1、绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷） 数 学 本试卷分第 I 卷（填空题）和第 II 卷（解答题）两部分考生作答时，将答案答在答题 卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效
2、4.保持卡面清洁，不折叠，不破损 5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标 号涂黑 参考公式 : 样本数据 1 x , 2 x ,L , n x 的标准差 ()() () 22 2 12 1 n sxxxx xx n =+ L 其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 VSh= 其中 S 为底面积， h 为高 一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. () cos 6 fx x = 的最小正周期为 5 ，其中 0 ，则 = 2一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 3. 1 1 i i + 表示为 abi+ ( ),ab R
3、 ，则 ab+ = 4.A=( ) 2 137xx x的一条切线，则实数 b 9 在平面直角坐标系 xOy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点 P（ 0， p）在线段 AO 上的一点（异于端点） ，设 a,b,c, p 均为非零实数，直线 BP,CP 分别与边 AC , AB 交于点 E、 F ，某同学已正确求得 OE 的方程： 11 11 0 xy bc pa + = ，请你完成 直线 OF 的方程： （ ） 11 0 xy pa + = . 10将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1
4、4 15 按照以上排列的规律，数阵中第 n 行（ n 3）从左向右的第 3 个数为 11.已知 ,x yz R + ，满足 230 xyz+=，则 2 y xz 的最小值是 12.在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 22 22 x y ab + =1( ab0)的焦距为 2c，以点 O 为圆心， a 为半径作圆 M， 若过点 P 2 ,0 a c 所作圆 M的两条切线互相垂直， 则该椭圆的离心率为 e = 13满足条件 AB=2, AC= 2 BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 14.设函数 () 3 31f xax x=+（ x R） ，若对于任意 1,1x ，都有 ()f x 0
5、成立，则 实数 a = 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆相交于 A、 B 两点，已知 A、 B 的 横坐标分别为 225 , 10 5 （）求 tan( + )的值； （）求 2 + 的值 16如图，在四面体 ABCD 中， CB= CD, AD BD，点 E 、 F 分别是 AB、 BD 的中点， 求证： （）直线 EF 平面 ACD ； （）平面 EFC平面 BCD 17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 A
6、BCD 的两个顶 点 A、 B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km, CB =10km ， 为了处理三家工厂的污水， 现要在该矩形 ABCD 的区域上 （含 边界） ，且与 A、 B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂， 并铺设三条排污管道 AO,BO,OP ， 设排污管道的总长为 y km （）按下列要求写出函数关系式： 设 BAO= (rad)，将 y 表示成 的函数关系式； 设 OP x= (km) ，将 y 表示成 x 的函数关系式 （）请你选用（）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度 最短 18设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 ( )
7、( ) 2 2f xx xbxR=+ 的图象与两坐标轴 有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C （）求实数 b 的取值范围； （）求圆 C 的方程； （）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论 19.（）设 12 , , n aa aLL 是各项均不为零的等差数列（ 4n ） ，且公差 0d ，若将此数 列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： 当 n =4 时，求 1 a d 的数值；求 n 的所有可能值； （）求证：对于一个给定的正整数 n(n 4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 12 , , n bb bLL ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组
8、成等比数列 20.若 () 1 1 3 x p fx = ， () 2 2 23 x p fx = ， 12 ,x Rp p 为常数，函数 f (x)定义为：对每个 给定的实数 x， () () ( ) ( ) () () () 11 2 21 2 , , f xfx fx fx f xfx fx = （）求 () ( ) 1 f xfx= 对所有实数 x 成立的充要条件（用 12 ,p p 表示） ； （）设 ,ab为两实数，满足 ab ，且 12 ,p p ( ),ab ,若 ( ) ( )f afb= ，求证： ()f x 在 区间 ,ab上的单调增区间的长度之和为 2 ba （闭区间
9、,mn的长度定义为 nm ） 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷） 数学参考答案 一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 【答案】 10 【解析】本小题考查三角函数的周期公式 . 2 10 5 T = = 2 【答案】 1 12 【解析】本小题考查古典概型基本事件共 6 6 个，点数和为 4 的有 (1,3)、 (2,2)、 (3,1) 共 3 个，故 31 66 12 P = 3. 【答案】 1 【解析】 本小题考查复数的除法运算 () 2 1 1 12 i i i i + + = = ， a 0， b 1， 因此 1ab+= 4. 【答案】 0
10、【解析】 本小题考查集合的运算和解一元二次不等式 由 2 (1)37xx 得 2 580 xx+ + 解得 22 2 22 2x ()gx 在区间 )1, 0 上单调递增，因此 ( ) ( ) ma 14 n gx g= =，从而 a 4，综上 a 4 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15 【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式 解：由已知条件及三角函数的定义可知， 225 cos ,cos 10 5 =， 因为 , 为锐角，所以 sin = 72 5 ,sin 10 5 = 因此 1 tan 7, tan 2 = （） tan( + )= tan
11、 tan 3 1tan tan + = （） 2 2tan 4 tan 2 1tan 3 = ，所以 () tan tan 2 tan 2 1 1tan tan2 + + = , 为锐角， 3 02 2 + ， 2 + = 3 4 16 【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定 解： （） E,F 分别是 AB,BD 的中点， EF 是 ABD 的中位线， EF AD， EF面 ACD ， AD 面 ACD ，直线 EF面 ACD （） AD BD ， EF AD， EF BD. CB=CD, F 是 BD 的中点， CF BD. 又 EFI CF=F， BD面 EFC B
12、D面 BCD，面 EFC面 BCD 17 【解析】本小题主要考查函数最值的应用 解： （）延长 PO 交 AB 于点 Q，由条件知 PQ 垂直平分 AB，若 BAO= (rad) ，则 10 cos cos AQ OA =, 故 10 cos OB = ，又 OP 10 10 tan 10 10ta ， 所以 10 10 10 10 tan cos cos yOAOBOP =+= + + ， 所求函数关系式为 20 10sin 10 cos y =+0 4 若 OP= x (km) ，则 OQ 10 x ，所以 OA =OB= () 2 22 10 10 20 200 xxx+= + 所求函数
13、关系式为 () 2 2 20 200 0 10yx x x x=+ + （）选择函数模型， ( )( ) () 22 10cos cos 20 10 sin 10 2sin 1 cos cos sin y = null 令 y = 0 得 sin 1 2 = ，因为 0 4 ，所以 = 6 ， 当 0, 6 时， 0y ， y 是 的增函 数， 所以当 = 6 时， min 10 10 3y =+ 。 这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上， 且距离 AB 边 10 3 3 km 处。 18 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法 解： （）令 x 0，得抛物线与 y 轴交点
14、是（ 0， b） ； 令 () 2 20fx x xb=+=，由题意 b 0 且 0，解得 b 1 且 b 0 （）设所求圆的一般方程为 2 x 2 0yDxEyF+ += 令 y 0 得 2 0 xDxF+=这与 2 2x xb+ + 0 是同一个方程，故 D 2， F b 令 x 0 得 2 y Ey+ 0，此方程有一个根为 b，代入得出 E b 1 所以圆 C 的方程为 22 2(1) 0 xy xb yb+=. （）圆 C 必过定点（ 0， 1）和（ 2， 1） 证明如下：将（ 0， 1）代入圆 C 的方程，得左边 0 2 1 2 2 0（ b 1） b 0，右边 0， 所以圆 C 必
15、过定点（ 0， 1） 同理可证圆 C 必过定点（ 2， 1） 19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方 法进行探索分析及论证的能力，满分 16 分。 解： 首先证明一个“基本事实” ： 一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差 d 0 =0 事实上，设这个数列中的连续三项 a-d 0 ,a,d+d 0 成等比数列，则 a 2 =(d-d 0 )(a+d 0 ) 由此得 d 0 =0 （ 1） (i) 当 n=4 时, 由于数列的公差 d 0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为 a 2 或 a 3 若删去 2 a ，则由 a 1 ,a
16、 3 ,a 4 成等比数列，得 (a 1 +2d) 2 =a 1 (a 1 +3d) 因 d 0，故由上式得 a 1 = 4d，即 d a 1 = 4，此时数列为 4d, 3d, 2d, d，满 足题设。 若删去 a 3 ，则由 a 1 ,a 2 ,a 4 成等比数列，得 (a 1 +d) 2 =a 1 (a 1 +3d) 因 d 0，故由上式得 a 1 =d，即 d a 1 =1，此时数列为 d, 2d, 3d, 4d，满足题设。 综上可知， d a 1 的值为 4 或 1。 (ii)若 n 6，则从满足题设的数列 a 1 ,a 2 , ,a n 中删去一项后得到的数列，必有原数 列中的连续
17、三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列 a 1 ,a 2 , ,a n 的公差必为 0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数 n 5，又因题设 n 4，故 n=4 或 5. 当 n=4 时，由（ i）中的讨论知存在满足题设的数列。 当 n=5 时，若存在满足题设的数列 a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ，则由“基本事实”知，删去的项只能 是 a 3 ，从而 a 1 ,a 2 ,a 4 ,a 5 成等比数列，故 (a 1 +d) 2 =a 1 (a 1 +3d) 及 (a 1 +3d) 2 =(a 1 +d)(a 1 +4d) 分别化简上述两个等式，得
18、 a 1 d=d 2 及 a 1 d= 5d,故 d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项 数为 5 的等差数列。 综上可知， n 只能为 4. （ 2） 假设对于某个正整数 n， 存在一个公差为 d的 n 项等差数列 b 1 ,b 1 + d,， b1+(n-1) d(b 1 d0)， 其中三项 b 1+m1 d,b 1+m2 d,b 1+m3 d成等比数列， 这里 0m 1m2 . （ 1）当 12 p p 3 2log 时 . () 1 1 1 1 1 3, , 3, , xp px x pb fx x ap = ， () 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3, 3, xp
19、px x pb fx x ap + + = 当 1 ,x pb ， () () 21 3 log 21 0 2 331, pp fx fx =，所以 () () 12 f xfx=因为 ( ) ( ) 12 0, 0fx fx，所以 () () 12 f xfx 故 () () 2 f xfx= = 23 log 2 3 px+ 因为 () ()f afb= ，所以 231 log 2 33 pabp + = ，所以 12 3 log 2,bp p a =+ 即 12 3 log 2ab p p+= + + 当 21 ,x pp 时，令 () () 12 f xfx= ，则 231 log 2
20、 33 xppx + = ，所以 12 3 log 2 2 pp x + = ， 当 12 3 2 log 2 , 2 pp xp + 时， ( ) ( ) 12 f xfx ，所以 ( ) ( ) 2 f xfx= = 23 log 2 3 xp+ 12 3 1 log 2 , 2 pp x p + 时， ( ) ( ) 12 f xfx ，所以 ( ) ( ) 1 f xfx= = 1 3 px ()f x 在区间 ,ab上的单调增区间的长度和 12 3 log 2 2 pp bp p + + = 12 3 log 2 222 pp ab ba bb + + = （ 2）当 21 p p
21、3 2log 时 . () 1 1 1 1 1 3, , 3, , xp px x pb fx x ap = ， () 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3, 3, xp px x pb fx x ap + + = 当 2 ,x pb ， () () 21 3 log 21 0 2 331, pp fx fx =因为 ( ) ( ) 12 0, 0fx fx，所以 () () 12 f xfx ， 故 () () 2 f xfx= = 23 log 2 3 xp+ 当 1 ,x ap ， () () 12 3 log 21 0 2 331, pp fx fx =， 所以 () (
22、) 12 f xfx 故 () () 1 f xfx= = 1 3 px 因为 () ()f afb= ，所以 231 log 2 33 bppa + = ，所以 12 3 log 2ab p p+ =+ 当 12 ,x pp 时，令 () () 12 f xfx= ，则 231 log 2 33 pxxp + = ，所以 12 3 log 2 2 pp x + = ， 当 12 3 1 log 2 , 2 pp xp + 时， ( ) ( ) 12 f xfx ，所以 ( ) ( ) 1 f xfx= = 1 3 x p 12 3 1 log 2 , 2 pp x p + 时， ( ) ( ) 12 f xfx ，所以 ( ) ( ) 2 f xfx= = 23 log 2 3 px+ ()f x 在区间 ,ab上的单调增区间的长度和 12 3 21 log 2 2 pp bp p + + + = 12 3 log 2 222 pp ab ba bb + + = 综上得 ()f x 在区间 ,ab上的单调增区间的长度和为 2 ba
