1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷 （非选择题）两部分第卷 1 至 2 页， 第卷 3 至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 参考公式：
2、 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=ii 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 3 4 3 VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) ( 012 ) kk nk nn Pk Cp p n n =null， ， ， 一、选择题 （ 1）设 210Sxx=+， 350Txx=，则 ST= （ ） 1 2 xx 15 23 xx （ 2） 是第四象
3、限角， 12 cos 13 = ， sin =（ ） 5 13 5 13 5 12 5 12 （ 3）已知向量 (56)=，a ， (6 5)= ，b ，则 a 与 b （ ） 垂直 不垂直也不平行 平行且同向 平行且反向 （ 4）已知双曲线的离心率为 2 ，焦点是 (40) ， ， (4 0)， ，则双曲线方程为（ ） 22 1 412 xy = 22 1 12 4 xy = 22 1 10 6 xy = 22 1 610 xy = （ 5）甲、乙、丙 3位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3门，则 不同的选修方案共有（ ） 36种 48 种 96种 192种 （
4、 6）下面给出四个点中，位于 10 10 xy xy + ， 表示的平面区域内的点是（ ） (0 2)， (20) ， (0 2)， (2 0)， （ 7）如图，正四棱柱 111 1 ABCD A B C D 中， 1 2AA AB= ，则异面直线 1 AB与 1 AD 所成角 的余弦值为（ ） 1 5 2 5 3 5 4 5 （ 8）设 1a ，函数 () log a f xx= 在区间 2aa， 上的最大值与最小值之差为 1 2 ，则 a = （ ） 2 2 22 4 （ 9） ()f x ， ()gx是定义在 R 上的函数， () () ()hx f x gx= + ，则“ ()f x
5、， ()gx均为偶 函数”是“ ()hx为偶函数”的（ ） 充要条件 充分而不必要的条件 必要而不充分的条件 既不充分也不必要的条件 （ 10）函数 2 2cosy x= 的一个单调增区间是（ ） 44 ， 0 2 ， 3 44 ， 2 ， （ 11）曲线 3 1 3 y xx=+在点 4 1 3 ， 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） 1 9 2 9 1 3 2 3 （ 12）抛物线 2 4y x= 的焦点为 F ，准线为 l ，经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴 上方的部分相交于点 A ， AKl ，垂足为 K ，则 AKF 的面积是（ ） 4 33 43 8 1 A
6、1 D 1 C 1 B D B C A 第卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作答无效 3本卷共 10 题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在横线上 （ 13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取 20 袋，测得各袋的质量分别为（单位： g ） ： 492 496 494 495 498 497 501 502 504
7、496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5g 501.5g 之间的概率约为 _ （ 14）函数 ()yfx= 的图像与函数 3 log ( 0)yxx= 的图像关于直线 yx= 对称，则 ()f x =_ （ 15）正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点 S， A， B， C， D 都在同一 个球面上，则该球的体积为 _ （ 16）等比数列 n a 的前 n 项和为 n S ，已知 1 S ， 2 2S ， 3 3S 成等差数列，则 n a 的公比为 _
8、三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17） （本小题满分 10 分） 设锐角三角形 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 2sinabA= （）求 B 的大小； （）若 33a = ， 5c = ，求 b （ 18） （本小题满分 12 分） 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用 一次性付款的概率是 0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润 200 元； 若顾客采用分期付款，商场获得利润 250 元 （）求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付
9、款的概率； （）求 3 位顾客每人购买 1 件该商品，商场获得利润不超过 650 元的概率 （ 19） （本小题满分 12 分） 四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC 底面 ABCD，已知 45ABC=， 2AB = ， 22BC = ， 3SA SB= （）证明： SA BC ； （）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的大小 S C D A B （ 20） （本小题满分 12 分） 设函数 32 () 2 3 3 8f x x ax bx c=+ +在 1x = 及 2x = 时取得极值 （）求 a、 b 的值； （）若对于任意的 0 3x ， ，都有 2 (
10、)f xc 成立，求 c 的取值范围 （ 21） （本小题满分 12 分） 设 n a 是等差数列， n b 是各项都为正数的等比数列，且 11 1ab= = ， 35 21ab+=， 53 13ab+= （）求 n a ， n b 的通项公式； （）求数列 n n a b 的前 n 项和 n S （ 22） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 1 32 xy +=的左、右焦点分别为 1 F ， 2 F ，过 1 F 的直线交椭圆于 B， D 两点，过 2 F 的直线交椭圆于 A， C 两点，且 ACBD ，垂足为 P （）设 P 点的坐标为 00 ()x y， ，证明： 22 00 1
11、 32 xy + ； 当 (1 2)x ， 时， () 0fx 所以，当 1x = 时， ()f x 取得极大值 (1) 5 8f c= + ，又 (0) 8f c= ， (3) 9 8f c=+ 则当 03x ， 时， ()f x 的最大值为 (3) 9 8f c= + 因为对于任意的 03x ， ，有 2 ()f xc 恒成立， 所以 2 98cc+， 解得 1c ， 因此 c 的取值范围为 (1)(9) +， 21解： （）设 n a 的公差为 d ， n b 的公比为 q ，则依题意有 0q 且 4 2 12 21 14 13 dq dq += += ， ， 解得 2d = ， 2q
12、= 所以 1( 1) 2 1 n andn=+ = ， 11 2 nn n bq = （） 1 21 2 n n n a n b = 12 2 1 35 2321 1 22 2 2 n nn S =+ + + + +null ， 32 52321 223 222 n nn S =+ + +null ， 得 221 22 2 21 22 22 2 2 n nn n S =+ + + null ， 221 11 1 21 22 1 22 2 2 nn n =+ + + null 1 1 1 1 21 2 22 1 2 1 2 n n n =+ 1 23 6 2 n n + = 22证明 （）椭圆的
13、半焦距 321c =， 由 AC BD 知点 P 在以线段 12 FF 为直径的圆上， 故 22 00 1xy+=， 所以， 22 22 00 00 1 1 32 222 xy xy += （） （）当 BD 的斜率 k 存在且 0k 时， BD 的方程为 (1)ykx= + ，代入椭圆方程 22 1 32 xy +=，并化简得 2222 (3 2) 6 3 6 0kxkxk+= 设 11 ()B xy， ， 22 ()Dx y， ，则 2 12 2 6 32 k xx k += + ， 2 12 2 36 32 k xx k = + ， 2 222 12 22 12 2 43( 1) 1(1
14、)()4 32 k BD k x x k x x x x k + =+ = + + = + ii ； B 1 F O 2 F P D A y x C 因为 AC 与 BC 相交于点 p ，且 AC 的斜率为 1 k 所以， 22 2 2 1 43 1 43( 1) 1 23 32 kk AC k k + + = + + 四边形 ABCD 的面积 22 22 222 22 1 24( 1) ( 1) 96 2(32(3 5 (3 2) (2 3) 2 kk SBDAC kk kk +24+ = = + + + ii 当 2 1k = 时，上式取等号 （）当 BD的斜率 0k = 或斜率不存在时，四边形 ABCD 的面积 4S = 综上，四边形 ABCD 的面积的最小值为 96 25
