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    2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-全国1.pdf

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    2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-全国1.pdf

    1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第卷(选择题)和第卷 (非选择题)两部分第卷 1 至 2 页, 第卷 3 至 4 页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 第卷 注意事项: 1答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 参考公式:

    2、 如果事件 A B, 互斥,那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B, 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=ii 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 3 4 3 VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) ( 012 ) kk nk nn Pk Cp p n n =null, , , 一、选择题 ( 1)设 210Sxx=+, 350Txx=,则 ST= ( ) 1 2 xx 15 23 xx ( 2) 是第四象

    3、限角, 12 cos 13 = , sin =( ) 5 13 5 13 5 12 5 12 ( 3)已知向量 (56)=,a , (6 5)= ,b ,则 a 与 b ( ) 垂直 不垂直也不平行 平行且同向 平行且反向 ( 4)已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (40) , , (4 0), ,则双曲线方程为( ) 22 1 412 xy = 22 1 12 4 xy = 22 1 10 6 xy = 22 1 610 xy = ( 5)甲、乙、丙 3位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3门,则 不同的选修方案共有( ) 36种 48 种 96种 192种 (

    4、 6)下面给出四个点中,位于 10 10 xy xy + , 表示的平面区域内的点是( ) (0 2), (20) , (0 2), (2 0), ( 7)如图,正四棱柱 111 1 ABCD A B C D 中, 1 2AA AB= ,则异面直线 1 AB与 1 AD 所成角 的余弦值为( ) 1 5 2 5 3 5 4 5 ( 8)设 1a ,函数 () log a f xx= 在区间 2aa, 上的最大值与最小值之差为 1 2 ,则 a = ( ) 2 2 22 4 ( 9) ()f x , ()gx是定义在 R 上的函数, () () ()hx f x gx= + ,则“ ()f x

    5、, ()gx均为偶 函数”是“ ()hx为偶函数”的( ) 充要条件 充分而不必要的条件 必要而不充分的条件 既不充分也不必要的条件 ( 10)函数 2 2cosy x= 的一个单调增区间是( ) 44 , 0 2 , 3 44 , 2 , ( 11)曲线 3 1 3 y xx=+在点 4 1 3 , 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) 1 9 2 9 1 3 2 3 ( 12)抛物线 2 4y x= 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴 上方的部分相交于点 A , AKl ,垂足为 K ,则 AKF 的面积是( ) 4 33 43 8 1 A

    6、1 D 1 C 1 B D B C A 第卷 注意事项: 1答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚,然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 在试题卷上作答无效 3本卷共 10 题,共 90 分 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在横线上 ( 13)从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取 20 袋,测得各袋的质量分别为(单位: g ) : 492 496 494 495 498 497 501 502 504

    7、496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5g 501.5g 之间的概率约为 _ ( 14)函数 ()yfx= 的图像与函数 3 log ( 0)yxx= 的图像关于直线 yx= 对称,则 ()f x =_ ( 15)正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点 S, A, B, C, D 都在同一 个球面上,则该球的体积为 _ ( 16)等比数列 n a 的前 n 项和为 n S ,已知 1 S , 2 2S , 3 3S 成等差数列,则 n a 的公比为 _

    8、三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ( 17) (本小题满分 10 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 2sinabA= ()求 B 的大小; ()若 33a = , 5c = ,求 b ( 18) (本小题满分 12 分) 某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计,顾客采用 一次性付款的概率是 0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润 200 元; 若顾客采用分期付款,商场获得利润 250 元 ()求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付

    9、款的概率; ()求 3 位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元的概率 ( 19) (本小题满分 12 分) 四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC 底面 ABCD,已知 45ABC=, 2AB = , 22BC = , 3SA SB= ()证明: SA BC ; ()求直线 SD 与平面 SBC 所成角的大小 S C D A B ( 20) (本小题满分 12 分) 设函数 32 () 2 3 3 8f x x ax bx c=+ +在 1x = 及 2x = 时取得极值 ()求 a、 b 的值; ()若对于任意的 0 3x , ,都有 2 (

    10、)f xc 成立,求 c 的取值范围 ( 21) (本小题满分 12 分) 设 n a 是等差数列, n b 是各项都为正数的等比数列,且 11 1ab= = , 35 21ab+=, 53 13ab+= ()求 n a , n b 的通项公式; ()求数列 n n a b 的前 n 项和 n S ( 22) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 22 1 32 xy +=的左、右焦点分别为 1 F , 2 F ,过 1 F 的直线交椭圆于 B, D 两点,过 2 F 的直线交椭圆于 A, C 两点,且 ACBD ,垂足为 P ()设 P 点的坐标为 00 ()x y, ,证明: 22 00 1

    11、 32 xy + ; 当 (1 2)x , 时, () 0fx 所以,当 1x = 时, ()f x 取得极大值 (1) 5 8f c= + ,又 (0) 8f c= , (3) 9 8f c=+ 则当 03x , 时, ()f x 的最大值为 (3) 9 8f c= + 因为对于任意的 03x , ,有 2 ()f xc 恒成立, 所以 2 98cc+, 解得 1c , 因此 c 的取值范围为 (1)(9) +, 21解: ()设 n a 的公差为 d , n b 的公比为 q ,则依题意有 0q 且 4 2 12 21 14 13 dq dq += += , , 解得 2d = , 2q

    12、= 所以 1( 1) 2 1 n andn=+ = , 11 2 nn n bq = () 1 21 2 n n n a n b = 12 2 1 35 2321 1 22 2 2 n nn S =+ + + + +null , 32 52321 223 222 n nn S =+ + +null , 得 221 22 2 21 22 22 2 2 n nn n S =+ + + null , 221 11 1 21 22 1 22 2 2 nn n =+ + + null 1 1 1 1 21 2 22 1 2 1 2 n n n =+ 1 23 6 2 n n + = 22证明 ()椭圆的

    13、半焦距 321c =, 由 AC BD 知点 P 在以线段 12 FF 为直径的圆上, 故 22 00 1xy+=, 所以, 22 22 00 00 1 1 32 222 xy xy += () ()当 BD 的斜率 k 存在且 0k 时, BD 的方程为 (1)ykx= + ,代入椭圆方程 22 1 32 xy +=,并化简得 2222 (3 2) 6 3 6 0kxkxk+= 设 11 ()B xy, , 22 ()Dx y, ,则 2 12 2 6 32 k xx k += + , 2 12 2 36 32 k xx k = + , 2 222 12 22 12 2 43( 1) 1(1

    14、)()4 32 k BD k x x k x x x x k + =+ = + + = + ii ; B 1 F O 2 F P D A y x C 因为 AC 与 BC 相交于点 p ,且 AC 的斜率为 1 k 所以, 22 2 2 1 43 1 43( 1) 1 23 32 kk AC k k + + = + + 四边形 ABCD 的面积 22 22 222 22 1 24( 1) ( 1) 96 2(32(3 5 (3 2) (2 3) 2 kk SBDAC kk kk +24+ = = + + + ii 当 2 1k = 时,上式取等号 ()当 BD的斜率 0k = 或斜率不存在时,四边形 ABCD 的面积 4S = 综上,四边形 ABCD 的面积的最小值为 96 25


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