1、 1 2005 年全国高等学校招生统一考试数学（上海文）试题 考生注意： 1答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚 2本试卷共有 22 道试题，满分 150 分考试时间 120 分钟请考生用钢笔或圆珠 笔将答案直接写在试卷上 一填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对 得4分，否则一律得零分 1函数f(x)=log 4 (x+1)的反函数f 1 (x)= 2方程4 x +2 x -2=0的解是 3若x,y满足条件 x+y3 y2x ,则z=3x+4y的最大值是 4直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足 OAOP
2、 =4。则点P的轨 迹方程是 5函数 y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T= 6若cos= 7 1 ,(0. 2 ),则cos(+ 3 )= 7若椭圆长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是(2 15 ,0),则椭圆的标准方程 是 8某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程从班级中任选两名 学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是 (结果用分数表示) 9直线y= 2 1 x关于直线x1对称的直线方程是 10在ABC中，若A120，AB=5，BC7，则 AC 11函数 f(x)=sinx+2 xsin ,x0,2的图象与直线 y=k 有且仅有两个不
3、同的交点,则 k 的取值范围是 12 有两个相同的直三棱柱,高为 a 2 ,底面三角形的三边长 分别为 3a、4a、5a(a0).用它们拼成一个三棱柱或四 棱柱,在所有可能的情况中, 全面积最小的是一个四棱 柱,则a的取值范围是 二选择题(本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把正确结论的代号写 在题后的圆括内,选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括内),一律得零分 13 若 函 数 f(x)= 12 1 + X , 则 该 函 数 在 (-,+) 上 是 答( ) (A)单调递减无最小值
4、 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 2 14 已 知 集 合 M=x 1x , x R,P=x 1 5 +x 1, x Z, 则 MP 等 于 答( ) (A)x0x3, xZ (B) x0 x3, xZ (C) x-1x0, xZ (D) x-1x1”是条件乙:“ aa ” 的 答( ) (A)既不充分也不必要条件 (B) 充要条件 (C) 充分不必要条件 (D)必要不充分条件 16用n个不同的实数a 1 ,a 2 ,a n 可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3 一个n!行的数阵.对 第i行a i1 ,a i2 ,a in ,记b i
5、 =- a i1 +2a i2 -3 a i3 +(-1) n na in , 1 3 2 i=1,2,3, ,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是12,所以,b 1 +b 2 +b 6 =-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1 的数阵中, b 1 +b 2 +b 120 等于 3 1 2 3 2 1 答( ) (A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720 三解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要步骤. 17 （本题满分 12 分）已知长方体 ABCD-A 1 B
6、1 C 1 D 1 中,M、N 分别是 BB 1 和 BC 的中点,AB=4,AD=2.B 1 D 与平面 ABCD 所成角的大小为 60,求 异面直线B 1 D与MN所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) 解 18 （本题满分12分）在复数范围内解方程 i i izzz + =+ 2 3 )( 2 (i为虚数单位) 解 3 19 （本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分. 已知函数 f(x)=kx+b 的图象与 x、y 轴分别相交于点 A、B, jiAB 22 += (i 、 j分别是 与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x 2 -x-6.
7、(1)求k、b的值; (2)当x满足f(x) g(x)时,求函数 )( 1)( xf xg + 的最小值. 解 20(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分. 假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后 的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房 的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 解
8、 4 21(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小 题满分6分. 已知抛物线y 2 =2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、 且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5, 过A作AB 垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线方程; (2)过M作MNFA, 垂足为N,求点N的坐标; (3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时, 丫讨论直线AK与圆M的位置关系. 解 22(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 8 分, 第 3
9、 小 题满分6分. 对定义域分别是D f 、D g 的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 当xD f 且xD g 规定: 函数h(x)= f(x) 当xD f 且x D g g(x) 当x D f 且xD g (1)若函数f(x)=-2x+3,x1; g(x)=x-2,xR,写出函数h(x)的解析式; (2)求问题(1)中函数h(x)的最大值; (3)若 g(x)=f(x+), 其中 是常数,且 0,请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x),及一个的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明. 解 5 上海数学(文史类)参考答案 一. 1. 4 x -1 2. x=0 3.
10、 11 4. x+2y-4=0 5. 6. - 14 11 7. 1 2080 22 =+ yx 8. 7 3 9. x+2y-2=0 10. 3 11. 1k3 12. 0a g(x),得x+2x 2 -x-6,即(x+2)(x-4)0, 得-2x0,则 )( 1)( xf xg + -3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 )( 1)( xf xg + 的最小值是-3. 20. 解(1)设中低价房面积形成数列a n ,由题意可知a n 是等差数列, 其中a 1 =250,d=50,则S n =250n+ 50 2 )1( nn =25n 2 +225n, 令25n 2 +225n
11、4750,即n 2 +9n-1900,而n是正整数, n10. 到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列b n ,由题意可知b n 是等比数列, 其中b 1 =400,q=1.08,则b n =400(1.08) n-1 0.85. 由题意可知 a n 0.85 b n ,有250+(n-1)50400(1.08) n-1 0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 21. 解(1) 抛物线y 2 =2px的准线为x=- 2 p ,
12、于是4+ 2 p =5, p=2. 抛物线方程为y 2 =4x. (2)点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又F(1,0), k FA = 3 4 ;MNFA, k MN =- 4 3 , 则FA的方程为y= 3 4 (x-1),MN的方程为y-2=- 4 3 x,解方程组得x= 5 8 ,y= 5 4 , N的坐标( 5 8 , 5 4 ). (4)由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2, 当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离. 当m4时, 直线AK的方程为y= m4 4 (x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心
13、M(0,2)到直线AK的距离d= 2 )4(16 82 + + m m ,令d2,解得m1 当m1时, AK与圆M相离; 当m=1时, AK与圆M相切; 当m1时, AK与圆M相交. 22. 解(1)h(x)= (-2x+3)(x-2) x1,+) x-2 x(-,1) 7 (2) 当x1时, h(x)= (-2x+3)(x-2)=-2x 2 +7x-6=-2(x- 4 7 ) 2 + 8 1 h(x) 8 1 ; 当x1时, h(x)-1, 当x= 4 7 时, h(x)取得最大值是 8 1 (3)令 f(x)=sinx+cosx,= 2 则g(x)=f(x+)= sin(x+ 2 )+cos(x+ 2 )=cosx-sinx, 于是h(x)= f(x)f(x+)= (sinx+cosx)( cosx-sinx)=cos2x. 另解令f(x)=1+ 2 sinx, =, g(x)=f(x+)= 1+ 2 sin(x+)=1- 2 sinx, 于是h(x)= f(x)f(x+)= (1+ 2 sinx)( 1- 2 sinx)=cos2x.
