1、2018年 湖 南 省 娄 底 市 中 考 试 卷 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 3分 ， 满 分 36 分 ， 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 个 选 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ， 请 把 你 认 为 符 合 题 目 要 求 的 选 项 填 涂 在 答 题 卡 上 相 应 题 号 下 的方 框 里 )1.2018的 相 反 数 是 ( )A. 12018B.2018C.-2018 D.- 12018解 析 ： 2018的 相 反 数 是 ： -2018.答 案 ： C2.一 组 数 据 -3， 2， 2， 0， 2
2、， 1 的 众 数 是 ( )A.-3B.2C.0D.1解 析 ： 这 组 数 据 中 2出 现 次 数 最 多 ， 有 3 次 ， 所 以 众 数 为 2.答 案 ： B 3.随 着 我 国 综 合 国 力 的 提 升 ， 中 华 文 化 影 响 日 益 增 强 ， 学 中 文 的 外 国 人 越 来 越 多 ， 中 文 已 成为 美 国 居 民 的 第 二 外 语 ， 美 国 常 讲 中 文 的 人 口 约 有 210 万 ， 请 将 “ 210 万 ” 用 科 学 记 数 法 表示 为 ( )A.0.21 107B.2.1 106C.21 105D.2.1 107解 析 ： 科 学 记
3、数 法 的 表 示 形 式 为 a 10 n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ，要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当 原 数绝 对 值 1时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1 时 ， n是 负 数 .210万 =2.1 106.答 案 ： B4.下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.a 2 a5=a10B.(3a3)2=6a6C.(a+b)2=a2+b2D.(a+2)(a-3)=a2-a-6 解 析 ： A、
4、 原 式 =a7， 不 符 合 题 意 ；B、 原 式 =9a6， 不 符 合 题 意 ；C、 原 式 =a2+2ab+b2， 不 符 合 题 意 ；D、 原 式 =a2-a-6， 符 合 题 意 .答 案 ： D5.关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2-(k+3)x+k=0的 根 的 情 况 是 ( )A.有 两 不 相 等 实 数 根B.有 两 相 等 实 数 根C.无 实 数 根D.不 能 确 定解 析 ： =(k+3) 2-4 k=k2+2k+9=(k+1)2+8， (k+1)2 0， (k+1)2+8 0， 即 0， 所 以 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 .
5、答 案 ： A6.不 等 式 组 2 23 1 4x xx ， 的 最 小 整 数 解 是 ( )A.-1B.0C.1D.2解 析 ： 解 不 等 式 2-x x-2， 得 ： x 2， 解 不 等 式 3x-1 -4， 得 ： x -1， 则 不 等 式 组 的 解 集 为 -1 x 2， 所 以 不 等 式 组 的 最 小 整 数解 为 0.答 案 ： B7.如 图 所 示 立 体 图 形 的 俯 视 图 是 ( )A. B.C. D.解 析 ： 从 上 边 看 立 体 图 形 得 到 俯 视 图 即 可 得 立 体 图 形 的 俯 视 图 如 下 .答 案 ： B8.函 数 23xy x
6、 中 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ( )A.x 2B.x 2C.x 2且 x 3 D.x 3解 析 ： 根 据 题 意 得 ： 2 03 0 xx ， 解 得 ： x 2且 x 3.答 案 ： C9.将 直 线 y=2x-3向 右 平 移 2 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 3个 单 位 后 ， 所 得 的 直 线 的 表 达 式 为 ( )A.y=2x-4B.y=2x+4C.y=2x+2D.y=2x-2解 析 ： 根 据 平 移 的 性 质 “ 左 加 右 减 ， 上 加 下 减 ” ， 即 可 找 出 平 移 后 的 直 线 解 析式 .y=2(x-2)-3+3=2x-4，
7、 化 简 ， 得 y=2x-4. 答 案 ： A10.如 图 ， 往 竖 直 放 置 的 在 A 处 由 短 软 管 连 接 的 粗 细 均 匀 细 管 组 成 的 “ U” 形 装 置 中 注 入 一 定量 的 水 ， 水 面 高 度 为 6cm， 现 将 右 边 细 管 绕 A 处 顺 时 针 方 向 旋 转 60 到 AB 位 置 ， 则 AB中 水柱 的 长 度 约 为 ( )A.4cmB.6 3 cm C.8cmD.12cm解 析 ： AB 中 水 柱 的 长 度 为 AC， CH 为 此 时 水 柱 的 高 ， 设 CH=x， 竖 直 放 置 时 短 软 管 的 底 面 积 为 S
8、， BAH=90 -60 =30 ， AC=2CH=x， 细 管 绕 A处 顺 时 针 方 向 旋 转 60 到 AB位 置 时 ， 底 面 积 为 2S， x S+x 2S=6 S+6 S， 解 得 x=4， AC=2x=8， 即 AB中 水 柱 的 长 度 约 为 8cm.答 案 ： C11.如 图 ， 由 四 个 全 等 的 直 角 三 角 形 围 成 的 大 正 方 形 的 面 积 是 169， 小 正 方 形 的 面 积 为 49，则 sin -cos =( ) A. 513B.- 513C. 713D.- 713解 析 ： 小 正 方 形 面 积 为 49， 大 正 方 形 面 积
9、 为 169， 小 正 方 形 的 边 长 是 7， 大 正 方 形 的 边 长 是 13， 在 Rt ABC中 ， AC2+BC2=AB2， 即 AC2+(7+AC)2=132，整 理 得 ， AC2+7AC-60=0， 解 得 AC=5， AC=-12(舍 去 )， BC= 2 2AB AC =12， 5 12sin cos13 13AC BCAB AB ， ， sin -cos = 5 12 713 13 13 .答 案 ： D12.已 知 ： x表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 .例 ： 3.9=3， -1.8=-2.令 关 于 k 的 函 数f(k)= 14 4k k (k
10、是 正 整 数 ).例 ： f(3)= 3 1 34 4 =1.则 下 列 结 论 错 误 的 是 ( ) A.f(1)=0B.f(k+4)=f(k)C.f(k+1) f(k)D.f(k)=0或 1解 析 ： f(1)= 1 1 14 4 =0-0=0， 故 选 项 A正 确 ；f(k+4)= 4 1 4 1 11 14 4 4 4 4 4k k k k k k =f(k)， 故 选 项 B正 确 ；C、 当 k=3 时 ， f(3+1)= 4 1 44 4 =1-1=0， 而 f(3)=1， 故 选 项 C错 误 ； D、 当 k=3+4n(n为 自 然 数 )时 ， f(k)=1， 当 k
11、 为 其 它 的 正 整 数 时 ， f(k)=0， 所 以 D 选 项 的 结论 正 确 .答 案 ： C二 、 填 空 题 (木 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 18分 ).13.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 ， 点 P 是 反 比 例 函 数 y= 2x 图 象 上 的 一 点 ， PA x 轴 于 点 A， 则 POA的 面 积 为 . 解 析 ： 点 P 是 反 比 例 函 数 y= 2x 图 象 上 的 一 点 ， PA x轴 于 点 A， POA的 面 积 为 ： 1 12 2AO PA xy=1.答 案
12、： 114.如 图 ， P 是 ABC的 内 心 ， 连 接 PA、 PB、 PC， PAB、 PBC、 PAC 的 面 积 分 别 为 S1、 S2、S 3.则 S1 S2+S3.(填 “ ” 或 “ =” 或 “ ” )解 析 ： 过 P点 作 PD AB 于 D， 作 PE AC于 E， 作 PF BC于 F， P 是 ABC的 内 心 ， PD=PE=PF， 1 2 31 1 12 2 2S AB PD S BC PF S AC PE ， ， ， AB BC+AC， S1 S2+S3.答 案 ： 15.从 2018年 高 中 一 年 级 学 生 开 始 ， 湖 南 省 全 面 启 动
13、高 考 综 合 改 革 ， 学 生 学 习 完 必 修 课 程 后 ，可 以 根 据 高 校 相 关 专 业 的 选 课 要 求 和 自 身 兴 趣 、 志 向 、 优 势 ， 从 思 想 政 治 、 历 史 、 地 理 、 物理 、 化 学 、 生 物 6 个 科 目 中 ， 自 主 选 择 3个 科 目 参 加 等 级 考 试 .学 生 A 已 选 物 理 ， 还 从 思 想政 治 、 历 史 、 地 理 3 个 文 科 科 目 中 选 1 科 ， 再 从 化 学 、 生 物 2 个 理 科 科 目 中 选 1 科 .若 他 选思 想 政 治 、 历 史 、 地 理 的 可 能 性 相 等
14、 ， 选 化 学 、 生 物 的 可 能 性 相 等 ， 则 选 修 地 理 和 生 物 的 概率 为 .解 析 ： 画 树 状 图 如 下 ： 由 树 状 图 可 知 ， 共 有 6种 等 可 能 结 果 ， 其 中 选 修 地 理 和 生 物 的 只 有 1 种 结 果 ， 所 以 选 修 地 理和 生 物 的 概 率 为 16 .答 案 ： 1616.如 图 ， ABC 中 ， AB=AC， AD BC 于 D 点 ， DE AB 于 点 E， BF AC 于 点 F， DE=3cm， 则BF= cm. 解 析 ： 在 Rt ADB与 Rt ADC中 ， AB ACAD AD ， Rt
15、ADB Rt ADC， S ABC=2S ABD=2 12 AB DE=AB DE=3AB， S ABC= 12 AC BF， 12 AC BF=3AB， AC=AB， 12 BF=3， BF=6. 答 案 ： 6.17.如 图 ， 已 知 半 圆 O 与 四 边 形 ABCD的 边 AD、 AB、 BC 都 相 切 ， 切 点 分 别 为 D、 E、 C， 半 径OC=1， 则 AE BE= .解 析 ： 如 图 连 接 OE. 半 圆 O 与 四 边 形 ABCD 的 边 AD、 AB、 BC 都 相 切 ， 切 点 分 别 为 D、 E、 C， OE AB， AD CD， BC CD，
16、OAD= OAE， OBC= OBE， AD BC， DAB+ ABC=180 ， OAB+ OBA=90 ， AOB=90 ， OAE+ AOE=90 ， AOE+ BOE=90 ， EAO= EOB， AEO= OEB=90 ， AEO OEB， AE OEOE BE ， AE BE=OE2=1.答 案 ： 118.设 a 1， a2， a3 是 一 列 正 整 数 ， 其 中 a1表 示 第 一 个 数 ， a2表 示 第 二 个 数 ， 依 此 类 推 ， an表 示 第 n 个 数 (n是 正 整 数 ).已 知 a1=1， 4an=(an+1-1)2-(an-1)2， 则 a201
17、8= .解 析 ： 4an=(an+1-1)2-(an-1)2， (an+1-1)2=(an-1)2+4an=(an+1)2， a1， a2， a3 是 一 列 正 整 数 ， an+1-1=an+1， an+1=an+2， a1=1， a2=3， a3=5， a4=7， a5=9， ， an=2n-1， a2018=4035.答 案 ： 4035.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 共 12 分 )19.计 算 ： ( -3.14) 0+ 21 13 2 +4cos30 .解 析 ： 根 据 零 指 数 幂 、 负 整 数 指 数 幂 、 绝 对 值
18、 和 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 可 以 解 答 本 题 .答 案 ： ( -3.14)0+ 21 13 2 +4cos30 31 9 2 3 4 1 9 2 3 2 3 102 .20.先 化 简 ， 再 求 值 ： 2 21 11 1 2 1xx x x x ， 其 中 x= 2 .解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 加 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约分 得 到 最 简 结 果 ， 把 x 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式 = 211 1 11 1 1xx xx
19、x x x ， 当 x= 2 时 ， 原 式 = 1 3 212 22 .四 、 解 答 题 (本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 16 分 )21.为 了 取 得 贫 工 作 的 胜 利 ， 某 市 对 扶 贫 工 作 人 员 进 行 了 扶 贫 知 识 的 培 训 与 测 试 ， 随 机 抽 取了 部 分 人 员 的 测 试 成 绩 作 为 样 本 ， 并 将 成 绩 划 分 为 A、 B、 C、 D 四 个 不 同 的 等 级 ， 绘 制 成 不完 整 统 计 图 如 图 ， 请 根 据 图 中 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ： (1)求 样 本 容 量
20、 ；(2)补 全 条 形 图 ， 并 填 空 ： n= ；(3)若 全 市 有 5000人 参 加 了 本 次 测 试 ， 估 计 本 次 测 试 成 绩 为 A级 的 人 数 为 多 少 ？解 析 ： (1)用 B 等 级 人 数 除 以 其 所 占 百 分 比 可 得 ；(2)总 人 数 减 去 A、 B、 D 人 数 求 得 C 的 人 数 即 可 补 全 条 形 图 ， 用 D 等 级 人 数 除 以 总 人 数 可 得n的 值 ；(3)总 人 数 乘 以 样 本 中 A 等 级 人 数 所 占 比 例 即 可 得 .答 案 ： (1)样 本 容 量 为 18 30%=60；(2)C等
21、 级 人 数 为 60-(24+18+6)=12人 ， n%= 660 100%=10%， 补 全 图 形 如 下 ： (3)估 计 本 次 测 试 成 绩 为 A 级 的 人 数 为 5000 2460 =2000 人 .22.如 图 ， 长 沙 九 龙 仓 国 际 金 融 中 心 主 楼 BC 高 达 452m， 是 目 前 湖 南 省 第 一 高 楼 ， 和 它 处 于同 一 水 平 面 上 的 第 二 高 楼 DE高 340m， 为 了 测 量 高 楼 BC上 发 射 塔 AB 的 高 度 ， 在 楼 DE 底 端 D点 测 得 A 的 仰 角 为 ， sin = 2425 ， 在 顶
22、 端 E 点 测 得 A 的 仰 角 为 45 ， 求 发 射 塔 AB 的 高 度 . 解 析 ： 作 EH AC于 H， 设 AC=24x， 根 据 正 弦 的 定 义 求 出 AD， 根 据 勾 股 定 理 求 出 CD， 根 据 题意 列 出 方 程 求 出 x， 结 合 图 形 计 算 即 可 .答 案 ： 作 EH AC于 H， 则 四 边 形 EDCH为 矩 形 ， EH=CD， 设 AC=24x， 在 Rt ADC中 ， sin = 2425 ， AD=25x，由 勾 股 定 理 得 ， CD= 2 2AD AC =7x， EH=7x，在 Rt AEH中 ， AEH=45 ，
23、AH=EH=7x，由 题 意 得 ， 24x=7x+340， 解 得 ， x=20， 则 AC=24x=480， AB=AC-BC=480-452=28， 答 ： 发 射 塔 AB 的 高 度 为 28m.五 、 解 答 题 (本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 9 分 ， 共 18 分 )23.“ 绿 水 青 山 ， 就 是 金 山 银 山 ” .某 旅 游 景 区 为 了 保 护 环 境 ， 需 购 买 A、 B 两 种 型 号 的 垃 圾处 理 设 备 共 10 台 .已 知 每 台 A 型 设 备 日 处 理 能 力 为 12 吨 ； 每 台 B 型 设 备 日 处 理 能 力
24、 为 15吨 ； 购 回 的 设 备 日 处 理 能 力 不 低 于 140吨 .(1)请 你 为 该 景 区 设 计 购 买 A、 B 两 种 设 备 的 方 案 ；(2)已 知 每 台 A 型 设 备 价 格 为 3 万 元 ， 每 台 B型 设 备 价 格 为 4.4万 元 .厂 家 为 了 促 销 产 品 ， 规定 货 款 不 低 于 40万 元 时 ， 则 按 9 折 优 惠 ； 问 ： 采 用 (1)设 计 的 哪 种 方 案 ， 使 购 买 费 用 最 少 ，为 什 么 ？解 析 ： (1)设 购 买 A 种 设 备 x台 ， 则 购 买 B种 设 备 (10-x)台 ， 根 据
25、 购 回 的 设 备 日 处 理 能 力 不低 于 140吨 列 出 不 等 式 12x+15(10-x) 140， 求 出 解 集 ， 再 根 据 x 为 正 整 数 ， 得 出 x=1， 2， 3.进 而 求 解 即 可 ；(2)分 别 求 出 各 方 案 实 际 购 买 费 用 ， 比 较 即 可 求 解 .答 案 ： (1)设 购 买 A 种 设 备 x 台 ， 则 购 买 B 种 设 备 (10-x)台 ，根 据 题 意 ， 得 12x+15(10-x) 140， 解 得 x 313 ， x 为 正 整 数 ， x=1， 2， 3. 该 景 区 有 三 种 设 计 方 案 ：方 案
26、一 ： 购 买 A种 设 备 1台 ， B 种 设 备 9 台 ；方 案 二 ： 购 买 A种 设 备 2台 ， B 种 设 备 8 台 ；方 案 三 ： 购 买 A种 设 备 3台 ， B 种 设 备 7 台 ；(2)各 方 案 购 买 费 用 分 别 为 ：方 案 一 ： 3 1+4.4 9=42.6 40， 实 际 付 款 ： 42.6 0.9=38.34(万 元 )；方 案 二 ： 3 2+4.4 8=41.2 40， 实 际 付 款 ： 41.2 0.9=37.08(万 元 )；方 案 三 ： 3 3+4.4 7=39.8 40， 实 际 付 款 ： 39.8(万 元 )； 37.0
27、8 38.04 39.8， 采 用 (1)设 计 的 第 二 种 方 案 ， 使 购 买 费 用 最 少 .24.如 图 ， 已 知 四 边 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC、 BD相 交 于 点 O， 且 OA=OC， OB=OD， 过 O 点 作 EF BD， 分 别 交 AD、 BC于 点 E、 F.(1)求 证 ： AOE COF；(2)判 断 四 边 形 BEDF的 形 状 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)首 先 证 明 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 再 利 用 ASA证 明 AOE COF； (2)结 论 ： 四 边 形 BEDF是 菱 形 .根
28、据 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 即 可 证 明 ；答 案 ： (1) OA=OC， OB=OD， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， AD BC， EAO= FCO， 在 AOE和 COF中 ， EAO FCOOA OCAOE COF ， ， AOE COF.(2)结 论 ： 四 边 形 BEDF是 菱 形 ， AOE COF， AE=CF， AD=BC， DE=BF， DE BF， 四 边 形 BEDF 是 平 行 四 边 形 ， OB=OD， EF BD， EB=ED， 四 边 形 BEDF是 菱 形 .六 、 解 答 题 (木 本 大 题 共 2 小
29、 题 ， 每 小 题 10分 ， 共 20分 )25.如 图 ， C、 D是 以 AB 为 直 径 的 O 上 的 点 ， AC BC ， 弦 CD交 AB于 点 E. (1)当 PB 是 O的 切 线 时 ， 求 证 ： PBD= DAB；(2)求 证 ： BC2-CE2=CE DE；(3)已 知 OA=4， E 是 半 径 OA 的 中 点 ， 求 线 段 DE 的 长 .解 析 ： (1)由 AB是 O 的 直 径 知 BAD+ ABD=90 ， 由 PB是 O 的 切 线 知 PBD+ ABD=90 ，据 此 可 得 答 案 ；(2)连 接 OC， 设 圆 的 半 径 为 r， 则 O
30、A=OB=OC=r， 证 ADE CBE得 DE CE=AE BE=r2-OE2，由 AC BC 知 AOC= BOC=90 ， 根 据 勾 股 定 理 知 CE 2=OE2+r2 、 BC2=2r2 ， 据 此 得BC2-CE2=r2-OE2， 从 而 得 证 ；(3)先 求 出 24 2 5BC CE 、 ， 根 据 BC2-CE2=CE DE 计 算 可 得 .答 案 ： (1) AB是 O 的 直 径 ， ADB=90 ， 即 BAD+ ABD=90 ， PB 是 O的 切 线 ， ABP=90 ， 即 PBD+ ABD=90 ， BAD= PBD；(2) A= C、 AED= CEB
31、， ADE CBE， DE AEBE CE ， 即 DE CE=AE BE，如 图 ， 连 接 OC， 设 圆 的 半 径 为 r， 则 OA=OB=OC=r， 则 DE CE=AE BE=(OA-OE)(OB+OE)=r2-OE2， AC BC ， AOC= BOC=90 ， CE2=OE2+OC2=OE2+r2， BC2=BO2+CO2=2r2，则 BC2-CE2=2r2-(OE2+r2)=r2-OE2， BC2-CE2=DE CE；(3) OA=4， OB=OC=OA=4， BC= 2 2 4 2OB OC ，又 E是 半 径 OA的 中 点 ， AE=OE=2， 则 CE= 2 2 2
32、 24 2 2 5OC OE ， BC 2-CE2=DE CE， 2 24 2 5 2 52 DE ， 解 得 ： DE= 6 55 .26.如 图 ， 抛 物 线 y=ax2+bx+c 与 两 坐 标 轴 相 交 于 点 A(-1， 0)、 B(3， 0)、 C(0， 3)， D是 抛 物线 的 顶 点 ， E 是 线 段 AB 的 中 点 . (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ， 并 写 出 D 点 的 坐 标 ；(2)F(x， y)是 抛 物 线 上 的 动 点 ： 当 x 1， y 0 时 ， 求 BDF的 面 积 的 最 大 值 ； 当 AEF= DBE时 ， 求 点 F的 坐
33、标 .解 析 ： (1)根 据 点 A、 B、 C的 坐 标 ， 利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ， 再 利 用 配 方法 即 可 求 出 抛 物 线 顶 点 D的 坐 标 ；(2) 过 点 F 作 FM y 轴 ， 交 BD 于 点 M， 根 据 点 B、 D 的 坐 标 ， 利 用 待 定 系 数 法 可 求 出 直 线BD 的 解 析 式 ， 根 据 点 F 的 坐 标 可 得 出 点 M 的 坐 标 ， 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 出 S BDF=-x2+4x-3， 再 利 用 二 次 函 数 的 性 质 即 可 解 决 最
34、值 问 题 ； 过 点 E作 EN BD交 y轴 于 点 N， 交 抛 物 线 于 点 F1， 在 y 轴 负 半 轴 取 ON =ON， 连 接 EN ，射 线 EN 交 抛 物 线 于 点 F2， 则 AEF1= DBE、 AEF2= DBE， 根 据 EN BD 结 合 点 E 的 坐 标 可 求 出 直 线 EF1的 解 析 式 ， 联 立 直 线 EF1、 抛 物 线 的 解 析 式 成 方 程 组 ， 通 过 解 方 程 组 即 可 求出 点 F1的 坐 标 ， 同 理 可 求 出 点 F2的 坐 标 ， 此 题 得 解 .答 案 ： (1)将 A(-1， 0)、 B(3， 0)、
35、 C(0， 3)代 入 y=ax2+bx+c，09 3 03a b ca b cc ， ， 解 得 ： 123abc ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-x2+2x+3. y=-x 2+2x+3=-(x-1)2+4， 顶 点 D 的 坐 标 为 (1， 4).(2) 过 点 F 作 FM y 轴 ， 交 BD 于 点 M， 如 图 1所 示 . 设 直 线 BD 的 解 析 式 为 y=mx+n(m 0)，将 (3， 0)、 (1， 4)代 入 y=mx+n，3 04m nm n ， 解 得 ： 26mn ， 直 线 BD的 解 析 式 为 y=-2x+6. 点 F的 坐 标 为 (x，
36、 -x2+2x+3)， 点 M的 坐 标 为 (x， -2x+6)， FM=-x 2+2x+3-(-2x+6)=-x2+4x-3， S BDF= 12 FM (yB-yD)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1. -1 0， 当 x=2时 ， S BDF取 最 大 值 ， 最 大 值 为 1. 过 点 E作 EN BD交 y 轴 于 点 N， 交 抛 物 线 于 点 F1， 在 y 轴 负 半 轴 取 ON =ON， 连 接 EN ，射 线 EN 交 抛 物 线 于 点 F 2， 如 图 2所 示 . EF1 BD， AEF1= DBE. ON=ON ， EO NN ， AEF2= AEF1=
37、 DBE. E 是 线 段 AB 的 中 点 ， A(-1， 0)， B(3， 0)， 点 E的 坐 标 为 (1， 0).设 直 线 EF1的 解 析 式 为 y=-2x+b1，将 E(1， 0)代 入 y=-2x+b1， -2+b1=0， 解 得 ： b1=2， 直 线 EF1的 解 析 式 为 y=-2x+2.联 立 直 线 EF1、 抛 物 线 解 析 式 成 方 程 组 ， 22 22 3y xy x x ， ，解 得 ： 11 2 52 5 2xy ， ， 22 2 52 5 2xy ， (舍 去 )， 点 F 1的 坐 标 为 (2 5 2 5 2 ， ).当 x=0时 ， y=-2x+2=2， 点 N的 坐 标 为 (0， 2)， 点 N 的 坐 标 为 (0， -2).同 理 ， 利 用 待 定 系 数 法 可 求 出 直 线 EF2的 解 析 式 为 y=2x-2.联 立 直 线 EF 2、 抛 物 线 解 析 式 成 方 程 组 ， 22 22 3y xy x x ， ，解 得 ： 12 52 5 2xy ， ， 22 52 5 2xy ， (舍 去 )， 点 F2的 坐 标 为 ( 5 2 5 2 ， ).综 上 所 述 ： 当 AEF= DBE时 ， 点 F 的 坐 标 为 (2 5 2 5 2 ， )或 ( 5 2 5 2 ， ).
