1、绝密 启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（福建理科） 数 学（理工农医类） 第卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)若复数 (a 2 -3a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为 A.1 B.2 C.1或 2 D.-1 (2)设集合 A=x| 1 x x 0 ,B=x|0 x 3,那么“ mA”是“ mB”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)设 a n 是公比为正数的等比数列，若 a 1 =7,a
2、5 =16,则数列 a n 前 7 项的 和为 A.63 B.64 C.127 D.128 (4)函数 f(x)=x 3 +sinx+1(xR),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为 4 5 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 A. 16 625 B. 96 625 C. 192 625 D. 256 625 (6)如图，在长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB=BC=2, AA 1 =1, 则 BC 1 与平面 BB 1 D 1 D 所成角的正弦值为 A. 6 3 B.
3、5 52 C. 15 5 D. 10 5 (7)某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求 至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 (8)若实数 x、 y 满足 x-y+1 0，则 y x 的取值范围是 x0 A. (0,1) B. (0,1) C. (1,+ ) D. 1, + (9)函数 f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量 (m,0) 平移后，得到函数 y= -f (x)的图象，则 m 的值可以为 A. 2 B. C. D. 2 (10)在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c
4、, 若 (a 2 +c 2 -b 2 )tanB= 3ac ,则角 B 的值为 A. 6 B. 3 C. 6 或 5 6 D. 3 或 2 3 (11)双曲线 1 2 2 2 2 = b y a x （ a 0,b 0） 的两个焦点为 F 1 、 F 2 ,若 P 为其上一点， 且 |PF 1 |=2|PF 2 |, 则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. ( 1, 3 C.(3,+) D. )3,+ (12)已知函数 y=f(x), y=g(x)的导函数的图象如下图，那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题
5、4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置 . （ 13）若 (x-2) 5 =a 5 x 5 +a 4 x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 ,则 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 =_.(用数字作答 ) x=1+cos (14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 y=-2+sin （ 为参数）没有公共点，则实数 m 的取值 范围是 . （ 15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 . （ 16）设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、 b P，都有 a+b、 a-b， ab、 a b P（除数 b
6、0） ，则称 P 是一个数域 .例如有理数集 Q 是数域；数集 2,FababQ=+ 也是数域 .有下列命题： 整数集是数域； 若有理数集 QM ，则数集 M 必为数域； 数域必为无限集； 存在无穷多个数域 . 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17） （本小题满分 12 分） 已知向量 m=(sinA,cosA),n= (3,1) ， m n 1，且 A 为锐角 . （）求角 A 的大小； （）求函数 () cos2 4cos sin ( )f xxAxR= +的值域
7、. （ 18） （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， 则面 PAD底面 ABCD， 侧棱 PA =PD 2 ， 底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC AD, AB AD, AD=2AB=2BC=2, O 为 AD 中点 . （）求证： PO平面 ABCD； （）求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小； （） 线段 AD 上是否存在点 Q， 使得它到平面 PCD 的距离为 3 2 ？若存在， 求出 AQ QD 的值；若不存在，请说明理由 . （ 19） （本小题满分 12 分） 已知函数 32 1 () 2 3 fx x x=+. （）设 a n 是正数组成的数列，
8、前 n 项和为 S n ，其中 a 1 =3.若点 2 11 (, 2 ) nn n aa a + (n N*)在函数 y=f (x)的图象上，求证：点（ n, S n ）也在 y=f (x)的图象上； （）求函数 f(x)在区间（ a-1, a）内的极值 . （ 20） （本小题满分 12 分） 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科目 B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。 现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 2 3 ，科目 B 每次考试成绩 合格的概率均为 1 2 。假设各次考试成绩
9、合格与否均互不影响。 （）求他不需要补考就可获得证书的概率； （）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ， 求 的数学期望 E . （ 21） （本小题满分 12 分） 如图、椭圆 22 22 1 xy ab +=（ ab0）的一个焦点是 F（ 1， 0） ， O 为坐标原点 . （）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点。若直线 l 绕点 F 任意转动，恒有 22 2 OA OB AB+ p ,求 a 的取值范围 . （ 22） （本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=ln(1
10、+x)-x （）求 f(x)的单调区间； （）记 f(x)在区间 0, （ n N*）上的最小值为 b x 令 a n =ln(1+n)-b x . （）如果对一切 n，不等式 2 2 nn n c aa a + + p 恒成立，求实数 c 的取值范围； （）求证： 13 13 2 11 224 242 211. n n n aa aa aa a aaa aaa + + ggg ggg p ggg 数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算 .每小题 5 分，满分 60 分 . （ 1） B （ 2） A （ 3） C （ 4） B （ 5） B （ 6） D （
11、 7） A （ 8） C （ 9） A （ 10） D （ 11） B （ 12） D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算 .每小题 4 分，满分 16 分 . （ 13） 31 （ 14） (,0)(10,) + （ 15） 9 （ 16） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元 二次函数的最值等基本知识，考查运算能力 .满分 12 分 . 解： （）由题意得 3sin cos 1,mn A A=g 1 2sin( ) 1,sin( ) . 662 A
12、A = 由 A 为锐角得 ,. 66 3 AA = = （）由（）知 1 cos , 2 A = 所以 22 13 ( ) cos 2 2sin 1 2sin 2sin 2(sin ) . 22 fx xx xx x=+= +=+ 因为 x R，所以 sin 1,1x ，因此，当 1 sin 2 x = 时， f(x)有最大值 3 2 . 当 sinx= -1 时， f(x)有最小值 -3，所以所求函数 f(x)的值域是 3 3, 2 . （ 18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知 识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 .满分 12 分 . 解
13、法一： （）证明：在 PA D 中 PA =PD, O 为 AD 中点，所以 PO AD, 又侧面 PA D底面 ABCD, 平面 PAD平面 ABCD=AD, PO 平面 PA D， 所以 PO平面 ABCD. （）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中、 BC AD， AD=2AB=2BC, 有 OD BC 且 OD=BC, 所以四边形 OBCD 是平行四边形， 所以 OB DC. 由（）知， PO OB, PBO 为锐角， 所以 PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角 . 因为 AD=2AB=2BC=2, 在 Rt AOB 中， AB=1,AO=1, 所以 OB 2 ， 在 Rt P
14、OA 中，因为 AP 2 ， AO 1，所以 OP 1， 在 Rt PBO 中， tan PBO 12 2 ,arctan. 22 2 PO PBO BO = = 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 2 arctan 2 . （）假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 3 2 . 设 QD x，则 1 2 DQC Sx = ，由（）得 CD=OB= 2 ， 在 Rt POC 中， 22 2,PC OC OP=+= 所以 PC=CD=DP, S PCD = 2 3 )2( 4 3 2 = , 由 V p-DQC =V Q-PCD ,得 2 3 2 3 3 1 1 2 1 3 1 =
15、 x ，解得 x= 2 2 3 ，所以存在点 Q 满足题意，此时 1 3 AQ QD = . 解法二： ()同解法一. ()以 O 为坐标原点， OC OD OP、 uuur uuuruur 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz,依题 意， 易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以 110 111CD PB（ ， ， ）， （， ， ）. uuuruur cos= CDPB CDPB CDPB 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos 6 3 ， ()假设存在点 Q，使
16、得它到平面 PCD 的距离为 3 2 ， 由()知 (1,0,1), (1,1,0).CP CD= = uur uuur 设平面 PCD的法向量为 n=(x0,y0,z0). 则 0, 0, nCP nCD = = uur g uuur g 所以 00 00 0, 0, xz xy += += 即 000 x yz= = ， 取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1). 设 (0, ,0)( 1 1), ( 1, ,0),Qy y CQ y = uuur 由 2 3 | | = n nCQ ,得 1 3 , 2 3 y+ = 解 y=- 1 2 或 y= 5 2 (舍去)
17、， 此时 13 , 22 AQ QD=，所以存在点 Q 满足题意，此时 1 3 AQ QD = . (19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学 思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分 12 分. ()证明：因为 32 1 () 2, 3 fx x x=+所以 f ( x)=x 2 +2x, 由点 2 11 (, 2 )( N) nn n aa a n + + 在函数 y=f( x)的图象上, 得 22 11 22 nnnn aaaa + =+，即 11 ()( 2)0, nnnn aaaa + = 又 0( N ), n an + 所以 1 2
18、nn aa + =，又因为 1 3a = ， 所以 2 (1) 32= 2 n nn Sn nn =+ +,又因为 f ( n)=n 2 +2n,所以 () n Sfn= , 故点 (, ) n nS 也在函数 y=f (x)的图象上. ()解: 2 () 2 ( 2)fx x x xx = += +, 由 () 0,fx = 得 02xx=或 . 当 x 变化时, ()f x ()f x 的变化情况如下表: 注意到 (1) 12aa=,从而 当 2 12, 2 1,() (2) 3 aaafx f =即 时 的极大值为 ,此时 ()f x 无极小 x (-,-2) -2 (-2,0) 0 (
19、0,+) f( x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 值； 当 10 ,0 1,()aaafx +因此，恒有 ()当直线 AB 不与 x 轴重合时， 设直线 AB 的方程为： 22 22 1, 1, xy xmy ab = +=代入 整理得 2222 2 222 () 0,abmy bmybab+= 所以 222 12 12 222 222 2 , bm b ab yy yy abm abm += = + 因为恒有 22 2 OA OB AB+，所以 AOB 恒为钝角. 即 11 2 2 12 12 (, )(, ) 0OA OB x y x y x x y y= =+ uur
20、uuur gg 恒成立. 2 12 12 1 2 12 12 1 2 (1)(1) (1) ( )1x x y y my my y y m y y m y y+=+ +=+ + 222 22 222 222 222 2 22 2 222 (1)( )2 1 0. mbab bm abm abm mab b ab a abm + = + + + =0,所以 -m 2 a 2 b 2 +b 2 -a 2 b 2 +a 2 a 2 -a 2 b 2 +b 2 对 mR 恒成立 . 当 mR 时， a 2 b 2 m 2 最小值为 0，所以 a 2 - a 2 b 2 +b 2 0. a 2 a 2
21、b 2 - b 2 , a 2 0,b0,所以 a0, 解得 a 15 2 + 或 a 15 2 + , 综合（ i） (ii)， a 的取值范围为（ 15 2 + ， +） . 解法二： （）同解法一， （）解： （ i）当直线 l 垂直于 x 轴时， x=1 代入 222 2 22 2 1(1) 1, A yba y ab a += = . 因为恒有 |OA| 2 +|OB| 2 |AB| 2 , 2(1+y A 2 )1，即 2 1a a 1, 解得 a 15 2 + 或 a 15 2 + . （ ii）当直线 l 不垂直于 x 轴时，设 A（ x 1 ， y 1 ） , B（ x 2
22、， y2） . 设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)代入 22 22 1, xy ab + = 得 (b 2 +a 2 k 2 )x 2 -2a 2 k 2 x+ a 2 k 2- a 2 b 2 =0, 故 x 1 +x 2= 22 22 22 22222 222 2 ,. ak ak ab xx bak bak = + 因为恒有 |OA| 2 +|OB| 2 |AB| 2 , 所以 x 2 1 +y 2 1 + x 2 2 + y 2 2 ( x 2 -x 1 ) 2 + (y 2 -y 1 ) 2 , 得 x 1 x 2 + y 1 y 2 0 恒成立 . x 1 x 2 + y 1
23、 y 2 = x 1 x 2 +k 2 (x 1 -1) (x 2 -1)=(1+k 2 ) x 1 x 2 -k 2 (x 1+ x 2 )+ k 2 =(1+k 2 ) 22 22 22 2 22 2 2 22 22 222 222 222 2()ak ab ak a ab b k ab kk bak bak bak + += + . 由题意得（ a 2 - a 2 b 2 +b 2 ） k 2 - a 2 b 2 0 时，不合题意； 当 a 2 - a 2 b 2 +b 2 =0 时， a= 15 2 + ; 当 a 2 - a 2 b 2 +b 2 0 时， a 2 - a 2 (a
24、2 -1)+ (a 2 -1)0, 解得 a 2 35 2 + 或 a 2 35 2 （舍去） ， a 15 2 + ，因此 a 15 2 + . 综合（ i） （ ii） ， a 的取值范围为（ 15 2 + ， +） . （ 22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究 函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分 14 分 . 解法一： （ I）因为 f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（ -1,+） ,且 f (x)= 1 1 x+ -1= 1 x x + . 由 f (x)0 得 -1x0， f(x)的单调递增区间为（ -1， 0）
25、 ； 由 f (x)0， f(x)的单调递增区间为（ 0， +） . (II)因为 f(x)在 0,n上是减函数，所以 b n =f(n)=ln(1+n)-n, 则 a n =ln(1+n)-b n =ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i) 22 2 ()2(2)2 2 nn n aa a n n nn nn + =+=+ + 22 1. 22 n nn + = + + 又 lim 2 2( 2 ) lim 1 2 11 2 x nn n n += = + + , 因此 c1，即实数 c 的取值范围是（ -， 1. （ II）由（ i）知 1 21 21. 21 nn n 因此 c1
26、,即实数 c 的取值范围是(-，1. () 由()知 1 21 21. 21 nn n + + 下面用数学归纳法证明不等式 135 (2 1) 1 (N). 246 (2 ) 21 n n n n + + gggLg gggLg 当 n=1 时，左边 1 2 ，右边 1 3 ，左边右边.不等式成立. 假设当 n=k 时,不等式成立.即 135 (2 1) 1 . 246 (2 ) 21 k k n + gggLg gggLg 当 n=k+1 时， 32 1 22 3212 22 12 22 12 12 1 )22(2642 )12(12531 + + + = + + = + + + + + k k kk k k k k k kk kk ）（ ）（ = , 1)1(2 1 32 1 32 1 4824 3824 + = + + + kkk kk kk 即 n k 1 时，不等式成立 综合、得，不等式 *)N( 12 1 )2(642 )12(531 + n n n n 成立 . 所以 1212 )2(642 )12(531 + nn n n )2(642 )12(531 42 31 2 1 n n + .112123513 += nn 即 *)N(12 1 242 1231 42 31 2 1 + + na aaa aaa aa aa a a n n n .
