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    2005年高考理科数学试卷及答案(山东).pdf

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    2005年高考理科数学试卷及答案(山东).pdf

    1、第 1 页 共 9 页 2005 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学(必修+选修II) 第 I 卷(共 60 分) 参考公式:如果事件 A、 B 互斥,那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 A、 B 相互独立,那么 ( ) ()()PAB PAPB = 一选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合 题目要求的选项 . ( 1) ()() 22 11 11 ii ii + += + ( ) ( A) i ( B) i ( C) 1 ( D) 1 ( 2)函数 () 1 0 x yx x =的反函数图像大致是

    2、 ( ) ( A) ( B) ( C) ( D) ( 3)已知函数 sin cos 12 12 yx x = ,则下列判断正确的是( ) ( A)此函数的最小周期为 2 ,其图像的一个对称中心是 ,0 12 ( B)此函数的最小周期为 ,其图像的一个对称中心是 ,0 12 ( C)此函数的最小周期为 2 ,其图像的一个对称中心是 ,0 6 ( D)此函数的最小周期为 ,其图像的一个对称中心是 ,0 6 ( 4)下列函数既是奇函数,又在区间 1,1 上单调递减的是( ) x y 1 ox y 1 ox y o 1 x y o 1 第 2 页 共 9 页 ( A) () sinf xx= ( B)

    3、 () 1f xx= + ( C) () 1 () 2 x x f xaa =+( D) 2 () ln 2 x fx x = + ( 5)如果 32 1 3 n x x 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 3 1 x 的系数是( ) ( A) 7 ( B) 7 ( C) 21 ( D) 21 ( 6)函数 2 1 sin( ), 1 0, () ,0. x xx fx ex = ,若 (10 ( ) 2,ffa+ = 则 a的所有可能值为( ) ( A) 1 ( B) 2 2 ( C) 2 1, 2 ( D) 2 1, 2 ( 7)已知向量 ,ab nullnull ,且 2, 5

    4、 6AB a b BC a b=+ =+ nullnullnullnull null null nullnullnullnull null null , 72CD a b= nullnullnullnull null null ,则一定共线的三点是( ) ( A) A、 B、 D ( B) A、 B、 C ( C) B、 C、 D ( D) A、 C、 D ( 8)设地球的半径为 R,若甲地位于北纬 45东经 120,乙地位于南纬 75东经 120,则甲、乙 两地的球面距离为( ) ( A) 3R ( B) 6 R ( C) 5 6 R ( D) 2 3 R ( 9) 10 张奖券中只有 3

    5、张有奖, 5 个人购买,至少有 1 人中奖的概率是( ) ( A) 3 10 ( B) 1 12 ( C) 1 2 ( D) 11 12 ( 10)设集合 A、 B 是全集 U 的两个子集,则 A B 是 ( ) U CA B U=的( ) ( A)充分不必要条件( B)必要不充分条件( C)冲要条件( D)既不充分也不必要条件 ( 11) 01a( B) (1 ) (1 ) log (1 ) log (1 ) aa aa + + ( C) (1 ) (1 ) log (1 ) log (1 ) aa aa + + + (1 ) (1 ) log(1)log(1) aa aa + + ( D)

    6、 (1 ) (1 ) log (1 ) log (1 ) aa aa + +的右焦点为 F ,右准线 l与两条渐近线交于 P、 Q两点,如 果 PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率 _e= . (15)设 x 、 y 满足约束条件 5, 3212, 03, 04. xy xy x y + + 则使得目标函数 65zxy= + 的最大的点 (, )x y 是 _ . (16)已知 mn、 是不同的直线, 、 是不重合的平面,给出下列命题: 若 / , , ,mn 则 /mn 若 ,/,mn m 则 / 若 ,/mnmn ,则 / ,mn是两条异面直线,若 / , / , / , /mmnn ,

    7、则 / 上面的命题中,真命题的序号是 _ (写出所有真命题的序号) 三解答题:本大题共 6 小题,共74 分.解答写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知向量 (cos ,sin )m = nullnull 和 ( ) ()2sin,cos , ,2n = null ,且 82 , 5 mn+= nullnull null 求 cos 28 + 的值. (18)(本小题满分 12 分) 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 1 , 7 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取取后不放回,直到两人中有一人取到

    8、白球时既终止,每个 第 4 页 共 9 页 球在每一次被取出的机会是等可能的,用 表示取球终止所需要的取球次数. (I)求袋中所有的白球的个数; (II)求随机变量 的概率分布; (III)求甲取到白球的概率. (19) (本小题满分 12 分) 已知 1x= 是函数 32 () 3( 1) 1f xmx m xnx= +的一个极值点,其中 ,0mn Rm . (I)求动圆圆心 C的轨迹的方程; (II) 设A、 B是轨迹 C上异于原点 O的两个不同点, 直线 OA和 OB的倾斜角分别为 和 , 当 , A 1 A B C D 1 B F 1 C 1 D E y A x o B M N 第 5

    9、 页 共 9 页 变化且 + 为定值 (0 ) 时,证明直线 AB恒过定点,并求出该定点的坐标. 2005 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) (试题参考答案) 理科数学(必修 +选修 II) 一选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B D C C A D D A A B 二填空题 13 3 2 14. 2e= 15. ( )2,3 16. 三 .解答题 17.考查知识点: (三角和向量相结合) 解 : () cos sin 2,cos sinmn += + + nullnull null () 2 2 cos sin 2 (cos sin )

    10、mn += + + + nullnull null = 422(cos sin) += 44cos 4 + = 21 cos 4 + 由已知 82 , 5 mn+= nullnull null ,得 7 cos 425 += 又 2 cos 2cos ( ) 1 428 + =+ 2 16 cos ( ) 28 25 += (),2 59 8288 + cos 0 28 + 4 cos 28 5 + = 18.(考查知识点:概率及分布列) 解:(I)设袋中原有 n个白球,由题意知 2 2 7 (1) 1(1) 2 76 776 2 n nn Cnn C = = 第 6 页 共 9 页 可得 3

    11、n= 或 2n= (舍去)即袋中原有3 个白球. (II)由题意, 的可能取值为 1,2,3,4,5 3 (1) ; 7 P = () 43 2 2; 76 7 P = = 432 6 (3) ; 765 35 P = = 4323 3 (4) ; 7654 35 P = = 43213 1 (5) ; 76543 35 P = = 所以 的分布列为 : 1 2 3 4 5 P 3 7 2 7 6 35 3 35 1 35 (III)因为甲先取 ,所以甲只有可能在第一次 ,第三次和第 5 次取球 ,记 ”甲取到白球 ”为事件 A ,则 ()()() 22 () 1 3 5 35 PA P P

    12、P=+=+= 19.(考查知识点:函数结合导数) 解 (I) 2 () 3 6( 1)f xmx mxn =+因为 1x = 是函数 ()f x 的一个极值点 , 所以 (1) 0f = , 即 36(1) 0mm n+=,所以 36nm=+ ( II)由( I)知, 2 () 3 6( 1) 3 6fx mx m x m =+= 2 3( 1) 1mx x m + 当 0m+ ,当 x变化时, ()f x 与 ()f x 的变化如下表: x 2 ,1 m + 2 1 m + 2 1,1 m + 1 ()1, + ()f x 0 0 0 ()f x 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减

    13、 第 7 页 共 9 页 故有上表知,当 0m ,即 2 2( 1) 2 0mx m x+ 又 0m 所以 2 22 (1) 0 xmx mm +即 2 22 (1) 0, 1,xmx x mm + 设 2 12 () 2(1 )gx x x mm =+ +,其函数开口向上,由题意知式恒成立, 所以 22 (1) 0 12 0 (1) 0 10 g mm g + + 解之得 4 3 m 又 0m 所以 4 0 3 m 即 m 的取值范围为 4 ,0 3 20 (考查知识点:立体几何 ) 解:在长方体 111 1 ABCD ABC D 中,以 AB所在的直线为 x轴,以 AD所在的直线为 y 轴

    14、, 1 AA 所 在的直线为 z 轴建立如图示空间直角坐标系 由已知 1 2, 1,AB AA=可得 (0,0,0), (2,0,0)AB, (1, 0,1)F 又 AD平面 11 AAB B, 从而 BD与平面 11 AAB B所成的角为 30DBA =, 又 2AB = , AE BD , 23 1, 3 AE AD=从而易得 13 23 ,0,0, ,0 22 3 ED (I)因为 () 13 ,0, 1,0,1 22 AE BF = nullnullnullnull nullnullnullnull 所以 () cos , AE BF AE BF AE BF = nullnullnul

    15、lnullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull = 1 2 2 42 = 易知异面直线 AE BF、 所成的角为 2 arccos 4 (II)易知平面 1 AAB 的一个法向量 (0,1,0)m= nullnull 设 (, ,)nxyz= null 是平面 BDF 的一个法向量, 23 (2, ,0) 3 BD = nullnullnullnull 由 0 0 nBF nBF nBD nBD = = null nullnullnullnull null nul

    16、lnullnullnull null nullnullnullnull null nullnullnullnull 0 23 20 3 xz xy += = 3 x z x y = = 第 8 页 共 9 页 即 () 1, 3 ,1n= null 所以 15 cos , 5 mn mn mn = nullnull null nullnull null nullnull null 即平面 BDF 与平面 1 AAB所成的二面角的大小(锐 角)为 15 arccos 5 (III)点 A到平面 BDF 的距离,即 AB nullnullnullnull 在平面 BDF 的法向量 n null 上

    17、的投影的绝对值, 所以距离 cos ,dAB ABn= nullnullnullnull nullnullnullnullnull = 25 5 AB n n = nullnullnullnullnull null 所以点 A到平面 BDF 的距离为 25 5 21 (考查知识点:数列) 解:由已知 * 1 5( ) nn SSnnN + =+ 可得 1 2, 2 4 nn nSSn =+两式相减得 () 11 21 nn nn SS SS + = +即 1 21 nn aa + =+从而 ( ) 1 12 1 nn aa + + =+当 1n= 时 21 215SS=+所 以 21 1 26

    18、aa a+= +又 1 5a = 所以 2 11a = 从而 ( ) 21 12 1aa+ =+ 故总有 1 12( 1) nn aa + += + , * nN 又 11 5, 1 0aa= +从而 1 1 2 1 n n a a + + = + 即数列 1 n a + 是等比数列; (II)由(I)知 32 1 n n a = 因为 2 12 () n n f xaxax ax=+ +null 所以 1 12 () 2 n n f xa ax nax =+ +null 从而 12 (1) 2 n f aa na =+ +null =() ( ) 2 321 232 1 (32 1) n n

    19、+ + + null = () 2 32 2 2 2 n n+ + +null -()12 n+ +null = () 1 (1) 312 6 2 n nn n + + + 由上 ()() 2 2 (1) 23 13 12 1 2 n fnnn =- ( ) 2 12 2 1nn = () ()12 1 2 12 1 (2 1) n nnn +=12(1)2(21) n nn + 当 1n= 时,式=0 所以 2 2 (1) 23 13f nn =; 当 2n= 时,式=-12 0 所以 2 2 (1) 23 13f nn 又 () 01 1 211 n nnn nn n n CC C C =

    20、+ = + + +null 2221nn+ + 所以 () ( )12 2 1 0 n nn+ 即 0 从而 2(1)f 2 23 13nn 22 ( 考查知识点:圆锥曲线) 第 9 页 共 9 页 解: (I)如图,设 M 为动圆圆心, ,0 2 p 为记为 F ,过点 M 作直线 2 p x= 的垂线,垂足为 N , 由题意知: MFMN= 即动点 M 到定点 F 与定直线 2 p x= 的距离相等,由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 ,0 2 p F 为焦点, 2 p x= 为准线,所以轨迹方程为 2 2( 0)ypxP=; (II) 如图, 设 ()() 11 2 2 ,

    21、,Axy Bx y , 由题意得 12 x x (否则 + = ) 且 12 ,0 xx 所以直线 AB 的斜率存在,设其方程为 ykxb=+,显然 22 12 12 , 22 yy xx pp =,将 ykxb= + 与 2 2( 0)ypxP=联 立消去 x,得 2 220ky py pb+=由韦达定理知 12 12 22 , p pb yy yy kk += = (1)当 2 = 时,即 2 += 时, tan tan 1 = 所以 12 12 12 12 1, 0 yy xx yy xx =, 22 12 12 2 0 4 yy yy p =所以 2 12 4y yp= 由知: 2 2

    22、 4 pb p k = 所以 2.bpk= 因此直线 AB 的方程可表示为 2ykx Pk=+ ,即 (2) 0kx P y+ =所以直线 AB恒过定点 ( ) 2,0p (2)当 2 时,由 + = ,得 tan tan( ) = + = tan tan 1tan tan + = 12 2 12 2( ) 4 p yy y yp + 将式代入上式整理化简可得: 2 tan 2 p bpk = ,所以 2 2 tan p bpk =+, 此时,直线 AB的方程可表示为 y kx=+ 2 2 tan p pk + 即 2 (2) 0 tan p kx p y + = 所以直线 AB恒过定点 2 2, tan p p 所以由(1) (2)知,当 2 = 时,直线 AB 恒过定点 ( )2,0p ,当 2 时直线 AB 恒过定点 2 2, tan p p .


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