1、第 1 页 共 9 页 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学（必修+选修II） 第 I 卷（共 60 分） 参考公式：如果事件 A、 B 互斥，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 A、 B 相互独立，那么 ( ) ()()PAB PAPB = 一选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合 题目要求的选项 . （ 1） ()() 22 11 11 ii ii + += + （ ） （ A） i （ B） i （ C） 1 （ D） 1 （ 2）函数 () 1 0 x yx x =的反函数图像大致是
2、 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） （ 3）已知函数 sin cos 12 12 yx x = ，则下列判断正确的是（ ） （ A）此函数的最小周期为 2 ，其图像的一个对称中心是 ,0 12 （ B）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是 ,0 12 （ C）此函数的最小周期为 2 ，其图像的一个对称中心是 ,0 6 （ D）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是 ,0 6 （ 4）下列函数既是奇函数，又在区间 1,1 上单调递减的是（ ） x y 1 ox y 1 ox y o 1 x y o 1 第 2 页 共 9 页 （ A） () sinf xx= （ B）
3、 () 1f xx= + （ C） () 1 () 2 x x f xaa =+（ D） 2 () ln 2 x fx x = + （ 5）如果 32 1 3 n x x 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 3 1 x 的系数是（ ） （ A） 7 （ B） 7 （ C） 21 （ D） 21 （ 6）函数 2 1 sin( ), 1 0, () ,0. x xx fx ex = ，若 (10 ( ) 2,ffa+ = 则 a的所有可能值为（ ） （ A） 1 （ B） 2 2 （ C） 2 1, 2 （ D） 2 1, 2 （ 7）已知向量 ,ab nullnull ，且 2, 5
4、 6AB a b BC a b=+ =+ nullnullnullnull null null nullnullnullnull null null ， 72CD a b= nullnullnullnull null null ，则一定共线的三点是（ ） （ A） A、 B、 D （ B） A、 B、 C （ C） B、 C、 D （ D） A、 C、 D （ 8）设地球的半径为 R，若甲地位于北纬 45东经 120，乙地位于南纬 75东经 120，则甲、乙 两地的球面距离为（ ） （ A） 3R （ B） 6 R （ C） 5 6 R （ D） 2 3 R （ 9） 10 张奖券中只有 3
5、张有奖， 5 个人购买，至少有 1 人中奖的概率是（ ） （ A） 3 10 （ B） 1 12 （ C） 1 2 （ D） 11 12 （ 10）设集合 A、 B 是全集 U 的两个子集，则 A B 是 ( ) U CA B U=的（ ） （ A）充分不必要条件（ B）必要不充分条件（ C）冲要条件（ D）既不充分也不必要条件 （ 11） 01a（ B） (1 ) (1 ) log (1 ) log (1 ) aa aa + + （ C） (1 ) (1 ) log (1 ) log (1 ) aa aa + + + (1 ) (1 ) log(1)log(1) aa aa + + （ D）
6、 (1 ) (1 ) log (1 ) log (1 ) aa aa + +的右焦点为 F ，右准线 l与两条渐近线交于 P、 Q两点，如 果 PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 _e= . (15)设 x 、 y 满足约束条件 5, 3212, 03, 04. xy xy x y + + 则使得目标函数 65zxy= + 的最大的点 (, )x y 是 _ . (16)已知 mn、 是不同的直线， 、 是不重合的平面，给出下列命题： 若 / , , ,mn 则 /mn 若 ,/,mn m 则 / 若 ,/mnmn ，则 / ,mn是两条异面直线，若 / , / , / , /mmnn ，
7、则 / 上面的命题中，真命题的序号是 _ （写出所有真命题的序号） 三解答题：本大题共 6 小题，共74 分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分 12 分） 已知向量 (cos ,sin )m = nullnull 和 ( ) ()2sin,cos , ,2n = null ，且 82 , 5 mn+= nullnull null 求 cos 28 + 的值. (18)(本小题满分 12 分) 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 1 , 7 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到
8、白球时既终止，每个 第 4 页 共 9 页 球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止所需要的取球次数. （I）求袋中所有的白球的个数； （II）求随机变量 的概率分布； （III）求甲取到白球的概率. （19） （本小题满分 12 分） 已知 1x= 是函数 32 () 3( 1) 1f xmx m xnx= +的一个极值点，其中 ,0mn Rm . （I）求动圆圆心 C的轨迹的方程； （II） 设A、 B是轨迹 C上异于原点 O的两个不同点， 直线 OA和 OB的倾斜角分别为 和 ， 当 , A 1 A B C D 1 B F 1 C 1 D E y A x o B M N 第 5
9、 页 共 9 页 变化且 + 为定值 (0 ) 时，证明直线 AB恒过定点，并求出该定点的坐标. 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） （试题参考答案） 理科数学（必修 +选修 II） 一选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B D C C A D D A A B 二填空题 13 3 2 14. 2e= 15. ( )2,3 16. 三 .解答题 17.考查知识点： （三角和向量相结合） 解 : () cos sin 2,cos sinmn += + + nullnull null () 2 2 cos sin 2 (cos sin )
10、mn += + + + nullnull null = 422(cos sin) += 44cos 4 + = 21 cos 4 + 由已知 82 , 5 mn+= nullnull null ,得 7 cos 425 += 又 2 cos 2cos ( ) 1 428 + =+ 2 16 cos ( ) 28 25 += (),2 59 8288 + cos 0 28 + 4 cos 28 5 + = 18.（考查知识点：概率及分布列） 解:(I)设袋中原有 n个白球,由题意知 2 2 7 (1) 1(1) 2 76 776 2 n nn Cnn C = = 第 6 页 共 9 页 可得 3
11、n= 或 2n= (舍去)即袋中原有3 个白球. (II)由题意, 的可能取值为 1,2,3,4,5 3 (1) ; 7 P = () 43 2 2; 76 7 P = = 432 6 (3) ; 765 35 P = = 4323 3 (4) ; 7654 35 P = = 43213 1 (5) ; 76543 35 P = = 所以 的分布列为 : 1 2 3 4 5 P 3 7 2 7 6 35 3 35 1 35 (III)因为甲先取 ,所以甲只有可能在第一次 ,第三次和第 5 次取球 ,记 ”甲取到白球 ”为事件 A ,则 ()()() 22 () 1 3 5 35 PA P P
12、P=+=+= 19.（考查知识点：函数结合导数） 解 (I) 2 () 3 6( 1)f xmx mxn =+因为 1x = 是函数 ()f x 的一个极值点 , 所以 (1) 0f = , 即 36(1) 0mm n+=，所以 36nm=+ （ II）由（ I）知， 2 () 3 6( 1) 3 6fx mx m x m =+= 2 3( 1) 1mx x m + 当 0m+ ，当 x变化时， ()f x 与 ()f x 的变化如下表： x 2 ,1 m + 2 1 m + 2 1,1 m + 1 ()1, + ()f x 0 0 0 ()f x 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
13、 第 7 页 共 9 页 故有上表知，当 0m ，即 2 2( 1) 2 0mx m x+ 又 0m 所以 2 22 (1) 0 xmx mm +即 2 22 (1) 0, 1,xmx x mm + 设 2 12 () 2(1 )gx x x mm =+ +，其函数开口向上，由题意知式恒成立， 所以 22 (1) 0 12 0 (1) 0 10 g mm g + + 解之得 4 3 m 又 0m 所以 4 0 3 m 即 m 的取值范围为 4 ,0 3 20 (考查知识点：立体几何 ) 解：在长方体 111 1 ABCD ABC D 中，以 AB所在的直线为 x轴，以 AD所在的直线为 y 轴
14、， 1 AA 所 在的直线为 z 轴建立如图示空间直角坐标系 由已知 1 2, 1,AB AA=可得 (0,0,0), (2,0,0)AB， (1, 0,1)F 又 AD平面 11 AAB B， 从而 BD与平面 11 AAB B所成的角为 30DBA =， 又 2AB = ， AE BD ， 23 1, 3 AE AD=从而易得 13 23 ,0,0, ,0 22 3 ED （I）因为 () 13 ,0, 1,0,1 22 AE BF = nullnullnullnull nullnullnullnull 所以 () cos , AE BF AE BF AE BF = nullnullnul
15、lnullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull = 1 2 2 42 = 易知异面直线 AE BF、 所成的角为 2 arccos 4 （II）易知平面 1 AAB 的一个法向量 (0,1,0)m= nullnull 设 (, ,)nxyz= null 是平面 BDF 的一个法向量， 23 (2, ,0) 3 BD = nullnullnullnull 由 0 0 nBF nBF nBD nBD = = null nullnullnullnull null nul
16、lnullnullnull null nullnullnullnull null nullnullnullnull 0 23 20 3 xz xy += = 3 x z x y = = 第 8 页 共 9 页 即 () 1, 3 ,1n= null 所以 15 cos , 5 mn mn mn = nullnull null nullnull null nullnull null 即平面 BDF 与平面 1 AAB所成的二面角的大小（锐 角）为 15 arccos 5 （III）点 A到平面 BDF 的距离，即 AB nullnullnullnull 在平面 BDF 的法向量 n null 上
17、的投影的绝对值， 所以距离 cos ,dAB ABn= nullnullnullnull nullnullnullnullnull = 25 5 AB n n = nullnullnullnullnull null 所以点 A到平面 BDF 的距离为 25 5 21 （考查知识点:数列） 解：由已知 * 1 5( ) nn SSnnN + =+ 可得 1 2, 2 4 nn nSSn =+两式相减得 () 11 21 nn nn SS SS + = +即 1 21 nn aa + =+从而 ( ) 1 12 1 nn aa + + =+当 1n= 时 21 215SS=+所 以 21 1 26
18、aa a+= +又 1 5a = 所以 2 11a = 从而 ( ) 21 12 1aa+ =+ 故总有 1 12( 1) nn aa + += + ， * nN 又 11 5, 1 0aa= +从而 1 1 2 1 n n a a + + = + 即数列 1 n a + 是等比数列； （II）由（I）知 32 1 n n a = 因为 2 12 () n n f xaxax ax=+ +null 所以 1 12 () 2 n n f xa ax nax =+ +null 从而 12 (1) 2 n f aa na =+ +null =() ( ) 2 321 232 1 (32 1) n n
19、+ + + null = () 2 32 2 2 2 n n+ + +null -()12 n+ +null = () 1 (1) 312 6 2 n nn n + + + 由上 ()() 2 2 (1) 23 13 12 1 2 n fnnn =- ( ) 2 12 2 1nn = () ()12 1 2 12 1 (2 1) n nnn +=12(1)2(21) n nn + 当 1n= 时，式=0 所以 2 2 (1) 23 13f nn =； 当 2n= 时，式=-12 0 所以 2 2 (1) 23 13f nn 又 () 01 1 211 n nnn nn n n CC C C =
20、+ = + + +null 2221nn+ + 所以 () ( )12 2 1 0 n nn+ 即 0 从而 2(1)f 2 23 13nn 22 （ 考查知识点:圆锥曲线） 第 9 页 共 9 页 解： （I）如图，设 M 为动圆圆心， ,0 2 p 为记为 F ，过点 M 作直线 2 p x= 的垂线，垂足为 N ， 由题意知： MFMN= 即动点 M 到定点 F 与定直线 2 p x= 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨迹为抛物线，其中 ,0 2 p F 为焦点， 2 p x= 为准线，所以轨迹方程为 2 2( 0)ypxP=； （II） 如图， 设 ()() 11 2 2 ,
21、,Axy Bx y ， 由题意得 12 x x （否则 + = ） 且 12 ,0 xx 所以直线 AB 的斜率存在，设其方程为 ykxb=+，显然 22 12 12 , 22 yy xx pp =，将 ykxb= + 与 2 2( 0)ypxP=联 立消去 x，得 2 220ky py pb+=由韦达定理知 12 12 22 , p pb yy yy kk += = （1）当 2 = 时，即 2 += 时， tan tan 1 = 所以 12 12 12 12 1, 0 yy xx yy xx =， 22 12 12 2 0 4 yy yy p =所以 2 12 4y yp= 由知： 2 2
22、 4 pb p k = 所以 2.bpk= 因此直线 AB 的方程可表示为 2ykx Pk=+ ，即 (2) 0kx P y+ =所以直线 AB恒过定点 ( ) 2,0p （2）当 2 时，由 + = ，得 tan tan( ) = + = tan tan 1tan tan + = 12 2 12 2( ) 4 p yy y yp + 将式代入上式整理化简可得： 2 tan 2 p bpk = ，所以 2 2 tan p bpk =+， 此时，直线 AB的方程可表示为 y kx=+ 2 2 tan p pk + 即 2 (2) 0 tan p kx p y + = 所以直线 AB恒过定点 2 2, tan p p 所以由（1） （2）知，当 2 = 时，直线 AB 恒过定点 ( )2,0p ，当 2 时直线 AB 恒过定点 2 2, tan p p .
