1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页，共 150 分 第 I 卷 考生注意： 1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答若在试题卷上作答，答案无效 3考试结束，监考员将试题卷、答
2、题卡一并收回 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=ii 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P ，那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 () (1 ) kk nk nn Pk CP P = 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1化简 2 24 (1 ) i i + + 的
3、结果是（ ） 2 i+ 2 i+ 2 i 2 i 2 32 1 lim 1 x x x x （ ） 等于 0 等于 1 等于 3 不存在 3若 tan 3 4 = ，则 cot 等于（ ） 2 1 2 1 2 2 4已知 3 3 n x x + 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64 ，则 n等 于（ ） 4 5 6 7 5若 0 2 x，则下列命题中正确的是（ ） 3 sin x x 2 2 4 sin x x 6若集合 012M = ， ， ， ()210 210Nxyxy xy xyM=+ ，且， ，则 N 中元素的个数为（ ） 9 6 4 2 7如图，正方体 1 AC
4、 的棱长为 1，过点 A作平面 1 ABD的垂线，垂足为点 H ，则以下命题 中，错误 的命题是（ ） 点 H 是 1 ABD 的垂心 AH 垂直平面 11 CB D AH 的延长线经过点 1 C 直线 AH 和 1 BB 所成角为 45 null 8四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口 半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的 高度从左到右依次为 1 h ， 2 h ， 3 h ， 4 h ，则它们的大小关系正确的是（ ） 214 hhh 123 hhh 324 hhh 241 hhh 9 设椭圆 22 22 1(
5、 0) xy ab ab +=的离心率为 1 e 2 = ，右焦点为 (0)Fc， ，方程 2 0ax bx c+=的两个实根分别为 1 x 和 2 x ，则点 12 ()Px x， （ ） 必在圆 22 2xy+=内 必在圆 22 2xy+ = 上 A D 1 D 1 C 1 A 1 B B H C 必在圆 22 2xy+=外 以上三种情形都有可能 10将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次 成等差数列的概率为（ ） 1 9 1 12 1 15 1 18 11设函数 ()f x 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数，则曲线 ()y fx= 在 5x= 处的切线的斜 率为（ ） 1 5
6、0 1 5 5 12设 2 :() e ln 2 1 x p fx x x mx=+ + + +在 (0 )+， 内单调递增， :5qm ，则 p 是 q的 （ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 第 II 卷 注意事项： 第 II 卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试卷题上作答，答案无 效 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把答案填在答题卡上 13设函数 2 4log( 1)( 3)yxx=+ ，则其反函数的定义域为 14已知数列 n a 对于任意
7、* pqN， ，有 pq pq aaa + + = ，若 1 1 9 a = ，则 36 a = 15如图，在 ABC 中，点 O是 BC 的中点，过点 O的直线分别交 直线 AB ， AC 于不同的两点 M N， ， 若 ABmAM= nullnullnullnull nullnullnullnullnull ， ACnAN= nullnullnullnull nullnullnullnull ， 则 mn+ 的值为 16设有一组圆 224* :( 1) ( 3 ) 2 ( ) k Cxk yk kk+ + = N 下列四 个命题： 存在一条定直线与所有的圆均相切 存在一条定直线与所有的圆均
8、相交 存在一条定直线与所有的圆均不 相交 所有的圆均不 经过原点 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 1(0) () 2(1) x c cx x c fx kcx + = + 18 （本小题满分 12 分） 如图，函数 2cos( )( 0 ) 2 yxx =+R， 的图象与 y 轴交于点 (0 3)， ，且在该点 处切线的斜率为 2 （ 1）求 和 的值； B A O N C M y x 3 O A P （ 2） 已知点 0 2 A ， ， 点 P 是该
9、函数图象上一点， 点 00 ()Qx y， 是 PA的中点， 当 0 3 2 y = ， 0 2 x ， 时，求 0 x 的值 19 （本小题满分 12 分） 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一 次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经 过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5， 0.6 ， 0.4 ，经过第二次烧 制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6 ， 0.5， 0.75 （ 1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； （ 2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 ，求随机变
10、量 的期望 20 （本小题满分 12 分） 右图是一个直三棱柱（以 111 ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC 已知 11 11 1AB BC=， 111 90ABC= null ， 1 4AA = ， 1 2BB = ， 1 3CC = （ 1）设点 O是 AB 的中点，证明： OC 平面 111 ABC； （ 2）求二面角 1 B AC A的大小； （ 3）求此几何体的体积 21 （本小题满分 12 分） 设动点 P 到点 (10)A ， 和 (1 0)B ， 的距离分别为 1 d 和 2 d ， 2APB =，且存在常数 (0 1) ，使得 2 12 sindd =
11、（ 1）证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方程； （ 2）过点 B 作直线双曲线 C 的右支于 M N， 两点，试确定 的范 围，使 OM ON = 0 nullnullnullnullnull nullnullnullnull i ，其中点 O为坐标原点 22 （本小题满分 14 分） 设正整数数列 n a 满足： 2 4a = ，且对于任何 * nN ，有 1 1 11 22 11 1 nn aa nn + + + + + + （ 1）求 1 a ， 3 a ； （ 3）求数列 n a 的通项 n a A B C O 1 A 1 B 1 C y y P B O A 1 d
12、 2 d 2 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学参考答案 一、选择题 1 C 2 B 3 A 4 C 5 D 6 C 7 D 8 A 9 A 10 B 11 B 12 B 二、填空题 13 5 )+， 14 4 15 2 16 B D， 三、解答题 17解： （ 1）因为 01c ，所以 2 cc ， 由 2 9 () 8 fc = ，即 3 9 1 8 c += ， 1 2 c= 又因为 4 11 10 22 () 1 21 2 x xx fx kx + = + 在 1 2 x= 处连续， 所以 2 15 2 24 fk =+= ，即 1k = （ 2）由（ 1）得
13、： 4 11 10 22 () 1 21 1 2 x xx fx x + = +得，当 1 0 2 x时，解得 21 42 x 当 1 1 2 x 时，解得 15 28 x+的解集为 25 48 xx 18解： （ 1）将 0 x= ， 3y = 代入函数 2cos( )yx = + 得 3 cos 2 = ， 因为 0 2 ，所以 6 = 又因为 2sin( )yx = + ， 0 2 x y = = ， 6 = ，所以 2 = ， 因此 2cos 2 6 yx =+ （ 2）因为点 0 2 A ， ， 00 ()Qx y， 是 PA的中点， 0 3 2 y = ， 所以点 P 的坐标为 0
14、 23 2 x ， 又因为点 P 在 2cos 2 6 yx =+ 的图象上，所以 0 53 cos 4 62 x = 因为 0 2 x ，所以 0 7519 4 666 x ， 从而得 0 511 4 66 x = 或 0 513 4 66 x = 即 0 2 3 x = 或 0 3 4 x = 19解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 1 A ， 2 A ， 3 A ， （ 1）设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 123 123 123 ()()()()PE PAA A PAA A PAA A=+ii ii ii 0.5 0.4 0.6 0.5 0.6 0.6 0.5 0.
15、4 0.4 0.38=+= （ 2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 0.3p= ， 所以 (30.3)B ， ， 故 30.3 0.9Enp = 解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A BC， ，则 () () () 0.3PA PB PC=， 所以 3 ( 0) (1 0.3) 0.343P = = ， 2 ( 1) 3 (1 0.3) 0.3 0.441P = = ， 2 ( 2) 3 0.3 0.7 0.189P = = ， 3 ( 3) 0.3 0.027P = = 于是， ( ) 1 0.441 2 0.189 3 0.027 0.9E = + +
16、= 20解法一： （ 1）证明：作 1 OD AA 交 11 AB于 D，连 1 CD 则 11 OD BB CC 因为 O是 AB 的中点， 所以 11 1 1 ()3 2 OD AA BB CC=+= 则 1 ODCC 是平行四边形，因此有 1 OC C D 1 CD平面 111 CBA且 OC 平面 111 CBA， 则 OC 面 111 ABC （ 2）如图，过 B 作截面 22 BA C 面 111 ABC，分别交 1 AA ， 1 CC 于 2 A ， 2 C 作 22 BHAC 于 H ，连 CH 因为 1 CC 面 22 BAC ，所以 1 CC BH ，则 BH 平面 1 A
17、C 又因为 5AB = ， 2BC = ， 222 3AC AB BC AC= = + 所以 BCAC ，根据三垂线定理知 CH AC ，所以 BCH 就是所求二面角的平面角 因为 2 2 BH = ，所以 1 sin 2 BH BCH BC = = ，故 30BCH = null ， 即：所求二面角的大小为 30 null （ 3）因为 2 2 BH = ，所以 22 22 11121 (1 2) 2 332 B AACC AACC VSBH =+=iiii 111 2 2 111 1 1 21 2 ABC ABC ABC VSB =ii 所求几何体体积为 22 111 2 2 3 2 BA
18、ACC ABC ABC VV V =+ = 解法二： （ 1）如图，以 1 B 为原点建立空间直角坐标系， 则 (0 1 4)A ， ， ， (0 0 2)B ， ， ， (1 0 3)C ， ， ，因为 O是 AB 的中点，所以 1 03 2 O ， ， A B C O 1 A 1 B 1 C H 2 A 2 C D 1 10 2 OC = nullnullnullnull ， 易知， (0 0 1)n= null ， ， 是平面 111 ABC的一个法向量 因为 0OC n= nullnullnullnull null i ， OC 平面 111 ABC，所以 OC 平面 111 ABC
19、（ 2） (0 1 2)AB = nullnullnullnull ， ， (1 0 1)BC = nullnullnullnull ， ， ， 设 ()mxyz= nullnull ， 是平面 ABC 的一个法向量，则 则 0AB m= nullnullnullnullnullnull i ， 0BC m= nullnullnullnull nullnull i 得： 20 0 yz xz = += 取 1x z= = ， (1 2 1)m= nullnull ， ， 显然， (1 1 0)l = null ， ， 为平面 11 AACC 的一个法向量 则 120 3 cos 2 26 ml
20、 ml ml + = = nullnull null nullnull null i nullnull null i ， ，结合图形可知所求二面角为锐角 所以二面角 1 B AC A的大小是 30 null （ 3）同解法一 21解法一： （ 1）在 PAB 中， 2AB = ，即 222 12 12 cos2dd dd =+ ， 22 12 12 4( ) 4 sindd dd = + ，即 2 12 12 44 sin 21 2dd dd = = （常数） ， 点 P 的轨迹 C 是以 AB， 为焦点，实轴长 221a = 的双曲线 方程为： 22 1 1 xy = （ 2）设 11 ()
21、M xy， ， 22 ()Nx y， 当 MN 垂直于 x轴时， MN 的方程为 1x = ， (1 1)M ， ， (1 1)N ， 在双曲线上 即 2 11 15 110 12 =+= ，因为 01 + + + 由知， 51 2 23 解法二： （ 1）同解法一 （ 2）设 11 ()M xy， ， 22 ()Nx y， ， MN 的中点为 00 ()Ex y， 当 12 1xx=时， 2 2 110 1 MB =+= ， 因为 01 ，所以 2 (1 ) 1 23 ，又 01 ， 解得： 51 2 23 由知 51 2 23 22解： （ 1）据条件得 11 11 2(1) 2 nnnn
22、 nn aaaa + + + + 当 1n= 时，由 212 1 111 1 22 2 aaa a + + + ，即有 11 122 1 22 44aa + +， 解得 1 28 37 a因为 1 a 为正整数，故 1 1a = 当 2n= 时，由 33 111 1 26 2 44aa + + + ， 解得 3 810a，所以 3 9a = （ 2）方法一：由 1 1a = ， 2 4a = ， 3 9a = ，猜想： 2 n an= 下面用数学归纳法证明 1 null 当 1n= ， 2 时，由（ 1）知 2 n an= 均成立； 2 null 假设 (2)nkk= 成立，则 2 k ak=
23、 ，则 1nk= + 时 由得 22 11 11 2(1) 2 kk kk akak + + + + 22 1 2 (1) ( 1) 11 k kk kk k a kk k + + 2 22 1 2 (1) 1 (1) (1) 11 k k ka kk + + + + + 因为 2k 时， 22 (1)(1) (1)(2)0kkkk+ = + ，所以 ( 2 2 (1) 01 1 k k + + ， 11k ，所以 ( 1 01 1k ， 又 1k a + * N ，所以 22 1 (1) (1) k kak + + 故 2 1 (1) k ak + =+，即 1nk=+时， 2 n an=
24、成立 由 1 null ， 2 null 知，对任意 n * N ， 2 n an= （ 2）方法二： 由 1 1a = ， 2 4a = ， 3 9a = ，猜想： 2 n an= 下面用数学归纳法证明 1 null 当 1n= ， 2 时，由（ 1）知 2 n an= 均成立； 2 null 假设 (2)nkk= 成立，则 2 k ak= ，则 1nk= + 时 由得 22 11 11 2(1) 2 kk kk akak + + + + 即 2 11 11(1)1 22 kk kkk aka k + + + + 由左式，得 2 1 11 k kkk ka + + ，即 32 1 (1) k
25、 ka kkk + +，因为两端为整数， 则 32 2 1 (1) 1(1)(1) k ka kkk k k + +=+ 于是 2 1 (1) k ak + + 又由右式， 22 22 1 (1)2 1(1) 1 k kk k kk k k ak + + + 因为两端为正整数，则 243 1 (1) 1 k kk a kk + + + + ， 所以 43 2 1 22 1 (1) 11 k kk k ak kk kk + + =+ + + 又因 2k 时， 1k a + 为正整数，则 2 1 (1) k ak + + 据 2 1 (1) k ak + =+，即 1nk=+时， 2 n an= 成立 由 1 null ， 2 null 知，对任意 n * N ， 2 n an=
