1、(1,1) (1,2) (2,2) x=1 O y x 1 y=2 x-y=0 绝密 启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷） 文科数学能力测试 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知 7,6,5,4,3,2=U ， 7,5,4,3=M ， 6,5,4,2=N ，则 ( ) A 6,4=NM .B MNU=U C UMNC u =U)( D. NNMC u =I)( 【答案】B 【解析】由 7,6,5,4,3,2=U ， 7,5,4,3=M ， 6,5,4,2=N ，易知 B 正确. 2
2、“ 21 x ”是“ 3x ”的 ( ) A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 21 x 得 13x ，所以易知选 A. 3已条变量 yx, 满足 ,0 ,2 ,1 yx y x 则 yx+ 的最小值是 ( ) A 4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点 分别为 (1,1), (1, 2), (2, 2), 代入验证知在点 (1,1) 时, x y+ 最小值是 11 2.+ = 故选C. 4.函数 )0()( 2 = xxxf 的反函数是 ( ) )0()(. 1 = xxxfA )
3、0()(. 1 = xxxfB )0()(. 1 = xxxfC )0()(. 21 = xxxfD C1D1 B1 A1 O D C B A 【答案】B 【解析】用特殊点法,取原函数过点 (1,1), 则其反函数过点 (1, 1), 验证知只有答案 B 满足. 也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。 5.已知直线 m,n 和平面 , 满足 , amnm ,则 ( ) .An ,/. nB 或 n nC. ,/. nD 或 n 【答案】D 【解析】易知 D 正确. 6下面不等式成立的是 ( ) A 322 log 2 log 3 log 5 B 3log5log2log
4、 223 C 5log2log3log 232 D 2log5log3log 322 【答案】A 【解析】由 322 log 2 1 log 3 log 5 = ba b y a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相 等，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A (1, 2 B 2, )+ C (1, 2 1+ D 2 1, )+ + 【答案】C 【解析】 2 00 a ex a x c = +Q 2 0 (1) a ex a c = + 2 (1), a aea c + 1 11 1 , a e ce + =+ 2 210,ee 12 12,e + 而双曲线的离心率 1,e (1,
5、 2 1,e +故选. 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在 横线上。 11已知向量 )3,1(=a ， )0,2(=b ，则 | ba+ |=_. 【答案】 【解析】由 (1, 3),| | 1 3 2.ab ab+= += += rr rr Q 12.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人，其生活能否自理的情况如下表所示： 性别 人数 生活能 否自理 男 女 能 178 278 不能 23 21 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 _人。 【答案】60 【解析】由上表得 15000 (23 21) 2 30 60. 500 = 13记
6、n x x ) 1 2( + 的展开式中第 m 项的系数为 m b ，若 43 2bb = ，则 n =_. 【答案】5 X y O P B A 【解析】由 2 1 1 (2 ) ( ) 2 , rnrrnrrnr rn n TCx Cx x + =得 22 33 2, nn nn CC = 所以解得 5.n= 14将圆 1 22 =+ yx 沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C，则圆 C 的方程是 _, 若过点（ 3， 0）的直线 l和圆 C 相切，则直线 l的斜率为 _. 【答案】 22 (1) 1xy+=, 3 3 【解析】易得圆 C 的方程是 22 (1) 1xy+=, 直线
7、l的倾斜角为 30 ,150 oo , 所以直线 l的斜率为 3 . 3 k = 15设 x 表示不超过 x 的最大整数， （如 1 4 5 ,22 = = ） 。对于给定的 + Nn , 定义 ),1, )1()1( )1()2)(1( + + + = x xxxx xnnnn C x n L L 则 3 2 8 C = _; 当 )3,2x 时，函数 x C 8 的值域是 _。 【答案】 16 , 3 28 (,28 3 【解析】 3 2 8 816 , 3 3 2 C = 当 2x= 时， 2 8 87 28, 21 C = 当 3x 时， 2,x = 所以 8 87 28 , 32 3
8、 x C = 故函数 x C 8 的值域是 28 (,28 3 . 三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。 16 （本小题满分 12 分） 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就 签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的 概率都是 2 1 ，且面试是否合格互不影响。求： （ I）至少一人面试合格的概率； （ II）没有人签约的概率。 解：用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知 A,B,C 相互独立， 且 1 () () () . 2 PA PB PC=
9、（ I）至少有一人面试合格的概率是 1( )PABC 3 17 1 ()()() 1() . 28 PAPBPC= = = （ II）没有人签约的概率为 ()()()PABC PABC PABC + + () () () () () () () () ()PA PB PC PA PB PC PA PB PC+ 333 1113 () () () . 2228 =+= 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 x xx xf sin 2 sin 2 cos)( 22 += . （ I）求函数 )(xf 的最小正周期； （ II）当 ) 4 ,0( 0 x 且 5 24 )( 0 =xf 时，求
10、) 6 ( 0 +xf 的值。 解：由题设有 () cos sinf xxx= += 2sin( ) 4 x+ （ I）函数 ()f x 的最小正周期是 2.T = （ II）由 5 24 )( 0 =xf 得 0 42 2sin( ) , 45 x += 即 0 4 sin( ) , 45 x + = 因为 ) 4 ,0( 0 x ,所以 0 (,). 442 x + 从而 22 00 43 cos( ) 1 sin ( ) 1 ( ) . 445 xx+= += = 于是 ) 6 ( 0 +xf 00 2sin( ) 2sin( ) 46 4 6 xx =+= + 00 2sin( )co
11、s cos( )sin 46 46 xx =+ 43314632 2( ) . 5252 10 + =+= 18 （本小题满分 12 分） 如图所示，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是边长为 1 的菱形， 0 60=BCD ， E 是 CD 的中点， PA 底面 ABCD， 3=PA 。 （ I）证明：平面 PBE平面 PAB； （ II）求二面角 A BE P 的大小。 解：解法一（ I）如图所示 , 连结 ,BD 由 ABCD是菱形且 0 60=BCD 知， BCD 是等边三角形 . 因为 E 是 CD 的中点，所以 ,BECD 又 ,ABCD/ 所以 ,BEAB 又因为 PA 平面
12、 ABCD， BE 平面 ABCD， 所以 ,BEPA 而 ,ABA=IPA 因此 BE 平面 PAB. 又 BE 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB. （ II）由（ I）知， BE 平面 PAB, PB平面 PAB, 所以 .PB BE 又 ,BEAB 所以 PBA 是二面角 A BE P 的平面角 在 Rt PAB 中 , tan 3, 60 . PA PBA PBA AB = o 故二面角 ABEP的大小为 60 . o 解法二：如图所示 ,以 A 为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐 标分别是 (000),A ， ， (1 0 0),B ， ， 33 (0), 22 C
13、， 13 (0), 22 D ， (0 0 3),P ， ， 3 (1 0). 2 E ， （ I）因为 3 (0, 0), 2 BE = uuur ， 平面 PAB 的一个法向量是 0 (0 1 0),n = uur ， ， 所以 BE uuur 和 0 n uur 共线 .从而 BE 平面 PAB. 又因为 BE 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB. （ II） 易知 3 (1 0, 3), (0, 0), 2 PB BE= = uuuruur ，设 1 n ur 111 ()x yz= ， 是平面 PBE 的一个法向量 , P A B C ED 则由 1 1 0 0 nPB nB
14、E = = ur uuur ur uuur ， 得 111 111 030 3 000 2 xyz xyz + = + += ， 所以 11 1 3.yxz=0， 故可取 1 n ur (301).= ， ， 而平面 ABE 的一个法向量是 2 (0 0 1).n = uur ， ， 于是 , 12 12 12 1 cos , . 2 | nn nn nn = = uuruur uuruur uuruur 故二面角 ABEP的大小为 60 . o 19（本小题满分 13 分） 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 )0,2(F ，且两条准线间的距离为 )4( 。 （ I）求椭圆的方程； （ II）
15、若存在过点 A（ 1， 0）的直线 l，使点 F 关于直线 l的对称点在椭圆上，求 的 取值范围。 解： （ I）设椭圆的方程为 22 22 1( 0). xy ab ab += 由条件知 2,c= 且 2 2 , a c = 所以 2 ,a = 222 4.bac= = 故椭圆的方程是 22 1( 4). 4 xy += （ II）依题意 , 直线 l的斜率存在且不为 0,记为 k ,则直线 l的方程是 (1).ykx= 设点 (2 0)F ， 关于直线 l的对称点为 00 (),Fx ，y 则 00 0 0 2 (1) 22 1 2 yx k y k x + = = ， 解得 0 2 0
16、2 2 1 2 1 x k k y k = + = + ， 因为点 00 ()Fx ，y 在椭圆上，所以 22 22 ()() 11 1. 4 k kk + + = 即 422 ( 4) 2 ( 6) ( 4) 0.kk + += 设 2 ,kt= 则 22 ( 4) 2 ( 6) ( 4) 0.tt + += 因为 4, 所以 2 (4) 0. (4) 于是 , 当且仅当 23 2 ( 6) ( 4) () 2( 6) 0. (4) = -4 ， 上述方程存在正实根 ,即直线 l存在 . 解 () 得 16 , 3 46. 所以 16 4. 3 即 的取值范围是 16 4. 3 的所有 k
17、的值，并说明理由。 解： （ I）因为 ,2,0 21 = aa 所以 22 311 (1 cos ) 4 sin 4 4,aaa = +=+= 22 422 (1 cos ) 4 sin 2 4,aaa=+ + = = 一般地 , 当 21( )nkkN = 时， 22 21 21 21 (2 1) 2 1 1 cos 4 sin 4, kkk kk aaa + =+ + = + 即 21 21 4. kk aa + =所以数列 21k a 是首项为 0、公差为 4 的等差数列， 因此 21 4( 1). k ak = 当 2( )nkkN = 时， 22 22 2 2 1 cos 4 si
18、n 2 , kkk kk aaa + =+ + = 所以数列 2k a 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此 2 2. k k a = 故数列 n a 的通项公式为 2 2( 1), 2 1( ), 2, 2( ) n n nnkkN a nkkN = = = （ II）由（ I）知， 13 21 04 4( 1)2( 1), kk Saa a k kk =+ =+ = LL 21 24 2 22 2 2 2, kk kk Taa a + =+ =+ = LL 1 2 (1) . 22 k k k k S kk W T = + 于是 1 0,W = 2 1,W = 3 3 , 2 W =
19、 4 3 , 2 W = 5 5 , 4 W = 6 15 16 W = . 下面证明 : 当 6k 时， 1. k W 事实上 , 当 6k 时， 1 1 (1) (1) (3) 0, 22 2 kk kk k kkkk kk WW + + = = 即 1 . kk WW + 又 6 1,W 所以当 6k 时， 1. k W 的所有 k 的值为 3,4,5. 21 （本小题满分 13 分） 已知函数 43 2 19 () 42 f xxxxcx= + +有三个极值点。 （ I）证明： 27 5c； （ II）若存在实数 c，使函数 )(xf 在区间 ,2aa+ 上单调递减，求 a的取值范围。
20、 解： （ I）因为函数 43 2 19 () 42 f xxxxcx=+有三个极值点 , 所以 32 () 3 9 0fx x x xc = +=有三个互异的实根 . 设 32 () 3 9 ,gx x x x c=+ +则 2 () 3 6 9 3( 3)( 1),gx x x x x = += + 当 3x ()gx在 (,3) 上为增函数 ; 当 31x 时， () 0,gx 时， () 0,gx ()gx在 (1, )+ 上为增函数 ; 所以函数 ()gx在 3x= 时取极大值 ,在 1x= 时取极小值 . 当 (3) 0g 或 (1) 0g 时 , () 0gx= 最多只有两个不同
21、实根 . 因为 () 0gx= 有三个不同实根 , 所以 (3) 0g 且 (1) 0g ,且 139 0c+ + 且 5,c 故 27 5c. （ II）由（ I）的证明可知，当 27 5c 时 , ()f x 有三个极值点 . 不妨设为 123 x xx， （ 123 x xx ） ，则 123 () ( )( )( ).f xxxxxxx = 所以 ()f x 的单调递减区间是 1 (x， , 23 ,x x 若 )(xf 在区间 ,2aa+ 上单调递减， 则 ,2aa+ 1 (x， , 或 ,2aa+ 23 ,x x , 若 ,2aa+ 1 (x， ,则 1 2ax+ .由（ I）知，
22、 1 3x ,于是 5.a 若 ,2aa+ 23 ,x x ,则 2 ax 且 3 2ax+ .由（ I）知， 2 31.x 又 32 () 3 9 ,f xx x xc = +当 27c = 时， 2 () ( 3)( 3)fx x x = + ; 当 5c = 时， 2 () ( 5)( 1)fx x x =+ . 因此 , 当 27 5c 时， 3 13.x 且 23.a+ 即 31.a 故 5,a 或 31.a 反之 , 当 5,a 或 31a 时， 总可找到 ( 27,5),c 使函数 )(xf 在区间 ,2aa+ 上单调递减 . 综上所述 , a的取值范围是 (5)(3,1) U， .
