1、2006 年普通高等学校招生考试全国统一考试(辽宁卷) 数学(供理科考生使用) 第 I 卷(选择题共 60 分) 参考公式: 如果事件 ,A B互斥,那么 球的表面积公式 ( ) () ()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 ,A B相互独立,那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB= 球的体积公式 如果事件 A 在一次实验中发生的概率是 P,那 3 4 3 VR= 么 n次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () ( )1 nk kk nn Pk CP P = 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60
2、分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1.设集合 1, 2 ,A= 则满足 1, 2, 3AB= 的集合 B 的个数是 A.1 B.3 C.4 D.8 2.设 ()f x 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A ()( )f xf x 是奇函数 B ( ) ( )f xf x 是奇函数 C () ( )f xfx 是偶函数 D ( ) ( )f xfx+ 是偶函数 3.给出下列四个命题: 垂直于同一直线的两条直线互相平行 . 垂直于同一平面的两个平面互相平行 . 若直线 12 ,ll与同一平面所成的角相等,则 12 ,ll互相平行 . 若直线 12 ,ll是异面直线,
3、则与 12 ,ll都相交的两条直线是异面直线 . 其中假命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 4.双曲线 22 4xy=的两条渐近线与直线 3x= 围成一个三角形区域,表示该区域的不等式 组是 A 0 0 03 xy xy x + B 0 0 03 xy xy x + C 0 0 03 xy xy x + D 0 0 03 xy xy x + 5.设 是 R 上的一个运算, A是 R 的非空子集 .若对任意 ,ab A 有 abA ,则称 A对 运算 封闭。下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不为零)四则运算都封闭的是 A.自然数集 B.整数集 C有理数集 D无理数集 6. ABC
4、的三内角 ,ABC所对边长分别为 ,abc, 设向量 ( )( ), ,p acbq baca= += JGG , 若 p JG q G ,则角 C 的大小为 A. 6 B 3 C 2 D 2 3 7.与方程 () 2 21 0 xx ye e x=+的曲线关于直线 y x= 对称的曲线的方程为 A () ln 1y x=+ B () ln 1y x= C ( ) ln 1y x= + D () ln 1y x= 8.曲线 () 22 16 10 6 xy m mm += 与曲线 () 22 15 9 59 xy n nn + = 则 1 2 gg = 14. 22 22 46 4 6 4 6
5、 57 5 7 5 7 lim 54 5 4 5 4 65 6 5 6 5 nn n nn + + = + + 15.5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员,现从中选出 3 名队员排成 1, 2, 3 号参 加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员,且 1, 2 号中至少有 1 名新队员的排 法有 种 . 16.若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ,则 cos = 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 () 22 sin 2sin cos 3cos , .f xxx
6、xxR=+ + 求: ( 1)函数 ()f x 的最大值及取得最大值的自变量 x的集合; ( 2)函数 ()f x 的单调增区间 . 18. (本小题满分 12 分 已知正方形 ,ABCD E F 分别是边 ,ABCD的中点,将 ADE 沿 DE 折起,如图所示,记 二面角 ADEC的大小为 ()0 。 ( 1)证明: BF 平面 ADE ( 2)若 ACD 为正三角形,试判断点 A在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上,证 明你的结论,并求角 的余弦值。 19. (本小题满分 12 分 现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资十万元,一年后的利润是 1.2 万元, 1.18 万元,
7、1.17 万元的概率分别为 111 ,; 623 已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中,价格 下降的概率都是 ()01pp,设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,记乙项目 产品价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目每投资十万元, 取 0, 1, 2 时,一年后相应 利润是 1.3 万元, 1.25 万元, 0.2 万元。随机变量 12 , 分别表示对甲、乙两项目各投资十万 元一年后的利润。 ( 1)求 12 , 的概率分布和数学期望 12 ,;EE ( 2)当 12 EE 上的两个动点, O是坐标 原点,向量 ,OA OB JJJG JJJG 满足 .OA OB OA O
8、B+= JJJG JJJGJJJG JJJG 设圆 C 的方程为 ()( ) 22 12 12 0.xy xxxyyy+ + + = ( 1)证明线段 AB 是圆 C 的直径 . (2)当圆 C 的圆心到直线 20 xy=的距离的最小值为 25 5 时,求 p 的值。 21. (本小题满分 12 分 已知函数 () 32 1 , 3 f xaxbxcxd=+其中 ,abc是以 d 为公差的等差数列,且 0,a 0d ,设 0 x 为 ( )f x 的极小值点,在 2 1,0 b a 上, ( )f x 在 1 x 处取得最大值,在 2 x 处 取得最小值 .将点 () ()( )()( )(
9、) 001 12 2 ,x fx xf x xf x 依次记为 ,ABC。 ( 1)求 0 x 的值 ( 2)若 ABC 有一条边平行于 x轴,且面积为 23+ ,求 ,ad的值 22. (本小题满分 12 分 已知 () () () () 1 0 1 , 1 kn k k f x fx xfx f =其中 ( ),.knnkN + 设 () () () ( ) ( ) 0212 2 2 01 ,1,1 kn nn nk n Fx Cf x Cf x Cf x Cf x x= + + + ( 1)写出 ()1 k f ( 2)证明:对于任意的 12 ,1,1,xx 恒有 ( ) ( ) ( ) 1 12 221. n Fx Fx n n + 2006 年高考理科数学参考答案(辽宁卷) (部分答案) 一、 1.C, 2.D, 3.D, 4.A, 5.C, 6.B, 7.A, 8.A, 9.C, 10.D, 11.C, 12.B 二、 13. 1 2 , 14. 1 , 15. 48 , 16. 6 3