1、试 卷 第 1页 ， 总 27页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2020年山东省高考数学试卷（新高考全国卷）试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx学 校 :_姓 名 ： _班 级 ： _考 号 ： _题 号 一 二 三 四 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息 $2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上第 I 卷 （ 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分
2、 一 、 单 选 题1 设 集 合 A=x|1x3， B=x|2x4， 则 A B=（ ）A x|2x3 B x|2x3C x|1x4 D x|1xn0， 则 C是 椭 圆 ， 其 焦 点 在 y轴 上B 若 m=n0， 则 C是 圆 ， 其 半 径 为 n C 若 mn0， 则 C是 两 条 直 线【 答 案 】 ACD【 解 析 】【 分 析 】结 合 选 项 进 行 逐 项 分 析 求 解 ， 0m n 时 表 示 椭 圆 ， 0m n 时 表 示 圆 ， 0mn 时表 示 双 曲 线 ， 0, 0m n 时 表 示 两 条 直 线 .【 详 解 】 对 于 A， 若 0m n ， 则
3、2 2 1mx ny 可 化 为 2 2 11 1x ym n ，因 为 0m n ， 所 以 1 1m n ，即 曲 线 C表 示 焦 点 在 y轴 上 的 椭 圆 ， 故 A正 确 ；对 于 B， 若 0m n ， 则 2 2 1mx ny 可 化 为 2 2 1x y n ，此 时 曲 线 C表 示 圆 心 在 原 点 ， 半 径 为 nn 的 圆 ， 故 B不 正 确 ； 对 于 C， 若 0mn ， 则 2 2 1mx ny 可 化 为 2 2 11 1x ym n ，此 时 曲 线 C表 示 双 曲 线 ， 试 卷 第 8页 ， 总 27页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题
4、内 装 订 线 由 2 2 0mx ny 可 得 my xn ， 故 C正 确 ；对 于 D， 若 0, 0m n ， 则 2 2 1mx ny 可 化 为 2 1y n ，ny n ， 此 时 曲 线 C表 示 平 行 于 x轴 的 两 条 直 线 ， 故 D正 确 ；故 选 ： ACD.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 曲 线 方 程 的 特 征 ， 熟 知 常 见 曲 线 方 程 之 间 的 区 别 是 求 解 的 关 键 ， 侧 重 考 查数 学 运 算 的 核 心 素 养 . 10 下 图 是 函 数 y=sin(x+)的 部 分 图 像 ， 则 sin(x+)= （ ） A s
5、in( 3x ） B sin( 2 )3 x C cos(2 6x ） D 5cos( 2 )6 x【 答 案 】 BC【 解 析 】【 分 析 】首 先 利 用 周 期 确 定 的 值 ， 然 后 确 定 的 值 即 可 确 定 函 数 的 解 析 式 ， 最 后 利 用 诱 导 公 式可 得 正 确 结 果 .【 详 解 】由 函 数 图 像 可 知 ： 22 3 6 2T ， 则 2 2 2T ， 所 以 不 选 A, 当 2 53 62 12x 时 ， 1y 5 32 212 2 k k Z ，解 得 ： 22 3k k Z ，即 函 数 的 解 析 式 为 ： 试 卷 第 9页 ，
6、总 27页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 2sin 2 2 sin 2 cos 2 sin 23 6 2 6 3y x k x x x .而 5cos 2 cos( 2 )6 6x x 故 选 ： BC.【 点 睛 】已 知 f(x) Asin(x )(A 0， 0)的 部 分 图 象 求 其 解 析 式 时 ， A 比 较 容 易 看 图 得 出 ，困 难 的 是 求 待 定 系 数 和 ， 常 用 如 下 两 种 方 法 ：(1)由 2T 即 可 求 出 ； 确 定 时 ， 若 能 求 出 离 原 点 最 近 的 右 侧 图 象 上 升 (或 下 降 )
7、的 “零 点 ”横 坐 标 x0， 则 令 x0 0(或 x0 )， 即 可 求 出 .(2)代 入 点 的 坐 标 ， 利 用 一 些 已 知 点 (最 高 点 、 最 低 点 或 “零 点 ”)坐 标 代 入 解 析 式 ， 再 结 合图 形 解 出 和 ， 若 对 A， 的 符 号 或 对 的 范 围 有 要 求 ， 则 可 用 诱 导 公 式 变 换 使 其 符 合要 求 .11 已 知 a0， b0， 且 a+b=1， 则 （ ）A 2 2 12a b B 12 2a b C 2 2log log 2a b D 2a b 【 答 案 】 ABD【 解 析 】【 分 析 】根 据 1a
8、 b ， 结 合 基 本 不 等 式 及 二 次 函 数 知 识 进 行 求 解 .【 详 解 】对 于 A， 22 2 2 21 2 2 1a b a a a a 212 1 12 2 2a ，当 且 仅 当 12a b 时 ， 等 号 成 立 ， 故 A正 确 ； 对 于 B， 2 1 1a b a ， 所 以 1 12 2 2a b ， 故 B正 确 ；对 于 C， 22 2 2 2 2 1log log log log log 22 4a ba b ab ，当 且 仅 当 12a b 时 ， 等 号 成 立 ， 故 C不 正 确 ； 试 卷 第 10页 ， 总 27页 外 装 订 线
9、请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 对 于 D， 因 为 2 1 2 1 2a b ab a b ，所 以 2a b ， 当 且 仅 当 12a b 时 ， 等 号 成 立 ， 故 D正 确 ；故 选 ： ABD【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 不 等 式 的 性 质 ， 综 合 了 基 本 不 等 式 ， 指 数 函 数 及 对 数 函 数 的 单 调 性 ， 侧 重考 查 数 学 运 算 的 核 心 素 养 .12 信 息 熵 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念 .设 随 机 变 量 X所 有 可 能 的 取 值 为 1,2, ,n ， 且 1( ) 0( 1,2, ,
10、 ), 1ni iiP X i p i n p ， 定 义 X的 信 息 熵 21( ) logn i iiH X p p .（ ）A 若 n=1， 则 H(X)=0B 若 n=2， 则 H(X)随 着 1p 的 增 大 而 增 大C 若 1( 1,2, , )ip i nn ， 则 H(X)随 着 n的 增 大 而 增 大D 若 n=2m， 随 机 变 量 Y所 有 可 能 的 取 值 为 1,2, ,m ， 且2 1( ) ( 1,2, , )j m jP Y j p p j m ， 则 H(X)H(Y)【 答 案 】 AC【 解 析 】 【 分 析 】对 于 A选 项 ， 求 得 H X
11、 ， 由 此 判 断 出 A选 项 的 正 确 性 ； 对 于 B选 项 ， 利 用 特 殊 值 法进 行 排 除 ； 对 于 C选 项 ， 计 算 出 H X ， 利 用 对 数 函 数 的 性 质 可 判 断 出 C选 项 的 正 确性 ； 对 于 D选 项 ， 计 算 出 ,H X H Y ， 利 用 基 本 不 等 式 和 对 数 函 数 的 性 质 判 断 出 D选 项 的 正 确 性 .【 详 解 】对 于 A选 项 ， 若 1n ， 则 11, 1i p ， 所 以 21 log 1 0H X ， 所 以 A选 项 正 确 .对 于 B选 项 ， 若 2n ， 则 1,2i ，
12、2 11p p ，所 以 1 2 1 1 2 1X log 1 log 1H p p p p ，当 1 14p 时 ， 2 21 1 3 3log log4 4 4 4H X ， 试 卷 第 11页 ， 总 27页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 当 1 3p 4 时 ， 2 23 3 1 1log log4 4 4 4H X ，两 者 相 等 ， 所 以 B选 项 错 误 .对 于 C选 项 ， 若 1 1,2, ,ip i nn ， 则 2 2 21 1 1log log logH X n nn n n ，则 H X 随 着 n的 增 大 而 增 大 ，
13、所 以 C选 项 正 确 .对 于 D选 项 ， 若 2n m ， 随 机 变 量 Y 的 所 有 可 能 的 取 值 为 1,2, ,m ， 且 2 1j m jP Y j p p （ 1,2, ,j m ） . 2 22 21 1 1log logm mi i ii i iH X p p p p 1 2 2 2 2 1 2 2 21 2 2 1 21 1 1 1log log log logm mm mp p p pp p p p . H Y 1 2 2 2 2 1 2 1 21 2 2 2 1 11 1 1log log logm m m mm m m mp p p p p pp p p
14、 p p p 1 2 2 2 2 1 2 2 21 2 2 2 1 2 2 1 1 21 1 1 1log log log logm mm m m mp p p pp p p p p p p p 由 于 0 1,2, ,2ip i m ， 所 以 2 11 1i i m ip p p ， 所 以 2 2 2 11 1log logi i m ip p p ，所 以 2 2 2 11 1log logi ii i m ip pp p p ，所 以 H X H Y ， 所 以 D选 项 错 误 .故 选 ： AC【 点 睛 】本 小 题 主 要 考 查 对 新 定 义 “信 息 熵 ”的 理 解
15、和 运 用 ， 考 查 分 析 、 思 考 和 解 决 问 题 的 能 力 ，涉 及 对 数 运 算 和 对 数 函 数 及 不 等 式 的 基 本 性 质 的 运 用 ， 属 于 难 题 . 第 II 卷 （ 非 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 三 、 填 空 题 试 卷 第 12页 ， 总 27页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 13 斜 率 为 3的 直 线 过 抛 物 线 C： y2=4x的 焦 点 ， 且 与 C交 于 A， B两 点 ， 则AB =_【 答 案 】 163【 解 析 】【 分 析 】先 根
16、据 抛 物 线 的 方 程 求 得 抛 物 线 焦 点 坐 标 ， 利 用 点 斜 式 得 直 线 方 程 ， 与 抛 物 线 方 程 联 立消 去 y 并 整 理 得 到 关 于 x 的 二 次 方 程 ， 接 下 来 可 以 利 用 弦 长 公 式 或 者 利 用 抛 物 线 定 义 将 焦 点 弦 长 转 化 求 得 结 果 .【 详 解 】 抛 物 线 的 方 程 为 2 4y x ， 抛 物 线 的 焦 点 F坐 标 为 (1,0)F ，又 直 线 AB 过 焦 点 F 且 斜 率 为 3， 直 线 AB 的 方 程 为 ： 3( 1)y x 代 入 抛 物 线 方 程 消 去 y
17、并 化 简 得 23 10 3 0 x x ，解 法 一 ： 解 得 1 21, 33x x 所 以 2 1 2 1 16| | 1 | | 1 3 |3 |3 3AB k x x 解 法 二 ： 100 36 64 0 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 则 1 2 103x x ,过 ,A B分 别 作 准 线 1x 的 垂 线 ， 设 垂 足 分 别 为 ,C D如 图 所 示 .1 2| | | | | | | | | | 1 1AB AF BF AC BD x x 1 2 16+2= 3x x 试 卷 第 13页 ， 总 27页外 装 订 线 学校:
18、_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 故 答 案 为 ： 163【 点 睛 】本 题 考 查 抛 物 线 焦 点 弦 长 ， 涉 及 利 用 抛 物 线 的 定 义 进 行 转 化 ， 弦 长 公 式 ， 属 基 础 题 .14 将 数 列 2n1与 3n2的 公 共 项 从 小 到 大 排 列 得 到 数 列 an， 则 an的 前 n项 和 为_【 答 案 】 23 2n n【 解 析 】【 分 析 】首 先 判 断 出 数 列 2 1n 与 3 2n 项 的 特 征 ， 从 而 判 断 出 两 个 数 列 公 共 项 所 构 成 新 数 列 的 首 项 以 及 公 差 ， 利 用
19、 等 差 数 列 的 求 和 公 式 求 得 结 果 .【 详 解 】因 为 数 列 2 1n 是 以 1为 首 项 ， 以 2为 公 差 的 等 差 数 列 ，数 列 3 2n 是 以 1首 项 ， 以 3为 公 差 的 等 差 数 列 ，所 以 这 两 个 数 列 的 公 共 项 所 构 成 的 新 数 列 na 是 以 1为 首 项 ， 以 6为 公 差 的 等 差 数 列 ，所 以 na 的 前 n项 和 为 2( 1)1 6 3 22n nn n n ，故 答 案 为 ： 23 2n n . 【 点 睛 】该 题 考 查 的 是 有 关 数 列 的 问 题 ， 涉 及 到 的 知 识
20、 点 有 两 个 等 差 数 列 的 公 共 项 构 成 新 数 列 的特 征 ， 等 差 数 列 求 和 公 式 ， 属 于 简 单 题 目 .15 某 中 学 开 展 劳 动 实 习 ， 学 生 加 工 制 作 零 件 ， 零 件 的 截 面 如 图 所 示 O为 圆 孔 及 轮 廓圆 弧 AB所 在 圆 的 圆 心 ， A是 圆 弧 AB与 直 线 AG的 切 点 ， B是 圆 弧 AB与 直 线 BC的 切点 ， 四 边 形 DEFG为 矩 形 ， BC DG， 垂 足 为 C， tan ODC=35， /BH DG， EF=12cm，DE=2cm， A到 直 线 DE和 EF的 距
21、离 均 为 7cm， 圆 孔 半 径 为 1cm， 则 图 中 阴 影 部 分的 面 积 为 _cm 2 试 卷 第 14页 ， 总 27页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 答 案 】 54 2【 解 析 】 【 分 析 】利 用 3tan 5ODC 求 出 圆 弧 AB 所 在 圆 的 半 径 ， 结 合 扇 形 的 面 积 公 式 求 出 扇 形 AOB的 面 积 ， 求 出 直 角 OAH 的 面 积 ， 阴 影 部 分 的 面 积 可 通 过 两 者 的 面 积 之 和 减 去 半 个 单位 圆 的 面 积 求 得 .【 详 解 】设 OB OA r， 由
22、题 意 7AM AN ， 12EF ， 所 以 5NF ， 因 为 5AP ,所 以 45AGP ，因 为 /BH DG， 所 以 45AHO ，因 为 AG与 圆 弧 AB 相 切 于 A点 ， 所 以 OA AG ，即 OAH 为 等 腰 直 角 三 角 形 ；在 直 角 OQD 中 ， 25 2OQ r ， 27 2DQ r ， 试 卷 第 15页 ， 总 27页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 因 为 3tan 5OQODC DQ ， 所 以 3 2 5 221 252 2r r ，解 得 2 2r ；等 腰 直 角 OAH 的 面 积 为 1 1 2
23、 2 2 2 42S ；扇 形 AOB的 面 积 22 1 3 2 2 32 4S ，所 以 阴 影 部 分 的 面 积 为 1 2 1 542 2S S . 故 答 案 为 ： 54 2 .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 在 实 际 中 应 用 ， 把 阴 影 部 分 合 理 分 割 是 求 解 的 关 键 ， 以 劳 动 实 习为 背 景 ， 体 现 了 五 育 并 举 的 育 人 方 针 .16 已 知 直 四 棱 柱 ABCDA1B1C1D1的 棱 长 均 为 2， BAD=60 以 1D 为 球 心 ， 5为半 径 的 球 面 与 侧 面 BCC 1B1的 交
24、线 长 为 _【 答 案 】 22 .【 解 析 】【 分 析 】根 据 已 知 条 件 易 得 1D E 3 ， 1D E 侧 面 1 1BCCB， 可 得 侧 面 1 1BCCB与 球 面 的 交 线上 的 点 到 E的 距 离 为 2， 可 得 侧 面 1 1BCCB与 球 面 的 交 线 是 扇 形 EFG 的 弧 FG ， 再根 据 弧 长 公 式 可 求 得 结 果 . 【 详 解 】如 图 ： 试 卷 第 16页 ， 总 27页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 取 1 1BC 的 中 点 为 E， 1BB 的 中 点 为 F ， 1CC 的 中 点 为 G
25、 ，因 为 BAD 60， 直 四 棱 柱 1 1 1 1ABCD ABC D 的 棱 长 均 为 2， 所 以 1 1 1D BC 为 等 边 三 角 形 ， 所 以 1D E 3 ， 1 1 1DE BC ，又 四 棱 柱 1 1 1 1ABCD ABC D 为 直 四 棱 柱 ， 所 以 1BB 平 面 1111 DCBA ， 所 以 1 1 1BB BC ，因 为 1 1 1 1BB BC B ， 所 以 1D E 侧 面 1 1BCCB，设 P 为 侧 面 1 1BCCB与 球 面 的 交 线 上 的 点 ， 则 1D E EP ，因 为 球 的 半 径 为 5， 1 3D E ，
26、所 以 2 21 1| | | | | | 5 3 2EP DP DE ，所 以 侧 面 1 1BCCB与 球 面 的 交 线 上 的 点 到 E的 距 离 为 2，因 为 | | | | 2EF EG ， 所 以 侧 面 1 1BCCB与 球 面 的 交 线 是 扇 形 EFG 的 弧 FG ， 因 为 1 1 4B EF C EG ， 所 以 2FEG ，所 以 根 据 弧 长 公 式 可 得 222 2FG .故 答 案 为 ： 22 .【 点 睛 】本 题 考 查 了 直 棱 柱 的 结 构 特 征 ， 考 查 了 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 ， 考 查 了 立 体 几 何
27、 中 的 轨迹 问 题 ， 考 查 了 扇 形 中 的 弧 长 公 式 ， 属 于 中 档 题 . 评 卷 人 得 分 四 、 解 答 题17 在 3ac ， sin 3c A ， 3c b 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个 ， 补 充 在 下 面 问 题 试 卷 第 17页 ， 总 27页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 中 ， 若 问 题 中 的 三 角 形 存 在 ， 求 c的 值 ； 若 问 题 中 的 三 角 形 不 存 在 ， 说 明 理 由 问 题 ： 是 否 存 在 ABC ， 它 的 内 角 , ,A B C 的 对 边 分 别 为 ,
28、 ,a b c， 且 sin 3sinA B= ，6C ， _?注 ： 如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答 ， 按 第 一 个 解 答 计 分 【 答 案 】 详 见 解 析【 解 析 】【 分 析 】解 法 一 ： 由 题 意 结 合 所 给 的 条 件 ， 利 用 正 弦 定 理 角 化 边 ， 得 到 a,b 的 比 例 关 系 ， 根 据 比例 关 系 ， 设 出 长 度 长 度 ， 由 余 弦 定 理 得 到 c的 长 度 ， 根 据 选 择 的 条 件 进 行 分 析 判 断 和 求 解 .解 法 二 ： 利 用 诱 导 公 式 和 两 角 和 的 三 角 函 数 公
29、式 求 得 tanA的 值 ， 得 到 角 , ,A B C 的 值 ，然 后 根 据 选 择 的 条 件 进 行 分 析 判 断 和 求 解 .【 详 解 】解 法 一 ：由 sin 3sinA B= 可 得 ： 3ab ，不 妨 设 3 , 0a m b m m ， 则 ： 2 2 2 2 2 232 cos 3 2 3 2c a b ab C m m m m m ， 即 c m .选 择 条 件 的 解 析 ：据 此 可 得 ： 23 3 3ac m m m ， 1m ， 此 时 1c m .选 择 条 件 的 解 析 ：据 此 可 得 ： 2 2 2 2 2 22 3 1cos 2 2
30、 2b c a m m mA bc m ，则 ： 21 3sin 1 2 2A ， 此 时 ： 3sin 32c A m ， 则 ： 2 3c m . 选 择 条 件 的 解 析 ：可 得 1c mb m ， c b ，与 条 件 3c b矛 盾 ， 则 问 题 中 的 三 角 形 不 存 在 .解 法 二 ： 3 , ,6sinA sinB C B A C , 试 卷 第 18页 ， 总 27页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 3sin 3sin 6sinA A C A , 3 13sin 3 3 2 2sinA A C sinA cosA ， 3sinA cosA
31、, 3tanA , 23A , 6B C ,若 选 ， 3ac , 3 3a b c , 23 3c , c=1;若 选 ， 3csinA ,则 3 32c , 2 3c ;若 选 ,与 条 件 3c b 矛 盾 . 【 点 睛 】在 处 理 三 角 形 中 的 边 角 关 系 时 ， 一 般 全 部 化 为 角 的 关 系 ， 或 全 部 化 为 边 的 关 系 题 中 若出 现 边 的 一 次 式 一 般 采 用 到 正 弦 定 理 ， 出 现 边 的 二 次 式 一 般 采 用 到 余 弦 定 理 应 用 正 、余 弦 定 理 时 ， 注 意 公 式 变 式 的 应 用 解 决 三 角
32、形 问 题 时 ， 注 意 角 的 限 制 范 围 18 已 知 公 比 大 于 1的 等 比 数 列 na 满 足 2 4 320, 8a a a （ 1） 求 na 的 通 项 公 式 ；（ 2） 记 mb 为 na 在 区 间 *(0, ( )m mN 中 的 项 的 个 数 ， 求 数 列 mb 的 前 100项 和 100S 【 答 案 】 （ 1） 2nna ； （ 2） 100 480S .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 利 用 基 本 元 的 思 想 ， 将 已 知 条 件 转 化 为 1,a q 的 形 式 ， 求 解 出 1,a q ， 由 此 求 得 数 列 na
33、的 通 项 公 式 .（ 2） 通 过 分 析 数 列 mb 的 规 律 ， 由 此 求 得 数 列 mb 的 前 100项 和 100S .【 详 解 】 （ 1） 由 于 数 列 na 是 公 比 大 于 1的 等 比 数 列 ， 设 首 项 为 1a ， 公 比 为 q， 依 题 意 有31 121 208a q a qa q ， 解 得 解 得 1 2, 2a q ， 或 1 132, 2a q (舍 )，所 以 2nna ， 所 以 数 列 na 的 通 项 公 式 为 2nna .（ 2） 由 于 1 2 3 4 5 6 72 2,2 4,2 8,2 16,2 32,2 64,2
34、128 ， 所 以 试 卷 第 19页 ， 总 27页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 1b 对 应 的 区 间 为 ： 0,1 ， 则 1 0b ；2 3,b b 对 应 的 区 间 分 别 为 ： 0,2 , 0,3 ， 则 2 3 1b b ， 即 有 2个 1；4 5 6 7, , ,b b b b 对 应 的 区 间 分 别 为 ： 0,4 , 0,5 , 0,6 , 0,7 ， 则 4 5 6 7 2b b b b ，即 有 22 个 2；8 9 15, , ,b b b 对 应 的 区 间 分 别 为 ： 0,8 , 0,9 , , 0,15 ，
35、 则 8 9 15 3b b b ，即 有 32 个 3；16 17 31, , ,b b b 对 应 的 区 间 分 别 为 ： 0,16 , 0,17 , , 0,31 ， 则 16 17 31 4b b b ，即 有 42 个 4； 32 33 63, , ,b b b 对 应 的 区 间 分 别 为 ： 0,32 , 0,33 , , 0,63 ， 则32 33 63 5b b b ， 即 有 52 个 5；64 65 100, , ,b b b 对 应 的 区 间 分 别 为 ： 0,64 , 0,65 , , 0,100 ， 则64 65 100 6b b b ， 即 有 37个
36、6.所 以 2 3 4 5100 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 37 480S .【 点 睛 】本 小 题 主 要 考 查 等 比 数 列 基 本 量 的 计 算 ， 考 查 分 析 思 考 与 解 决 问 的 能 力 ， 属 于 中 档 题 . 19 为 加 强 环 境 保 护 ， 治 理 空 气 污 染 ， 环 境 监 测 部 门 对 某 市 空 气 质 量 进 行 调 研 ， 随 机 抽查 了 100天 空 气 中 的 PM2.5和 2SO 浓 度 （ 单 位 ： 3g/m ） ， 得 下 表 ： （ 1） 估 计 事 件 “该 市 一 天 空 气 中 PM2.5浓 度 不
37、 超 过 75， 且 2SO 浓 度 不 超 过 150”的 概 率 ；（ 2） 根 据 所 给 数 据 ， 完 成 下 面 的 2 2 列 联 表 ： 试 卷 第 20页 ， 总 27页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 （ 3） 根 据 （ 2） 中 的 列 联 表 ， 判 断 是 否 有 99%的 把 握 认 为 该 市 一 天 空 气 中 PM2.5浓 度与 2SO 浓 度 有 关 ？附 ： 22 ( )( )( )( )( )n ad bcK a b c d a c b d ， 【 答 案 】 （ 1） 0.64； （ 2） 答 案 见 解 析 ； （ 3） 有
38、 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 根 据 表 格 中 数 据 以 及 古 典 概 型 的 概 率 公 式 可 求 得 结 果 ；（ 2） 根 据 表 格 中 数 据 可 得 2 2 列 联 表 ；（ 3） 计 算 出 2K ， 结 合 临 界 值 表 可 得 结 论 .【 详 解 】（ 1） 由 表 格 可 知 ， 该 市 100天 中 ， 空 气 中 的 2.5PM 浓 度 不 超 过 75， 且 2SO 浓 度 不 超 过 150的 天 数 有 32 6 18 8 64 天 ，所 以 该 市 一 天 中 ， 空 气 中 的 2.5PM 浓 度 不 超 过 75， 且 2SO 浓 度
39、 不 超 过 150的 概 率 为64 0.64100 ；（ 2） 由 所 给 数 据 ， 可 得 2 2 列 联 表 为 ： 试 卷 第 21页 ， 总 27页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 2SO 2.5PM 0,150 150,475 合 计 0,75 64 16 80 75,115 10 10 20合 计 74 26 100（ 3） 根 据 2 2 列 联 表 中 的 数 据 可 得2 2 2 ( ) 100 (64 10 16 10)( )( )( )( ) 80 20 74 26n ad bcK a b c d a c b d 3600 7.48
40、44 6.635481 ，因 为 根 据 临 界 值 表 可 知 ， 有 99%的 把 握 认 为 该 市 一 天 空 气 中 2.5PM 浓 度 与 2SO 浓 度有 关 .【 点 睛 】本 题 考 查 了 古 典 概 型 的 概 率 公 式 ， 考 查 了 完 善 2 2 列 联 表 ， 考 查 了 独 立 性 检 验 ， 属 于中 档 题 . 20 如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD的 底 面 为 正 方 形 ， PD 底 面 ABCD 设 平 面 PAD与 平 面PBC的 交 线 为 l（ 1） 证 明 ： l 平 面 PDC；（ 2） 已 知 PD=AD=1， Q为 l上 的 点
41、， 求 PB与 平 面 QCD所 成 角 的 正 弦 值 的 最 大 值 【 答 案 】 （ 1） 证 明 见 解 析 ； （ 2） 63 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 得 AD平 面 PDC ， 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 以 及性 质 定 理 ， 证 得 /AD l， 从 而 得 到 l 平 面 PDC ； 试 卷 第 22页 ， 总 27页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 （ 2） 根 据 题 意 ， 建 立 相 应 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 得 到 相 应 点 的 坐 标 ， 设
42、 出 点 ( ,0,1)Q m ，之 后 求 得 平 面 QCD的 法 向 量 以 及 向 量 PB的 坐 标 ， 求 得 cos ,n PB 的 最 大 值 ， 即 为直 线 PB与 平 面 QCD所 成 角 的 正 弦 值 的 最 大 值 .【 详 解 】（ 1） 证 明 ：在 正 方 形 ABCD中 ， /AD BC，因 为 AD平 面 PBC ， BC平 面 PBC ，所 以 /AD 平 面 PBC ，又 因 为 AD平 面 PAD， 平 面 PAD平 面 PBC l ， 所 以 /AD l，因 为 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD是 正 方 形 ， 所 以 ,
43、,AD DC l DC 且 PD 平 面 ABCD， 所 以 , ,AD PD l PD 因 为 CD PD D所 以 l 平 面 PDC ；（ 2） 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D xyz ， 因 为 1PD AD ， 则 有 (0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1), (1,1,0)D C A P B ，设 ( ,0,1)Q m ， 则 有 (0,1,0), ( ,0,1), (1,1, 1)DC DQ m PB ，设 平 面 QCD的 法 向 量 为 ( , , )n x y z ，则 00DC nDQ n ， 即 0 0ymx z ，令 1x
44、 ， 则 z m ， 所 以 平 面 QCD的 一 个 法 向 量 为 (1,0, )n m ， 则 试 卷 第 23页 ， 总 27页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 21 0cos , 3 1n PB mn PB n PB m 根 据 直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 的 绝 对 值 即 为 直 线 与 平 面 所 成 角 的正 弦 值 ， 所 以 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 等 于2|1 |cos , | 3 1mn PB m r uur 223 1 23 1m mm 2 23 2 3 2
45、| | 3 61 1 1 13 1 3 1 3 3m mm m ， 当 且 仅 当 1m 时 取 等 号 ，所 以 直 线 PB与 平 面 QCD所 成 角 的 正 弦 值 的 最 大 值 为 63 . 【 点 睛 】该 题 考 查 的 是 有 关 立 体 几 何 的 问 题 ， 涉 及 到 的 知 识 点 有 线 面 平 行 的 判 定 和 性 质 ， 线 面 垂直 的 判 定 和 性 质 ， 利 用 空 间 向 量 求 线 面 角 ， 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 ， 属 于 中 档 题 目 .21 已 知 函 数 1( ) e ln lnxf x a x a （ 1） 当 a
46、e 时 ， 求 曲 线 y=f（ x） 在 点 （ 1， f（ 1） ） 处 的 切 线 与 两 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形的 面 积 ；（ 2） 若 f（ x） 1， 求 a的 取 值 范 围 【 答 案 】 （ 1） 21e （ 2） 1, ) 【 解 析 】【 分 析 】【 分 析 】（ 1） 先 求 导 数 ， 再 根 据 导 数 几 何 意 义 得 切 线 斜 率 ， 根 据 点 斜 式 得 切 线 方 程 ， 求 出 与 坐标 轴 交 点 坐 标 ， 最 后 根 据 三 角 形 面 积 公 式 得 结 果 ；（ 2） 解 法 一 ： 利 用 导 数 研 究 ， 得 到 函 数 f x 得 导 函 数 f x 的 单 调 递 增 ， 当 a=1时由 1 0f 得 1 1minf x f ,符 合 题 意 ； 当 a1时 ， 可 证 1( ) (1) 0f fa ， 从 而 f x 存 在 零 点 0 0 x ， 使 得 0 10 01( ) 0 xf x ae x
