1、试 卷 第 1页 ， 总 26页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100 分 钟 ； 命 题 人 ： xxx学 校 :_姓 名 ： _班 级 ： _考 号 ： _题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息 $2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上第 I 卷 （ 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 I 卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得
2、 分 一 、 单 选 题1 在 新 冠 肺 炎 疫 情 防 控 期 间 ， 某 超 市 开 通 网 上 销 售 业 务 ， 每 天 能 完 成 1200 份 订 单 的 配货 ， 由 于 订 单 量 大 幅 增 加 ， 导 致 订 单 积 压 .为 解 决 困 难 ， 许 多 志 愿 者 踊 跃 报 名 参 加 配 货工 作 .已 知 该 超 市 某 日 积 压 500 份 订 单 未 配 货 ， 预 计 第 二 天 的 新 订 单 超 过 1600份 的 概 率为 0.05， 志 愿 者 每 人 每 天 能 完 成 50 份 订 单 的 配 货 ， 为 使 第 二 天 完 成 积 压 订 单
3、 及 当 日 订单 的 配 货 的 概 率 不 小 于 0.95， 则 至 少 需 要 志 愿 者 （ ）A 10 名 B 18 名 C 24 名 D 32 名 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】算 出 第 二 天 订 单 数 ， 除 以 志 愿 者 每 天 能 完 成 的 订 单 配 货 数 即 可 .【 详 解 】由 题 意 ， 第 二 天 新 增 订 单 数 为 500 1600 1200 900 ， 设 需 要 志 愿 者 x 名 ，50 0.95900 x ， 17.1x ,故 需 要 志 愿 者 18名 .故 选 ： B 【 点 晴 】本 题 主 要 考 查 函 数 模
4、 型 的 简 单 应 用 ， 属 于 基 础 题 .2 若 过 点 （ 2， 1） 的 圆 与 两 坐 标 轴 都 相 切 ， 则 圆 心 到 直 线 2 3 0 x y 的 距 离 为 （ ）A 55 B 2 55 C 3 55 D 4 55 试 卷 第 2页 ， 总 26页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】由 题 意 可 知 圆 心 在 第 一 象 限 ， 设 圆 心 的 坐 标 为 , , 0a a a ， 可 得 圆 的 半 径 为 a ， 写 出圆 的 标 准 方 程 ， 利 用 点 2,1 在 圆 上 ， 求 得
5、 实 数 a 的 值 ， 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 求出 圆 心 到 直 线 2 3 0 x y 的 距 离 .【 详 解 】由 于 圆 上 的 点 2,1 在 第 一 象 限 ， 若 圆 心 不 在 第 一 象 限 ， 则 圆 与 至 少 与 一 条 坐 标 轴 相 交 ， 不 合 乎 题 意 ， 所 以 圆 心 必 在 第 一 象 限 ，设 圆 心 的 坐 标 为 ,a a ， 则 圆 的 半 径 为 a ，圆 的 标 准 方 程 为 2 2 2x a y a a .由 题 意 可 得 2 2 22 1a a a ，可 得 2 6 5 0a a ， 解 得 1a 或
6、5a ，所 以 圆 心 的 坐 标 为 1,1 或 5,5 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 均 为 1 2 1 1 3 2 555d ；圆 心 到 直 线 的 距 离 均 为 2 2 5 5 3 2 555d 圆 心 到 直 线 2 3 0 x y 的 距 离 均 为 2 2 555d ；所 以 ， 圆 心 到 直 线 2 3 0 x y 的 距 离 为 2 55 .故 选 ： B.【 点 睛 】 本 题 考 查 圆 心 到 直 线 距 离 的 计 算 ， 求 出 圆 的 方 程 是 解 题 的 关 键 ， 考 查 计 算 能 力 ， 属 于 中等 题 .3 设 O为 坐 标 原 点 ，
7、直 线 x a 与 双 曲 线 2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的 两 条 渐 近 线 分 别交 于 ,D E 两 点 ， 若 ODE 的 面 积 为 8， 则 C的 焦 距 的 最 小 值 为 （ ）A 4 B 8 C 16 D 32 试 卷 第 3页 ， 总 26页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】因 为 2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b ， 可 得 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是 by xa ， 与 直 线 x a 联立 方 程 求 得 D， E两 点 坐
8、 标 ， 即 可 求 得 | |ED ， 根 据 ODE 的 面 积 为 8， 可 得 ab 值 ，根 据 2 22 2c a b ， 结 合 均 值 不 等 式 ， 即 可 求 得 答 案 .【 详 解 】 2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是 by xa直 线 x a 与 双 曲 线 2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 D， E两 点不 妨 设 D为 在 第 一 象 限 ， E在 第 四 象 限联 立 x aby xa ， 解 得 x ay b 故 ( , )D a b 联
9、 立 x a by xa ， 解 得 x ay b 故 ( , )E a b| | 2ED b ODE 面 积 为 ： 1 2 82ODES a b ab 双 曲 线 2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 其 焦 距 为 2 22 2 2 2 2 16 8c a b ab 当 且 仅 当 2 2a b 取 等 号C的 焦 距 的 最 小 值 ： 8故 选 ： B.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 求 双 曲 线 焦 距 的 最 值 问 题 ， 解 题 关 键 是 掌 握 双 曲 线 渐 近 线 的 定 义 和 均 值 试 卷 第 4页 ， 总 26页 外 装 订 线
10、请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 不 等 式 求 最 值 方 法 ， 在 使 用 均 值 不 等 式 求 最 值 时 ， 要 检 验 等 号 是 否 成 立 ， 考 查 了 分 析 能力 和 计 算 能 力 ， 属 于 中 档 题 .4 已 知 ABC 是 面 积 为 9 34 的 等 边 三 角 形 ， 且 其 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 .若 球 O 的 表面 积 为 16 ， 则 O 到 平 面 ABC 的 距 离 为 （ ）A 3 B 32 C 1 D 32【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 根 据 球 O的 表 面 积 和 ABC 的 面 积 可 求 得
11、 球 O的 半 径 R和 ABC 外 接 圆 半 径 r ， 由球 的 性 质 可 知 所 求 距 离 2 2d R r .【 详 解 】 设 球 O的 半 径 为 R， 则 24 16R ， 解 得 ： 2R .设 ABC 外 接 圆 半 径 为 r ， 边 长 为 a ，ABC 是 面 积 为 9 34 的 等 边 三 角 形 ，21 3 9 32 2 4a ， 解 得 ： 3a ， 222 2 99 33 4 3 4ar a ，球 心 O到 平 面 ABC 的 距 离 2 2 4 3 1d R r .故 选 ： C.【 点 睛 】 本 题 考 查 球 的 相 关 问 题 的 求 解 ，
12、涉 及 到 球 的 表 面 积 公 式 和 三 角 形 面 积 公 式 的 应 用 ； 解 题关 键 是 明 确 球 的 性 质 ， 即 球 心 和 三 角 形 外 接 圆 圆 心 的 连 线 必 垂 直 于 三 角 形 所 在 平 面 .5 若 2 2 3 3x y x y ， 则 （ ）A ln( 1) 0y x B ln( 1) 0y x C ln| | 0 x y D ln| | 0 x y 试 卷 第 5页 ， 总 26页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】将 不 等 式 变 为 2 3 2 3x x y
13、y ， 根 据 2 3t tf t 的 单 调 性 知 x y ， 以 此 去 判 断各 个 选 项 中 真 数 与 1的 大 小 关 系 ， 进 而 得 到 结 果 .【 详 解 】由 2 2 3 3x y x y 得 ： 2 3 2 3x x y y ，令 2 3t tf t ，2xy 为 R上 的 增 函 数 ， 3 xy 为 R上 的 减 函 数 ， f t 为 R上 的 增 函 数 ，x y ， 0y x Q ， 1 1y x ， ln 1 0y x ， 则 A 正 确 ， B 错 误 ；x yQ 与 1的 大 小 不 确 定 ， 故 CD 无 法 确 定 .故 选 ： A.【 点
14、睛 】本 题 考 查 对 数 式 的 大 小 的 判 断 问 题 ， 解 题 关 键 是 能 够 通 过 构 造 函 数 的 方 式 ， 利 用 函 数 的单 调 性 得 到 ,x y 的 大 小 关 系 ， 考 查 了 转 化 与 化 归 的 数 学 思 想 . 6 已 知 集 合 U=2， 1， 0， 1， 2， 3， A=1， 0， 1， B=1， 2， 则 ( )U A B （ ）A 2， 3 B 2， 2， 3 C 2， 1， 0， 3 D 2， 1， 0， 2，3【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】首 先 进 行 并 集 运 算 ， 然 后 计 算 补 集 即 可 .【
15、详 解 】 由 题 意 可 得 ： 1,0,1,2A B ， 则 U 2,3A B .故 选 ： A.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 并 集 、 补 集 的 定 义 与 应 用 ， 属 于 基 础 题 .7 若 为 第 四 象 限 角 ， 则 （ ） 试 卷 第 6页 ， 总 26页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 A cos20 B cos20 D sin2b0)的 右 焦 点 F 与 抛 物 线 C2的 焦 点 重 合 ， C1的 中 心与 C2的 顶 点 重 合 .过 F 且 与 x 轴 垂 直 的 直 线 交 C1于 A， B 两 点 ， 交 C2于 C，
16、 D 两 点 ，且 |CD|=43 |AB|.（ 1） 求 C 1的 离 心 率 ；（ 2） 设 M 是 C1与 C2的 公 共 点 ， 若 |MF|=5， 求 C1与 C2的 标 准 方 程 .【 答 案 】 （ 1） 12 ； （ 2） 2 21: 136 27x yC ， 22 : 12C y x .【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 20页 ， 总 26页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 （ 1） 求 出 AB 、 CD ， 利 用 43CD AB 可 得 出 关 于 a 、 c的 齐 次 等 式 ， 可 解 得 椭 圆1C 的 离 心 率 的 值 ；（
17、2） 由 （ 1） 可 得 出 1C 的 方 程 为 2 22 2 14 3x yc c ， 联 立 曲 线 1C 与 2C 的 方 程 ， 求 出 点 M的 坐 标 ， 利 用 抛 物 线 的 定 义 结 合 5MF 可 求 得 c的 值 ， 进 而 可 得 出 1C 与 2C 的 标 准 方程 .【 详 解 】（ 1） ,0F c ， AB x 轴 且 与 椭 圆 1C 相 交 于 A、 B 两 点 ， 则 直 线 AB 的 方 程 为 x c ，联 立 2 22 22 2 21x cx ya ba b c ， 解 得 2x c by a ， 则 22bAB a ， 抛 物 线 2C 的
18、方 程 为 2 4y cx ， 联 立 2 4x cy cx ，解 得 2x cy c ， 4CD c ，43CD AB ， 即 284 3bc a ， 22 3b ac ，即 2 22 3 2 0c ac a ， 即 22 3 2 0e e ，0 1e Q ， 解 得 12e ， 因 此 ， 椭 圆 1C 的 离 心 率 为 12 ； （ 2） 由 （ 1） 知 2a c ， 3b c ， 椭 圆 1C 的 方 程 为 2 22 2 14 3x yc c ， 试 卷 第 21页 ， 总 26页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 联 立 22 22 24 14
19、3y cxx yc c ， 消 去 y 并 整 理 得 2 23 16 12 0 x cx c ，解 得 23x c 或 6x c （ 舍 去 ） ，由 抛 物 线 的 定 义 可 得 2 5 53 3cMF c c ， 解 得 3c .因 此 ， 曲 线 1C 的 标 准 方 程 为 2 2 136 27x y ，曲 线 2C 的 标 准 方 程 为 2 12y x .【 点 睛 】本 题 考 查 椭 圆 离 心 率 的 求 解 ， 同 时 也 考 查 了 利 用 抛 物 线 的 定 义 求 抛 物 线 和 椭 圆 的 标 准 方程 ， 考 查 计 算 能 力 ， 属 于 中 等 题 .22
20、 如 图 ， 已 知 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 底 面 是 正 三 角 形 ， 侧 面 BB1C1C 是 矩 形 ， M， N分 别 为 BC， B 1C1的 中 点 ， P 为 AM 上 一 点 ， 过 B1C1和 P 的 平 面 交 AB 于 E， 交 AC 于F. （ 1） 证 明 ： AA1 MN， 且 平 面 A1AMN EB1C1F；（ 2） 设 O 为 A1B1C1的 中 心 ， 若 AO 平 面 EB1C1F， 且 AO=AB， 求 直 线 B1E 与 平 面A1AMN 所 成 角 的 正 弦 值 .【 答 案 】 （ 1） 证 明 见 解 析 ； （ 2） 1010
21、 .【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 22页 ， 总 26页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 （ 1） 由 ,M N 分 别 为 BC ， 1 1BC 的 中 点 ， 1/MN CC ， 根 据 条 件 可 得 1 1/AA BB ， 可 证1MN AA/ ， 要 证 平 面 1 1EBC F 平 面 1A AMN ， 只 需 证 明 EF 平 面 1A AMN 即 可 ；（ 2） 连 接 NP ， 先 求 证 四 边 形 ONPA是 平 行 四 边 形 ， 根 据 几 何 关 系 求 得 EP ， 在 1 1BC截 取 1BQ EP ， 由 （ 1） BC 平
22、 面 1A AMN ， 可 得 QPN 为 1B E 与 平 面 1A AMN 所成 角 ， 即 可 求 得 答 案 .【 详 解 】（ 1） ,M N 分 别 为 BC ， 1 1BC 的 中 点 ，1/MN BB 又 1 1/AA BB1/MN AA在 ABC 中 ， M 为 BC 中 点 ， 则 BC AM又 侧 面 1 1BBCC 为 矩 形 ，1BC BB 1/MN BBMN BC 由 MN AM M ， ,MN AM 平 面 1A AMN BC 平 面 1A AMN又 1 1/BC BC ， 且 1 1BC 平 面 ABC ， BC平 面 ABC ，1 1/BC 平 面 ABC又
23、1 1BC 平 面 1 1EBC F ， 且 平 面 1 1EBC F 平 面 ABC EF1 1 /BC EF /EF BC 又 BC 平 面 1A AMNEF 平 面 1A AMNEF 平 面 1 1EBC F 试 卷 第 23页 ， 总 26页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 平 面 1 1EBC F 平 面 1A AMN（ 2） 连 接 NP /AO 平 面 1 1EBC F ， 平 面 AONP平 面 1 1EBC F NP /AO NP根 据 三 棱 柱 上 下 底 面 平 行 ，其 面 1ANMA平 面 ABC AM ， 面 1ANMA平 面 1
24、 1 1 1ABC AN /ON AP故 ： 四 边 形 ONPA是 平 行 四 边 形设 ABC 边 长 是 6m( 0m )可 得 ： ON AP ， 6NP AO AB m O 为 1 1 1A B C 的 中 心 ， 且 1 1 1A B C 边 长 为 6m 1 6 sin60 33ON m 故 ： 3ON AP m /EF BC AP EPAM BM 3 33 3 EP 解 得 ： EP m在 1 1BC 截 取 1BQ EP m ， 故 2QN m 试 卷 第 24页 ， 总 26页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 1BQ EP 且 1 /BQ EP四 边
25、 形 1BQPE是 平 行 四 边 形 ， 1 /B E PQ由 （ 1） 1 1BC 平 面 1A AMN故 QPN 为 1B E 与 平 面 1A AMN 所 成 角在 Rt QPN ， 根 据 勾 股 定 理 可 得 ： 2 22 2 2 6 2 10PQ QN PN m m m 2 10sin 102 10QN mQPN PQ m 直 线 1B E 与 平 面 1A AMN 所 成 角 的 正 弦 值 ： 1010 .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 证 明 线 线 平 行 和 面 面 垂 直 ， 及 其 线 面 角 ， 解 题 关 键 是 掌 握 面 面 垂 直 转 为求 证
26、 线 面 垂 直 的 证 法 和 线 面 角 的 定 义 ， 考 查 了 分 析 能 力 和 空 间 想 象 能 力 ， 属 于 难 题 .23 已 知 函 数 f(x)=sin2xsin2x.（ 1） 讨 论 f(x)在 区 间 (0， )的 单 调 性 ；（ 2） 证 明 ： 3 3( ) 8f x ； （ 3） 设 n N*， 证 明 ： sin2xsin22xsin24xsin22nx34nn .【 答 案 】 （ 1） 当 0,3x 时 ， 0,f x f x 单 调 递 增 ， 当 2,3 3x 时 ， 0,f x f x 单 调 递 减 ， 当 2 ,3x 时 ， 0,f x f
27、 x 单 调 递 增 .（ 2） 证 明见 解 析 ； （ 3） 证 明 见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】 (1)首 先 求 得 导 函 数 的 解 析 式 ， 然 后 由 导 函 数 的 零 点 确 定 其 在 各 个 区 间 上 的 符 号 ， 最 后 确定 原 函 数 的 单 调 性 即 可 ；(2)首 先 确 定 函 数 的 周 期 性 ， 然 后 结 合 (1)中 的 结 论 确 定 函 数 在 一 个 周 期 内 的 最 大 值 和 最小 值 即 可 证 得 题 中 的 不 等 式 ；(3)对 所 给 的 不 等 式 左 侧 进 行 恒 等 变 形 可 得 试 卷 第 2
28、5页 ， 总 26页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 22 2 2 1 2 3sin sin sin2 sin 2 sin4 sin 2 sin2 sin 2n n nf x x x x x x x x x ， 然 后结 合 (2)的 结 论 和 三 角 函 数 的 有 界 性 进 行 放 缩 即 可 证 得 题 中 的 不 等 式 .【 详 解 】(1)由 函 数 的 解 析 式 可 得 ： 32sin cosf x x x ， 则 ： 2 2 4 2 3sin cos sinf x x x x 2 2 22sin 3cos sinx x x 2 22sin
29、 4cos 1x x 22sin 2cos 1 2cos 1x x x ， 0f x 在 0,x 上 的 根 为 ： 1 2 2,3 3x x ， 当 0,3x 时 ， 0,f x f x 单 调 递 增 ，当 2,3 3x 时 ， 0,f x f x 单 调 递 减 ，当 2 ,3x 时 ， 0,f x f x 单 调 递 增 .(2)注 意 到 2 2sin sin 2 sin sin2f x x x x x f x ，故 函 数 f x 是 周 期 为 的 函 数 ， 结 合 (1)的 结 论 ， 计 算 可 得 ： 0 0f f ，23 3 3 33 2 2 8f ， 22 3 3 3
30、 33 2 2 8f ，据 此 可 得 ： max 3 38f x ， min 3 38f x ，即 3 38f x .(3)结 合 (2)的 结 论 有 ：2 2 2 2sin sin 2 sin 4 sin 2nx x x x 23 3 3 3 3sin sin 2 sin 4 sin 2nx x x x 22 2 2 1 2 3sin sin sin2 sin 2 sin4 sin 2 sin2 sin 2n n nx x x x x x x x 2323 3 3 3 3 3sin sin 28 8 8 nx x 试 卷 第 26页 ， 总 26页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题
31、 内 装 订 线 233 38 n 34 n .【 点 睛 】导 数 是 研 究 函 数 的 单 调 性 、 极 值 (最 值 )最 有 效 的 工 具 ， 而 函 数 是 高 中 数 学 中 重 要 的 知 识点 ， 对 导 数 的 应 用 的 考 查 主 要 从 以 下 几 个 角 度 进 行 ： (1)考 查 导 数 的 几 何 意 义 ， 往 往 与解 析 几 何 、 微 积 分 相 联 系 (2)利 用 导 数 求 函 数 的 单 调 区 间 ， 判 断 单 调 性 ； 已 知 单 调 性 ，求 参 数 (3)利 用 导 数 求 函 数 的 最 值 (极 值 )， 解 决 生 活 中 的 优 化 问 题 (4)考 查 数 形 结 合思 想 的 应 用
