1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 文科数学 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知集合 2 |0Axxx=， |0 3Bx x= ，则 ABI 等于（ ） |0 1xx |0 3xx |1 3xx ，则 y x 的取值范围是（ ） (0,2) (0,2 (2, )+ 2, )+ 11如果函数 ()yfx= 的图像如右图 ,那么导函数 ( )yfx= 的图像可能是（ ） 12 双曲线 22 22 1( 0, 0) xy ab ab =的两个焦点为 12 ,FF，若
2、P 为其上一点，且 12 |2|PF PF= ，则双曲线离心率的取值范围为（ ） (1, 3) (1, 3 (3, )+ 3, )+ 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在答题卡的相应位置 13. 9 1 ()x x + 展开式中 3 x 的系数是 （用数字作答） 14.若直线 34 0 xym+=与圆 22 2440 xy xy+ +=没有公共点，则实数 m 的取值范 围是 15.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 16.设 P 是一个数集， 且至少含有两个数， 若对任意 ,ab P ， 都有
3、, a ababab P b + （除 数 0b ） ，则称 P 是一个数域。例如有理数集 Q 是数域，有下列命题： 数域必含有 0，1 两个数； 整数集是数域； 若有理数集 QM ，则数集 M 必为数域； 数域必为无限域。 其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 已知向量 (sin ,cos ), (1, 2),mAAn= ur r 且 0mn = urr 。 （ 1）求 tan A 的值； （ 2）求函数 ( ) cos 2 tan sin ( )f xxA
4、xR=+ 的值域。 18. （本小题满分 12 分） 三人独立破译同一份密码，已知三人各自译出密码的概率分别为 111 , 543 ，且他们是否 破译出密码互不影响。 （ 1）求恰有二人破译出密码的概率； （ 2） “密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由。 19. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC AD,AB AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点。 （ 1）求证： PO平面 ABCD; （ 2）求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值； （ 3
5、）求点 A 到平面 PCD 的距离 20. （本小题满分 12 分） 已知 n a 是正整数组成的数列， 1 1a = ，且点 * 1 (,)( ) nn aa n N + 在函数 2 1yx=+的 图像上： （ 1）求数列 n a 的通项公式； （ 2）若数列 n b 满足 11 1, 2 n a nn bbb + =+，求证： 2 21nn n bb b + + 0，求函数 ()yfx= 在区间 (1,1)aa + 内的极值。 22. （本小题满分 14 分） 如图，椭圆 C: 22 22 1( 0) xy ab ab +=的一个 焦点为 F（ 1， 0）且过点（ 2， 0） 。 （ 1）
6、求椭圆 C 的方程； （ 2）若 AB 为垂直与 x 轴的动弦，直线 l:x=4 与 x 轴交于 N，直线 AF 与 BN 交于点 M. 求证：点 M 恒在椭圆 C 上； 求AMN 面积的最大值。 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 文科数学参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 1 A 2 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 A 9 A 10 D 11 A 12 B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分 13. 84 14. (,0)(10,) +U 15. 9 16. 三、解答题：本大题共
7、 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变、一元二次 函数的最值等基本知识，考查运算能力。满分 12 分。 解： （ 1）由题意得 sin 2cos 0mn A A= = ur r , 因为 cosA 0，所以 tanA=2 （ 2）由（ 1）知 tanA=2 得 2 13 () cos2 2sin 2(sin ) 22 fx x x x=+=+ ,sin 1,1xR x Q 当 1 sin 2 x = ， ()f x 有最大值 3 2 ； 当 sin 1x = ， ()f x 有最小值 3 。 所以所
8、求函数 ()f x 的值域为 3 3, 2 18.解：记“第 i 个人破译出密码”为事件 (1,2,3) i Ai= ，依题意有 123 111 () ,() ,() 543 PA PA PA=且 A 1 ， A 2 ， A 3 相互独立。 （ 1） 设“恰好二人破译出密码”为事件 B,则有： B A 1 A 2 3 A A 1 2 A A 3 + 1 A A 2 A 3 且 A 1 A 2 3 A ， A 1 2 A A 3 ， 1 A A 2 A 3 彼此互斥 于是 P(B)=P(A 1 A 2 3 A )+P（ A 1 2 A A 3 ） +P（ 1 A A 2 A 3 ） 3 1 4
9、1 5 4 3 1 4 3 5 1 3 2 4 1 5 1 + 20 3 . （ 2）设“密码被破译”为事件 C， “密码未被破译”为事件 D，则有： D 1 A 2 A 3 A ，且 1 A ， 2 A ， 3 A 互相独立，则有 P（ D） P（ 1 A ） P（ 2 A ） P（ 3 A ） 3 2 4 3 5 4 5 2 . 而 P（ C） 1-P（ D） 5 3 ，故 P（ C） P（ D） . 所以密码被破译的概率比密码未被破译的概率大 19.解： 解法一： （）证明：在 PA D 中 PA PD， O 为 AD 中点，所以 PO AD. 又侧面 PA D底面 ABCD，平面 PA
10、 D平面 ABCD AD， PO 平面 PA D， 所以 PO平面 ABCD. （）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中， BC AD, AD=2AB=2BC， 有 OD BC 且 OD BC，所以四边形 OBCD 是平行四边形， 所以 OB DC. 由（）知 PO OB， PBO 为锐角， 所以 PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角 . 因为 AD 2AB 2BC 2，在 Rt AOB 中， AB 1， AO 1，所以 OB 2 ， 在 Rt POA 中，因为 AP 2 ， AO 1，所以 OP 1， 在 Rt PBO 中， PB 3 22 =+OBOP , cos PBO= 3 6
11、 3 2 = PB OB , 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 3 6 . ( )由（）得 CD OB 2 ， 在 Rt POC 中， PC 2 22 =+OPOC ， 所以 PC CD DP， S PCD = 4 3 2= 2 3 . 又 S = ,1 2 1 = ABAD 设点 A 到平面 PCD 的距离 h， 由 V P-ACD =V A-PCD ， 得 3 1 S ACD OP 3 1 S PCD h， 即 3 1 1 1 3 1 2 3 h， 解得 h 3 32 . 解法二： （）同解法一， （）以 O 为坐标原点， OPODOC 、 的方向分别为 x 轴、 y 轴、
12、 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 A（ 0， -1， 0） ， B（ 1， -1， 0） ， C（ 1， 0， 0） ， D（ 0， 1， 0） ， P（ 0， 0， 1） . 所以 CD （ -1， 1， 0） ， PB （ t， -1， -1） ， cos PB 、 CD = 3 6 23 11 CDPB CDPB ， 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 3 6 ， （）设平面 PCD 的法向量为 n（ x 0 ,y 0 ,x 0 ） ， 由（）知 CP =（ -1， 0， 1） ， CD （ -1， 1， 0） ， 则 n CP 0，所以 -x 0 +
13、 z 0 =0 , n CD 0， -x 0 + y 0 =0， 即 x 0 =y 0 =z 0 , 取 x 0 =1，得平面的一个法向量为 n=(1,1,1). 又 AC =(1,1,0). 从而点 A 到平面 PCD 的距离 d . 3 32 3 2 = n nAC 20.解： 解法一： （）由已知得 a n+1 =a n +1、即 a n+1 -a n =1，又 a 1 =1, 所以数列 a n 是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列 . 故 a n =1+(a-1) 1=n. ( )由（）知： a n =n 从而 b n+1 -b n =2 n . b n =(b n -b n-1
14、)+(b n-1 -b n-2 )+ +（ b 2 -b 1 ） +b 1 =2 n-1 +2 n-2 + +2+1 21 21 n =2 n -1. 因为 b n b n+2 -b 2 1+n =(2 n -1)(2 n+2 -1)-(2 n-1 -1) 2 =(2 2n+2 -2 n+2 -2 n +1)-(2 2n+2 -2-2 n+1 -1) =-5 2 n +4 2 n =-2 n 0, 所以 b n b n+2 b 2 1+n , 解法二： （）同解法一 . （）因为 b 2 =1, b n b n+2 - b 2 1+n =(b n+1 -2 n )(b n+1 +2 n+1 )
15、- b 2 1+n =2 n+1 b n-1 -2 n b n+1 -2 n 2 n+1 2 n （ b n+1 -2 n+1 ） =2 n （ b n+2 n -2 n+1 ） =2 n （ b n -2 n ） = =2 n （ b 1 -2） =-2 n 0， 所以 b n -b n+2 得 x2 或 x0, 故 f(x)的单调递增区间是（， 0） ， （ 2，） ； 由 f (x)0 得 0x2, 故 f(x)的单调递减区间是（ 0， 2） . ( )由（）得 f (x) 3x(x-2), 令 f (x) 0 得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时， f (x)、 f(x)的变化情况
16、如下表： X (- .0) 0 (0,2) 2 (2,+ ) f (x) + 0 0 f(x) 极大值 极小值 由此可得： 当 0a1 时， f(x)在（ a-1,a+1）内有极大值 f(O)=-2,无极小值； 当 a=1 时， f(x)在（ a-1,a+1）内无极值； 当 1a3 时， f(x)在（ a-1,a+1）内有极小值 f(2) 6，无极大值； 当 a 3 时， f(x)在（ a-1,a+1）内无极值 . 综上得：当 0a1 时， f(x)有极大值 2，无极小值，当 1a3 时， f(x)有极小值 6，无极大 值；当 a=1 或 a 3 时， f(x)无极值 . 22.解： （ 1）
17、由题设 a=2,c=1,从而： 222 3,bac= =所以椭圆 C 的方程为： 22 1 43 xy += （ 2） (i)由题意得 F(1,0),N(4,0). 设 A(m,n),则 B(m,-n)(n 0), 34 22 nm + =1. AF 与 BN 的方程分别为： n(x-1)-(m-1)y=0， n(x-4)-(m-4)y=0. 设 M(x 0 ,y 0 ),则有 n(x 0 -1)-(m-1)y 0 =0, n(x 0 -4)+(m-4)y 0 =0, 由，得 x 0 = 52 3 , 52 85 0 = m n y m m . 所以点 M 恒在椭圆 G 上 . ( )设 AM
18、 的方程为 x=ty+1,代入 34 22 yx + 1 得（ 3t 2 +4） y 2 +6ty-9=0. 设 A(x 1 ,y 1 ),M（ x 2 ， y 2 ） ，则有： y 1 +y 2 = . 43 9 , 43 6 2 21 2 + = + t yy x x |y 1 -y 2 |= . 43 3334 4)( 2 2 21 2 21 + + =+ t t yyyy 令 3t 2 +4= ( 4),则 1 )52(4 936)85( )52(4 12)85( )52( 3 )52(4 )85( )52( 3 )52(4 )85( 34 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2
19、2 22 0 2 0 = + = + = + = + =+ m mm m nm m n m m m n m myx 由于 |y 1 -y 2 | ，）（）（ 4 1 2 11 34 11 34 134 32 因为 4， 0 时，即所以当 04 4 11 , 4 1 1 =t |y 1 -y 2 |有最大值 3，此时 AM 过点 F. AMN 的面积 S AMN= . 2 9 2 3 2 3 y 212121 有最大值yyyyyFN = 解法二： （）同解法一： （） （）由题意得 F(1,0),N(4,0). 设 A(m,n),则 B(m,-n)(n 0), .1 34 22 =+ nm AF 与 BN 的方程分别为： n(x-1)-(m-1)y=0, n(x-4)-(m-4)y=0, 由，得：当 x 52 3 , 52 85 2 5 = = x y n x x m时， . 由代入，得 34 22 yx + =1（ y 0） . 当 x= 5 2 时，由，得： 3 (1)0 2 3 (4)0, 2 nm y nm y = += 解得 0, 0, n y = = 与 a 0 矛盾 . 所以点 M 的轨迹方程为 22 1( 0), 43 xx y+=即点 M 恒在锥圆 C 上 . （）同解法一 .
