1、试 卷 第 1页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx学 校 :_姓 名 ： _班 级 ： _考 号 ： _题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息 $2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上第 I 卷 （ 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分
2、 一 、 单 选 题1 Logistic 模 型 是 常 用 数 学 模 型 之 一 ， 可 应 用 于 流 行 病 学 领 城 有 学 者 根 据 公 布 数 据 建立 了 某 地 区 新 冠 肺 炎 累 计 确 诊 病 例 数 I(t)(t 的 单 位 ： 天 )的 Logistic 模 型 ：0.23( 53)( )=1 e tI Kt ， 其 中 K 为 最 大 确 诊 病 例 数 当 I( *t )=0.95K 时 ， 标 志 着 已 初 步 遏 制疫 情 ， 则 *t 约 为 （ ） （ ln193）A 60 B 63 C 66 D 69【 答 案 】 C 【 解 析 】【 分 析
3、 】将 t t 代 入 函 数 0.23 531 tKI t e 结 合 0.95I t K 求 得 t即 可 得 解 .【 详 解 】 0.23 531 tKI t e ， 所 以 0.23 53 0.951 tKI t Ke ， 则 0.23 53 19te ，所 以 ， 0.23 53 ln19 3t ， 解 得 3 53 660.23t . 故 选 ： C.【 点 睛 】本 题 考 查 对 数 的 运 算 ， 考 查 指 数 与 对 数 的 互 化 ， 考 查 计 算 能 力 ， 属 于 中 等 题 . 试 卷 第 2页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装
4、订 线 2 设 O为 坐 标 原 点 ， 直 线 2x 与 抛 物 线 C： 2 2 ( 0)y px p 交 于 D， E两 点 ，若 OD OE ， 则 C的 焦 点 坐 标 为 （ ）A 1,04 B 1,02 C (1,0) D (2,0)【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】根 据 题 中 所 给 的 条 件 OD OE ， 结 合 抛 物 线 的 对 称 性 ， 可 知 4DOx EOx ，从 而 可 以 确 定 出 点 D的 坐 标 ， 代 入 方 程 求 得 p 的 值 ， 进 而 求 得 其 焦 点 坐 标 ， 得 到 结 果 . 【 详 解 】因 为 直 线 2x
5、与 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p 交 于 ,E D两 点 ， 且 OD OE ，根 据 抛 物 线 的 对 称 性 可 以 确 定 4DOx EOx ， 所 以 2,2D ，代 入 抛 物 线 方 程 4 4p ， 求 得 1p ， 所 以 其 焦 点 坐 标 为 1( ,0)2 ，故 选 ： B.【 点 睛 】该 题 考 查 的 是 有 关 圆 锥 曲 线 的 问 题 ， 涉 及 到 的 知 识 点 有 直 线 与 抛 物 线 的 交 点 ， 抛 物 线 的对 称 性 ， 点 在 抛 物 线 上 的 条 件 ， 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 ， 属 于 简 单 题 目 . 3
6、下 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 是 （ ）A 6+4 2 B 4+4 2 C 6+2 3 D 4+2 3 【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】根 据 三 视 图 特 征 ， 在 正 方 体 中 截 取 出 符 合 题 意 的 立 体 图 形 ， 求 出 每 个 面 的 面 积 ， 即 可 求 试 卷 第 3页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 得 其 表 面 积 .【 详 解 】根 据 三 视 图 特 征 ， 在 正 方 体 中 截 取 出 符 合 题 意 的 立 体 图 形根 据 立
7、 体 图 形 可 得 ： 1 2 2 22ABC ADC CDBS S S 根 据 勾 股 定 理 可 得 ： 2 2AB AD DB ADB 是 边 长 为 2 2的 等 边 三 角 形根 据 三 角 形 面 积 公 式 可 得 ： 21 1 3sin60 (2 2) 2 32 2 2ADBS AB AD 该 几 何 体 的 表 面 积 是 ： 2 3 6 2 33 2 .故 选 ： C.【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 根 据 三 视 图 求 立 体 图 形 的 表 面 积 问 题 ， 解 题 关 键 是 掌 握 根 据 三 视 图 画 出立 体 图 形 ， 考 查 了 分 析
8、能 力 和 空 间 想 象 能 力 ， 属 于 基 础 题 .4 已 知 集 合 1235711A ， ， ， ， ， ， 3 15|B x x ， 则 AB 中 元 素 的 个 数 为 （ ）A 2 B 3 C 4 D 5【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】采 用 列 举 法 列 举 出 A B 中 元 素 的 即 可 . 【 详 解 】由 题 意 ， 5,7,11A B ， 故 A B 中 元 素 的 个 数 为 3.故 选 ： B【 点 晴 】本 题 主 要 考 查 集 合 的 交 集 运 算 ， 考 查 学 生 对 交 集 定 义 的 理 解 ， 是 一 道 容 易 题 .
9、试 卷 第 4页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 5 若 1 1 z i i ， 则 z=（ ）A 1i B 1+i C i D i【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】先 利 用 除 法 运 算 求 得 z ， 再 利 用 共 轭 复 数 的 概 念 得 到 z 即 可 .【 详 解 】因 为 21 (1 ) 21 (1 )(1 ) 2i i iz ii i i ， 所 以 z i= . 故 选 ： D【 点 晴 】本 题 主 要 考 查 复 数 的 除 法 运 算 ， 涉 及 到 共 轭 复 数 的 概 念 ， 是 一 道 基 础 题 .6
10、设 一 组 样 本 数 据 x1， x2， ， xn的 方 差 为 0.01， 则 数 据 10 x1， 10 x2， ， 10 xn的 方差 为 （ ）A 0.01 B 0.1 C 1 D 10【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 根 据 新 数 据 与 原 数 据 关 系 确 定 方 差 关 系 ， 即 得 结 果 .【 详 解 】因 为 数 据 ( 1,2, , )iax b i n L， 的 方 差 是 数 据 ( 1,2, , )ix i n L， 的 方 差 的 2a 倍 ，所 以 所 求 数 据 方 差 为 210 0.01=1故 选 ： C【 点 睛 】本 题 考 查
11、 方 差 ， 考 查 基 本 分 析 求 解 能 力 ， 属 基 础 题 .7 已 知 sin sin =3 1 ， 则 sin =6 （ ） A 12 B 33 C 23 D 22【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 5页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 将 所 给 的 三 角 函 数 式 展 开 变 形 ， 然 后 再 逆 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 即 可 求 得 三 角 函 数 式 的值 .【 详 解 】由 题 意 可 得 ： 1 3sin sin cos 12 2 ，则 ： 3 3sin cos 12 2
12、 ， 3 1 3sin cos2 2 3 ，从 而 有 ： 3sin cos cos sin6 6 3 ， 即 3sin 6 3 .故 选 ： B.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 两 角 和 与 差 的 正 余 弦 公 式 及 其 应 用 ， 属 于 中 等 题 .8 在 平 面 内 ， A， B 是 两 个 定 点 ， C 是 动 点 ， 若 =1AC BC ， 则 点 C 的 轨 迹 为 （ ）A 圆 B 椭 圆 C 抛 物 线 D 直 线【 答 案 】 A【 解 析 】 【 分 析 】首 先 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 然 后 结 合 数 量 积 的 定 义 求 解 其
13、 轨 迹 方 程 即 可 .【 详 解 】设 2 0AB a a ， 以 AB 中 点 为 坐 标 原 点 建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则 ： ,0 , ,0A a B a ， 设 ,C x y ， 可 得 ： , , ,AC x a y BC x a y ，从 而 ： 2AC BC x a x a y ，结 合 题 意 可 得 ： 2 1x a x a y ， 试 卷 第 6页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 整 理 可 得 ： 2 2 2 1x y a ，即 点 C 的 轨 迹 是 以 AB 中 点 为 圆 心 ， 2
14、 1a 为 半 径 的 圆 .故 选 ： A.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 平 面 向 量 及 其 数 量 积 的 坐 标 运 算 ， 轨 迹 方 程 的 求 解 等 知 识 ， 意 在 考 查 学 生的 转 化 能 力 和 计 算 求 解 能 力 .9 点 (0， 1)到 直 线 1y k x 距 离 的 最 大 值 为 （ ）A 1 B 2 C 3 D 2 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】首 先 根 据 直 线 方 程 判 断 出 直 线 过 定 点 ( 1,0)P ， 设 (0, 1)A ， 当 直 线 ( 1)y k x 与 AP垂 直 时 ， 点 A到 直 线
15、( 1)y k x 距 离 最 大 ， 即 可 求 得 结 果 .【 详 解 】由 ( 1)y k x 可 知 直 线 过 定 点 ( 1,0)P ， 设 (0, 1)A ， 当 直 线 ( 1)y k x 与 AP垂 直 时 ， 点 A到 直 线 ( 1)y k x 距 离 最 大 ，即 为 | | 2AP .故 选 ： B.【 点 睛 】该 题 考 查 的 是 有 关 解 析 几 何 初 步 的 问 题 ， 涉 及 到 的 知 识 点 有 直 线 过 定 点 问 题 ， 利 用 几 何性 质 是 解 题 的 关 键 ， 属 于 基 础 题 .10 设 3log 2a ， 5log 3b ，
16、 23c ， 则 （ ）A a c b B a b c C b c a D c a b 【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】分 别 将 a,b改 写 为 331log 23a ， 351log 33b ， 再 利 用 单 调 性 比 较 即 可 .【 详 解 】 试 卷 第 7页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 因 为 33 31 1 2log 2 log 93 3 3a c ， 35 51 1 2log 3 log 253 3 3b c ，所 以 a c b .故 选 ： A.【 点 晴 】本 题 考 查 对 数 式 大 小 的 比
17、 较 ， 考 查 学 生 转 化 与 化 归 的 思 想 ， 是 一 道 中 档 题 .11 在 ABC 中 ， cosC=23 ， AC=4， BC=3， 则 tanB=（ ）A 5 B 2 5 C 4 5 D 8 5【 答 案 】 C【 解 析 】 【 分 析 】先 根 据 余 弦 定 理 求 c， 再 根 据 余 弦 定 理 求 cosB， 最 后 根 据 同 角 三 角 函 数 关 系 求 tan .B【 详 解 】设 , ,AB c BC a CA b 2 2 2 22 cos 9 16 2 3 4 9 33c a b ab C c 2 2 2 21 1 4 5cos sin 1 (
18、 ) tan 4 52 9 9 9a c bB B Bac 故 选 ： C 【 点 睛 】本 题 考 查 余 弦 定 理 以 及 同 角 三 角 函 数 关 系 ， 考 查 基 本 分 析 求 解 能 力 ， 属 基 础 题 .12 已 知 函 数 f(x)=sinx+ 1sinx ， 则 （ ）A f(x)的 最 小 值 为 2 B f(x)的 图 像 关 于 y 轴 对 称C f(x)的 图 像 关 于 直 线 x 对 称 D f(x)的 图 像 关 于 直 线 2x 对 称【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】 根 据 基 本 不 等 式 使 用 条 件 可 判 断 A;根 据
19、奇 偶 性 可 判 断 B;根 据 对 称 性 判 断 C,D.【 详 解 】sinx 可 以 为 负 ， 所 以 A错 ； 1sin 0 ( ) ( ) sin ( )sinx x k k Z f x x f xx Q Q ( )f x 关 于 原 点 对 称 ； 试 卷 第 8页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 1 1(2 ) sin ( ), ( ) sin ( ),sin sinf x x f x f x x f xx x Q 故 B错 ；( )f x 关 于 直 线 2x 对 称 ， 故 C错 ， D对故 选 ： D【 点 睛 】本 题 考 查
20、 函 数 定 义 域 与 最 值 、 奇 偶 性 、 对 称 性 ， 考 查 基 本 分 析 判 断 能 力 ， 属 中 档 题 .第 II 卷 （ 非 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题 13 若 x， y 满 足 约 束 条 件 0,2 01,x yx yx ， ， 则 z=3x+2y 的 最 大 值 为 _【 答 案 】 7【 解 析 】【 分 析 】作 出 可 行 域 ， 利 用 截 距 的 几 何 意 义 解 决 .【 详 解 】不 等 式 组 所 表 示 的 可 行 域 如 图因 为 3 2z x y ， 所 以
21、32 2x zy ， 易 知 截 距 2z 越 大 ， 则 z 越 大 ， 平 移 直 线 32xy ， 当 32 2x zy 经 过 A 点 时 截 距 最 大 ， 此 时 z最 大 ，由 21y xx ， 得 12xy ， (1,2)A ，所 以 max 3 1 2 2 7z .故 答 案 为 ： 7. 试 卷 第 9页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 点 晴 】本 题 主 要 考 查 简 单 线 性 规 划 的 应 用 ， 涉 及 到 求 线 性 目 标 函 数 的 最 大 值 ， 考 查 学 生 数 形 结 合 的 思 想 ， 是
22、一 道 容 易 题 .14 已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 1， 母 线 长 为 3， 则 该 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 的 体 积 为 _【 答 案 】 23 【 解 析 】【 分 析 】将 原 问 题 转 化 为 求 解 圆 锥 内 切 球 的 问 题 ， 然 后 结 合 截 面 确 定 其 半 径 即 可 确 定 体 积 的 值 .【 详 解 】易 知 半 径 最 大 球 为 圆 锥 的 内 切 球 ， 球 与 圆 锥 内 切 时 的 轴 截 面 如 图 所 示 ， 其 中 2, 3BC AB AC ， 且 点 M 为 BC 边 上 的 中 点 ，设 内 切 圆 的 圆
23、 心 为 O， 由 于 2 23 1 2 2AM ， 故 1 2 2 2 2 22S ABC ，设 内 切 圆 半 径 为 r ， 则 ：ABC AOB BOC AOCS S S S 1 1 12 2 2AB r BC r AC r 1 3 3 2 2 22 r ， 试 卷 第 10页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 解 得 ： 22r = ， 其 体 积 ： 34 23 3V r .故 答 案 为 ： 23 .【 点 睛 】与 球 有 关 的 组 合 体 问 题 ， 一 种 是 内 切 ， 一 种 是 外 接 解 题 时 要 认 真 分 析 图 形 ，
24、 明 确 切 点和 接 点 的 位 置 ， 确 定 有 关 元 素 间 的 数 量 关 系 ， 并 作 出 合 适 的 截 面 图 ， 如 球 内 切 于 正 方 体 ，切 点 为 正 方 体 各 个 面 的 中 心 ， 正 方 体 的 棱 长 等 于 球 的 直 径 ； 球 外 接 于 正 方 体 ， 正 方 体 的顶 点 均 在 球 面 上 ， 正 方 体 的 体 对 角 线 长 等 于 球 的 直 径 .15 设 双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b (a0， b0)的 一 条 渐 近 线 为 y= 2x， 则 C 的 离 心 率 为 _【 答 案 】 3【 解 析 】【 分
25、析 】根 据 已 知 可 得 2ba ， 结 合 双 曲 线 中 , ,a b c的 关 系 ， 即 可 求 解 .【 详 解 】由 双 曲 线 方 程 2 22 2 1x ya b 可 得 其 焦 点 在 x轴 上 ， 因 为 其 一 条 渐 近 线 为 2y x ，所 以 2ba ， 221 3c be a a .故 答 案 为 ： 3【 点 睛 】本 题 考 查 的 是 有 关 双 曲 线 性 质 ， 利 用 渐 近 线 方 程 与 离 心 率 关 系 是 解 题 的 关 键 ， 要 注 意 判断 焦 点 所 在 位 置 ， 属 于 基 础 题 .16 设 函 数 e( ) xf x x
26、 a 若 (1) 4ef ， 则 a=_ 【 答 案 】 1【 解 析 】【 分 析 】由 题 意 首 先 求 得 导 函 数 的 解 析 式 ， 然 后 得 到 关 于 实 数 a 的 方 程 ， 解 方 程 即 可 确 定 实 数 a 试 卷 第 11页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 的 值【 详 解 】由 函 数 的 解 析 式 可 得 ： 2 2 1x x xe x a e e x af x x a x a ，则 ： 1 2 21 11 1 1e a aef a a ， 据 此 可 得 ： 2 41ae ea ，整 理 可 得 ： 2
27、 2 1 0a a ， 解 得 ： 1a .故 答 案 为 ： 1.【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 导 数 的 运 算 法 则 ， 导 数 的 计 算 ， 方 程 的 数 学 思 想 等 知 识 ， 属 于 中 等 题 .评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题17 某 学 生 兴 趣 小 组 随 机 调 查 了 某 市 100天 中 每 天 的 空 气 质 量 等 级 和 当 天 到 某 公 园 锻 炼的 人 次 ， 整 理 数 据 得 到 下 表 （ 单 位 ： 天 ） ：锻 炼 人 次空 气 质 量 等 级 0， 200 (200， 400 (400， 600 1（ 优 ） 2 1
28、6 252（ 良 ） 5 10 123（ 轻 度 污 染 ） 6 7 84（ 中 度 污 染 ） 7 2 0（ 1） 分 别 估 计 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1， 2， 3， 4的 概 率 ；（ 2） 求 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 平 均 人 次 的 估 计 值 （ 同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 为 代 表 ） ；（ 3） 若 某 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1或 2， 则 称 这 天 “空 气 质 量 好 ”； 若 某 天 的 空 气 质 量 等级 为 3或 4， 则 称 这 天 “空 气 质 量 不 好 ” 根
29、 据 所 给 数 据 ， 完 成 下 面 的 22列 联 表 ， 并 根据 列 联 表 ， 判 断 是 否 有 95%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气质 量 有 关 ？ 试 卷 第 12页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 人 次 400 人 次 400空 气 质 量 好空 气 质 量 不 好附 ： 22 ( )( )( )( )( )n ad bcK a b c d a c b d ，P(K 2k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【 答 案 】
30、（ 1） 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 分 别 为 1、 2、 3、 4的 概 率 分 别 为 0.43、 0.27、0.21、 0.09； （ 2） 350； （ 3） 有 ， 理 由 见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】 （ 1） 根 据 频 数 分 布 表 可 计 算 出 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 分 别 为 1、 2、 3、 4的 概 率 ；（ 2） 利 用 每 组 的 中 点 值 乘 以 频 数 ， 相 加 后 除 以 100可 得 结 果 ；（ 3） 根 据 表 格 中 的 数 据 完 善 2 2 列 联 表 ， 计 算 出 2K 的 观 测
31、值 ， 再 结 合 临 界 值 表 可 得结 论 .【 详 解 】（ 1） 由 频 数 分 布 表 可 知 ， 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1的 概 率 为 2 16 25 0.43100 ，等 级 为 2的 概 率 为 5 10 12 0.27100 ， 等 级 为 3的 概 率 为 6 7 8 0.21100 ， 等 级 为 4的 概 率 为 7 2 0 0.09100 ；（ 2） 由 频 数 分 布 表 可 知 ， 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 的 平 均 数 为100 20 300 35 500 45 350100 （ 3） 2 2 列 联 表 如
32、 下 ： 试 卷 第 13页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 人 次 400 人 次 400空 气 质 量 不 好 33 37空 气 质 量 好 22 8 22 100 33 8 37 22 5.820 3.84155 45 70 30K ，因 此 ， 有 95%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气 质 量 有 关 .【 点 睛 】 本 题 考 查 利 用 频 数 分 布 表 计 算 频 率 和 平 均 数 ， 同 时 也 考 查 了 独 立 性 检 验 的 应 用 ， 考 查 数据
33、 处 理 能 力 ， 属 于 基 础 题 .18 已 知 椭 圆 2 22: 1(0 5)25x yC mm 的 离 心 率 为 154 ， A， B 分 别 为 C的 左 、 右 顶点 （ 1） 求 C的 方 程 ；（ 2） 若 点 P 在 C上 ， 点 Q在 直 线 6x 上 ， 且 | | | |BP BQ ， BP BQ ， 求 APQ 的面 积 【 答 案 】 （ 1） 2 216 125 25x y ； （ 2） 52 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 因 为 2 22: 1(0 5)25x yC mm ， 可 得 5a ， b m ， 根 据 离 心 率 公 式 ， 结 合
34、 已 知 ，即 可 求 得 答 案 ；（ 2） 点 P 在 C上 ， 点 Q在 直 线 6x 上 ， 且 | | | |BP BQ ， BP BQ ， 过 点 P 作 x轴垂 线 ， 交 点 为 M ， 设 6x 与 x轴 交 点 为 N ， 可 得 PMB BNQ ， 可 求 得 P 点 坐 标 ， 求 出 直 线 AQ的 直 线 方 程 ， 根 据 点 到 直 线 距 离 公 式 和 两 点 距 离 公 式 ， 即 可 求 得APQ 的 面 积 .【 详 解 】（ 1） 2 22: 1(0 5)25x yC mm 试 卷 第 14页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题
35、内 装 订 线 5a ， b m ，根 据 离 心 率 2 2 1541 1 5c b me a a ，解 得 54m 或 54m (舍 )，C的 方 程 为 ： 2 2 2 1425 5x y ，即 2 216 125 25x y ；（ 2） 不 妨 设 P ,Q在 x 轴 上 方 点 P 在 C上 ， 点 Q在 直 线 6x 上 ， 且 | | | |BP BQ ， BP BQ ，过 点 P 作 x轴 垂 线 ， 交 点 为 M ， 设 6x 与 x轴 交 点 为 N根 据 题 意 画 出 图 形 ， 如 图| | | |BP BQ ， BP BQ ， 90PMB QNB ，又 90PBM
36、 QBN ， 90BQN QBN ， PBM BQN ，根 据 三 角 形 全 等 条 件 “ AAS” ，可 得 ： PMB BNQ ， 2 216 125 25x y ， (5,0)B ， 6 5 1PM BN ，设 P 点 为 ( , )P Px y ， 试 卷 第 15页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 可 得 P 点 纵 坐 标 为 1Py ， 将 其 代 入 2 216 125 25x y ，可 得 ： 2 16 125 25Px ，解 得 ： 3Px 或 3Px ， P 点 为 (3,1)或 ( 3,1) ， 当 P 点 为 (3
37、,1)时 ，故 5 3 2MB ， PMB BNQ ，| | | | 2MB NQ ，可 得 ： Q点 为 (6,2)，画 出 图 象 ， 如 图 ( 5,0)A , (6,2)Q ，可 求 得 直 线 AQ的 直 线 方 程 为 ： 2 11 10 0 x y ，根 据 点 到 直 线 距 离 公 式 可 得 P 到 直 线 AQ的 距 离 为 ：2 22 3 11 1 10 5 551252 11d ，根 据 两 点 间 距 离 公 式 可 得 ： 2 26 5 2 0 5 5AQ ， APQ 面 积 为 ： 1 5 55 52 5 2 ； 当 P 点 为 ( 3,1) 时 ，故 5+3
38、8MB ， PMB BNQ ， 试 卷 第 16页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 | | | | 8MB NQ ，可 得 ： Q点 为 (6,8)，画 出 图 象 ， 如 图 ( 5,0)A , (6,8)Q ，可 求 得 直 线 AQ的 直 线 方 程 为 ： 8 11 40 0 x y ，根 据 点 到 直 线 距 离 公 式 可 得 P 到 直 线 AQ的 距 离 为 ： 2 28 3 11 1 40 5 5185 1858 11d ，根 据 两 点 间 距 离 公 式 可 得 ： 2 26 5 8 0 185AQ ， APQ 面 积 为 ： 1
39、 5 51852 2185 ， 综 上 所 述 ， APQ 面 积 为 ： 52 .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 求 椭 圆 标 准 方 程 和 求 三 角 形 面 积 问 题 ， 解 题 关 键 是 掌 握 椭 圆 的 离 心 率 定义 和 数 形 结 合 求 三 角 形 面 积 ， 考 查 了 分 析 能 力 和 计 算 能 力 ， 属 于 中 档 题 .19 设 a， b， cR， a+b+c=0， abc=1（ 1） 证 明 ： ab+bc+ca0；（ 2） 用 maxa， b， c表 示 a， b， c 中 的 最 大 值 ， 证 明 ： maxa， b， c 3 4【
40、答 案 】 （ 1） 证 明 见 解 析 （ 2） 证 明 见 解 析 . 【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 由 2 2 2 2( ) 2 2 2 0a b c a b c ab ac bc 结 合 不 等 式 的 性 质 ， 即 可 得 出 试 卷 第 17页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 证 明 ；（ 2） 不 妨 设 max , , a b c a ， 由 题 意 得 出 0, , 0a b c ， 由 2 2 23 2 2b c b c bca a a bc bc ， 结 合 基 本 不 等 式 ， 即 可 得 出 证 明 .【
41、详 解 】（ 1） 2 2 2 2( ) 2 2 2 0a b c a b c ab ac bc ， 2 2 212ab bc ca a b c .1, , ,abc a b c 均 不 为 0， 则 2 2 2 0a b c ， 2 2 212 0ab bc ca a b c ；（ 2） 不 妨 设 max , , a b c a ，由 0, 1a b c abc 可 知 ， 0, 0, 0a b c ，1,a b c a bc ， 2 2 23 2 2 2 2 4b c b c bc bc bca a a bc bc bc .当 且 仅 当 b c 时 ， 取 等 号 ，3 4a ， 即
42、3max , , 4a b c . 【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 不 等 式 的 基 本 性 质 以 及 基 本 不 等 式 的 应 用 ， 属 于 中 档 题 .20 设 等 比 数 列 an满 足 1 2 4a a ， 3 1 8a a （ 1） 求 an的 通 项 公 式 ；（ 2） 记 nS 为 数 列 log3an的 前 n 项 和 若 1 3m m mS S S ， 求 m【 答 案 】 （ 1） 13 nna ； （ 2） 6m .【 解 析 】【 分 析 】 （ 1） 设 等 比 数 列 na 的 公 比 为 q， 根 据 题 意 ， 列 出 方 程 组 ， 求 得
43、 首 项 和 公 比 ， 进 而 求得 通 项 公 式 ；（ 2） 由 （ 1） 求 出 3log na 的 通 项 公 式 ， 利 用 等 差 数 列 求 和 公 式 求 得 nS ， 根 据 已 知 列 试 卷 第 18页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 出 关 于 m的 等 量 关 系 式 ， 求 得 结 果 .【 详 解 】（ 1） 设 等 比 数 列 na 的 公 比 为 q，根 据 题 意 ， 有 1 121 1 48a a qa q a ， 解 得 1 13aq ，所 以 13 nna ；（ 2） 令 3 13log log 3 1nn n
44、b a n ，所 以 (0 1) ( 1)2 2n n n n nS ， 根 据 1 3m m mS S S ， 可 得 ( 1) ( 1) ( 2)( 3)2 2 2m m m m m m ，整 理 得 2 5 6 0m m ， 因 为 0m ， 所 以 6m ，【 点 睛 】本 题 考 查 等 比 数 列 通 项 公 式 基 本 量 的 计 算 ， 以 及 等 差 数 列 求 和 公 式 的 应 用 ， 考 查 计 算 求解 能 力 ， 属 于 基 础 题 目 .21 如 图 ， 在 长 方 体 1 1 1 1ABCD ABC D 中 ， 点 E， F 分 别 在 棱 1DD ， 1BB
45、上 ， 且12DE ED ， 12BF FB 证 明 ： （ 1） 当 AB BC 时 ， EF AC ；（ 2） 点 1C 在 平 面 AEF 内 【 答 案 】 （ 1） 证 明 见 解 析 ； （ 2） 证 明 见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 根 据 正 方 形 性 质 得 AC BD ， 根 据 长 方 体 性 质 得 1AC BB ,进 而 可 证 AC 平 面1 1BB D D,即 得 结 果 ； 试 卷 第 19页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 （ 2） 只 需 证 明 1/EC AF 即 可 ， 在 1CC
46、 上 取 点 M 使 得 12CM MC ,再 通 过 平 行 四 边 形性 质 进 行 证 明 即 可 .【 详 解 】 （ 1） 因 为 长 方 体 1 1 1 1ABCD ABC D ,所 以 1BB 平 面 ABCD 1AC BB ,因 为 长 方 体 1 1 1 1,ABCD ABC D AB BC ,所 以 四 边 形 ABCD为 正 方 形 AC BD 因 为 1 1,BB BD B BB BD I 、 平 面 1 1BB D D,因 此 AC 平 面 1 1BB D D,因 为 EF 平 面 1 1BB D D,所 以 AC EF ；（ 2） 在 1CC 上 取 点 M 使 得 12CM MC ,连 ,DM MF ,因 为 1 1 1 1 12 , / , =D E ED DD CC DD CC ,所 以 1 1, / ,ED MC ED MC所 以 四 边 形 1DMC E为 平 行 四 边 形 ， 1/DM EC 因 为 / , = ,MF DA MF DA 所 以 M F A D、 、 、 四 点 共 面 ， 所 以 四 边 形 MFAD为 平
