1、2005 年高考全国卷数学（理）试题 四川、陕西、云南等地区用 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（四川） 理科数学（必修+选修 II） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 . 共 150 分 . 考试时间 120 分钟 . 第I卷 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P（ A B） =P（ A） P（ B） 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 P n (k)=C k n P k (1 P) n k 一、选择题： （
2、1）已知 为第三象限角，则 2 所在的象限是 （ A）第一或第二象限 （ B）第二或第三象限 （ C）第一或第三象限 （ D）第二或第四象限 （ 2）已知过点 A(-2， m)和 B(m， 4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为 （ A） 0 （ B） -8 （ C） 2 （ D） 10 （ 3）在 8 (1) (1) x x + 的展开式中 5 x 的系数是 （ A） -14 （ B） 14 （ C） -28 （ D） 28 (4)设三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的体积为 V， P、 Q 分别是侧棱 AA 1 、 CC 1 上的点，且 PA=QC 1 ，则 四棱锥
3、 B-APQC 的体积为 （ A） 1 6 V （ B） 1 4 V （ C） 1 3 V （ D） 1 2 V （ 5） _) 34 1 233 1 ( 22 1 = + + xxxx iml x (A) 2 1 (B) 2 1 (C) 6 1 (D) 6 1 (6)若 ln 2 ln 3 ln 5 , 235 abc=,则 (A)abc (B)cba (C)cab (D)bac (7)设 02x ,且 1sin2 sin cosx xx=,则 球的表面积公式 S=4 2 R 其中 R 表示球的半径， 球的体积公式 V= 3 3 4 R ， 其中 R 表示球的半径 (A) 0 x (B) 7
4、 44 x (C) 5 44 x (D) 3 22 x (8) 2 2sin2 1 cos 2 cos 2 cos = + (A) tan (B) tan 2 (C) 1 (D) 1 2 （ 9）已知双曲线 2 2 1 2 y x = 的焦点为 F 1 、 F 2 ，点 M 在双曲线上且 120,MF MF = nullnullnullnullnull nullnullnullnullnull 则点 M 到 x 轴的距离为 （ A） 4 3 （ B） 5 3 （ C） 23 3 （ D） 3 （ 10）设椭圆的两个焦点分别为 F 1 、 、 F 2 ，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P
5、，若 F 1 PF 2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ A） 2 2 （ B） 21 2 （ C） 22 （ D） 21 （ 11）不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面 共有 （ A） 3 个 （ B） 4 个 （ C） 6 个 （ D） 7 个 （ 12）计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0 9 和字母 A F 共 16 个计 数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 16 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十
6、六进制表示： E+D=1B，则 A B= （ A） 6E （ B） 72 （ C） 5F （ D） B0 第卷 二填空题（ 16 分） （ 13）已知复数 iZ 23 0 += ,复数 Z 满足 Z=3Z+ 0 Z ,则复数 Z=_ （ 14）已知向量 ( ,12), (4,5), ( ,10)OA k OB OC k= nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull ，且 A、 B、 C 三点共线，则 k= （ 15）高 l为平面上过 (0,1)的直线 , l的斜率等可能地取 22,3, 2 5 ,0, 2 5 ,3,22 ,用 表示坐标
7、原点到 l的距离 ,由随机变量 的数学期望 E =_ （ 16）已知在 ABC 中， ACB=90， BC=3， AC=4， P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC、 BC 的距离乘积的最大值是 三 .解答题： (17) (本小题满分 12 分 ) 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照 顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125， （）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率 . （ 18） (本小题满分 12 分 ) 在四棱锥 V-A
8、BCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD底面 ABCD （）证明 AB平面 VAD （）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小 (19)在 ABC ,内角 A、 B、 C 的对边分别为 a,b,c.已知 a,b,c 成等比数列，且 cosB= 4 3 . 求 cotA+cotB 的值。 设 2 3 = BCBA ，求 a + c 的值。 （ 20） (本小题满分 12 分 ) 在等差数列 24 1 , 0, n d aaa 在等差数列 中 公差 与 的等差中项, 是 已知数列 1213 , , , nkk kaaaa a 成等比数列 ,求数列 nk
9、的通项 nk (21) (本小题满分 14 分 ) 设 12 12 (, ),(, )AB y y xx 两点在抛物线 2 2y x = 上， l是 AB 的垂直平分线， （）当且仅当 12xx + 取何值时，直线 l经过抛物线的焦点 F？证明你的结论； （）当 12 1, 3 xx =时，求直线 l的方程 . （ 22）已知函数 1,0, 2 74 )( 2 = x x x xf 求 )(xf 的单调区间和值域。 设 1a ,函数 1,0,23)( 3 = xaaxxxg ,若对于任意 1,0 1 x ，总存在 1,0 0 x ， 使得 )()( 10 xfxg = 成立，求 a 的取值范围
10、。 2005 年高考理科数学（四川）参考答案 D C B A V 一 .DBBCA， CCBCD， BA 二 .13、 i 2 3 1 ， 14、 2 3 ， 15、 7 4 ， 16、 3 三 .解答题： （ 17）解： （）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A、 B、 C， 1 分 则 A、 B、 C 相互独立， 由题意得： P（ AB） =P（ A） P（ B） =0.05 P（ AC） =P（ A） P（ C） =0.1 P（ BC） =P（ B） P（ C） =0.125 4 分 解得： P（ A） =0.2； P（ B） =0.25； P（ C） =0.5 所以 ,
11、甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2、 0.25、 0.5 6 分 （） A、 B、 C 相互独立， A BC、 相互独立， 7 分 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为 ( ) ()()() 0.80.750.5 0.3PABC PAPBPC = = = 10 分 这个小时内至少有一台需要照顾的概率为 1( )10.30.7pPABC= = = 12 分 （ 18）证明： （）作 AD 的中点 O，则 VO底 面 ABCD1 分 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为 1，2 分 则A（ 1 2 ，0，0） ，B（ 1 2 ，1，0） ，C（- 1 2
12、 ，1，0） ， D（- 1 2 ，0，0） ，V（0，0， 3 2 ） ， 13 (0,1,0), (1,0,0), ( ,0, ) 22 AB AD AV= nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull 3 分 由 (0,1,0) (1,0,0) 0ABAD AB AD= = nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull 4 分 13 (0,1,0) ( ,0, ) 0 22 ABAV AB AV= = nullnullnullnull nulln
13、ullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull 5 分 又 AB AV = A AB平面 VAD6 分 Z Y X O D C B A V （）由（）得 (0,1,0)AB = nullnullnullnull 是面 VAD 的法向量7 分 设 (1, , )nyz= null 是面 VDB 的法向量，则 1 13 0 3(1, , ) ( ,1, ) 0 (1, 1, ) 22 3 3 0 (1, , ) ( 1, 1, 0) 0 3 x nVB yz n znBD yz = = = = = = nullnullnullnull null nulln
14、ullnullnullnull 9 分 3 (0,1, 0) (1, 1, ) 21 3 cos , 7 21 1 3 AB n = = nullnullnullnullnull ，11 分 又由题意知，面 VAD 与面 VDB 所成的二面角，所以其大小为 21 arccos 7 12 分 （ 19） （ I）由 cosB= 4 3 得 4 7 ) 4 3 (1sin 2 =B ， 于是 BA BA tan 1 tan 1 cotcot +=+ CA ACAC C C A A sinsin sincoscossin sin cos sin cos + =+= = 7 7 4 sin 1 sin
15、 sin sin )sin( 22 = + BB B B CA (II)由 2 3 = BCBA 得 2,2, 4 3 cos, 2 3 cos 2 = bcaBBca 即可得由 由余弦定理 Baccab cos2 222 += 得 5cos2 222 =+ Bacbca a+c=3 （ 20）解：由题意得： 2 214aaa = 1 分 即 2 11 (3) 1 () d d aaa =+ + 3 分 又 0,d 1 d a = 4 分 又 1213 , , , nkk kaaaa a 成等比数列 , 该数列的公比为 3 1 3 3 d q d a a = =， 6 分 所以 1 1 3n
16、n kaa + = 8 分 又 11 (1) nknn d aak ka =+ = 10 分 1 3 n nk + = 所以数列 nk 的通项为 1 3 n nk + = 12 分 （ 21）解： （）抛物线 2 2y x = ，即 2 2 y x = ， 1 4 p = ， 焦点为 1 (0, ) 8 F 1 分 （ 1）直线 l的斜率不存在时，显然有 12xx + =0 3 分 （ 2）直线 l的斜率存在时，设为 k， 截距为 b 即直线 l： y=kx+b 由已知得： 12 12 12 12 22 1 kb k yy xx yy xx + + = + = 5 分 22 12 12 22
17、12 12 1 22 22 kb k xx xx xx xx + = + = 22 12 12 12 2 1 2 kb k xx xx xx + += + += 7 分 22 12 1 0 4 b xx +=+ 1 4 b 即 l的斜率存在时，不可能经过焦点 1 (0, ) 8 F 8 分 所以当且仅当 12xx + =0 时，直线 l经过抛物线的焦点 F 9 分 （）当 12 1, 3 xx =时， 直线 l的斜率显然存在，设为 l： y=kx+b 10 分 则由（）得： 22 12 12 12 2 1 2 kb k xx xx xx + += + += 12 10 2 1 2 2 kb k
18、 xx + += = 11 分 1 4 41 4 k b = = 13 分 所以直线 l的方程为 141 44 yx=+，即 4410 xy += 14 分 (22)解： (I)对函数 )(xf 求导，得 22 2 )2( )72)(12( )2( 7164 )( x xx x xx xf = + = 令 0)( =xf 解得 2 1 =x 或 2 7 =x 当 x 变化时。 )(xf ， )(xf 的变化情况如下表： x 0 (0, 2 1 ) 2 1 () 1, 2 1 1 )(xf _ 0 + )(xf 2 7 -4 -3 所以，当 ) 2 1 ,0(x 时， )(xf 是减函数；当 )
19、1, 2 1 (x 时， )(xf 是增函数。 当 )1,0(x 时， )(xf 的值域为 -4， -3。 （II）对函数)(xg求导，得图表 1 )(3)( 22 axxg = 当,1a )1,0(x 时， 0)1(3)( 2 axg 因此当 )1,0(x 时。 )(xg 为减函数，从而当 1,0 x 时有 )0(),1()( ggxg 又 agaaag 2)0(,2,321)1( 2 = ,即当 1,0 x 时有 2,321)( 2 aaaxg 任给 1,0 1 x ， 3,4)( 1 xf ，存在 1,0 0 x ，使得 )()( 10 xfxg = ，则 3,42,321 2 aaa 即 32 4321 2 a aa 解得 2 3 a 又 1a ，所以 a 的取值范围为 2 3 1 a
