1、2018年 北 京 市 朝 阳 区 高 考 一 模 试 卷 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符合 题 目 要 求 的 一 项 .1.已 知 全 集 为 实 数 集 R， 集 合 A=x|x2-3x 0， B=x|log 2x 0， 则 (CRA) B=( )A.(- ， 0 (1， + )B.(0， 1C.3， + )D.解 析 ： A=x|x2-3x 0=x|x(x-3) 0=x|0 x 3，B=x|log2x 0=x|log2x log21=x|x 1； C
2、RA=x|x 0， 或 x 3； (CRA) B=x|x 3=3， + ).答 案 ： C2.在 复 平 面 内 ， 复 数 z=1 i i 所 对 应 的 点 位 于 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： 复 数 1 1 1 11 1 1 2 2 2i ii i ii i i ， 复 数 对 应 的 点 的 坐 标 是 ( 12 ， 12 )， 复 数 1 i i 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 第 一 象 限 .答 案 ： A3.已 知 平 面 向 量 ( )1 2 1( )a x b x ， ， ， ， 且 a b ， 则
3、实 数 x 的 值 是 ( )A.-1B.1C.2D.-1或 2解 析 ： 根 据 题 意 ， 向 量 ( )1 2 1( )a x b x ， ， ， ， 若 a b ， 则 有 x(x-1)=2，即 x2-x-2=0， 所 以 x=-1 或 x=2.答 案 ： D 4.已 知 直 线 m 平 面 ， 则 “ 直 线 n m” 是 “ n ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 当 m 时 ， 若 m n， 则 n 或 n平 面 ， 则 充 分 性 不 成 立 ，若 n ， 则 m n
4、成 立 ， 即 必 要 性 成 立 ， 则 “ m n” 是 “ n ” 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： B5.已 知 F为 抛 物 线 C： y 2=4x的 焦 点 ， 过 点 F的 直 线 l 交 抛 物 线 C 于 A， B两 点 ， 若 |AB|=8，则 线 段 AB 的 中 点 M 到 直 线 x+1=0 的 距 离 为 ( )A.2B.4C.8D.16解 析 ： 如 图 ， 抛 物 线 y2=4x的 焦 点 为 F(1， 0)， 准 线 为 x=-1， 即 x+1=0. 分 别 过 A， B 作 准 线 的 垂 线 ， 垂 足 为 C， D， 则 有 |AB|=|AF
5、|+|BF|=|AC|+|BD|=8.过 AB 的 中 点 M 作 准 线 的 垂 线 ， 垂 足 为 N，则 MN 为 直 角 梯 形 ABDC中 位 线 ， 则 |MN|= 12 (|AC|+|BD|)=4， 即 M到 准 线 x=-1 的 距 离 为 4.答 案 ： B6.某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 四 棱 锥 的 体 积 等 于 ( ) A. 43 B. 23C. 12D. 13解 析 ： 抠 点 法 ： 在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 抠 点 ，1)由 正 视 图 可 知 ： C 1D1上 没 有 点 ；2)由 侧 视 图 可 知 ： B
6、1C1上 没 有 点 ；3)由 俯 视 图 可 知 ： CC1上 没 有 点 ；4)由 正 (俯 )视 图 可 知 ： D， E 处 有 点 ， 由 虚 线 可 知 B， F 处 有 点 ， A 点 排 除 .由 上 述 可 还 原 出 四 棱 锥 A1-BEDF， 如 图 所 示 ， S 四 边 形 BEDF=1 1=1， 1 1 11 13 3A BEDFV . 答 案 ： D7.函 数 f(x)= 2sin 121 2xx x 的 零 点 个 数 为 ( )A.0B.1C.2D.4解 析 ： f(x)= 222 sin 122 1x x xx x ， 定 义 域 为 (- ， 0) (0
7、， + )， 令 f(x)=0 可 得 2xsin 2 x=x2+1， 设 f1(x)=2xsin 2 x， f2(x)=x2+1，画 出 f1(x)， f2(x)在 (0， + )上 的 大 致 图 象 如 下 ： 显 然 f1(1)=f2(1)=2， 即 f1(x)与 f2(x)交 于 点 A(1， 2)，又 f 1(x)= x cos 2 x+2sin 2 x， f 2(x)=2x， f 1(1)=f 2(1)=2， 即 点 A为 公 切 点 ， 点 A为 (0， + )内 唯 一 交 点 ，又 f1(x)， f2(x)均 为 偶 函 数 ， 点 B(-1， 2)也 为 公 切 点 ，
8、f1(x)， f2(x)有 两 个 公 共 点 ， 即 f(x)有 两 个 零 点 .答 案 ： C8.某 学 校 举 办 科 技 节 活 动 ， 有 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 个 团 队 参 加 “ 智 能 机 器 人 ” 项 目 比 赛 ， 该 项目 只 设 置 一 个 一 等 奖 .在 评 奖 揭 晓 前 ， 小 张 、 小 王 、 小 李 、 小 赵 四 位 同 学 对 这 四 个 参 赛 团 队获 奖 结 果 预 测 如 下 ：小 张 说 ： “ 甲 或 乙 团 队 获 得 一 等 奖 ” ；小 王 说 ： “ 丁 团 队 获 得 一 等 奖 ” ； 小 李 说 ： “ 乙 、
9、 丙 两 个 团 队 均 未 获 得 一 等 奖 ” ；小 赵 说 ： “ 甲 团 队 获 得 一 等 奖 ” .若 这 四 位 同 学 中 只 有 两 位 预 测 结 果 是 对 的 ， 则 获 得 一 等 奖 的 团 队 是 ( )A.甲B.乙C.丙D.丁解 析 ： (1)若 甲 获 得 一 等 奖 ， 则 小 张 、 小 李 、 小 赵 的 预 测 都 正 确 ， 与 题 意 不 符 ；(2)若 乙 获 得 一 等 奖 ， 则 只 有 小 张 的 预 测 正 确 ， 与 题 意 不 符 ；(3)若 丙 获 得 一 等 奖 ， 则 四 人 的 预 测 都 错 误 ， 与 题 意 不 符 ；
10、(4)若 丁 获 得 一 等 奖 ， 则 小 王 、 小 李 的 预 测 正 确 ， 小 张 、 小 赵 的 预 测 错 误 ， 符 合 题 意 .答 案 ： D 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分9.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 m=5， 则 输 出 k的 值 为 . 解 析 ： 模 拟 程 序 的 运 行 ， 可 得 ： 第 四 次 时 ， 65 50， 满 足 判 断 框 内 的 条 件 ， 退 出 循 环 ， 输 出 k的 值 为 4.答 案 ： 410.双 曲 线 24x -y2=1的 焦 距 为
11、； 渐 近 线 方 程 为 .解 析 ： 由 题 知 ， a 2=4， b2=1， 故 c2=a2+b2=5， 双 曲 线 的 焦 距 为 ： 2c=2 5 ，渐 近 线 方 程 为 ： 12by x xa 答 案 ： 2 5 ； y= 12 x 11.已 知 圆 C： x2+y2-2x-4y+1=0 内 有 一 点 P(2， 1)， 经 过 点 P 的 直 线 l 与 圆 C 交 于 A， B 两 点 ，当 弦 AB恰 被 点 P 平 分 时 ， 直 线 l 的 方 程 为 .解 析 ： 根 据 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 .圆 C： (x-1)2+(y-2)2=4，弦 AB 被 P
12、 平 分 ， 故 PC AB，由 P(2， 1)， C(1， 2)， 得 kpc kl=-1， 即 ： kl=1， 所 以 直 线 方 程 为 y=x-1.答 案 ： y=x-112.已 知 实 数 x， y满 足 1 01 01x yx yy ， 若 z=mx+y(m 0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 多 个 ， 则m的 值 为 .解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： (阴 影 部 分 ). 由 z=mx+y(m 0)得 y=-mx+z， m 0， 目 标 函 数 的 斜 率 k=-m 0.平 移 直 线 y=-mx+z，由 图 象 可
13、 知 当 直 线 y=-mx+z和 直 线 x+y+1=0平 行 时 ， 此 时 目 标 函 数 取 得 最 小 值 时 最 优 解 有 无数 多 个 ， m=1.答 案 ： 113.函 数 f(x)=Asin( x+ )(A 0， 0， | | 2 )的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 = ； = . 解 析 ： 由 图 可 知 ， A=2， 根 据 f(x)的 图 象 经 过 点 (0， -1)， 可 得 2sin =-1， sin =- 12 ， =- 6 .根 据 五 点 法 作 图 可 得 4 .2 6 2( 3) ，答 案 ： 46 3 ；14.许 多 建 筑 物 的 地
14、板 是 用 正 多 边 形 的 砖 板 铺 成 的 (可 以 是 多 种 正 多 边 形 ).如 果 要 求 用 这 些正 多 边 形 的 砖 板 铺 满 地 面 ， 在 地 面 某 一 点 (不 在 边 界 上 )有 k 块 砖 板 拼 在 一 起 ， 则 k的 所 有 可能 取 值 为 .解 析 ： 由 题 意 知 只 需 这 k块 砖 板 的 角 度 之 和 为 360 即 可 . 显 然 k 3， 因 为 任 意 正 多 边 形 内 角 小 于 180 ；且 k 6， 因 为 角 度 最 小 的 正 多 边 形 为 正 三 角 形 ， 36060 =6.当 k=3时 ， 3 个 正 六
15、 边 形 满 足 题 意 ；当 k=4时 ， 4 个 正 方 形 满 足 题 意 ；当 k=5时 ， 3 个 正 三 角 形 与 2个 正 方 形 满 足 题 意 ；当 k=6时 ， 6 个 正 三 角 形 满 足 题 意 .综 上 ， 所 以 k 可 能 为 3， 4， 5， 6.答 案 ： 3， 4， 5， 6三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 80分 .解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .15.已 知 数 列 a n的 前 n 项 和 Sn满 足 Sn=2an-1(n N*).( )求 a1， a2， a3的
16、值 ；( )若 数 列 bn满 足 b1=2， bn+1=an+bn， 求 数 列 bn的 通 项 公 式 .解 析 ： ( )直 接 利 用 递 推 关 系 式 求 出 数 列 的 项 .( )利 用 递 推 关 系 式 求 出 数 列 的 通 项 公 式 ， 进 一 步 求 出 数 列 的 和 .答 案 ： ( )由 题 知 S1=a1=2a1-1， 得 a1=1， S2=2a2-1=a1+a2，得 a2=a1+1=2， S3=2a3-1=a1+a2+a3， 得 a3=a1+a2+1=4，( )当 n 2 时 ， S n-1=2an-1-1， Sn=2an-1，所 以 an=Sn-Sn-1
17、=2an-1-(2an-1-1)， 得 an=2an-2an-1， 即 an=2an-1，an是 以 a1=1 为 首 项 ， 2为 公 比 的 等 比 数 列 ， 则 an=2n-1.当 n 2 时 ， bn=b1+(b2-b1)+ +(bn-bn-1)=2+a1+a2+ +an-1= 11 1 22 1 2na =2n-1+1，经 验 证 ： b1=2=21-1+1， 综 上 ： bn=2n-1+1.16.在 ABC中 ， 已 知 sinA= 55 ， b=2acosA.( )若 ac=5， 求 ABC的 面 积 ； ( )若 B 为 锐 角 ， 求 sinC的 值 .解 析 ： ( )根
18、 据 题 意 ， 由 正 弦 定 理 分 析 可 得 sinB=2sinAcosA， 计 算 可 得 sinB的 值 ， 由 三 角形 面 积 公 式 计 算 可 得 答 案 ；( )根 据 题 意 ， sinC=sin( -A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB， 代 入 数 据 计 算 可 得 答 案 .答 案 ： ( )根 据 题 意 ， 若 b=2acosA， 由 正 弦 定 理 得 sinsina Ab B ， 则 sinB=2sinAcosA， cosA=b2a 0，因 为 sinA= 55 ， 所 以 cosA= 2 55 ， 所 以 sinB= 5 2
19、5 42 5 5 5 ，所 以 S ABC= 1 1 4sin 5 22 2 5ac B .( )由 ( )知 sinB= 45 ， 因 为 B为 锐 角 ， 所 以 cosB= 35 .所 以 sinC=sin( -A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 5 3 2 5 4 11 5 .5 5 5 5 25 17.某 地 区 高 考 实 行 新 方 案 ， 规 定 ： 语 文 、 数 学 和 英 语 是 考 生 的 必 考 科 目 ， 考 生 还 须 从 物 理 、化 学 、 生 物 、 历 史 、 地 理 和 政 治 六 个 科 目 中 选 取 三 个 科 目 作
20、 为 选 考 科 目 .若 一 名 学 生 从 六 个科 目 中 选 出 了 三 个 科 目 作 为 选 考 科 目 ， 则 称 该 学 生 的 选 考 方 案 确 定 ； 否 则 ， 称 该 学 生 选 考 方案 待 确 定 .例 如 ， 学 生 甲 选 择 “ 物 理 、 化 学 和 生 物 ” 三 个 选 考 科 目 ， 则 学 生 甲 的 选 考 方 案 确定 ， “ 物 理 、 化 学 和 生 物 ” 为 其 选 考 方 案 . 某 学 校 为 了 了 解 高 一 年 级 420名 学 生 选 考 科 目 的 意 向 ， 随 机 选 取 30名 学 生 进 行 了 一 次 调 查 ，
21、统 计 选 考 科 目 人 数 如 表 ： ( )试 估 计 该 学 校 高 一 年 级 确 定 选 考 生 物 的 学 生 有 多 少 人 ？( )写 出 选 考 方 案 确 定 的 男 生 中 选 择 “ 物 理 、 化 学 和 地 理 ” 的 人 数 .(直 接 写 出 结 果 )( )从 选 考 方 案 确 定 的 男 生 中 任 选 2 名 ， 试 求 出 这 2名 学 生 选 考 科 目 完 全 相 同 的 概 率 .解 析 ： ( )设 该 学 校 选 考 方 案 确 定 的 学 生 中 选 考 生 物 的 学 生 为 x， 在 选 考 方 案 确 定 的 学 生 的人 中 ，
22、求 出 选 择 生 物 的 概 率 约 为 310 ， 由 此 能 求 出 选 择 生 物 的 人 数 .( )由 题 意 能 求 出 选 考 方 案 确 定 的 男 生 中 选 择 “ 物 理 、 化 学 和 地 理 ” 的 人 数 2 人 .( )设 选 择 物 理 、 生 物 、 化 学 的 学 生 分 别 为 A 1， A2， A3， 选 择 物 理 、 化 学 、 历 史 的 学 生 为 B1， 选 择 物 理 、 化 学 、 地 理 的 学 生 分 别 为 C1， C2， 由 此 利 用 列 举 法 能 求 出 任 取 2 名 男 生 ， 这 2 名学 生 选 考 科 目 完 全
23、相 同 的 概 率 .答 案 ： ( )设 该 学 校 选 考 方 案 确 定 的 学 生 中 选 考 生 物 的 学 生 为 x，因 为 在 选 考 方 案 确 定 的 学 生 的 人 中 ，选 生 物 的 频 率 为 3 6 38 6 10 6 10 ， 所 以 选 择 生 物 的 概 率 约 为 310 ，所 以 选 择 生 物 的 人 数 约 为 x=420 310 =126 人 .( )2人 .( )设 选 择 物 理 、 生 物 、 化 学 的 学 生 分 别 为 A 1， A2， A3，选 择 物 理 、 化 学 、 历 史 的 学 生 为 B1，选 择 物 理 、 化 学 、
24、地 理 的 学 生 分 别 为 C1， C2，所 以 任 取 2 名 男 生 的 基 本 事 件 有 ： (A1， A2)， (A2， A3)， (A3， B1)， (B1， C1)， (C1， C2)(A1， A3)，(A2， B1)， (A3， C2)， (B1， C2)(A1， B1)， (A2， C1)， (A3， C1)(A1， C1)， (A2， C2)(A1， C2)， 所 以两 名 男 生 所 学 科 目 相 同 的 基 本 事 件 共 有 四 个 ， 分 别 为 (A1， A2)， (A2， A3)， (C1， C2)， (A1， A3)， 这 2名 学 生 选 考 科 目
25、完 全 相 同 的 概 率 为 p= 415 .18.如 图 1， 在 梯 形 ABCD 中 ， BC AD， BC=1， AD=3， BE AD 于 E， BE=AE=1.将 ABE 沿 BE折 起 至 A BE， 使 得 平 面 A BE 平 面 BCDE(如 图 2)， M为 线 段 A D 上 一 点 . ( )求 证 ： A E CD；( )若 M 为 线 段 A D 中 点 ， 求 多 面 体 A BCME 与 多 面 体 MCDE的 体 积 之 比 ；( )是 否 存 在 一 点 M， 使 得 A B 平 面 MCE？ 若 存 在 ， 求 A M的 长 .若 不 存 在 ， 请
26、说 明 理 由 .解 析 ： ( )推 导 出 A E BE， 从 而 A E 平 面 BCDE， 由 此 能 证 明 A E CD.( )M 到 底 面 BCDE的 距 离 为 12 A E， 推 导 出 VM-DCE= 1 13 2 A E S DCE= 16 ， VA -BCE= 13 A E S BCE= 16 ， S A EM= 12 ， 平 面 A DE 平 面 BCDE， C到 平 面 A DE的 距 离 为 BE=1.从 而 VC-A EM= 13 BE S A EM= 16 ， V 多 面 体 A BCME=V 多 面 体 CA EM+V 多 面 体 A BCE= 13 .由
27、 此 能 求 出 多 面 体 A BCME 与 多 面 体 MCDE 的 体积 之 比 .( )连 结 BD 交 CE 于 O， 连 结 OM， 推 导 出 A B OM， 由 此 能 求 出 存 在 一 点 M， 使 得 A B平 面 MCE， 并 能 求 出 A M的 长 .答 案 ： ( )在 梯 形 ABCD 中 ， BE AE， A E BE， 平 面 A BE 平 面 BCDE， BE=平 面 A BE 平 面 BCDE， A E平 面 A BE， A E 平 面BCDE， CD平 面 BCDE， A E CD.( ) M 为 A D中 点 ， M 到 底 面 BCDE的 距 离
28、为 12 A E，在 梯 形 ABCD中 ， S DCE= 1 12 2DE BE 2 1=1，V M-DCE= 1 13 2 A E S DCE= 16 ， VA -BCE= 13 A E S BCE= 16 . A E DE， 在 Rt A DE中 ， S A EM= 12 ， A E 平 面 BCDE， A E平 面 A DE， 平 面 A DE 平 面 BCDE， BE ED， 平 面 A DE 平 面 BCDE=ED， BC AD， C到 平 面 A DE的 距 离 为 BE=1. VC-A EM=13 BE S A EM= 16 ， V 多 面 体 A BCME=V 多 面 体 C
29、A EM+V多 面 体 A BCE= 13 . V 多 面 体 A BCME： V多 面 体 MCDE=2： 1.( )连 结 BD交 CE 于 O， 连 结 OM，在 四 边 形 BCDE 中 ， BC DE， BOC DOE， 23ODBD ， A B 平 面 CME， 平 面 A BD 平 面 CEM=OM， A B OM，在 A BD中 ， OM A B， 13A M BOA D BD ， A E=1， DE=2， A E ED， 在 Rt A ED 中 ， 55 3A D A M ， 19.已 知 椭 圆 C： 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 离 心 率 为 22 ，
30、 且 过 点 (1， 22 ).( )求 椭 圆 C 的 方 程 ；( )过 椭 圆 C 的 左 焦 点 的 直 线 l1与 椭 圆 C 交 于 A， B 两 点 ， 直 线 l2过 坐 标 原 点 且 直 线 l1与l2的 斜 率 互 为 相 反 数 ， 直 线 l2与 椭 圆 交 于 E， F 两 点 且 均 不 与 点 A， B 重 合 ， 设 直 线 AE的 斜率 为 k1， 直 线 BF的 斜 率 为 k2， 证 明 ： k1+k2为 定 值 . 解 析 ： ( )根 据 题 意 ， 由 椭 圆 的 几 何 性 质 可 得 22 22 2 222 221 1caa ba b c ，
31、， 解 可 得 a、 b、 c 的 值 ， 代入 椭 圆 的 方 程 即 可 得 答 案 ；( )根 据 题 意 ， 设 l1： y=k(x+1)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联 立 直 线 l1与 椭 圆 的 方 程 ， 可 得(1+2k 2)x2+4k2x+2k2-2=0， 设 l2： y=-kx， E(x3， y3)， F(-x3， -y3)， 联 立 直 线 l2与 椭 圆 的 方 程 ，可 得 (1+2k2)x2-2=0， 结 合 2 个 方 程 ， 由 根 与 系 数 的 关 系 用 k 表 示 k1+k2， 即 可 得 答 案 .答 案 ： ( )由 题 可 得
32、 22 22 2 222 221 1caa ba b c ， ， 解 得 211abc ， 所 以 椭 圆 C的 方 程 为 22x +y2=1.( )由 题 知 直 线 l 1斜 率 存 在 ，设 l1： y=k(x+1)， A(x1， y1)， B(x2， y2).联 立 2 2 12 2y k xx y ， 消 去 y 得 (1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0，由 题 易 知 0恒 成 立 ，由 韦 达 定 理 得 2 21 2 1 22 24 2 21 2 1 2k kx x x xk k ， ，因 为 l 2与 l1斜 率 相 反 且 过 原 点 ，设 l2： y=-kx，
33、E(x3， y3)， F(-x3， -y3)，联 立 2 22 2y kxx y ， ， 消 去 y 得 (1+2k2)x2-2=0，由 题 易 知 0恒 成 立 ， 由 韦 达 定 理 得 23 221 2x k ，则 1 3 2 31 3 2 31 2 1 3 2 3 1 3 2 31 1k x kx k x kxy y y yk k x x x x x x x x 1 3 2 3 2 3 1 31 3 2 31 1k x x x x x x x xx x x x 2 22 2 2 21 2 3 1 21 3 2 3 1 3 2 32 2 2 2 2 42 2 1 2 1 2 1 2 0k
34、 kkx x x x x k k kk x x x x x x x x ，所 以 k1+k2为 定 值 0.20.已 知 函 数 f(x)= ln 1x axx (a R).( )若 a=0， 求 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 方 程 ；( )若 a -1， 求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ；( )若 1 a 2， 求 证 ： f(x) -1.解 析 ： ( )根 据 题 意 ， 由 a的 值 求 出 函 数 的 解 析 式 ， 计 算 可 得 切 点 的 坐 标 ， 结 合 函 数 导 数 的几 何 意 义 分 析 切 线 的 斜 率 ， 由 直 线 的
35、 点 斜 式 方 程 即 可 得 答 案 ；( )根 据 题 意 ， 由 函 数 的 解 析 式 求 出 函 数 的 导 数 ， 则 f (x)= 22 22 ln 2 lnx ax xax x ， 令 g(x)=2-ax2-lnx， 求 出 g(x)的 导 数 ， 分 析 g(x)在 (0， + )的 最 小 值 ， 分 析 可 得 g(x) 0，由 函 数 的 单 调 性 与 函 数 导 数 的 关 系 ， 分 析 可 得 答 案 ；( )根 据 题 意 ， 原 问 题 可 以 转 化 为 ax2-x+1-lnx 0， 设 h(x)=ax2-x+1-lnx， 分 析 可 得 只 须 证h(
36、x) 0 成 立 ， 求 出 函 数 h(x)的 导 数 ， 结 合 函 数 的 导 数 与 函 数 单 调 性 的 关 系 ， 分 析 可 得 h(x)的 最 小 值 ， 证 明 其 最 小 值 大 于 0 即 可 得 答 案 .答 案 ： ( )函 数 f(x)= ln 1x axx (a R)，若 a=0， f(x)=lnx-1x， 则 f(1)=-1， 切 点 坐 标 为 (1， -1)， 22 ln xf x x ， f (1)=2， 切 线 斜 率 k=2，所 以 f(x)在 点 (1， -1)处 的 切 线 方 程 为 2x-y-3=0.( )根 据 题 意 ， f(x)= ln
37、 1x axx ， 则 f (x)= 22 22 ln 2 lnx ax xax x ， (x 0) 令 g(x)=2-ax2-lnx， 则 g (x)= 22 1axx .令 g (x)=0， 得 x= 12a (依 题 意 12a 0)由 g (x) 0， 得 x 12a ； 由 g (x) 0， 得 0 x 12a .所 以 ， g(x)在 区 间 (0， 12a )上 单 调 递 减 ， 在 区 间 ( 12a ， + )上 单 调 递 增 ， 所 以 ， g(x)min 1 5 1ln2 2 2g a a .因 为 a -1， 所 以 1 10 12 ln 02 2a a ， 所 以
38、 g(x) 0， 即 f (x) 0.所 以 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (0， + ).( )由 x 0， f(x) -1， 即 ln 1x axx -1， 等 价 于 ax 2-x+1-lnx 0.设 h(x)=ax2-x+1-lnx， 只 须 证 h(x) 0成 立 .因 为 h (x)=2ax-1- 21 2 1ax xx x ， 1 a 2，由 h (x)=0， 得 2ax2-x-1=0 有 异 号 两 根 .令 其 正 根 为 x 0， 则 2ax02-x0-1=0.在 (0， x0)上 h (x) 0， 在 (x0， + )上 h (x) 0， 则 h(x)的 最 小 值 为 h(x0)，且 h(x0)=ax02-x0+1-lnx0= 01 2x -x0+1-lnx0= 03 2x -lnx0，又 h (1)=2a-2 0， 21 32 32 2h a a 0，所 以 12 x 0 1.则 03 2x 0， -lnx0 0.因 此 03 2x -lnx0 0， 即 h(x0) 0.所 以 h(x) 0.所 以 f(x) -1.
