、小题满分 12 分) 在 ABC 中,内角 ABC, 对边的边长分别是 abc, ,已知 2c = , 3 C = ()若 ABC 的面积等于 3 ,求 ab, ; ()若 sin 2sinB A= ,求 ABC 的面积 18 (本小题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结果如下 表所示: 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 ()根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨, 3 吨和 4 吨的频率; ()若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 () 4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率; ()该种商品 4

    8、 周的销售量总和至少为 15 吨的概率 19 (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 中, AP=BQ=b( 0b ,求 b 的取值范围 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供文科考生使用)试题 参考答案和评分参考 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分,共 60 分 1 D 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 C 8 A 9 B 10 B 11 D 12 D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分,满分 16 分 13 1 (ln 1)( 0) 2 yxx= 14 3 2 15 35 16 3

    9、 三、解答题 17本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识,考查综合计算能力满分 12 分 解: ()由余弦定理得, 22 4abab+=, 又因为 ABC 的面积等于 3 ,所以 1 sin 3 2 ab C = ,得 4ab = 4 分 联立方程组 22 4 4 abab ab += = , , 解得 2a = , 2b = 6 分 ()由正弦定理,已知条件化为 2ba= , 8 分 联立方程组 22 4 2 abab ba += = , , 解得 23 3 a = , 43 3 b = 所以 ABC 的面积 123 sin 23 SabC= 12 分 18本小题主要考查频率、概率等基础知

    10、识,考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分 解: ()周销售量为 2 吨, 3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2, 0.5 和 0.3 4 分 ()由题意知一周的销售量为 2 吨, 3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2, 0.5 和 0.3,故所求的 概率为 () 4 1 1 0.7 0.7599P = = 8 分 () 334 24 0.5 0.3 0.3 0.0621PC= + = 12 分 19本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能 力与逻辑思维能力满分 12 分 解法一: ()证明:在正方体中, ADAD , ADAB ,又由已知可得 P

    11、F A D , PH AD , PQ AB , 所以 PH PF , PH PQ , 所以 PH 平面 PQEF 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分 ()证明:由()知 22PF AP PH PA=, ,又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形,且 PQ=1,所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是 (2 2 ) 2AP PA PQ+=,是定值 8 分 ()解:设 AD交 PF 于点 N ,连结 EN , 因为 AD平面 PQEF , 所以 DEN 为 DE 与平面 PQEF 所成的角 因为 1 2 b = ,所以 PQEF, 分别为 AA, BB, BC ,

    12、AD 的中点 可知 32 4 DN = , 3 2 DE = 所以 32 2 4 sin 3 2 2 DEN = 12 分 解法二: 以 D 为原点,射线 DA, DC, DD分别为 x, y, z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 D xyz由已知得 1DF b=,故 (1 0 0)A , , , (1 0 1)A , , , (000)D , , , (0 0 1)D , , , (1 0 )Pb, , , (1 1 )Qb, , , (1 1 0)Eb , , , (1 0 0)Fb , , , (11)Gb, , , (01)Hb, , ()证明:在所建立的坐标系中,可得 (0 1

    13、0) ( 0 )PQ PF b b= uuur uuur , , , , , (101)PH b b= uuur , , , (101) (10 1)AD A D= = uuuur uuuur , , , , 因为 00AD PQ AD PF= uuuur uuur uuuur uuur nullnull, ,所以 AD uuuur 是平面 PQEF 的法向量 因为 00AD PQ AD PH= uuuur uuur uuuur uuur nullnull, ,所以 A D uuuur 是平面 PQGH 的法向量 A B C D E F P Q H A B C D y x z G A B C

    14、D EF P Q H A B C D G N 因为 0AD A D= uuuur uuuur null ,所以 A DAD uuuur uuuur , 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分 ()证明:因为 (0 1 0)EF = uuur , ,所以 EFPQEFPQ uuuur uuuur uuuruur ,= ,又 PF PQ uuur uuur ,所以 PQEF 为矩形,同理 PQGH 为矩形 在所建立的坐标系中可求得 2(1 )PH b= uuuur , 2PF b= uuuur , 所以 2PH PF+= uuuur uuuur ,又 1PQ = uuuur , 所

    15、以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 2 ,是定值 8 分 ()解:由()知 (101)AD= uuuur , , 是平面 PQEF 的法向量 由 P 为 AA中点可知, QEF, 分别为 BB, BC , AD 的中点 所以 1 10 2 E , , , 1 11 2 DE = uuuur , , ,因此 DE 与平面 PQEF 所成角的正弦值等于 2 |cos | 2 AD D E= uuuur uuuur , 12 分 20本小题主要考查等差数列,等比数列,对数等基础知识,考查综合运用数学知识解决问 题的能力满分 12 分 解: () n c 是等比数列 2 分 证明:设 n

    16、a 的公比为 11 (0)qq , n b 的公比为 22 (0)qq ,则 11 1 2 111 0 nnnnn nnnnn cbabaq cabba q + + + = =nullnull ,故 n c 为等比数列 5 分 ()数列 ln n a 和 ln n b 分别是公差为 1 ln q 和 2 ln q 的等差数列 由条件得 11 12 (1) ln ln 2 2 (1) 21 ln ln 2 nn na q nn n nb q + = + + ,即 11 12 2ln ( 1)ln 2ln ( 1)ln 2 1 an q n bn q n + = + + 7 分 故对 1n = ,

    17、 2 , 2 12 11 12 11 (2ln ln ) (4ln ln 2ln ln ) (2ln ln ) 0qqn aq bqn aq+= 于是 12 11 1 2 11 2ln ln 0 4ln ln 2ln ln 0 2ln ln 0. qq aq bq aq = += = , , 将 1 2a = 代入得 1 4q = , 2 16q = , 1 8b = 10 分 从而有 1 1 816 4 24 n n n n c = null null 所以数列 n c 的前 n 项和为 2 4 44 4 (4 1) 3 nn += 12 分 21本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程

    18、及直线与椭圆位置关系等基础知识, 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 12 分 解: ()设 P( x, y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0 3) (0 3), 为焦点,长半 轴为 2 的椭圆它的短半轴 22 2(3)1b = =, 故曲线 C 的方程为 2 2 1 4 y x += 4 分 ()设 11 2 2 ()( )Ax y Bx y, , ,其坐标满足 2 2 1 4 1. y x ykx += =+ , 消去 y 并整理得 22 (4)230kxkx+ +=, 故 12 1222 23 44 k xx xx kk += = + , 6 分 OA OB u

    19、uur uuur ,即 12 12 0 xx yy+ = 而 2 12 12 1 2 ()1yy k xx k x x=+, 于是 22 2 12 12 222 2 33 2 41 1 444 4 kk k xx yy kkk k + += += + + 所以 1 2 k = 时, 12 12 0 xx yy+=,故 OA OB uuur uuur 8 分 当 1 2 k = 时, 12 4 17 xx+=m , 12 12 17 xx = 2222 21 21 21 ()( )(1)()ABxxyy kxx=+=+ uuuur , 而 22 21 21 12 ()()4x xxxx=+ 23

    20、 22 443413 4 17 17 17 =+ = , 所以 465 17 AB = uuuur 12 分 22本小题主要考查函数的导数,单调性、极值,最值等基础知识,考查综合利用导数研究 函数的有关性质的能力满分 14 分 解: 22 () 3 2 3f xaxbxa =+ 2 分 ()当 1a = 时, 2 () 3 2 3f xxbx =+; 由题意知 12 x x, 为方程 2 3230 xbx+=的两根,所以 2 12 436 3 b xx + = 由 12 2xx=,得 0b = 4 分 从而 2 () 3 1f xx x=+, 2 () 3 3 3( 1)( 1)fx x x

    21、x =+ 当 (11)x, 时, () 0fx 故 ()f x 在 (11) , 单调递减,在 (1), , (1 )+, 单调递增 6 分 ()由式及题意知 12 x x, 为方程 22 3230 xbxa+ =的两根, 所以 23 12 436 3 ba xx a + = 从而 22 12 29(1)x xbaa= , 由上式及题设知 01a 8 分 考虑 23 () 9 9ga a a=, 2 2 ( ) 18 27 27 3 ga a a aa = = 10 分 故 ()ga在 2 0 3 , 单调递增,在 2 1 3 , 单调递减,从而 ()ga在 ( 01, 的极大值为 24 33 g = 又 ()ga在 ( 01, 上只有一个极值,所以 24 33 g = 为 ()ga在 ( 01, 上的最大值,且最小值为 (1) 0g = 所以 2 4 0 3 b , ,即 b 的取值范围为 2323 33 , 14 分


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