1、试 卷 第 1页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx学 校 :_姓 名 ： _班 级 ： _考 号 ： _题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息 $2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上第 I 卷 （ 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分
2、 一 、 单 选 题1 已 知 集 合 ( , )| , , A x y x y y x *N ， ( , )| 8B x y x y ， 则 A B 中 元 素 的 个 数为 （ ）A 2 B 3 C 4 D 6【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 采 用 列 举 法 列 举 出 A B 中 元 素 的 即 可 .【 详 解 】由 题 意 ， A B 中 的 元 素 满 足 8y xx y ， 且 *,x y N ，由 8 2x y x ， 得 4x ，所 以 满 足 8x y 的 有 (1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故 A B 中 元 素 的 个 数 为 4.故
3、选 ： C. 【 点 晴 】本 题 主 要 考 查 集 合 的 交 集 运 算 ， 考 查 学 生 对 交 集 定 义 的 理 解 ， 是 一 道 容 易 题 .2 复 数 11 3i 的 虚 部 是 （ ） 试 卷 第 2页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 A 310 B 110 C 110 D 310【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】利 用 复 数 的 除 法 运 算 求 出 z 即 可 .【 详 解 】因 为 1 1 3 1 31 3 (1 3)(1 3) 10 10iz ii i i ，所 以 复 数 11 3z i 的 虚 部 为
4、310. 故 选 ： D.【 点 晴 】本 题 主 要 考 查 复 数 的 除 法 运 算 ， 涉 及 到 复 数 的 虚 部 的 定 义 ， 是 一 道 基 础 题 .3 在 一 组 样 本 数 据 中 ， 1， 2， 3， 4出 现 的 频 率 分 别 为 1 2 3 4, , ,pp p p ， 且 41 1ii p ， 则下 面 四 种 情 形 中 ， 对 应 样 本 的 标 准 差 最 大 的 一 组 是 （ ）A 1 4 2 30.1, 0.4p p p p B 1 4 2 30.4, 0.1p p p p C 1 4 2 30.2, 0.3p p p p D 1 4 2 30.3
5、, 0.2p p p p 【 答 案 】 B 【 解 析 】【 分 析 】计 算 出 四 个 选 项 中 对 应 数 据 的 平 均 数 和 方 差 ， 由 此 可 得 出 标 准 差 最 大 的 一 组 .【 详 解 】对 于 A选 项 ， 该 组 数 据 的 平 均 数 为 1 4 0.1 2 3 0.4 2.5Ax ，方 差 为 2 2 2 22 1 2.5 0.1 2 2.5 0.4 3 2.5 0.4 4 2.5 0.1 0.65As ；对 于 B选 项 ， 该 组 数 据 的 平 均 数 为 1 4 0.4 2 3 0.1 2.5Bx ， 方 差 为 2 2 2 22 1 2.5
6、0.4 2 2.5 0.1 3 2.5 0.1 4 2.5 0.4 1.85Bs ；对 于 C选 项 ， 该 组 数 据 的 平 均 数 为 1 4 0.2 2 3 0.3 2.5Cx ，方 差 为 试 卷 第 3页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 2 2 2 22 1 2.5 0.2 2 2.5 0.3 3 2.5 0.3 4 2.5 0.2 1.05Cs ；对 于 D选 项 ， 该 组 数 据 的 平 均 数 为 1 4 0.3 2 3 0.2 2.5Dx ，方 差 为 2 2 2 22 1 2.5 0.3 2 2.5 0.2 3 2.5
7、0.2 4 2.5 0.3 1.45Ds .因 此 ， B选 项 这 一 组 的 标 准 差 最 大 .故 选 ： B.【 点 睛 】本 题 考 查 标 准 差 的 大 小 比 较 ， 考 查 方 差 公 式 的 应 用 ， 考 查 计 算 能 力 ， 属 于 基 础 题 .4 Logistic 模 型 是 常 用 数 学 模 型 之 一 ， 可 应 用 于 流 行 病 学 领 城 有 学 者 根 据 公 布 数 据 建 立 了 某 地 区 新 冠 肺 炎 累 计 确 诊 病 例 数 I(t)(t 的 单 位 ： 天 )的 Logistic 模 型 ：0.23( 53)( )=1 e tI K
8、t ， 其 中 K 为 最 大 确 诊 病 例 数 当 I( *t )=0.95K 时 ， 标 志 着 已 初 步 遏 制疫 情 ， 则 *t 约 为 （ ） （ ln193）A 60 B 63 C 66 D 69【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 将 t t 代 入 函 数 0.23 531 tKI t e 结 合 0.95I t K 求 得 t即 可 得 解 .【 详 解 】 0.23 531 tKI t e ， 所 以 0.23 53 0.951 tKI t Ke ， 则 0.23 53 19te ，所 以 ， 0.23 53 ln19 3t ， 解 得 3 53 660.2
9、3t .故 选 ： C.【 点 睛 】 本 题 考 查 对 数 的 运 算 ， 考 查 指 数 与 对 数 的 互 化 ， 考 查 计 算 能 力 ， 属 于 中 等 题 .5 设 O为 坐 标 原 点 ， 直 线 2x 与 抛 物 线 C： 2 2 ( 0)y px p 交 于 D， E两 点 ，若 OD OE ， 则 C的 焦 点 坐 标 为 （ ）A 1,04 B 1,02 C (1,0) D (2,0) 试 卷 第 4页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】根 据 题 中 所 给 的 条 件 OD OE
10、， 结 合 抛 物 线 的 对 称 性 ， 可 知 4DOx EOx ，从 而 可 以 确 定 出 点 D的 坐 标 ， 代 入 方 程 求 得 p 的 值 ， 进 而 求 得 其 焦 点 坐 标 ， 得 到 结 果 .【 详 解 】因 为 直 线 2x 与 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p 交 于 ,E D两 点 ， 且 OD OE ，根 据 抛 物 线 的 对 称 性 可 以 确 定 4DOx EOx ， 所 以 2,2D ， 代 入 抛 物 线 方 程 4 4p ， 求 得 1p ， 所 以 其 焦 点 坐 标 为 1( ,0)2 ，故 选 ： B.【 点 睛 】该 题 考 查
11、的 是 有 关 圆 锥 曲 线 的 问 题 ， 涉 及 到 的 知 识 点 有 直 线 与 抛 物 线 的 交 点 ， 抛 物 线 的对 称 性 ， 点 在 抛 物 线 上 的 条 件 ， 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 ， 属 于 简 单 题 目 .6 已 知 向 量 ab a， b 满 足 | | 5a ， | | 6b ， 6a b ， 则 cos , =a a b （ ）A 3135 B 1935 C 1735 D 1935 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】计 算 出 a a b 、 a b 的 值 ， 利 用 平 面 向 量 数 量 积 可 计 算 出 cos ,a a
12、 b 的 值 .【 详 解 】5a ， 6b ， 6a b ， 2 25 6 19a a b a a b . 2 2 22 25 2 6 36 7a b a b a a b b ， 因 此 ， 19 19cos , 5 7 35a a ba a b a a b .故 选 ： D.【 点 睛 】本 题 考 查 平 面 向 量 夹 角 余 弦 值 的 计 算 ， 同 时 也 考 查 了 平 面 向 量 数 量 积 的 计 算 以 及 向 量 模的 计 算 ， 考 查 计 算 能 力 ， 属 于 中 等 题 . 试 卷 第 5页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内
13、装 订 线 7 在 ABC 中 ， cosC=23 ， AC=4， BC=3， 则 cosB=（ ）A 19 B 13 C 12 D 23【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】根 据 已 知 条 件 结 合 余 弦 定 理 求 得 AB ， 再 根 据 2 2 2cos 2AB BC ACB AB BC ， 即 可 求 得 答 案 .【 详 解 】在 ABC 中 ， 2cos 3C ， 4AC ， 3BC 根 据 余 弦 定 理 ： 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC C 2 2 24 3 2 24 3 3AB 可 得 2 9AB ， 即 3AB 由 2 2 2 9 9
14、 16 1cos 2 2 3 3 9AB BC ACB AB BC 故 1cos 9B .故 选 ： A. 【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 余 弦 定 理 解 三 角 形 ， 考 查 了 分 析 能 力 和 计 算 能 力 ， 属 于 基 础 题 .8 下 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 是 （ ） A 6+4 2 B 4+4 2 C 6+2 3 D 4+2 3【 答 案 】 C【 解 析 】 试 卷 第 6页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 分 析 】根 据 三 视 图 特 征 ， 在 正
15、方 体 中 截 取 出 符 合 题 意 的 立 体 图 形 ， 求 出 每 个 面 的 面 积 ， 即 可 求得 其 表 面 积 .【 详 解 】根 据 三 视 图 特 征 ， 在 正 方 体 中 截 取 出 符 合 题 意 的 立 体 图 形 根 据 立 体 图 形 可 得 ： 1 2 2 22ABC ADC CDBS S S 根 据 勾 股 定 理 可 得 ： 2 2AB AD DB ADB 是 边 长 为 2 2的 等 边 三 角 形根 据 三 角 形 面 积 公 式 可 得 ： 21 1 3sin60 (2 2) 2 32 2 2ADBS AB AD 该 几 何 体 的 表 面 积 是
16、 ： 2 3 6 2 33 2 . 故 选 ： C.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 根 据 三 视 图 求 立 体 图 形 的 表 面 积 问 题 ， 解 题 关 键 是 掌 握 根 据 三 视 图 画 出立 体 图 形 ， 考 查 了 分 析 能 力 和 空 间 想 象 能 力 ， 属 于 基 础 题 .9 已 知 2tantan(+4)=7， 则 tan=（ ）A 2 B 1 C 1 D 2【 答 案 】 D【 解 析 】 【 分 析 】利 用 两 角 和 的 正 切 公 式 ， 结 合 换 元 法 ， 解 一 元 二 次 方 程 ， 即 可 得 出 答 案 .【 详 解 】2t
17、an tan 74 ， tan 12tan 71 tan ， 试 卷 第 7页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 令 tan , 1t t ， 则 12 71 tt t ， 整 理 得 2 4 4 0t t ， 解 得 2t ， 即 tan 2 .故 选 ： D.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 利 用 两 角 和 的 正 切 公 式 化 简 求 值 ， 属 于 中 档 题 .10 若 直 线 l 与 曲 线 y= x 和 x2+y2=15都 相 切 ， 则 l 的 方 程 为 （ ）A y=2x+1 B y=2x+ 12 C y= 12
18、 x+1 D y= 12 x+ 12【 答 案 】 D【 解 析 】 【 分 析 】根 据 导 数 的 几 何 意 义 设 出 直 线 l的 方 程 ， 再 由 直 线 与 圆 相 切 的 性 质 ， 即 可 得 出 答 案 .【 详 解 】设 直 线 l在 曲 线 y x 上 的 切 点 为 0 0,x x ， 则 0 0 x ，函 数 y x 的 导 数 为 12y x ， 则 直 线 l的 斜 率 012k x ，设 直 线 l的 方 程 为 0 0012y x x xx ， 即 0 02 0 x x y x ， 由 于 直 线 l与 圆 2 2 15x y 相 切 ， 则 0 0 11
19、 4 5x x ，两 边 平 方 并 整 理 得 20 05 4 1 0 x x ， 解 得 0 1x ， 0 15x （ 舍 ） ，则 直 线 l的 方 程 为 2 1 0 x y ， 即 1 12 2y x .故 选 ： D.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 导 数 的 几 何 意 义 的 应 用 以 及 直 线 与 圆 的 位 置 的 应 用 ， 属 于 中 档 题 . 11 设 双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b （ a0， b0） 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2， 离 心 率 为 5 P是 C 上 一 点 ， 且 F1P F2P 若 PF1F2的
20、 面 积 为 4， 则 a=（ ）A 1 B 2 C 4 D 8【 答 案 】 A【 解 析 】 试 卷 第 8页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 分 析 】根 据 双 曲 线 的 定 义 ， 三 角 形 面 积 公 式 ， 勾 股 定 理 ， 结 合 离 心 率 公 式 ， 即 可 得 出 答 案 .【 详 解 】 5ca ， 5c a ， 根 据 双 曲 线 的 定 义 可 得 1 2 2PF PF a ，1 2 1 21| | 42PF F PF FS P ， 即 1 2| | 8PF PF ，1 2FP F P ， 2 221 2| | 2P
21、F PF c ， 2 21 2 1 22 4PF PF PF PF c ， 即 2 25 4 0a a ， 解 得 1a ， 故 选 ： A.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 双 曲 线 的 性 质 以 及 定 义 的 应 用 ， 涉 及 了 勾 股 定 理 ， 三 角 形 面 积 公 式 的 应用 ， 属 于 中 档 题 .12 已 知 5584， 13485 设 a=log53， b=log85， c=log138， 则 （ ）A abc B bac C bca D ca400空 气 质 量 好空 气 质 量 不 好 附 ： 22 ( )( )( )( )( )n ad bcK a
22、 b c d a c b d ，P(K2k) 0.050 0.010 0.001 试 卷 第 15页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 k 3.841 6.635 10.828【 答 案 】 （ 1） 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 分 别 为 1、 2、 3、 4的 概 率 分 别 为 0.43、 0.27、0.21、 0.09； （ 2） 350； （ 3） 有 ， 理 由 见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 根 据 频 数 分 布 表 可 计 算 出 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 分 别 为 1、
23、2、 3、 4的 概 率 ；（ 2） 利 用 每 组 的 中 点 值 乘 以 频 数 ， 相 加 后 除 以 100可 得 结 果 ； （ 3） 根 据 表 格 中 的 数 据 完 善 2 2 列 联 表 ， 计 算 出 2K 的 观 测 值 ， 再 结 合 临 界 值 表 可 得结 论 .【 详 解 】（ 1） 由 频 数 分 布 表 可 知 ， 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1的 概 率 为 2 16 25 0.43100 ，等 级 为 2的 概 率 为 5 10 12 0.27100 ， 等 级 为 3的 概 率 为 6 7 8 0.21100 ， 等 级 为 4的概
24、率 为 7 2 0 0.09100 ； （ 2） 由 频 数 分 布 表 可 知 ， 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 的 平 均 数 为100 20 300 35 500 45 350100 （ 3） 2 2 列 联 表 如 下 ： 人 次 400 人 次 400空 气 质 量 不 好 33 37空 气 质 量 好 22 8 22 100 33 8 37 22 5.820 3.84155 45 70 30K ，因 此 ， 有 95%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气 质 量 有 关 .【 点 睛 】 试 卷 第 1
25、6页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 本 题 考 查 利 用 频 数 分 布 表 计 算 频 率 和 平 均 数 ， 同 时 也 考 查 了 独 立 性 检 验 的 应 用 ， 考 查 数据 处 理 能 力 ， 属 于 基 础 题 .19 如 图 ， 在 长 方 体 1 1 1 1ABCD ABC D 中 ， 点 ,E F 分 别 在 棱 1 1,DD BB 上 ， 且 12DE ED ，12BF FB （ 1） 证 明 ： 点 1C 在 平 面 AEF 内 ；（ 2） 若 2AB ， 1AD ， 1 3AA ， 求 二 面 角 1A EF A 的 正
26、弦 值 【 答 案 】 （ 1） 证 明 见 解 析 ； （ 2） 427 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 连 接 1C E 、 1C F ， 证 明 出 四 边 形 1AEC F 为 平 行 四 边 形 ， 进 而 可 证 得 点 1C 在 平 面AEF 内 ； （ 2） 以 点 1C 为 坐 标 原 点 ， 1 1C D 、 1 1C B 、 1CC所 在 直 线 分 别 为 x、 y、 z 轴 建 立 空 间直 角 坐 标 系 1C xyz ， 利 用 空 间 向 量 法 可 计 算 出 二 面 角 1A EF A 的 余 弦 值 ， 进 而 可求 得 二 面 角 1A EF A
27、 的 正 弦 值 .【 详 解 】（ 1） 在 棱 1CC 上 取 点 G ， 使 得 1 12CG CG ， 连 接 DG、 FG 、 1C E 、 1C F ， 试 卷 第 17页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 在 长 方 体 1 1 1 1ABCD ABC D 中 ， /AD BC且 AD BC ， 1 1/BB CC 且 1 1BB CC ，1 12CG CG ， 12BF FB ， 1 12 23 3CG CC BB BF 且 CG BF ，所 以 ， 四 边 形 BCGF 为 平 行 四 边 形 ， 则 /AF DG 且 AF D
28、G ，同 理 可 证 四 边 形 1DECG 为 平 行 四 边 形 ， 1 /C E DG 且 1C E DG ，1 /C E AF 且 1C E AF ， 则 四 边 形 1AEC F 为 平 行 四 边 形 ，因 此 ， 点 1C 在 平 面 AEF 内 ； （ 2） 以 点 1C 为 坐 标 原 点 ， 1 1C D 、 1 1C B 、 1CC所 在 直 线 分 别 为 x、 y、 z 轴 建 立 如 下图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 1C xyz ，则 2,1,3A 、 1 2,1,0A 、 2,0,2E 、 0,1,1F ， 0, 1, 1AE ， 2,0, 2AF
29、， 1 0, 1,2AE ， 1 2,0,1AF ，设 平 面 AEF 的 法 向 量 为 1 1 1, ,m x y z ，由 00m AEm AF ， 得 1 11 102 2 0y zx z 取 1 1z ， 得 1 1 1x y ， 则 1,1, 1m ， 设 平 面 1AEF 的 法 向 量 为 2 2 2, ,n x y z ，由 11 00n AEn AF ， 得 2 22 22 02 0y zx z ， 取 2 2z ， 得 2 1x ， 2 4y ， 则 1,4,2n ， 试 卷 第 18页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 3 7cos
30、 , 73 21m nm n m n ，设 二 面 角 1A EF A 的 平 面 角 为 ， 则 7cos 7 ， 2 42sin 1 cos 7 .因 此 ， 二 面 角 1A EF A 的 正 弦 值 为 427 .【 点 睛 】本 题 考 查 点 在 平 面 的 证 明 ， 同 时 也 考 查 了 利 用 空 间 向 量 法 求 解 二 面 角 角 ， 考 查 推 理 能 力与 计 算 能 力 ， 属 于 中 等 题 . 20 已 知 椭 圆 2 22: 1(0 5)25x yC mm 的 离 心 率 为 154 ， A， B 分 别 为 C的 左 、 右 顶点 （ 1） 求 C的 方
31、 程 ；（ 2） 若 点 P 在 C上 ， 点 Q在 直 线 6x 上 ， 且 | | | |BP BQ ， BP BQ ， 求 APQ 的面 积 【 答 案 】 （ 1） 2 216 125 25x y ； （ 2） 52 .【 解 析 】 【 分 析 】（ 1） 因 为 2 22: 1(0 5)25x yC mm ， 可 得 5a ， b m ， 根 据 离 心 率 公 式 ， 结 合 已 知 ， 试 卷 第 19页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 即 可 求 得 答 案 ；（ 2） 点 P 在 C上 ， 点 Q在 直 线 6x 上 ， 且
32、 | | | |BP BQ ， BP BQ ， 过 点 P 作 x轴垂 线 ， 交 点 为 M ， 设 6x 与 x轴 交 点 为 N ， 可 得 PMB BNQ ， 可 求 得 P 点 坐标 ， 求 出 直 线 AQ的 直 线 方 程 ， 根 据 点 到 直 线 距 离 公 式 和 两 点 距 离 公 式 ， 即 可 求 得APQ 的 面 积 .【 详 解 】（ 1） 2 22: 1(0 5)25x yC mm 5a ， b m ， 根 据 离 心 率 2 2 1541 1 5c b me a a ，解 得 54m 或 54m (舍 )，C的 方 程 为 ： 2 2 2 1425 5x y
33、，即 2 216 125 25x y ；（ 2） 不 妨 设 P ,Q在 x 轴 上 方 点 P 在 C上 ， 点 Q在 直 线 6x 上 ， 且 | | | |BP BQ ， BP BQ ，过 点 P 作 x轴 垂 线 ， 交 点 为 M ， 设 6x 与 x轴 交 点 为 N根 据 题 意 画 出 图 形 ， 如 图| | | |BP BQ ， BP BQ ， 90PMB QNB ，又 90PBM QBN ， 90BQN QBN ， PBM BQN ， 试 卷 第 20页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 根 据 三 角 形 全 等 条 件 “ AAS
34、” ，可 得 ： PMB BNQ ， 2 216 125 25x y ， (5,0)B ， 6 5 1PM BN ，设 P 点 为 ( , )P Px y ，可 得 P 点 纵 坐 标 为 1 Py ， 将 其 代 入 2 216 125 25x y ，可 得 ： 2 16 125 25Px ，解 得 ： 3Px 或 3Px ， P 点 为 (3,1)或 ( 3,1) ， 当 P 点 为 (3,1)时 ，故 5 3 2MB ， PMB BNQ ，| | | | 2MB NQ ，可 得 ： Q点 为 (6,2)，画 出 图 象 ， 如 图 ( 5,0)A , (6,2)Q ，可 求 得 直 线
35、AQ的 直 线 方 程 为 ： 2 11 10 0 x y ，根 据 点 到 直 线 距 离 公 式 可 得 P 到 直 线 AQ的 距 离 为 ： 试 卷 第 21页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 2 22 3 11 1 10 5 551252 11d ，根 据 两 点 间 距 离 公 式 可 得 ： 2 26 5 2 0 5 5AQ ， APQ 面 积 为 ： 1 5 55 52 5 2 ； 当 P 点 为 ( 3,1) 时 ，故 5+3 8MB ， PMB BNQ ，| | | | 8MB NQ ，可 得 ： Q点 为 (6,8)，画
36、出 图 象 ， 如 图 ( 5,0)A , (6,8)Q ，可 求 得 直 线 AQ的 直 线 方 程 为 ： 8 11 40 0 x y ，根 据 点 到 直 线 距 离 公 式 可 得 P 到 直 线 AQ的 距 离 为 ： 2 28 3 11 1 40 5 5185 1858 11d ，根 据 两 点 间 距 离 公 式 可 得 ： 2 26 5 8 0 185AQ ， APQ 面 积 为 ： 1 5 51852 2185 ， 综 上 所 述 ， APQ 面 积 为 ： 52 .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 求 椭 圆 标 准 方 程 和 求 三 角 形 面 积 问 题 ，
37、解 题 关 键 是 掌 握 椭 圆 的 离 心 率 定 试 卷 第 22页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 义 和 数 形 结 合 求 三 角 形 面 积 ， 考 查 了 分 析 能 力 和 计 算 能 力 ， 属 于 中 档 题 .21 设 函 数 3( )f x x bx c ， 曲 线 ( )y f x 在 点 ( 12 ， f( 12 )处 的 切 线 与 y 轴 垂 直 （ 1） 求 b（ 2） 若 ( )f x 有 一 个 绝 对 值 不 大 于 1的 零 点 ， 证 明 ： ( )f x 所 有 零 点 的 绝 对 值 都 不 大 于 1【
38、 答 案 】 （ 1） 34b ； （ 2） 证 明 见 解 析【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 利 用 导 数 的 几 何 意 义 得 到 1( ) 02f ， 解 方 程 即 可 ； （ 2） 由 （ 1） 可 得 2 3 1 1( ) 3 2( )( )4 2 2f x x x x ， 易 知 ( )f x 在 1 1( , )2 2 上 单 调 递减 ， 在 1( , )2 ， 1( , )2 上 单 调 递 增 ， 且1 1 1 1 1 1( 1) , ( ) , ( ) , (1)4 2 4 2 4 4f c f c f c f c ， 采 用 反 证 法 ， 推 出 矛 盾
39、即可 .【 详 解 】（ 1） 因 为 2( ) 3f x x b ，由 题 意 ， 1( ) 02f ， 即 213 02 b 则 34b ；（ 2） 由 （ 1） 可 得 3 3( ) 4f x x x c ， 2 3 1 1( ) 3 3( )( )4 2 2f x x x x ，令 ( ) 0f x ， 得 12x 或 12x ； 令 ( ) 0f x ， 得 1 12 2x ，所 以 ( )f x 在 1 1( , )2 2 上 单 调 递 减 ， 在 1( , )2 ， 1( , )2 上 单 调 递 增 ，且 1 1 1 1 1 1( 1) , ( ) , ( ) , (1)4
40、2 4 2 4 4f c f c f c f c ，若 ( )f x 所 有 零 点 中 存 在 一 个 绝 对 值 大 于 1的 零 点 0 x ， 则 ( 1) 0f 或 (1) 0f ，即 14c 或 14c .当 14c 时 ， 1 1 1 1 1 1( 1) 0, ( ) 0, ( ) 0, (1) 04 2 4 2 4 4f c f c f c f c ， 试 卷 第 23页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 又 3 2( 4 ) 64 3 4 (1 16 ) 0f c c c c c c ，由 零 点 存 在 性 定 理 知 ( )
41、f x 在 ( 4 , 1)c 上 存 在 唯 一 一 个 零 点 0 x ，即 ( )f x 在 ( , 1) 上 存 在 唯 一 一 个 零 点 ， 在 ( 1, ) 上 不 存 在 零 点 ，此 时 ( )f x 不 存 在 绝 对 值 不 大 于 1的 零 点 ， 与 题 设 矛 盾 ；当 14c 时 ，1 1 1 1 1 1( 1) 0, ( ) 0, ( ) 0, (1) 04 2 4 2 4 4f c f c f c f c ，又 3 2( 4 ) 64 3 4 (1 16 ) 0f c c c c c c ， 由 零 点 存 在 性 定 理 知 ( )f x 在 (1, 4 )
42、c 上 存 在 唯 一 一 个 零 点 0 x ，即 ( )f x 在 (1, ) 上 存 在 唯 一 一 个 零 点 ， 在 ( ,1) 上 不 存 在 零 点 ，此 时 ( )f x 不 存 在 绝 对 值 不 大 于 1的 零 点 ， 与 题 设 矛 盾 ；综 上 ， ( )f x 所 有 零 点 的 绝 对 值 都 不 大 于 1.【 点 晴 】本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 零 点 ， 涉 及 到 导 数 的 几 何 意 义 ， 反 证 法 ， 考 查 学 生 逻辑 推 理 能 力 ， 是 一 道 有 一 定 难 度 的 题 .22 设 a， b， cR，
43、 a+b+c=0， abc=1 （ 1） 证 明 ： ab+bc+ca0；（ 2） 用 maxa， b， c表 示 a， b， c 中 的 最 大 值 ， 证 明 ： maxa， b， c 3 4【 答 案 】 （ 1） 证 明 见 解 析 （ 2） 证 明 见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 由 2 2 2 2( ) 2 2 2 0a b c a b c ab ac bc 结 合 不 等 式 的 性 质 ， 即 可 得 出证 明 ；（ 2） 不 妨 设 max , , a b c a ， 由 题 意 得 出 0, , 0a b c ， 由 2 2 23 2 2b c b c
44、bca a a bc bc ， 结 合 基 本 不 等 式 ， 即 可 得 出 证 明 .【 详 解 】（ 1） 2 2 2 2( ) 2 2 2 0a b c a b c ab ac bc ， 试 卷 第 24页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 2 2 212ab bc ca a b c .1, , ,abc a b c 均 不 为 0， 则 2 2 2 0a b c ， 2 2 212 0ab bc ca a b c ；（ 2） 不 妨 设 max , , a b c a ，由 0, 1a b c abc 可 知 ， 0, 0, 0a b c ，1,
45、a b c a bc ， 2 2 23 2 2 2 2 4b c b c bc bc bca a a bc bc bc . 当 且 仅 当 b c 时 ， 取 等 号 ，3 4a ， 即 3max , , 4a b c .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 不 等 式 的 基 本 性 质 以 及 基 本 不 等 式 的 应 用 ， 属 于 中 档 题 .23 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 2222 3x t ty t t ， (t 为 参 数 且 t1)， C与 坐 标 轴 交 于 A， B 两 点 .（ 1） 求 | AB |： （ 2）
46、以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 求 直 线 AB 的 极 坐 标 方 程 .【 答 案 】 （ 1） 4 10 （ 2） 3 cos sin 12 0 【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 由 参 数 方 程 得 出 ,A B的 坐 标 ， 最 后 由 两 点 间 距 离 公 式 ， 即 可 得 出 AB 的 值 ；（ 2） 由 ,A B的 坐 标 得 出 直 线 AB 的 直 角 坐 标 方 程 ， 再 化 为 极 坐 标 方 程 即 可 .【 详 解 】 （ 1） 令 0 x ， 则 2 2 0t t ， 解 得 2t 或 1t （ 舍 ） ， 则 2 6 4 12y ， 即(0,12)A .令 0y ，
