1、绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数 学(理工农医类) 一、选择题 :本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 . 1复数 3 1 ()i i 等于 A.8 B. 8 C.8i D. 8i (D) 2 “ |x 1| 2 成立”是“ x（ x 3） 0 成立”的 A充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 （ B） 3.已知变量 x、 y 满足条件 1, 0, 290, x xy xy + 则 x+y 的最大值是 A.2 B.5 C.6 D.8 (C) 4.设随机
2、变量 服从正态分布 N(2,9) ,若 P ( c+1)=P( c )1 ,则 c= A.1 B.2 C.3 D.4 (B) 5.设有直线 m、 n 和平面 、 。下列四个命题中，正确的是 A.若 m ,n ,则 m n B.若 m ,n ,m ,n ,则 C.若 ， m ,则 m D.若 ， m ， m ,则 m （ D） 6.函数 f(x)=sin 2 x+ 3sin cosx x 在区间 , 42 上的最大值是 A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 (C) 7.设 D、 E、 F 分别是 ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点，且 2,DC BD= uuur uu
3、ur 2,CE EA= uuuruur 2,AFFB= uuur uuur 则 AD BE CF+ uuur uuur uuur 与 BC uuur A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 (A) 8.若双曲线 22 22 1 xy ab =（ a 0,b 0） 上横坐标为 3 2 a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的 距离，则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) (B) 9.长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的 8 个顶点在同一球面上，且 AB=2, AD= 3 , AA 1 =1, 则顶点 A、
4、 B 间的球面距离是 A. 2 2 B. 2 C. 2 2 D. 2 4 (C) 10.设 x表示不超过 x 的最大整数（如 2 =2, 5 4 =1） ，对于给定的 nN * ,定义 2 (1)( 1) (1)( 1) n nn n x C xx x x + = + L L ， x ) 1, + ,则当 x 3 ,3 2 时，函数 2 n C 的值域是 A. 16 ,28 3 B. 16 ,56 3 C. 28 4, 3 ) 28,56 D. 16 28 4, , 28 33 (D) 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在对应题号后的横线上。 11. 2 1
5、 1 lim 34 x x xx = + 1 5 . 12.已知椭圆 22 22 1 xy ab +=（ a b 0） 的右焦点为 F， 右准线为 l， 离心率 e= 5 . 5 过顶点 A(0,b) 作 AMl,垂足为 M，则直线 FM 的斜率等于 1 2 . 13.设函数 y=f (x)存在反函数 y= f 1 （ x） ，且函数 y = x f (x)的图象过点（ 1， 2） ，则函数 y=f 1 (x) x 的图象一定过点 ( 1,2) . 14.已知函数 f(x) 3 (1). 1 ax a a （ 1）若 a 0,则 f(x)的定义域是 3 , a ; (2)若 f(x)在区间 (
6、 0,1 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ( ) ( ,0 1,3 . 15. 对有 n (n 4)个元素的总体 1， 2， 3， n进行抽样，先将总体分成两个子总体 1， 2， m和 m+1， m+2， n (m 是给定的正整数，且 2 m n 2)，再从每个 子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本，用 P ij 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率，则 P 1n = 4 ()mn m ；所有 P if (1 i j )n 的和等于 6 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三人参
7、加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试 合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试 合格的概率都是 1 2 ，且面试是否合格互不影响。求： （）至少有 1 人面试合格的概率 ; （）签约人数 的分布列和数学期望 . 解 用 A， B， C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知 A， B， C 相互独立，且 P（ A） P（ B） P（ C） 1 2 . （）至少有 1 人面试合格的概率是 3 17 1 ( ) 1 ()()() 1() . 28 PABC PAPBPC= = （） 的可能取值为 0， 1， 2， 3. (0)( )
8、( )( )P PABCPABCPABC= = + + ()()() ()()() ()()()PAPBPC PAPBPC PAPBPC+ 323 1113 () () () . 2228 += (1) ( ) ( ) ( )P PABCPABCPABC= = + + = ()()() ()()() ()()()PAPBPC PAPBPC PAPBPC+ = 333 1113 () () () . 2228 += 1 ( 2) ( ) ()()() . 8 PPABCPAPBPC= = = = 1 ( 3) ( ) ()()() . 8 P P ABC P A P B P C= = = = 所
9、以， 的分布列是 0 1 2 3 P 3 8 3 8 1 8 1 8 的期望 33 11 01231. 88 88 E=+= 17.（本小题满分 12 分） 如图所示，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， BCD 60， E 是 CD 的中点， PA底面 ABCD， PA 2. （）证明：平面 PBE平面 PA B ; （）求平面 PA D 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小 . 解 解法一（）如图所示，连结 BD，由 ABCD 是菱形且 BCD=60知， BCD 是等边 三角形。因为 E 是 CD 的中点，所以 BE CD，又 AB CD，所以 BE AB。又
10、因为 PA平 面 ABCD， BE 平面 ABCD，所以 PA BE。而 PAAB=A，因此 BE平面 PA B . 又 BE 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PA B . （）延长 AD、 BE 相交于点 F，连结 PF。过点 A 作 AH PB 于 H，由（）知平面 PBE 平面 PA B，所以 AH平面 PBE. 在 Rt ABF 中，因为 BAF 60，所以 AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt PA F 中，取 PF 的中点 G，连接 AG. 则 AG PF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得， PF HG. 所以 AGH 是平面 PA D 和平面 PBE 所成二面角的平面角（
11、锐角） . 在等腰 Rt PA F 中， 2 2. 2 AG PA= 在 Rt PA B 中， 22 225 . 5 5 AP AB AP AB AH PB AP AB = = + 所以，在 Rt AHG 中， 25 10 5 sin . 5 2 AH AGH AG = 故平面 PA D 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是 10 arcsin . 5 解法二 如图所示，以 A 为原点，建立空间直角坐标系。则相关各点的坐标分别是 A（ 0， 0， 0） ， B（ 1， 0， 0） ， 33 13 (, ,0), (, ,0), 22 22 CDP（ 0， 0， 2） ， E(1, 2 3
12、 ,0) （）因为 3 (0, ,0) 2 BE = ，平面 PA B 的一个法向量是 0 (0,1,0)n = ，所以 0 BEn和 共线 . 从而 BE平面 PA B . 又因为 BE 平面 PBE，故平面 PBE平面 PA B . ()易知 3 (1, 0, 2), (0, 0 2 PB BE= = uuuruur ， ）， 13 (0,0, 2), ( , ,0) 22 PA AD= = uuur uuur 设 1 111 (, ,)nxyz= r 是平面 PBE 的一个法向量，则由 1 1 0, 0 nPB nBE = = uuruur uur uuur 得 111 111 020,
13、 3 000. 2 xyz xyz + = + += 所以 111 1 0, 2 . (2, 0,1).yxz n= = ur 故可取 设 2222 (, ,)nxyz= uur 是平面 PAD 的一个法向量，则由 2 2 0, 0 nPA nAD = = uuruur uur uuur 得 222 222 00 0, 13 00. 22 xyz xyz + = += 所以 22 2 0, 3 .zx y=故可取 2 (3,1,0).n = uur 于是， 12 12 12 23 15 cos , . 5 52 nn nn nn = = = uuruur uuruur uuruur 故平面 P
14、AD 和平面 PBE所成二面角（锐角）的大小是 15 arccos . 5 18.（本小题满分 12 分） 数列 22 12 2 1, 2, (1 cos ) sin , 1, 2, 3, . nn nn aaaa a n + = =+ + = L满足 ()求 34 ,aa并求数列 n a 的通项公式； ()设 21 12 2 ,. n nn n n a bSbbb a =+L 证明：当 1 62. n nS n 时， 解 ()因为 22 12 3 1 1 1, 2, (1 cos ) sin 1 2,aa a a a = =+=+=所以 22 22 (1 cos ) sin 2 4. n a
15、aa=+ + = = 一般地，当 * 21( N)nkk= 时， 22 21 21 (2 1) 2 1 1 cos sin kk kk aa + =+ + 21 1 k a + ，即 21 21 1. kk aa + = 所以数列 21k a 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此 21 . k ak = 当 * 2( N)nkk=时， 22 22 2 2 (1 cos ) sin 2 . kkk kk aaa + =+ + = 所以数列 2k a 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此 2 2. k k a = 故数列 n a 的通项公式为 * 2 * 2 1 ,21(N), 2 2
16、, 2( N). n n nkk a nkk + = = = ()由()知， 21 2 , 2 n n n n a n b a = 23 12 3 , 22 2 2 n n n S =+ + +L 224 1 1123 2 222 2 n n n S + =+L 得， 23 1 1111 1 . 2222 22 n nn n S + =+ + + L 11 11 1 ( ) 1 22 1. 1 222 1 2 n nnn+ = 所以 1 12 22. 22 2 n nn n nn S + = = 要证明当 6n 时， 1 2 n S n 成立，只需证明当 6n 时， (2) 1 2 n nn+
17、 成立. 证法一 (1)当 n = 6 时， 6 6(62) 48 3 1 2644 + =成立. (2)假设当 (6)nkk=时不等式成立，即 (2) 1. 2 k kk+ 则当 n = k+1 时， 1 (1)(3) (2)(1)(3)(1)(3) 1. 2( 2) ( 2) 222 kk kk kk kk kk kk k k + + + + + = + 由(1)、(2)所述，当 n6时， (1) 1 2 n nn+ ，即当 n6 时， 1 2. n S n 证法二 令 (2) (6) 2 n n nn cn + =，则 2 1 11 (1)(3) (2)3 0. 222 nn nnn n
18、n nn n cc + + + + = 所以当 6n 时， 1nn cc + .因此当 6n 时， 6 68 3 1. 64 4 n cc = 于是当 6n 时， (2) 1. 2 n nn+ 综上所述，当 6n 时， 1 2. n S n 19.（本小题满分 13 分） 在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域 .。点 E 正北 55 海里处 有一个雷达观测站 A。 .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北 偏东 45 o 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已 行驶到点 A 北偏东 45 o + (其中 sin = 26
19、 26 ， 090 oo )且与点 A 相 距 10 13 海里的位置 C. （ I）求该船的行驶速度（单位：海里 /小时） ; （ II）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由 . 解 （ I）如图， AB=40 2 ， AC=10 13 ， 26 ,sin . 26 BAC = = 由于 0 o 90 o ，所以 cos = 2 26 5 26 1( ) . 26 26 = 由余弦定理得 BC= 22 2 cos 10 5.AB AC AB AC += 所以船的行驶速度为 10 5 15 5 2 3 = （海里 /小时） . （ II）解法一 如图所示，以 A
20、为原点建立平面直角坐标系，设点 B、 C 的坐标分别是 B（ x 1 ， y 1 ） , C（ x 2 ， y 2 ） ， BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有， x 1 =y 1 = 2 2 AB=40， 2 cos 10 13 cos(45 ) 30 xAC CAD = = o , 2 sin 10 13 sin(45 ) 20yAC CAD = = o 所以过点 B、 C 的直线 l 的斜率 k= 20 2 10 = , 直线 l 的方程为 y=2x 40. 又点 E（ 0， 55） 到直线 l 的距离 d= | 0 55 40 | 35 7. 14 + = 40=AQ，所以点 Q
21、位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE AQ=15. 过点 E 作 EP BC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离 . 在 Rt QPE 中， PE=QE sin sin sin(45 )PQE QE AQC QE ABC= o = 5 15 3 5 7. 5 = 2 时，点 P（ x,0）存在无穷多条“相 关弦” .给定 x 0 2. （）证明：点 P（ x 0 ,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； （）试问：点 P（ x 0 ,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 x 0 表示） ：若不存在，请说明理由 . 解（）设 AB 为点 P（ x
22、 0 ,0）的任意一条“相关弦” ，且点 A、 B 的坐标分别是 （ x 1 ,y 1 ） 、 （ x 2 ,y 2 ） （ x 1 x 2 ） ,则 y 2 1 =4x 1, y 2 2 =4x 2 , 两式相减得（ y 1 +y 2 ） （ y 1 y 2 ） =4（ x 1 x 2 ） .因为 x 1 x 2 ,所以 y 1 +y 2 0. 设直线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是 M（ x m , y m ） ,则 k= 12 12 12 42 m yy x xyyy = + . 从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 (). 2 m mm y yy xx= 又点 P（ x 0
23、,0）在直线 l 上，所以 y m = 0 (). 2 m m y x x 而 0, m y 于是 0 2. m xx= 故点 P（ x 0 ,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x 0 2. ()由()知，弦 AB 所在直线的方程是 () mm y ykxx =，代入 2 4y x= 中， 整理得 22 2 2()2()0. mm mm k x k y kx x y kx+= （ ） 则 12 x x、 是方程（ ）的两个实根，且 2 12 2 () . mm ykx xx k = 设点 P 的“相关弦” AB 的弦长为 l，则 22222 12 12 12 ()()(1)()lxx y
24、y kxx= + =+ 22 22 1 2 12 12 2 2 2 2 2242 22 2 22 2 00 (1 )( ) 4 4(1 )( ) 2 () 4 4(1 ) 4 (4 )(4 ) 4 ( 1) 16 4( 1) 2( 1) 4( 1) 2( 3) . m mm m m m m mmm m mm m mmm m kxx xx kx xx yx y x y y yxy y yx x xyx xyx =+ + = + =+ =+ =+ + =+= 因为 0 2 m y 3,则 2(x 0 3) (0, 4x 0 8),所以当 t=2(x 0 3),即 2 m y =2(x 0 3)时
25、, l 有最大值 2(x 0 1). 若 2x 0 3,则 2(x 0 3)0,g(t) 在区间（ 0， 4x 0 8）上是减函数，所以 0l 2 3 时，点 P（ x 0 ,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为 2（ x 0 1） ；当 2 x 0 3 时，点 P（ x 0 ,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值 . 21.（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=ln 2 (1+x) 2 1 x x+ . （）求函数 f(x) 的单调区间 ; （）若不等式 1 (1 ) na e n + + 对任意的 N*n 都成立（其中 e 是自然对数的底数） . 求 的最大值 . 解 （
26、）函数 f(x)的定义域是 (1, )+， 22 2ln(1 ) 2 2(1 )ln(1 ) 2 () . 1 (1 ) (1 ) x xx x xxx fx x + + = + + 设 2 () 2(1 )ln(1 ) 2,gx x x x x=+ +则 () 2ln(1 ) 2.gx x x= + 令 () 2ln(1 ) 2,hx x x=+则 22 () 2 . 11 x hx x x = + + 当 10 x 在（ 1， 0）上为增函数， 当 x 0 时， () 0,()hx hx 在 (0, )+ 上为减函数 . 所以 h(x)在 x=0 处取得极大值，而 h(0)=0,所以 (
27、) 0( 0)gx x ，函数 g(x)在 (1, )+上为 减函数 . 于是当 10 x = 当 x 0 时， () (0) 0.gx g= 所以，当 10 x 在（ 1， 0）上为增函数 . 当 x 0 时， () 0, ()f xfx 知， 1 . 1 ln(1 ) an n + 设 ( 11 () , 0,1, ln(1 ) Gx x xx = + 则 22 2222 11(1)ln(1) () . (1 ) ln (1 ) (1 ) ln (1 ) x xx Gx x xx x x x + = + = + + 由（）知， 2 2 ln (1 ) 0, 1 x x x + + 即 22 (1 ) ln (1 ) 0.xxx+ + 所以 ( () 0, 0,1,Gx x 于是 G(x)在 ( 0,1 上为减函数 . 故函数 G（ x）在 ( 0,1 上的最小值为 1 (1) 1. ln 2 G = 所以 a 的最大值为 1 1. ln 2
