1、2005 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理工农医类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题共 40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共 8 小题每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符
2、合题目要求的一项 . （ 1）设全集 U=R，集合 M=x| x1， P=x| x 2 1，则下列关系中正确的是 （ A） M P （ B） PM （ C） MP （ D） U MP= （ 2） “ m= 2 1 ”是“直线 (m+2)x+3my+1=0 与直线 (m 2)x+(m+2)y 3=0 相互垂直”的 （ A）充分必要条件 （ B）充分而不必要条件 （ C）必要而不充分条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 3）若 |1,|2,abcab=+ nullnullnullnullnull ，且 ca nullnull ，则向量 a null 与 b null 的夹角为 （ A） 30 （
3、 B） 60 （ C） 120 （ D） 150 （ 4）从原点向圆 x 2 y 2 12y 27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 （ A） （ B） 2 （ C） 4 （ D） 6 （ 5）对任意的锐角 ，下列不等关系中正确的是 （ A） sin(+)sin+sin （ B） sin(+)cos+cos （ C） cos(+)sin sin （ D） cos(+)0； 12 1 2 () () () 22 x xfxfx f + 0）与直线 l 2 ： y kx 之间的阴影 区域（不含边界）记为 W，其左半部分记为 W 1 ，右半部分记为 W 2 （ I）分别用不等式组表示
4、W 1 和 W 2 ； 4 （ II）若区域 W 中的动点 P(x， y)到 l 1 ， l 2 的距离之积等于 d 2 ，求点 P 的轨迹 C 的方程； （ III）设不过原点 O 的直线 l 与（ II）中的曲线 C 相交于 M 1 ， M 2 两点，且与 l 1 ， l 2 分别交于 M 3 ， M 4 两 点求证 OM 1 M 2 的重心与 OM 3 M 4 的重心重合 （ 19） （本小题共 12 分） 设数列 a n 的首项 a 1 =a 4 1 ，且 1 1 为为为 2 1 为为为 4 n n n an a an + = + , 记 21 1 4 nn ba =， n l， 2，
5、 3， （ I）求 a 2 ， a 3 ； （ II）判断数列 b n 是否为等比数列，并证明你的结论； （ III）求 123 lim( ) n n bbb b +null （ 20） （本小题共 14 分） 设 f(x)是定义在 0, 1上的函数，若存在 x* (0， 1)，使得 f(x)在 0, x*上单调递增，在 x*， 1上单调递 减，则称 f(x)为 0, 1上的单峰函数， x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间 对任意的 0， l上的单峰函数 f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法 （ I）证明：对任意的 x 1 ， x 2 (0， 1)， x 1 x 2 ，若 f(x 1 )
6、 f(x 2 )，则 (0， x 2 )为含峰区间；若 f(x 1 ) f(x 2 )，则 (x*， 1)为含峰区间； （ II）对给定的 r（ 0 r 0.5） ，证明：存在 x 1 ， x 2 (0， 1)，满足 x 2 x 1 2r，使得由（ I）所确定的含峰 区间的长度不大于 0.5 r； （ III）选取 x 1 ， x 2 (0, 1)， x 1 x 2 ，由（ I）可确定含峰区间为 (0， x 2 )或 (x 1 ， 1)，在所得的含峰区间内选取 x 3 ，由 x 3 与 x 1 或 x 3 与 x 2 类似地可确定一个新的含峰区间在第一次确定的含峰区间为 (0， x 2 )的情
7、况下，试 确定 x 1 ， x 2 ， x 3 的值，满足两两之差的绝对值不小于 0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到 0.34. （区间长度等于区间的右端点与左端点之差） 第 5 页 共 10 页 2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学 （理工农医类） （北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （ 1） C （ 2） B （ 3） C （ 4） B （ 5） D （ 6） C （ 7） A （ 8） A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 9） 3 8 （ 10） 3 4 ； 7 1 （ 11） 15 （ 1
8、2） (1, e)； e （ 13） （ 14） 2 1 n(n 3)； 2n 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （ 15） （共 13 分） 解： （ I） f (x) 3x 2 6x 9令 f (x)0，解得 x3， 所以函数 f(x)的单调递减区间为（， 1） ， （ 3，） （ II）因为 f( 2) 8 12 18 a=2 a， f(2) 8 12 18 a 22 a， 所以 f(2)f( 2)因为在（ 1， 3）上 f (x)0，所以 f(x)在 1, 2上单调递增，又由于 f(x)在 2， 1上单调递减，因此 f(2)和 f( 1)分别是 f(x)在区间 2， 2上
9、的最大值和最小值，于是有 22 a 20，解得 a 2 故 f(x)= x 3 3x 2 9x 2，因此 f( 1) 1 3 9 2 7， 即函数 f(x)在区间 2， 2上的最小值为 7 （ 16） （共 14 分） （ I）在直四棱柱 ABCD AB 1 C 1 D 1 中， AA 1 底面 ABCD AC 是 A 1 C 在平面 ABCD 上的射 影 BD AC BD A 1 C； （ II）连结 A 1 E， C 1 E， A 1 C 1 与（ I）同理可证 BD A 1 E， BD C 1 E， A 1 EC 1 为二面角 A 1 BD C 1 的平面角 AD DC， A 1 D 1
10、 C 1 = ADC 90， 又 A 1 D 1 =AD 2， D 1 C 1 = DC 2 3 ， AA 1 = 3 且 AC BD， 6 A 1 C 1 4， AE 1， EC 3， A 1 E 2， C 1 E 2 3 ， 在 A 1 EC 1 中， A 1 C 1 2 A 1 E 2 C 1 E 2 ， A 1 EC 1 90， 即二面角 A 1 BD C 1 的大小为 90 （ III）过 B 作 BF/AD 交 AC 于 F，连结 FC 1 ， 则 C 1 BF 就是 AD 与 BC 1 所成的角 AB AD 2， BD AC， AE 1， BF=2， EF 1， FC 2， BC
11、 DC， FC 1 = 7 ， BC 1 15 ， 在 BFC 1 中， 1 15 4 7 15 cos 5 12 15 CBF + = = , C 1 BF= 15 arccos 5 即异面直线 AD 与 BC 1 所成角的大小为 15 arccos 5 第 7 页 共 10 页 （ 17） （共 13 分） 解： （ I） P( 0) 03 3 11 () 28 C = ， P( 1) 13 3 () 28 C = ， P( 2) 23 3 13 () 28 C = ， 8 P( 3) 33 3 11 () 28 C = ， 的概率分布如下表： E 13 31 01231.5 88 88
12、+= , （或 E=3 2 1 =1.5） ； （ II）乙至多击中目标 2 次的概率为 1 33 3 2 () 3 C = 19 27 ； （ III）设甲恰比乙多击中目标 2 次为事件 A，甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次为事件 B 1 ，甲恰击 中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件 B 2 ，则 A B 1 B 2 ， B 1 ， B 2 为互斥事件 12 31 12 1 () ( ) ( ) 827 89 24 PA PB PB=+=+= 所以，甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 1 24 . （ 18） （共 14 分） 解： （ I） W 1 =(x, y)| kxy
13、 kx, x0， W 2 =(x, y)| kxy0， （ II）直线 l 1 ： kx y 0，直线 l 2 ： kx y 0，由题意得 2 22 | 11 kx y kx y d kk + = + , 即 22 2 2 2 | 1 kx y d k = + ， 由 P(x, y) W，知 k 2 x 2 y 2 0， 所以 22 2 2 2 1 kx y d k = + ，即 22 2 2 2 (1) 0kx y k d + =, 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 22 2 2 2 (1) 0kx y k d + =； （ III）当直线 l 与 x 轴垂直时，可设直线 l 的方程为 x
14、 a（ a 0） 由于直线 l，曲线 C 关于 x 轴对称，且 l 1 与 l 2 关于 x 轴对称，于是 M 1 M 2 ， M 3 M 4 的中点坐标都为（ a， 0） ，所以 OM 1 M 2 ， OM 3 M 4 的重心坐标都 为（ 3 2 a， 0） ，即它们的重心重合， 当直线 l 1 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y=mx+n（ n 0） 由 22 2 2 2 (1) 0kx y k d ymxn + = =+ ，得 222 2222 ()2 0kmx mnxnkdd = 由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点，可知 k 2 m 2 0 且 0 1 2 3 P 8 1
15、 8 3 8 3 8 1 第 9 页 共 10 页 = 2222222 (2 ) 4( ) ( )mn k m n k d d+0 设 M 1 ， M 2 的坐标分别为 (x 1 , y 1 )， (x 2 , y 2 )， 则 12 22 2mn xx km += , 12 12 ()2y ymxx n+= +, 设 M 3 ， M 4 的坐标分别为 (x 3 , y 3 )， (x 4 , y 4 )， 由及 ykx y kx ymxn ymxn = = =+ =+ 得 34 , nn xx km km = + 从而 34 1222 2mn x xxx km += =+ ， 所以 y 3
16、+y 4 =m(x 3 +x 4 )+2n m(x 1 +x 2 )+2n y 1 +y 2 , 于是 OM 1 M 2 的重心与 OM 3 M 4 的重心也重合 （ 19） （共 12 分） 解： （ I） a 2 a 1 + 4 1 =a+ 4 1 ， a 3 = 2 1 a 2 = 2 1 a+ 8 1 ； （ II） a 4 =a 3 + 4 1 = 2 1 a+ 8 3 , 所以 a 5 = 2 1 a 4 = 4 1 a+ 3 16 , 所以 b 1 =a 1 4 1 =a 4 1 , b 2 =a 3 4 1 = 2 1 (a 4 1 ), b 3 =a 5 4 1 = 4 1
17、(a 4 1 ), 猜想： b n 是公比为 2 1 的等比数列 证明如下： 因为 b n+1 a 2n+1 4 1 = 2 1 a 2n 4 1 = 2 1 (a 2n 1 4 1 )= 2 1 b n , (n N*) 所以 b n 是首项为 a 4 1 , 公比为 2 1 的等比数列 （ III） 1 1 12 1 (1 ) 1 2 lim( ) lim 2( ) 11 4 11 22 n n nn b b bb b a + = = = null . （ 20） （共 14 分） （ I）证明：设 x*为 f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知， f(x)在 0, x*上单调递增，在 x
18、*, 1上单调递 减 当 f(x 1 ) f(x 2 )时，假设 x*(0, x 2 )，则 x 1 x 2 f(x 1 )， 这与 f(x 1 ) f(x 2 )矛盾，所以 x* (0, x 2 )，即 (0, x 2 )是含峰区间 . 当 f(x 1 ) f(x 2 )时，假设 x*( x 2 , 1)，则 x* x 1 f(x 2 )， 10 这与 f(x 1 ) f(x 2 )矛盾，所以 x* (x 1 , 1)，即 (x 1 , 1)是含峰区间 . （ II）证明：由（ I）的结论可知： 当 f(x 1 ) f(x 2 )时，含峰区间的长度为 l 1 x 2 ； 当 f(x 1 )
19、f(x 2 )时，含峰区间的长度为 l 2 =1 x 1 ； 对于上述两种情况，由题意得 2 1 0.5 10.5 x r x r + + 由得 1 x 2 x 1 1+2r，即 x 1 x 1 2r. 又因为 x 2 x 1 2r，所以 x 2 x 1 =2r, 将代入得 x 1 0.5 r, x 2 0.5 r， 由和解得 x 1 0.5 r， x 2 0.5 r 所以这时含峰区间的长度 l 1 l 1 0.5 r，即存在 x 1 ， x 2 使得所确定的含峰区间的长度不大于 0.5 r （ III）解：对先选择的 x 1 ； x 2 ， x 1 x 3 时，含峰区间的长度为 x 1 由条件 x 1 x 3 0.02，得 x 1 (1 2x 1 ) 0.02，从而 x 1 0.34 因此，为了将含峰区间的长度缩短到 0.34，只要取 x 1 0.34， x 2 0.66， x 3 =0.32
