1、- 1 - 2006 高考理科数学试题陕西卷 （必修选修 II） 注意事项 ： 本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非 选择题。 2考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答 题卡上填涂对应的试卷类型信息点。 3所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷 和答题卡一并交回。 第一部分（共 60 分） 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本 大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 P=x N|1 x 10,集合 Q=x R|x 2 +x 6 0, 则 P Q 等于 ( ) A. 2 B.1,2
2、 C.2,3 D.1,2,3 2.复数 (1+i) 2 1 i 等于 ( ) A.1 i B.1+i C. 1+ i D. 1 i 3. n lim 1 2n( n 2 +1 n 2 1) 等于 ( ) A. 1 B. 1 2 C. 1 4 D.0 4.设函数 f(x)=log a (x+b)(a0,a 1)的图象过点 (2,1),其反函数的图像过点 (2,8), 则 a+b 等于 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 5.设直线过点 (0,a),其斜率为 1, 且与圆 x 2 +y 2 =2 相切 ,则 a 的值为 ( ) A. 2 B. 2 B. 2 2 D. 4 6.等式 sin( +
3、 )=sin2成立 是 、成等差数列 的 ( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 7.已知双曲线 x 2 a 2 y 2 2 =1(a 2)的两条渐近线的夹角为 3 ,则双曲线的离 心率为 ( ) A.2 B. 3 C. 2 6 3 D. 2 3 3 - 2 - 8.已知不等式 (x+y)( 1 x + a y ) 9 对任意正实数 x,y 恒成立 ,则正实数 a 的最小值 为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 9.已知非零向量 AB 与 AC 满足 ( AB |AB | + AC |AC | ) BC =0 且 AB |AB |
4、AC |AC | = 1 2 , 则 ABC 为 ( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 10.已知函数 f(x)=ax 2 +2ax+4(0a3),若 x 1 x 2 ,x 1 +x 2 =1 a,则 ( ) A.f(x 1 )f(x 2 ) D.f(x 1 )与 f(x 2 )的大小不能 确定 11.已知平面外不共线的三点 A,B,C 到的距离都相等 ,则正确的结论是 ( ) A.平面 ABC 必平行于 B.平面 ABC 必与相交 C.平面 ABC 必不垂直于 D.存在 ABC 的一条中位线平行于或在 内 12.为确保信息安全 ,信息需加密传
5、输 ,发送方由明文密文 (加密 ),接收方由 密文明文 (解密 ),已知加密规则为 :明文 a,b,c,d对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d, 例如 ,明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时 ,则解密 得到的明文为 ( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7 第二部分（共 90 分） 二填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每 小题 4 分，共 16 分） 。 13.cos43 cos77 +sin43 cos167的值为 14.(3x 1 x ) 12 展
6、开式 x 3 的系数为 (用数字作答 ) 15.水平桌面上放有 4 个半径均为 2R 的球 ,且相邻的球都相切 (球心的连线 构成正方形 ).在这 4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球 ,它和下面 4 个球恰好 都相切 ,则小球的球心到水平桌面的距离是 16.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教 (每地 1 人 ),其 中甲和乙不同去 ,甲和丙只能同去或同不去 ,则不同的选派方案共有 种 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题， 共74分） 。 17.(本小题满分 12 分 ) - 3 - 已知函数 f(x)= 3sin(2x 6
7、)+2sin 2 (x 12 ) (x R) ( )求函数 f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合 . 18. (本小题满分 12 分 ) 甲、乙、丙 3 人投篮 ,投进的概率分别是 1 3 , 2 5 , 1 2 . ( )现 3 人各投篮 1 次 ,求 3 人都没有投进的概率 ; ( )用表示乙投篮 3 次的进球数 ,求随机变量的概率分布及数学期望 E . 19. (本小题满分 12 分 ) 如图 , , =l , A , B ,点 A 在直线 l 上的射影为 A 1 , 点 B 在 l 的射影为 B 1 ,已知 AB=2,AA 1 =1, BB 1 =
8、 2, 求 : ( ) 直线 AB 分别与平面 ,所成角的大小 ; ( )二面角 A 1 AB B 1 的大小 . 20. (本小题满分 12 分 ) 已知正项数列 a n ，其前 n 项和 S n 满足 10S n =a n 2 +5a n +6 且 a 1 ,a 3 ,a 15 成等比 数列，求数列 a n 的通项 a n . A B A 1 B 1 l 第 19 题图 - 4 - 21. (本小题满分 12 分 ) 如图 ,三定点 A(2,1),B(0, 1),C( 2,1); 三动点 D,E,M 满足 AD =tAB , BE = t BC , DM =t DE , t 0,1. (
9、) 求动直线 DE 斜率的变化范围 ; ( )求动点 M 的轨迹方程 . 22.（本小题满分 4 分） 已知函数 f(x)=x 3 x 2 + x 2 + 1 4 , 且存在 x 0 (0, 1 2 ) ,使 f(x 0 )=x 0 . （ I）证明： f(x)是 R 上的单调增函数；设 x 1 =0, x n+1 =f(x n ); y 1 = 1 2 , y n+1 =f(y n ), 其中 n=1,2, （ II）证明： x n x n+1 x 0 y n+1 y n ; （ III）证明： y n+1 x n+1 y n x n 0 , a n a n 1 =5 (n 2). 当 a
10、1 =3 时 ,a 3 =13,a 15 =73. a 1 , a 3 ,a 15 不成等比数列 a 1 3; 当 a 1 =2 时 , a 3 =12, a 15 =72, 有 a 3 2 =a 1 a 15 , a 1 =2, a n =5n 3. 21.解法一 : 如图 , ( )设 D(x 0 ,y 0 ),E(x E ,y E ),M(x,y).由 AD =tAB , BE = t BC , 知 (x D 2,y D 1)=t( 2, 2). x D = 2t+2 y D = 2t+1 同理 x E = 2t y E =2t 1 . k DE = y E y D x E x D =
11、2t 1 ( 2t+1) 2t ( 2t+2) = 1 2t. t 0,1 , k DE 1,1. ( ) DM =t DE (x+2t 2,y+2t 1)=t( 2t+2t 2,2t 1+2t 1)=t( 2,4t - 8 - 2)=( 2t,4t 2 2t). x=2(1 2t) y=(1 2t) 2 , y= x 2 4 , 即 x 2 =4y. t 0,1, x=2(1 2t) 2,2. 即所求轨迹方程为 : x 2 =4y, x 2,2 解法二 : ( )同上 . ( ) 如图 , OD =OA +AD = OA + tAB = OA + t(OB OA ) = (1 t) OA +
12、tOB , OE = OB +BE = OB +tBC = OB +t(OC OB ) =(1 t) OB +tOC , OM = OD +DM = OD + tDE = OD +t(OE OD )=(1 t) OD + tOE = (1 t 2 ) OA + 2(1 t)tOB +t 2 OC . 设 M 点的坐标为 (x,y),由 OA =(2,1), OB =(0, 1), OC =( 2,1)得 x=(1 t 2 ) 2+2(1 t)t 0+t 2 ( 2)=2(1 2t) y=(1 t) 2 1+2(1 t)t ( 1)+t 2 1=(1 2t) 2 消去 t 得 x 2 =4y,
13、t 0,1, x 2,2. 故所求轨迹方程为 : x 2 =4y, x 2,2 22.解 : （ I） f (x)=3x 2 2x+ 1 2 = 3(x 1 3 ) 2 + 1 6 0 , f(x)是 R 上的单调增函 数 . （ II） 0x 0 1 2 , 即 x 1 x 0 y 1. 又 f(x)是增函数 , f(x 1 )f(x 0 )f(y 1 ).即 x 2 x 0 0 =x 1 , y 2 =f(y 1 )=f( 1 2 )= 3 8 1 2 =y 1 ,综上 , x 1 x 2 x 0 y 2 y 1 . 用数学归纳法证明如下 : (1)当 n=1 时 ,上面已证明成立 . (
14、2)假设当 n=k(k 1)时有 x k x k+1 x 0 y k+1 y k . 当 n=k+1 时 ,由 f(x)是单调增函数 ,有 f(x k )f(x k+1 )f(x 0 )f(y k+1 )f(y k ), x k+1 x k+2 x 0 y k+2 y k+1 由 (1)(2)知对一切 n=1,2, ,都有 x n x n+1 x 0 y n+1 y n . y x O M D A B C 1 1 2 1 2 E 第 21 题解法图 - 9 - （ III） y n+1 x n+1 y n x n = f(y n ) f(x n ) y n x n = y n 2 +x n y n +x n 2 (y n +x n )+ 1 2 (y n +x n ) 2 (y n +x n )+ 1 2 =(y n +x n ) 1 2 2 + 1 4 . 由 ( )知 0y n +x n 1. 1 2 y n +x n 1 2 1 2 , y n+1 x n+1 y n x n ( 1 2 ) 2 + 1 4 = 1 2
