1、第 1 页 共 10 页 2005 年普通高等学校招生全国统试一考试数学试题 天津卷（理工类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 ,共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第卷（选择题 共 50 分） 注意事项： 1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形 码。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 参考公式： 如果事件 A、 B
2、互斥，那么 球的体积公式 )()()( BPAPBAP +=+ 3 3 4 RV = 球 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )( BAP = )()( BPAP 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率 V 柱体 =Sh 是 P，那么n次独立重复试验中恰好发 其中 S 表示柱体的底面积， 生 k 次的概率 h 表示柱体的高。 Pn（k）=C nP k (1-P) n-k 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只 有一项是最符合题目要求的。 （1）设集合 ,914 RxxxA = , ,0 3 R
3、x x x xB + = , 则 =BA （ ） (A) 2,3( (B) 2 5 ,02,3( (C) ), 2 5 3,( + (D) ), 2 5 )3,( + (2)若复数 i ia 21 3 + + （ Ra ， i为虚数单位位）是纯虚数，则实数 a的值为（ ） （A）-2 (B)4 (C) -6 (D)6 (3)给出下列三个命题 若 1ba ,则 b b a a + + 11 若正整数 m和 n满足 nm ,则 2 )( n mnm 第 2 页 共 10 页 设 ),( 11 yxP 为圆 9: 22 1 =+ yxO 上任一点，圆 2 O 以 ),( baQ 为圆心且半径为 1.
4、当 1)()( 2 1 2 1 =+ ybxa 时,圆 1 O 与圆 2 O 相切 其中假命题的个数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)3 (4)设 、 为平面， lnm 、 为直线，则 m 的一个充分条件是（ ） (A) lml = , (B) = ,m (C) m, (D) mnn , (5)设双曲线以椭圆 1 925 22 =+ yx 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的 斜率为（ ） (A) 2 (B) 3 4 (C) 2 1 (D) 4 3 (6)从集合 11,3,2,1 null 中任选两个元素作为椭圆方程 1 2 2 2 2 =+ n y
5、m x 中的 m 和 n,则能组成落在矩形区 域 ,11|),( = xyxB 且 9| = aaaxf xx 的反函数，则使 1)( 1 xf 成立的 x 的取值范围为 （ ） (A) ), 2 1 ( 2 + a a (B) ) 2 1 ,( 2 a a (C) ), 2 1 ( 2 a a a (D) ), +a 第 3 页 共 10 页 (10)若函数 )1,0( )(log)( 3 = aaaxxxf a 在区间 )0, 2 1 ( 内单调递增， 则 a的取值范围是 （ ） (A) )1, 4 1 (B) )1, 4 3 (C) ), 4 9 ( + (D) ) 4 9 ,1( 第卷
6、（非选择题 共100 分） 注意事项： 1 答卷前将密封线内的项目填写清楚 2 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 二填空题：本大题共 6 小题， 每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上。 （11）设 Nn ,则 =+ 12321 666 nn nnnn CCCC null （12）如图，PA平面 ABC，ABC=90且 PA=AC=BC=a 则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等于_ （13）在数列a n中,a 1=1,a2=2,且 )( )1(1 2 + += Nnaa n nn 则 100 S =_ （14）在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1)和点 B(-3,4)，
7、若点 C 在AOB 的平分线上且| OC |=2,则 OC = （15）某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利 12%，一旦失败，一年后将丧 失全部资金的 50%，下表是过去 200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192 次 8 次 则该公司一年后估计可获收益的期望是_（元） （16）设 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，且 )(xfy = 的图象关于直线 2 1 =x 对称，则 )5()4()3()2()1( fffff + =_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分)
8、 在 ABC 中， CBA 、 所对的边长分别为 cba 、 ，设 cba 、 满足条件 222 abccb =+ 和 3 2 1 += b c ，求 A 和 Btan 的值 （18） （本小题满分 12 分） 已知 )0,0,( 1221 += baNnbabbabaau nnnnn n null 。 （）当 ba = 时，求数列 n u 的前 n 项和 n S 第 4 页 共 10 页 （）求 1 lim n n n u u （19） （本小题满分 12 分） 如图，在斜三棱柱 111 CBAABC 中， aBAAAACABACAABA = 1111 , ，侧面 11 BCCB 与底面 A
9、BC所成的二面角为 null 120 ，E、F分别是棱 AACB 111 、 的中点 （）求 AA 1 与底面 ABC 所成的角 （）证明 EA 1 平面 FCB 1 （）求经过 CBAA 、 1 四点的球的体积 （20） （本小题满分 12） 某人在一山坡 P 处观看对面山项上的一座铁塔， 如图所示， 塔高BC=80 （米） ， 塔所在的山高 OB=220 （米） ， OA=200（米） ，图中所示的山坡可视为直 线 l 且点 P 在直线 l 上， l与水平地面的 夹角为 a ,tana=1/2 试问此人距水平地面 多高时，观看塔的视角BPC 最大（不计 此人的身高） 第 5 页 共 10
10、页 （21） （本小题满分 14 分） 抛物线 C 的方程为 )0( 2 = aaxy ，过抛物线 C 上一点 P(x 0,y0)(x00)作斜率为k 1,k2的两条直线分别 交抛物线 C于 A(x 1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足 )10(0 12 =+ 且kk 。 （）求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程 （）设直线 AB 上一点M，满足 MABM = ，证明线段 PM 的中点在 y 轴上 （）当 =1时，若点 P的坐标为（1，-1） ，求PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 1 y 的取值范围 （22） （本小题满分 14 分） 设函数 )( sin)( Rx
11、xxxf = . （）证明 xkxfkxf sin2)()2( =+ ,其中为 k 为整数； （）设 0 x 为 )(xf 的一个极值点，证明 2 0 4 02 0 1 )( x x xf + = ； （）设 )(xf 在(0,+)内的全部极值点按从小到大的顺序排列 nullnull , 21 n aaa ,证明 ),2,1( 2 1 null=ba ， a a b a b ba ba ba u u n n n nn nn n n n n = = = + )(1 )( limlimlim 11 1 若 0 ab ， b b a b b a a u u n n n n n n = = 1)( )
12、( limlim 1 （ 19）解： （）过 1 A 作 HA 1 平面 ABC ，垂足为 H 连结 AH ， 并延长交 BC于 G ， 于是 AHA 1 为 AA 1 与底面 ABC所 成的角 ACAABA 11 = ， AG为 BAC 的平分线 又 ACAB = ， BCAG ，且 G 为 BC的中点 因此，由三垂线定理 BCAA 1 BBAA 11 / ，且 BBEG 1 / ， BCEG 于是 AGE 为二面角 EBCA 的平面角， 即 null 120=AGE 由于四边形 AGEA 1 为平行四边形，得 null 60 1 = AGA （）证明：设 EG 与 CB 1 的交点为 P，
13、则点 P为 EG 的中点连结 PF 在平行四边形 1 AGEA 中，因 F 为 AA 1 的中点，故 FPEA / 1 而 FP 平面 FCB 1 ， EA 1 平面 FCB 1 ，所以 / 1 EA 平面 FCB 1 （）连结 CA 1 在 ACA 1 和 ABA 1 中，由于 ABAC = ， ACAABA 11 = ， AAAA 11 = ，则 ACA 1 ABA 1 ，故 BACA 11 = 由已知得 aCABAAA = 111 第 8 页 共 10 页 A O P l x y B C 又 HA 1 平面 ABC ， H 为 ABC 的外心 设所求球的球心为 O，则 HAO 1 ，且球
14、心 O与 AA 1 中点的连线 AAOF 1 在 FOARt 1 中， 3 3 30cos 2 1 cos 1 1 1 a a HAA FA OA = null 故所求 球的半径 aR 3 3 = ，球的体积 33 27 34 3 4 aRV = （ 20）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则 )0,200(A ， )220,0(B ， )300,0(C 直线 l的方程为 tan)200( = xy ，即 2 200 = x y 设点 P的坐标为 ),( yx ，则 ) 2 200 ,( x xP （ 200 x ） 由经过两点的直线的斜率公式 x x x x k PC 2 800 300 2
15、 200 = = ， x x x x k PB 2 640 220 2 200 = = 由直线 PC到直线 PB的角的公式得 640160288 64 2 640 2 800 1 2 160 1 tan 2 + = + = + = xx x x x x x x kk kk BPC PCPB PCPB 288 640160 64 + = x x （ 200 x ） 要使 BPCtan 达到最大，只须 288 640160 + x x 达到最小 由均值不等式 2886401602288 640160 + x x 当且仅当 x x 640160 = 时上式取等号故当 320=x 时 BPCtan 最
16、大这时，点 P的纵坐标 y 为 60 2 200320 = =y 由此实际问题知， 2 0 BPC ，所以 BPCtan 最大时， BPC 最大故当此人距水平地面 60 米高 时，观看铁塔的视角 BPC 最大 （ 21）解： （）由抛物线 C的方程 2 axy = （ 0a ）得，焦点坐标为 ) 4 1 ,0( a ，准线方程为 a y 4 1 = （）证明：设直线 PA的方程为 )( 010 xxkyy = ，直线 PB的方程为 )( 020 xxkyy = 第 9 页 共 10 页 点 ),( 00 yxP 和点 ),( 11 yxA 的坐标是方程组 = = 2 010 )( axy xx
17、kyy 的解将式代入式得 0 0011 2 =+ yxkxkax ，于是 a k xx 1 01 =+ ，故 0 1 1 x a k x = 又点 ),( 00 yxP 和点 ),( 22 yxB 的坐标是方程组 = = 2 010 )( axy xxkyy 的解将式代入式得 0 0022 2 =+ yxkxkax 于是 a k xx 2 02 =+ ，故 0 2 2 x a k x = 由已知得， 12 kk = ，则 012 xk a x = 设点 M 的坐标为 ),( MM yx ，由 MABM ，则 + + = 1 12 xx x M 将式和式代入上式得 0 00 1 x xx x M
18、 = + = ，即 0 0 =+ xx M 所以线段 PM 的中点在 y 轴上 （）因为点 )1,1( P 在抛物线 2 axy = 上，所以 1=a ，抛物线方程为 2 xy = 由式知 1 11 = kx ，代入 2 xy = 得 2 11 )1( += ky 将 1= 代入式得 1 12 = kx ，代入 2 xy = 得 2 22 )1( += ky 因此，直线 PA、 PB分别与抛物线 C的交点 A、 B的坐标为 )12,1( 1 2 11 kkkA ， )12,1( 1 2 11 + kkkB 于是 )2,2( 1 2 11 kkkAP += ， )4,2( 11 kkAB = ，
19、 )12)(2(2)2(4)2(2 1111 2 1111 +=+= kkkkkkkkABAP 因 PAB 为钝角且 P、 A、 B三点互不相同，故必有 0ABAP 求得 1 k 的取值范围是 2 1 k 或 0 2 1 1 k 又点 A的纵坐标 1 y 满足 2 11 )1( += ky ，故 当 2 1 k 时， 1 1 y ；当 0 2 1 1 k 时， 4 1 1 1 x 是 0)( = xf 的任意正实数根，即 00 tan xx = ，则存在一个非负整数 k ，使 ), 2 ( 0 kkx + ，即 0 x 在第二或第四象限内由式， )(tancos)( xxxxf += 在第二或
20、第四象 限中的符号可列表如下： 所以满足 0)( = xf 的正根 0 x 都为 )(xf 的极值点 由题设条件， 1 a ， 2 a ， n a ，为方程 xx tan= 的全部正实数根且满足 nullnull n aaa 21 ， 那么对于 null,2,1=n ， )tan()tantan1()tan(tan 1111 nnnnnnnn aaaaaaaa += + 由于 )1()1( 2 + nan n ， nan n + +1 2 ，则 2 3 2 1 + nn aa ，由式知 0)tan( 1 + nn aa 由此可知 nn aa +1 必在第二象限， 即 + nn aa 1 综上， + nn aa 1 2
