1、2006 年高考试题理科数学（福建卷） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 （ 1）设 , ,abc R 则复数 ()()abicdi+为实数的充要条件是 （ A） 0ad bc= （ B） 0ac bd= （ C） 0ac bd+ = （ D） 0ad bc+= （ 2）在等差数列 n a 中，已知 123 2, 13,aaa=+=则 456 aaa+ + 等于 （ A） 40 （ B） 42 （ C） 43 （ D） 45 （ 3）已知 3 (,),sin , 25 =则 tan( ) 4 + 等于 （ A）
2、 1 7 （ B） 7 （ C） 1 7 （ D） 7 （ 4）已知全集 ,UR= 且 2 |12, | 680,Axx Bxx x=+ 的反函数是 （A） 2 (0) 21 x x yx= （B） 2 (0) 21 x x yx= （D） 21 (0) 2 x x yx = 在区间 , 34 上的最小值是 2 ，则 的最小值等于 （A） 2 3 （B） 3 2 （C）2 （D）3 （10）已知双曲线 22 22 1( 0, 0) xy ab ab =的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A） (1, 2 （B
3、） (1, 2) （C） 2, )+ （D） (2, )+ （11）已知 1, 3, . 0,OA OB OAOB= = nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull 点C在 AOC 30 o = 。 设 (, )OC mOA nOB m n R=+ nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull ，则 m n 等于 （ A） 1 3 （ B） 3 （ C） 3 3 （ D） 3 （ 12）对于直角坐标平面内的任意两点 11 2 2 (, ),(, )A
4、x y Bx y ，定义它们之间的一种“距离” ： 21 21 .x xyy=+ 给出下列三个命题： 若点 C 在线段 AB 上，则 ;ACCBAB+= 在 ABC 中，若 90 , o C= 则 22 2 ;AC CB AB+= 在 ABC 中， .ACCBAB+ 其中真命题的个数为 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。 （ 13） 25 1 ()x x 展开式中 4 x 的系数是（用数字作答） 。 （ 14）已知直线 10 xy=与抛物线 2 y ax= 相切，则 _ .a = （
5、15）一个均匀小正方体的 6 个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数 1，一个面上标 以数 2。将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积的数学期望是。 （ 16）如图，连结 ABC 的各边中点得到一个新的 111 ,ABC 又连 结 111 ABC 的各边中点得到 222 ABC ，如此无限继续下 去，得到一系列三角形： ABC ， 111 ABC ， 222 ABC ， .， 这一系列三角形趋向于一个点 M。已知 (0,0), (3,0),AB x y A C B 1 A 1 C 1 B 2 A 2 C 2 B O (2,2),C 则点 M 的坐标是。 三解答题：本大题共 6 小题，共
6、 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17） （本小题满分 12 分） 已知函数 22 ( ) sin 3 sin cos 2cos , .f xx xx xR=+ + （ I）求函数 ()f x 的最小正周期和单调增区间； （ II）函数 ()f x 的图象可以由函数 sin 2 ( )yxxR= 的图象经过怎样的变换得到？ （ 18） （本小题满分 12 分） 如图，四面体 ABCD 中， O、 E 分别是 BD、 BC 的中点， 2, 2.CA CB CD BD AB AD= = （ I）求证： AO 平面 BCD； （ II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小
7、； （ III）求点 E 到平面 ACD 的距离。 （ 19） （本小题满分 12 分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量 y （升）关于行驶速度 x （千米 /小时）的函数解析式可以表示为： 3 13 8(0 120). 128000 80 yxxx=+已知甲、乙两地相距 100 千米。 （ I）当汽车以 40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （ II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ （ 20） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 1 2 x y+=的左焦点为 F， O 为坐标原点。 （ I）求过点 O
8、、 F，并且与椭圆的左准线 l相切的圆的方程； （ II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点， C A D B O E x y l G A B F O 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围。 （ 21） （本小题满分 12 分） 已知函数 2 () 8, () 6ln .f xxxgx xm= + = + （ I）求 ()f x 在区间 ,1tt+ 上的最大值 ();ht （ II）是否存在实数 ,m 使得 ()yfx= 的图象与 ()ygx= 的图象有且只有三个不同的交点？若 存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由。 （ 2
9、2） （本小题满分 14 分） 已知数列 n a 满足 * 11 1, 2 1( ). nn aa anN + =+ （ I）求数列 n a 的通项公式； （ II）证明： *12 23 1 1 . ( ). 23 2 n n aaann nN aa a + + + 2006 年高考 (福建卷 )数学理试题答案 一选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。 （ 1） D （ 2） B （ 3） A （ 4） C （ 5） D （ 6） A （ 7） C （ 8） A （ 9） B （ 10） C （ 11） B （ 12） B 二填空题：本大题考查基础知识和基本运算
10、。每小题 4 分满分 16 分。 （ 13） 10 （ 14） 1 4 （ 15） 4 9 （ 16） 52 (,) 33 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识， 以及推理和运算能力。满分 12 分。 解： （ I） 1cos2 3 () sin2 (1 cos2) 22 x f xxx =+ 313 sin 2 cos 2 222 3 sin(2 ) . 62 xx x =+ =+ ()f x 的最小正周期 2 . 2 T = 由题意得 222, 26 2
11、 kxkkZ + + 即 ,. 36 kxkkZ + ()f x 的单调增区间为 ,. 36 kk kZ + （ II）方法一： 先把 sin 2y x= 图象上所有点向左平移 12 个单位长度，得到 sin(2 ) 6 yx =+的图象，再把所 得图象上所有的点向上平移 3 2 个单位长度，就得到 3 sin(2 ) 62 yx = +的图象。 方法二： 把 sin 2y x= 图象上所有的点按向量 3 (,) 12 2 a = null 平移，就得到 3 sin(2 ) 62 yx = +的图象。 （ 18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，
12、考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分 12 分。 方法一： （ I）证明：连结 OC , .BODOABADAOBD= , .BODOBCCDCOBD= 在 AOC 中，由已知可得 1, 3.AO CO= 而 2,AC = 22 2 ,AO CO AC += 90 , o AOC=即 .AOOC ,BDOCO= AO 平面 BCD （ II）解：取 AC 的中点 M，连结 OM、 ME、 OE，由 E 为 BC 的中点知 MEAB,OEDC 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在 OME 中， 121 ,1, 22 2 EM AB OE DC= =
13、 OM 是直角 AOC 斜边 AC 上的中线， 1 1, 2 OM AC = 2 cos , 4 OEM = 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 2 arccos . 4 （III）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为 .h , 11 . 33 EACD ACDE ACD CDE VV hS AOS = = 在 ACD 中， 2, 2,CA CD AD= = 22 127 22() . 2 ACD S = = 而 2 13 3 1, 2 , 24 2 CDE AO S = A B M D E O C 3 1 . 21 2 . 77 2 CDE ACD AOS h S = 点 E 到平面
14、 ACD 的距离为 21 . 7 方法二： （ I）同方法一。 （ II）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 (1,0,0), ( 1,0,0),BD 13 (0, 3,0), (0,0,1), ( , ,0), ( 1,0,1), ( 1, 3,0). 22 CAE BA CD= = nullnullnullnull nullnullnullnull .2 cos , , 4 BACD BA CD BA CD = = nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnu
15、ll nullnullnullnull 异面直线 AB 与 CD 所成角 的大小为 2 arccos . 4 （ III）解：设平面 ACD 的法向量为 (, ,),nxyz= null 则 .(,).(1,01)0, .(,).(0,3,1)0, nAD xyz nAC xyz = null nullnullnullnull null nullnullnullnull 0, 30. xz yz += = 令 1,y = 得 (3,1,3)n= null 是平面 ACD 的一个法向量。 又 13 (,0), 22 EC = nullnullnullnull 点 E 到平面 ACD 的距离 .
16、321 . 7 7 EC n h n = nullnullnullnull null null （ 19）本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的 能力。满分 12 分。 解： （ I）当 40 x = 时，汽车从甲地到乙地行驶了 100 2.5 40 = 小时， x C A B O D y z E 要耗没 3 13 ( 40 40 8) 2.5 17.5 128000 80 += （升） 。 答：当汽车以 40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升。 （ II）当速度为 x 千米 /小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 100 x 小
17、时，设耗油量为 ()hx升， 依题意得 32 1 3 100 1 800 15 ( ) ( 8). (0 120), 128000 80 1280 4 hx x x x x xx =+=+ 33 22 800 80 ( ) (0 120). 640 640 xx hx x xx = 令 ( ) 0,hx= 得 80.x= 当 (0,80)x 时， ( ) 0, ( )hx hx 是增函数。 当 80 x= 时， ()hx取到极小值 (80) 11.25.h = 因为 ()hx在 (0,120上只有一个极值，所以它是最小值。 答：当汽车以 80 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少
18、，最少为 11.25 升。 （ 20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查 运算能力和综合解题能力。满分 12 分。 解： （ I） 22 2, 1, 1, ( 1, 0), : 2.ab cF lx= = 圆过点 O、 F， 圆心 M 在直线 1 2 x= 上。 设 1 (,), 2 M t 则圆半径 13 ()(2) . 22 r = = 由 ,OM r= 得 22 13 () ,t += 解得 2.t = 所求圆的方程为 22 19 ()(2). 24 xy+ = （ II）设直线 AB 的方程为 (1)( 0),ykx k=+ x y l G
19、 A B F O 代入 2 2 1, 2 x y+=整理得 22 2 2 (1 2 ) 4 2 2 0.kx kx k+= 直线 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程有两个不等实根。 记 11 2 2 (, ),(, ),Ax y Bx y AB中点 00 (, ),Nx y 则 2 12 2 4 , 21 k xx k += + AB 的垂直平分线 NG 的方程为 00 1 ().yy xx k = 令 0,y = 得 22 2 00 22 2 2 211 . 212121242 1 0, 0, 2 G G kk k xxky kk k k kx =+ = + = =+ + + + 点 G 横坐
20、标的取值范围为 1 (,0). 2 （ 21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法， 考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的 能力。满分 12 分。 解： （ I） 22 ( ) 8 ( 4) 16.fx x x x= + = + 当 14,t+ 即 3t 时， ()f x 在 ,1tt+ 上单调递减， 2 () () 8.ht f t t t=+ 综上， 2 2 67, 3, () 16, 3 4, 8, 4 ttt ht t tt t + （ II）函数 ()yfx= 的图象与 ()ygx= 的图象
21、有且只有三个不同的交点，即函数 () () ()x gx fx =的图象与 x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 2 2 () 8 6ln , 62 8 62( 1)( 3) ( ) 2 8 ( 0), xx x xm xx xx xx x x =+ + + =+= = 当 (0,1)x 时， ( ) 0, ( )x x 是增函数； 当 (0,3)x 时， ( ) 0, ( )x x 是增函数； 当 1,x= 或 3x= 时， ( ) 0.x = ( ) (1) 7, ( ) (3) 6ln 3 15.xmxm = =+ 最大值 最小值 当 x充分接近 0 时， () 0,x 要使 ()x 的
22、图象与 x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 () 7 0, () 6ln3 15 0, xm xm = =+ 最大值 最小值 即 7156ln3.m 所以存在实数 m ，使得函数 ()yfx= 与 ()ygx= 的图象有且只有三个不同的交点， m 的取值 范围为 (7,15 6ln3). （ 22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。 满分 14 分。 （ I）解： * 1 21( ), nn aanN + =+ 1 12( 1), nn aa + += + 1 n a + 是以 1 12a +=为首项， 2 为公比的等比数列。 12. n n
23、a += 即 2* 21( ). n anN= （ II）证法一： 12 111 4 4 .4 ( 1) . nn kkkk n a =+ 12 (.) 42. nn kk k n nk+ = 12 2( . ) , nn bb b nnb + = 12 1 1 2( . ) ( 1) ( 1) . nn n bb bb n n b + + +=+ ，得 11 2( 1) ( 1) , nnn bnbb + =+ 即 1 (1) 20, nn nb nb + += 21 (1) 20. nn nb n b + + += ，得 21 20, nnn nb nb nb + += 即 21 20,
24、nnn bbb + += * 21 1 (), nnnn bbbb N + = n b 是等差数列。 证法二：同证法一，得 1 (1) 20 nn nb nb + += 令 1,n= 得 1 2.b = 设 2 2( ),bddR=+ 下面用数学归纳法证明 2( 1). n bnd= + （ 1）当 1, 2n= 时，等式成立。 （ 2）假设当 (2)nkk=时， 2( 1), k bkd= + 那么 1 22 2 ( 1) 2 ( 1) 1 . 111 1 kk kk bb kd kd kkk k + =+=+ 这就是说，当 1nk=+时，等式也成立。 根据（ 1）和（ 2） ，可知 2( 1) n bnd=+ 对任何 * nN 都成立。 1 , nn n bbdb + = 是等差数列。 （ III）证明： 1 1 21 21 1 , 1,2,., , 1 21 2 2(2 ) 2 kk k k k k a kn a + + = = 12 23 1 . . 2 n n aaa n aa a + + *12 23 1 1 . ( ). 23 2 n n aaann nN aa a + + +
