1、 第 1 页 共 9 页 1 河北省 2005 年中考数学试题及参考答案 卷 一、选择题 1 3 的相反数是 A 1 3 B 1 3 C 3 D 3 2计算 (x 2 y) 3 ，结果正确的是 A x 5 y B x 6 y C x 2 y 3 D x 6 y 3 3等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4已知 O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d。若直线 l 与 O 有交点，则下列结 论正确的是 A d r B d r C d r D d r 5用换元法解分式方程 2 2 2( 1) 6 7 2 x
2、x xx + += + 时，如果设 2 1x y x + = ，那么将原方程化为关 于 y 的一元二次方程的一般形式是 A 2 2760yy+= B 2 2760yy+ += C 2 760yy+= D 2 760yy+ += 6已知：如图 1，在矩形 ABCD 中， E， F， G， H 分别为 边 AB， BC， CD， DA 的中点。若 AB 2， AD 4，则图 中阴影部分的面积为 A 3 B 4 C 6 D 8 7某闭合电路中，电源的电压为定值，电流 I（ A）与电阻 R（）成反比例。图 2 表示的是该电路中电流 I 与电阻 R 之间函数关系的图像，则用电阻 R 表示电流 I 的函数
3、解 析式为 A 2 I R = B 3 I R = C 6 I R = D 6 I R = 8法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的， 后面的就改用手势了。下面两个图框使用法国“小九九”计算 7 8 和 8 9 的两个示例。 若用法国的“小九九”计算 7 9，左、右手依次伸出手指的个数是 A E B F C G D H 图 1 O I（ A） R（） B(3,2) 图 2 2 3 第 2 页 共 9 页 2 A 2， 3 B 3， 3 C 2， 4 D 3， 4 9古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物 都是一样重的。驴子抱
4、怨负担太重，骡子说： “你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所 负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！ ”那么驴子原来所托 货物的袋数是 A 5 B 6 C 7 D 8 10一根绳子弯曲成如图 3 1 所示的形状。当用剪刀像图 3 2 那样沿虚线 a 把绳子剪断 时，绳子被剪为 5 段；当用剪刀像图 3 3 那样沿虚线 b（ b a）把绳子再剪一次时，绳 子就被剪为 9 段。若用剪刀在虚线 a， b 之间把绳子再剪（ n 1）次（剪刀的方向与 a 平行） ，这样一共剪 n 次时绳子的段数是 卷 二、填空题 11已知甲地的海拔高度是 300m，乙地的海拔高度是 50m，那么甲 地
5、比乙地高 m 12已知：如图 4，直线 a b，直线 c 与 a， b 相交，若 2 115， 则 1 。 13生物学家发现一种病毒的长度约为 0.000 043mm，用科学计数法 表 0.000 043 的结果为 。 14将一个平角 n 等分，每份是 15，那么 n 等于 。 15分解因式 22 x yaxay+ 。 16如图 5，铁道口栏杆的短臂长为 1.2m，长臂长为 8m，当短 臂端点下降 0.6m 时，长臂端点升高 m（杆的 粗细忽略不计） 。 17不等式组 210 40 x x 的解集是 。 图 3 1 图 3 2 图 3 3 a a b a c b 2 1 图 4 图 5 第 3
6、 页 共 9 页 3 18高温锻烧石灰石（ CaCO 3 ）可以制取生石灰（ CaO）和二氧化碳（ CO 2 ） 。如果不考虑 杂质及损耗，生产生石灰 14 吨就需要锻烧石灰石 25 吨，那么生产生石灰 224 万吨，需 要石灰石 万吨。 19一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的 60 元降至 48.6 元， 那么平均每次降价的百分率是 。 20如图 6，已知圆锥的母线长 OA 8，地面圆的半径 r 2。若一只小 虫从 A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则小虫爬行的 最短路线的长是 （结果保留根式） 。 三、解答题 21已知 31x=，求 11 () x x x x 的值
7、。 22已知：如图 7， D 是 ABC 的边 AB 上一点， AB FC， DF 交 AC 于点 E， DE EF。 求证： AE CE。 23工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求， 设计了一个如图 8 1 所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为 90，尺寸如图（单位： cm） 将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图 8 1 所示的 A， B， E 三个接触点，该球的大小就符合要求。 图 8 2 是过球心 O 及 A， B， E 三个接触点的截面示意图。已 知 O 的直径就是铁球的直径， AB 是 O 的弦， CD 切 O 于点 E， AC CD， BD CD。请你结合图
8、8 1 中的数据。计算这种铁球的 直径。 24为了解甲、乙两名运动员的体能训练情况，对他们进行了跟踪测试，并把连续十周的 测试成绩绘制成如图 9 所示的折线统计图。教练组规定：体能测试成绩 70 分以上（包括 70 分）为合格。 （ 1）请根据图 9 中所提供的信息填写下表： 平均数 中位数 体能测试成 绩合格次数 甲 65 乙 60 A 图 6 A D B C F E 图 7 A E B 4 4 16 图 8 1 A C E D B O 图 8 2 图 9 第 4 页 共 9 页 4 （ 2）请从下面两个不同的角度对这两名运动员体能测试结果进行判断： 依据平均数和成绩合格的次数比较甲和乙，
9、的体能测试成绩较好； 依据平均数和中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好。 （ 3）依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好。 25在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧 时剩余部分的高度 y（厘米）与燃烧时间 x（小时） 之间的关系如图 10 所示，请根据图象所提供的信息 解答下列问题： （ 1 ）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别 是 ，从点燃到燃尽所用的时间分 别是 。 （ 2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函 数关系式； （ 3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么 事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲
10、蜡烛比乙蜡烛低？ 26操作示例 对于边长为 a 的两个正方形 ABCD 和 EFGH，按图 11 1 所示的方式摆放，在沿虚线 BD， EG 剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为 图 11 1 中的四边形 BNED。 从拼接的过程容易得到结论： 四边形 BNED 是正方形； S 正方形 ABCD S 正方形 EFGH S 正方形 BNED 。 实践与探究 （ 1）对于边长分别为 a， b（ a b）的两个正方 形 ABCD 和 EFGH，按图 11 2 所示的方式摆放，连 接 DE，过点 D 作 DM DE，交 AB 于点 M，过点 M 作 MN DM，过点 E 作 EN DE， MN 与
11、EN 相交于 点 N。 证明四边形 MNED 是正方形，并用含 a， b 的 代数式表示正方形 MNED 的面积； 在图 11 2中， 将正方形 ABCD和正方形 EFGH 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形 MNED，请简略说 明你的拼接方法（类比图 11 1，用数字表示对应的 图形） 。 （ 2）对于 n（ n 是大于 2 的自然数）个任意的正 方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方 形？请简要说明你的理由。 27某机械租赁公司有同一型号的机械设备 40 套。经过一段时间的经营发现：当每套机 械设备的月租金为 270 元时，恰好全部租出。在此基础上，当每套设备的月租金每提高 10 A
12、D F G C （ H） E N B M 图 11 2 图 11 1 第 5 页 共 9 页 5 元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等） 20 元。设每套设备的月租金为 x（元） ，租赁公司出租该型号设备的月收益（收益租金 收入支出费用）为 y（元） 。 （ 1）用含 x 的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费 （ 2）求 y 与 x 之间的二次函数关系式； （ 3）当月租金分别为 300 元和 350 元式，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出 租多少套机械设备？请你简要说明理由； （ 4）请把（ 2）中所求出的二次函数
13、配方成 2 2 4 () 24 bacb yax aa =+ + 的形式，并据此说明： 当 x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？ 28如图 12，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， C 90， BC 16， DC 12， AD 21。 动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发， 在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动， 点 P， Q 分别从点 D， C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之 停止运动。设运动的时间为 t（秒） 。 （ 1）设 BPQ 的面积为 S
14、，求 S 与 t 之间的函数关系式； （ 2）当 t 为何值时，以 B， P， Q 三点为顶点的三角形是等腰三 角形？ （ 3）当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 O，且 2AO OB 时，求 BQP 的正切值； （ 4）是否存在时刻 t，使得 PQ BD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由。 A B Q C P D 图 12 第 6 页 共 9 页 6 2005 年河北省中考数学答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B A B C C A A 二、填空题 11 350 12 65 13 4.3 10 5 14 12 15 (x y)(
15、x y a) 16 4 17 1 2 x 4 18 400 19 10 20 82 三、解答题 21解：原式 11 (1)(1) 1 xx x xx x = + + 当 x 31 时，原式 13 3 311 = + 22证明： AB FC， ADE CFE 又 AED CEF， DE FE， AED CEF 第 7 页 共 9 页 7 AE CE 23解：连结 OA、 OE，设 OE 与 AB 交于点 P，如图 AC BD， AC CD， BD CD 四边形 ABDC 是矩形 CD 与 O 切于点 E， OE 为 O 的半径， OE CD OE AB PA PB PE AC AB CD 16，
16、 PA 8 AC BD 4 PE 4 在 Rt OAP 中，由勾股定理得 222 OA PA OP=+， 即 22 2 8( 4)OA OA=+ 解得 OA 10，所以这种铁球的直径为 20cm。 24解： （ 1）见表格。 （ 2） （ 2）乙；甲。 （ 3）从折线图上看，两名运动员体能测试成绩都成 上升趋势，但是，乙的增长速度比甲快，并且后一 阶段乙的成绩合格的次数比甲多，所以乙训练的效 果较好。 25解： （ 1） 30 厘米， 25 厘米； 2 小时， 2.5 小时。 （ 2）设甲蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式为 11 bxky += 。由图可知，函数 的图象过点（ 2， 0
17、） ， （ 0， 30） ， = =+ 30 02 1 11 b bk ，解得 = = 30 15 1 1 b k y 15x 30 设乙蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式为 22 bxky += 。 由图可知， 函数的图象过点 （ 2.5， 0） ， （ 0， 25） ， = =+ 25 02 2 22 b bk ，解得 = = 25 10 2 2 b k y 10 x 25 （ 3）由题意得 15x 30 10 x 25，解得 x 1，所以，当燃烧 1 小时的时候，甲、乙 两根蜡烛的高度相等。 观察图象可知：当 0 x 1 时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当 1 x 2.5 时，甲蜡烛比乙蜡烛
18、低。 26解： （ 1）证明：由作图的过程可知四边形 MNED 是 平均数 中位数 体能测试成 绩合格次数 甲 60 65 2 乙 60 57.5 4 A C B D E O P A D F G C （ H） E N B M 图 2 P 1 6 2 5 3 4 第 8 页 共 9 页 8 矩形。 在 Rt ADM 与 Rt CDE 中， AD CD，又 ADM MDC CDE MDC 90， DM DE，四边形 MNED 是正方形。 22222 DECDCEab=+=+， 正方形 MNED 的面积为 22 ab+ ； 过点 N 作 NP BE，垂足为 P，如图 2 可以证明图中 6 与 5 位
19、置的两个三角形全等， 4 与 3 位置的两个三角形全等， 2 与 1 位置的两个三角形也全等。 所以将 6 放到 5 的位置， 4 放到 3 的位置， 2 放到 1 的位置， 恰好拼接为正方形 MNED。 （ 2）答：能。 理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方 形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，依此类推。由 此可知：对于 n 个任意的正方形，可以通过（ n 1）次拼接，得到一个正方形。 27解： （ 1）未租出的设备为 270 10 x 套，所有未出租设备支出的费用为（ 2x 540） 元； （ 2） 2 270 1 (40 )
20、 (2 540) 65 540 10 10 x yxxxx = = + （ 3）当月租金为 300 元时，租赁公司的月收益为 11040 元，此时租出设备 37 套；当 月租金为 350 元时，租赁公司的月收益为 11040 元，此时租出设备 32 套。因为出租 37 套 和 32 套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租 32 套；如果考虑 市场占有率，应该选择 37 套； （ 4） 22 11 65 540 ( 325) 11102.5 10 10 yxx x= += + 当 x 325 时， y 有最大值 11102.5。但是当月租金为 325 元时，出租设备的套数为
21、34. 5 套，而 34.5 不是整数，故出租设备应为 34（套）或 35（套） 。即当月租金为 330 元 （租出 34 套）或月租金为 320 元（租出 35 套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益 均为 11100 元。 28解（ 1）如图 3，过点 P 作 PM BC，垂足为 M，则四边形 PDCM 为矩形。 PM DC 12 QB 16 t， S 1 2 12 (16 t) 96 t （ 2）由图可知： CM PD 2t， CQ t。热以 B、 P、 Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： 若 PQ BQ。在 Rt PMQ 中， 22 2 12PQ t=+ ， 由 P
22、Q 2 BQ 2 得 22 2 12 (16 )tt+=，解得 t 7 2 ； 若 BP BQ。在 Rt PMB 中， 222 (16 2 ) 12BP t= +。由 BP 2 BQ 2 得： A B M C D P Q 图 3 第 9 页 共 9 页 9 22 2 (16 2 ) 12 (16 )tt+= 即 2 3 32 144 0tt +=。 由于 704 0 2 3 32 144 0tt+=无解， PB BQ 若 PB PQ。由 PB 2 PQ 2 ，得 22 22 12 (16 2 ) 12tt+=+ 整理，得 2 3 64 256 0tt +=。解得 12 16 16 3 tt=
23、=， （不合题意，舍去） 综合上面的讨论可知：当 t 716 23 t =秒或 秒时，以 B、 P、 Q 三点为顶点的三角形是 等腰三角形。 （ 3）如图 4，由 OAP OBQ，得 1 2 AP AO BQ OB = = AP 2t 21， BQ 16 t， 2(2t 21) 16 t。 t 58 5 。 过点 Q 作 QE AD，垂足为 E， PD 2t， ED QC t， PE t。 在 RT PEQ 中， tan QPE 12 30 29 QE PE t = （ 4）设存在时刻 t，使得 PQ BD。如图 5，过点 Q 作 QE ADS，垂足为 E。由 Rt BDC Rt QPE，得 DCPE BCEQ = ，即 12 16 12 t = 。解得 t 9 所以，当 t 9 秒时， PQ BD。 P A E D C Q B O 图 5 P A E D C Q B O 图 4
