1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试 （山东卷） 文科数学 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，选 择一个符合题目要求的选项 1复数 43i 1+2i + 的实部是（ ） A 2 B 2 C 3 D 4 2已知集合 1 1 11 | 2 4 2 x MNx x + = = ， D对任意的 32 10 xRx x +， 8某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介 于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六 组：每一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二 组，成绩大于等于 14 秒且小于
2、15 秒；第六组， 成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于 17 秒 的学生人数占全班人数的百分比为 x ，成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y ，则从频率分布直方 图中可以分析出 x 和 y 分别为（ ） A 0.9 35， B 0.9 45， C 0.1 35， D 0.1 45， 9设 O 是坐标原点， F 是抛物线 2 2( 0)ypxp= 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA nullnullnullnull 与 x 轴正向的夹角为 60 null ，则 OA nullnullnullnull 为（ ） A
3、 21 4 p B 21 2 p C 13 6 p D 13 36 p 10阅读右边的程序框，若输入的 n 是 100，则输出的 变量 S 和 T 的值依次是（ ） A 2550， 2500 B 2550， 2550 C 2500， 2500 D 2500， 2550 11设函数 3 y x= 与 2 1 2 x y = 的图象的交点为 00 ()x y， ， 则 0 x 所在的区间是（ ） A (0 1)， B (1 2)， C (2 3)， D (3 4)， 12设集合 1 2 1 2 3AB=， ， ， ，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ，确定平面 上的一个点 ()P
4、a b， ，记“点 ()Pa b， 落在直线 x yn+ = 上”为事件 (2 5 ) n CnnN， ，若事件 n C 的概率最大，则 n 的所有可能值为（ ） A 3 B 4 C 2 和 5 D 3 和 4 0 13 14 15 16 17 18 19 秒 频率 0.02 0.04 0.06 0.18 0.34 0.36 开始 输入 n 00ST=， 2?x ， 的图象恒过定点 A ， 若点 A 在直线 10( 0)mx ny mn+ = 上，则 11 mn + 的最小值为 15当 (1 2)x ， 时，不等式 2 40 xmx+ 时，函数 ()f x 没有极值点；当 0ab ， C 是锐
5、角 1 cos 8 C = （ 2） 5 2 CB CA = nullnullnullnullnullnullnullnull i ， 5 cos 2 ab C = ， 20ab = 又 9ab+= 22 281aabb += 22 41ab += 222 2 cos 36cab abC =+ = 6c = 18解： （ 1）由已知得 123 13 2 7 : (3)(4) 3. 2 aaa aa a += + + = ， 解得 2 2a = 设数列 n a 的公比为 q ，由 2 2a = ，可得 13 2 2aaq q =， 又 3 7S = ，可知 2 22 7q q + =， 即 2
6、2520qq+=， 解得 12 1 2 2 qq=， 由题意得 12qq=， 1 1a = 故数列 n a 的通项为 1 2 n n a = （ 2）由于 31 ln 1 2 nn ban + =null， 由（ 1）得 3 31 2 n n a + = 3 ln 2 3 ln 2 n n bn = 又 1 3ln2 nn n bb + = n b 是等差数列 12nn Tbb b =+null 1 () 2 (3ln 2 3ln 2) 2 3( 1) ln 2. 2 n nb b n nn + = + = + = 故 3( 1) ln 2 2 n nn T + = 19 解： 设公司在甲电视
7、台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟， 总收益为 z 元， 由题意得 300 500 200 90000 00. xy xy xy + + ， ， ， 目标函数为 3000 2000z xy=+ 二元一次不等式组等价于 300 5 2 900 00. xy xy xy + + ， ， ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域 如图： 0 100 200 300 100 200 300 400 500 y x l M 作直线 : 3000 2000 0lx y+=， 即 32 0 xy+= 平移直线 l ，从图中可知，当直线 l 过 M 点时，目标函数取得最大值 联立
8、300 5 2 900. xy xy += += ， 解得 100 200 xy=， 点 M 的坐标为 (100 200)， max 3000 2000 700000zxy =+= （元） 答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最 大收益是 70 万元 20 （ 1）证明：在直四棱柱 111 1 ABCD A B C D 中， 连结 1 CD， 1 DC DD= ， 四边形 11 DCC D 是正方形 11 DC D C 又 AD DC ， 11 AD DD DC DD D=， ， AD 平面 11 DCC D ， 1 DC平面 11 DCC
9、 D ， 1 AD D C 1 AD DC ， 平面 1 ADC ， 且 ADDCD= ， 1 DC 平面 1 ADC ， 又 1 AC 平面 1 ADC ， 1 DC AC 1 （ 2）连结 1 AD ，连结 AE ， 设 11 AD A D M= ， B C D A 1 A 1 D 1 C 1 B B C D A 1 A 1 D 1 C 1 B M E BDAEN= ，连结 MN ， 平面 1 AD E 平面 1 ABD MN= ， 要使 1 DE 平面 1 ABD， 须使 1 MNDE ， 又 M 是 1 AD 的中点 N 是 AE 的中点 又易知 ABN EDN ， ABDE = 即
10、E 是 DC 的中点 综上所述，当 E 是 DC 的中点时，可使 1 DE 平面 1 ABD 21证明：因为 2 () ln 0fx ax b x ab=+ ， ，所以 ()f x 的定义域为 (0 )+， ()f x 2 2 2 baxb ax xx + =+= 当 0ab 时，如果 00()0()abfx fx ， ， 在 (0 )+， 上单调递增； 如果 00()0()abfx fx ，函数 ()f x 没有极值点 当 0ab ， 时， () ()f xfx ， 随 x 的变化情况如下表： x 0 2 b a ， 2 b a 2 b a + ， ()f x 0 + ()f x null
11、极小值 null 从上表可看出， 函数 ()f x 有且只有一个极小值点，极小值为 1ln 22 2 bb b f aa = 当 00ab， 时， () ()f xfx ， 随 x 的变化情况如下表： x 0 2 b a ， 2 b a 2 b a + ， ()f x 0 + ()f x null 极大值 null 从上表可看出， 函数 ()f x 有且只有一个极大值点，极大值为 1ln 22 2 bb b f aa = 综上所述， 当 0ab 时，函数 ()f x 没有极值点； 当 0ab ， 时，函数 ()f x 有且只有一个极小值点，极小值为 1ln 22 bb a 若 00ab， 时，
12、函数 ()f x 有且只有一个极大值点，极大值为 1ln 22 bb a 22解： （ 1）由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1( 0) xy ab ab + =， 由已知得： 31ac ac+= =， ， 222 21 3 ac bac = = ， 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy += （ 2）设 11 2 2 ()( )Ax y Bx y， ， 联立 22 1. 43 y kx m xy =+ += ， 得 22 2 (3 4 ) 8 4( 3) 0kx mkx m+=，则 22 2 2 2 2 12 2 2 12 2 64 16(3 4 )( 3) 0 3 4 0 8 34
13、4( 3) . 34 mk k m k m mk xx k m xx k = + + += + = + ，即 ， ， 又 22 22 12 1 2 12 1 2 2 3( 4 ) ()() () 34 mk yy kx m kx m kxx mkx x m k =+ += + += + 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 (2 0)D ， ， 1 AD BD kk = ，即 12 12 1 22 yy xx = i 12 12 1 2 2( ) 4 0yy xx x x += 22 2 222 3( 4 ) 4( 3) 15 40 34 34 34 mk m mk kk += + 22 716 40mmkk += 解得： 12 2 2 7 k mkm= =， ，且均满足 22 34 0km+ 当 1 2mk= 时， l 的方程 (2)ykx=，直线过点 (2 0)， ，与已知矛盾； 当 2 2 7 k m = 时， l 的方程为 2 7 ykx = ，直线过定点 2 0 7 ， 所以，直线 l 过定点，定点坐标为 2 0 7 ，
