1、试 卷 第 1页 ， 总 23页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx学 校 :_姓 名 ： _班 级 ： _考 号 ： _题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息 $2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上第 I 卷 （ 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分
2、 一 、 单 选 题1 已 知 集 合 2 | 3 4 0, 4,1,3,5A x x x B ， 则 A B （ ）A 4,1 B 1,5C 3,5 D 1,3【 答 案 】 D【 解 析 】 【 分 析 】首 先 解 一 元 二 次 不 等 式 求 得 集 合 A， 之 后 利 用 交 集 中 元 素 的 特 征 求 得 A B ， 得 到 结 果 .【 详 解 】由 2 3 4 0 x x 解 得 1 4x ，所 以 | 1 4A x x ，又 因 为 4,1,3,5B ， 所 以 1,3A B ，故 选 ： D.【 点 睛 】 本 题 考 查 的 是 有 关 集 合 的 问 题 ， 涉
3、 及 到 的 知 识 点 有 利 用 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 求 集 合 ，集 合 的 交 运 算 ， 属 于 基 础 题 目 .2 若 31 2i iz ， 则 | |=z （ ）A 0 B 1 试 卷 第 2页 ， 总 23页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 C 2 D 2【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】先 根 据 2 1i 将 z 化 简 ， 再 根 据 向 量 的 模 的 计 算 公 式 即 可 求 出 【 详 解 】因 为 31+2 1+2 1z i i i i i ， 所 以 2 21 1 2z 故 选 ： C【 点 睛 】 本
4、 题 主 要 考 查 向 量 的 模 的 计 算 公 式 的 应 用 ， 属 于 容 易 题 3 埃 及 胡 夫 金 字 塔 是 古 代 世 界 建 筑 奇 迹 之 一 ， 它 的 形 状 可 视 为 一 个 正 四 棱 锥 ， 以 该 四棱 锥 的 高 为 边 长 的 正 方 形 面 积 等 于 该 四 棱 锥 一 个 侧 面 三 角 形 的 面 积 ， 则 其 侧 面 三 角 形 底边 上 的 高 与 底 面 正 方 形 的 边 长 的 比 值 为 （ ） A 5 14 B 5 12 C 5 14 D 5 12【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】设 ,CD a PE b ， 利
5、用 2 12PO CD PE 得 到 关 于 ,a b的 方 程 ， 解 方 程 即 可 得 到 答案 .【 详 解 】 如 图 ， 设 ,CD a PE b ， 则 22 2 2 4aPO PE OE b ， 试 卷 第 3页 ， 总 23页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 由 题 意 2 12PO ab ， 即 22 14 2ab ab ， 化 简 得 24( ) 2 1 0b ba a ，解 得 1 54ba （ 负 值 舍 去 ） .故 选 ： C. 【 点 晴 】本 题 主 要 考 查 正 四 棱 锥 的 概 念 及 其 有 关 计 算 ， 考 查
6、学 生 的 数 学 计 算 能 力 ， 是 一 道 容 易 题 .4 设 O 为 正 方 形 ABCD 的 中 心 ， 在 O， A， B， C， D 中 任 取 3点 ， 则 取 到 的 3点 共 线的 概 率 为 （ ）A 15 B 25C 12 D 45【 答 案 】 A【 解 析 】 【 分 析 】列 出 从 5个 点 选 3个 点 的 所 有 情 况 ， 再 列 出 3点 共 线 的 情 况 ， 用 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公式 运 算 即 可 .【 详 解 】如 图 ， 从 O A B C D, , , , 5个 点 中 任 取 3个 有 , , , , , , , ,
7、 , , , O A B O A C O A D O B C , , , , , , , , , , , O B D O C D A B C A B D , , , , , A C D B C D 共 10种 不 同 取 法 ， 3点 共 线 只 有 , , A O C 与 , , B O D 共 2种 情 况 ， 试 卷 第 4页 ， 总 23页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 由 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 知 ，取 到 3点 共 线 的 概 率 为 2 110 5 .故 选 ： A 【 点 晴 】本 题 主 要 考 查 古 典 概 型 的 概 率
8、计 算 问 题 ， 采 用 列 举 法 ， 考 查 学 生 数 学 运 算 能 力 ， 是 一 道容 易 题 .5 某 校 一 个 课 外 学 习 小 组 为 研 究 某 作 物 种 子 的 发 芽 率 y 和 温 度 x（ 单 位 ： C） 的 关 系 ，在 20个 不 同 的 温 度 条 件 下 进 行 种 子 发 芽 实 验 ， 由 实 验 数 据 ( , )( 1,2, ,20)i ix y i 得 到 下面 的 散 点 图 ： 由 此 散 点 图 ， 在 10C至 40C之 间 ， 下 面 四 个 回 归 方 程 类 型 中 最 适 宜 作 为 发 芽 率 y 和温 度 x 的 回
9、归 方 程 类 型 的 是 （ ）A y a bx B 2y a bx C exy a b D lny a b x 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】根 据 散 点 图 的 分 布 可 选 择 合 适 的 函 数 模 型 . 【 详 解 】 试 卷 第 5页 ， 总 23页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 由 散 点 图 分 布 可 知 ， 散 点 图 分 布 在 一 个 对 数 函 数 的 图 象 附 近 ，因 此 ， 最 适 合 作 为 发 芽 率 y和 温 度 x的 回 归 方 程 类 型 的 是 lny a b x .故 选 ： D.【 点
10、 睛 】本 题 考 查 函 数 模 型 的 选 择 ， 主 要 观 察 散 点 图 的 分 布 ， 属 于 基 础 题 .6 已 知 圆 2 2 6 0 x y x ， 过 点 （ 1， 2） 的 直 线 被 该 圆 所 截 得 的 弦 的 长 度 的 最 小 值 为（ ）A 1 B 2C 3 D 4 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】当 直 线 和 圆 心 与 点 (1,2)的 连 线 垂 直 时 ， 所 求 的 弦 长 最 短 ， 即 可 得 出 结 论 .【 详 解 】圆 2 2 6 0 x y x 化 为 2 2( 3) 9x y ， 所 以 圆 心 C坐 标 为 (3,0
11、)C ， 半 径 为 3，设 (1,2)P ， 当 过 点 P 的 直 线 和 直 线 CP垂 直 时 ， 圆 心 到 过 点 P 的 直 线 的 距 离 最 大 ， 所 求 的 弦 长 最 短 ， 此 时 2 2| | (3 1) ( 2) 2 2CP 根 据 弦 长 公 式 得 最 小 值 为 22 9 | | 2 9 8 2CP .故 选 ： B.【 点 睛 】本 题 考 查 圆 的 简 单 几 何 性 质 ， 以 及 几 何 法 求 弦 长 ， 属 于 基 础 题 .7 设 函 数 ( ) cos ( )6f x x 在 , 的 图 像 大 致 如 下 图 ， 则 f(x)的 最 小
12、正 周 期 为（ ） 试 卷 第 6页 ， 总 23页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 A 109 B 76C 43 D 32 【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】由 图 可 得 ： 函 数 图 象 过 点 4 ,09 ， 即 可 得 到 4cos 09 6 ， 结 合 4 ,09 是 函 数 f x 图 象 与 x轴 负 半 轴 的 第 一 个 交 点 即 可 得 到 49 6 2 ， 即 可 求 得32 ， 再 利 用 三 角 函 数 周 期 公 式 即 可 得 解 . 【 详 解 】由 图 可 得 ： 函 数 图 象 过 点 4 ,09 ，将 它 代 入
13、 函 数 f x 可 得 ： 4cos 09 6 又 4 ,09 是 函 数 f x 图 象 与 x轴 负 半 轴 的 第 一 个 交 点 ，所 以 49 6 2 ， 解 得 ： 32 所 以 函 数 f x 的 最 小 正 周 期 为 2 2 43 32T 故 选 ： C【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 三 角 函 数 的 性 质 及 转 化 能 力 ， 还 考 查 了 三 角 函 数 周 期 公 式 ， 属 于 中 档 题 . 试 卷 第 7页 ， 总 23页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 8 设 3log 4 2a ， 则 4 a （ ）A 1
14、16 B 19 C 18 D 16【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】根 据 已 知 等 式 ， 利 用 指 数 对 数 运 算 性 质 即 可 得 解【 详 解 】由 3log 4 2a 可 得 3log 4 2a ， 所 以 4 9a ， 所 以 有 14 9a ，故 选 ： B.【 点 睛 】本 题 考 查 的 是 有 关 指 对 式 的 运 算 的 问 题 ， 涉 及 到 的 知 识 点 有 对 数 的 运 算 法 则 ， 指 数 的 运算 法 则 ， 属 于 基 础 题 目 .9 执 行 下 面 的 程 序 框 图 ， 则 输 出 的 n=（ ） A 17 B 19 C 2
15、1 D 23【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】根 据 程 序 框 图 的 算 法 功 能 可 知 ， 要 计 算 满 足 1 3 5 100n 的 最 小 正 奇 数 n， 根据 等 差 数 列 求 和 公 式 即 可 求 出 【 详 解 】依 据 程 序 框 图 的 算 法 功 能 可 知 ， 输 出 的 n是 满 足 1 3 5 100n 的 最 小 正 奇 数 ， 试 卷 第 8页 ， 总 23页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 因 为 211 1 121 3 5 1 1002 4nnn n ， 解 得 19n ，所 以 输 出 的 21n 故 选 ：
16、 C.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 程 序 框 图 的 算 法 功 能 的 理 解 ， 以 及 等 差 数 列 前 n项 和 公 式 的 应 用 ， 属 于 基础 题 10 设 na 是 等 比 数 列 ， 且 1 2 3 1a a a ， 2 3 4+ 2a a a ， 则 6 7 8a a a （ ）A 12 B 24 C 30 D 32 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】根 据 已 知 条 件 求 得 q的 值 ， 再 由 56 7 8 1 2 3a a a q a a a 可 求 得 结 果 .【 详 解 】设 等 比 数 列 na 的 公 比 为 q， 则 21
17、2 3 1 1 1a a a a q q ， 2 3 22 3 4 1 1 1 1 1 2a a a a q a q a q a q q q q ， 因 此 ， 5 6 7 5 2 56 7 8 1 1 1 1 1 32a a a a q a q a q a q q q q .故 选 ： D.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 等 比 数 列 基 本 量 的 计 算 ， 属 于 基 础 题 11 设 1 2,F F 是 双 曲 线 22: 13yC x 的 两 个 焦 点 ， O为 坐 标 原 点 ， 点 P 在 C上 且| | 2OP ， 则 1 2PFF 的 面 积 为 （ ）A 72
18、B 3 C 52 D 2 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 9页 ， 总 23页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 由 1 2FF P 是 以 P 为 直 角 直 角 三 角 形 得 到 2 21 2| | | | 16PF PF ， 再 利 用 双 曲 线 的 定 义 得到 1 2| | | | 2PF PF ， 联 立 即 可 得 到 1 2| | |PF PF ， 代 入 1 2F F PS 1 21 | | |2 PF PF 中 计算 即 可 .【 详 解 】由 已 知 ， 不 妨 设 1 2( 2,0), (2,0)F F ，
19、则 1, 2a c ， 因 为 1 21| | 1 | |2OP FF ，所 以 点 P 在 以 1 2FF 为 直 径 的 圆 上 ， 即 1 2FF P 是 以 P 为 直 角 顶 点 的 直 角 三 角 形 ，故 2 2 21 2 1 2| | | | | |PF PF FF ，即 2 21 2| | | | 16PF PF ， 又 1 2| | | | 2 2PF PF a ，所 以 21 24 | | | |PF PF 2 21 2| | | | 2PF PF 1 2| | | 16 2PF PF 1 2| | |PF PF ，解 得 1 2| | | 6PF PF ， 所 以 1
20、2F F PS 1 21 | | | 32 PF PF 故 选 ： B【 点 晴 】 本 题 考 查 双 曲 线 中 焦 点 三 角 形 面 积 的 计 算 问 题 ， 涉 及 到 双 曲 线 的 定 义 ， 考 查 学 生 的 数 学运 算 能 力 ， 是 一 道 中 档 题 .12 已 知 , ,A B C 为 球 O的 球 面 上 的 三 个 点 ， 1O 为 ABC 的 外 接 圆 ， 若 1O 的 面积 为 4， 1AB BC AC OO ， 则 球 O的 表 面 积 为 （ ）A 64 B 48 C 36 D 32【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】 由 已 知 可 得
21、等 边 ABC 的 外 接 圆 半 径 ， 进 而 求 出 其 边 长 ， 得 出 1OO 的 值 ， 根 据 球 的 截面 性 质 ， 求 出 球 的 半 径 ， 即 可 得 出 结 论 .【 详 解 】 试 卷 第 10页 ， 总 23页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 设 圆 1O 半 径 为 r ， 球 的 半 径 为 R， 依 题 意 ，得 2 4 , 2r r ， ABC 为 等 边 三 角 形 ，由 正 弦 定 理 可 得 2 sin60 2 3AB r ，1 2 3OO AB ， 根 据 球 的 截 面 性 质 1OO 平 面 ABC，2 2 2 21
22、1 1 1 1, 4OO O A R OA OO O A OO r ，球 O的 表 面 积 24 64S R .故 选 ： A 【 点 睛 】本 题 考 查 球 的 表 面 积 ， 应 用 球 的 截 面 性 质 是 解 题 的 关 键 ， 考 查 计 算 求 解 能 力 ， 属 于 基 础题 . 第 II 卷 （ 非 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题 13 若 x， y 满 足 约 束 条 件 2 2 0,1 0,1 0,x yx yy 则 z=x+7y 的 最 大 值 为 _.【 答 案 】 1【 解 析 】【 分 析
23、】首 先 画 出 可 行 域 ， 然 后 结 合 目 标 函 数 的 几 何 意 义 即 可 求 得 其 最 大 值 .【 详 解 】绘 制 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 所 示 ， 试 卷 第 11页 ， 总 23页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 目 标 函 数 7z x y 即 ： 1 17 7y x z ， 其 中 z 取 得 最 大 值 时 ， 其 几 何 意 义 表 示 直 线 系 在 y 轴 上 的 截 距 最 大 ，据 此 结 合 目 标 函 数 的 几 何 意 义 可 知 目 标 函 数 在 点 A 处 取 得 最 大
24、值 ，联 立 直 线 方 程 ： 2 2 01 0 x yx y ， 可 得 点 A 的 坐 标 为 ： ( )1,0A ，据 此 可 知 目 标 函 数 的 最 大 值 为 ： max 1 7 0 1z .故 答 案 为 ： 1【 点 睛 】求 线 性 目 标 函 数 z ax by(ab0)的 最 值 ， 当 b 0时 ， 直 线 过 可 行 域 且 在 y 轴 上 截 距 最 大 时 ， z 值 最 大 ， 在 y 轴 截 距 最 小 时 ， z 值 最 小 ； 当 b 0时 ， 直 线 过 可 行 域 且 在 y 轴 上截 距 最 大 时 ， z 值 最 小 ， 在 y 轴 上 截 距
25、 最 小 时 ， z 值 最 大 .14 设 向 量 (1, 1), ( 1,2 4)a b m m ， 若 a br r， 则 m_.【 答 案 】 5【 解 析 】【 分 析 】根 据 向 量 垂 直 ， 结 合 题 中 所 给 的 向 量 的 坐 标 ， 利 用 向 量 垂 直 的 坐 标 表 示 ， 求 得 结 果 .【 详 解 】 由 a br r可 得 0a b ，又 因 为 (1, 1), ( 1,2 4)a b m m ，所 以 1 ( 1) ( 1) (2 4) 0a b m m ，即 5m ，故 答 案 为 ： 5. 试 卷 第 12页 ， 总 23页 外 装 订 线 请不
26、要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 点 睛 】本 题 考 查 有 关 向 量 运 算 问 题 ， 涉 及 到 的 知 识 点 有 向 量 垂 直 的 坐 标 表 示 ， 属 于 基 础 题 目 .15 曲 线 ln 1y x x 的 一 条 切 线 的 斜 率 为 2， 则 该 切 线 的 方 程 为 _.【 答 案 】 2y x【 解 析 】【 分 析 】设 切 线 的 切 点 坐 标 为 0 0( , )x y ， 对 函 数 求 导 ， 利 用 0| 2xy ， 求 出 0 x ， 代 入 曲 线 方 程 求出 0y ， 得 到 切 线 的 点 斜 式 方 程 ， 化 简 即 可 .
27、【 详 解 】 设 切 线 的 切 点 坐 标 为 0 0 1( , ), ln 1, 1x y y x x y x ，0 0 001| 1 2, 1, 2x xy x yx ， 所 以 切 点 坐 标 为 (1,2)，所 求 的 切 线 方 程 为 2 2( 1)y x ， 即 2y x .故 答 案 为 ： 2y x .【 点 睛 】本 题 考 查 导 数 的 几 何 意 义 ， 属 于 基 础 题 .16 数 列 na 满 足 2 ( 1) 3 1nn na a n ， 前 16项 和 为 540， 则 1a _. 【 答 案 】 7【 解 析 】【 分 析 】对 n为 奇 偶 数 分
28、类 讨 论 ， 分 别 得 出 奇 数 项 、 偶 数 项 的 递 推 关 系 ， 由 奇 数 项 递 推 公 式 将 奇数 项 用 1a 表 示 ， 由 偶 数 项 递 推 公 式 得 出 偶 数 项 的 和 ， 建 立 1a 方 程 ， 求 解 即 可 得 出 结 论 .【 详 解 】2 ( 1) 3 1nn na a n ，当 n为 奇 数 时 ， 2 3 1n na a n ； 当 n为 偶 数 时 ， 2 3 1n na a n . 设 数 列 na 的 前 n项 和 为 nS ，16 1 2 3 4 16S a a a a a 试 卷 第 13页 ， 总 23页外 装 订 线 学校
29、:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 1 3 5 15 2 4 14 16( ) ( )a a a a a a a a 1 1 1 1 1 1( 2) ( 10) ( 24) ( 44) ( 70)a a a a a a 1 1( 102) ( 140) (5 17 29 41)a a 1 18 392 92 8 484 540a a ，1 7a .故 答 案 为 ： 7.【 点 睛 】本 题 考 查 数 列 的 递 推 公 式 的 应 用 ， 以 及 数 列 的 并 项 求 和 ， 考 查 分 类 讨 论 思 想 和 数 学 计 算 能 力 ， 属 于 较 难 题 .评 卷 人 得
30、 分 三 、 解 答 题17 某 厂 接 受 了 一 项 加 工 业 务 ， 加 工 出 来 的 产 品 (单 位 ： 件 )按 标 准 分 为 A， B， C， D 四个 等 级 .加 工 业 务 约 定 ： 对 于 A 级 品 、 B 级 品 、 C 级 品 ， 厂 家 每 件 分 别 收 取 加 工 费 90元 ，50元 ， 20元 ； 对 于 D级 品 ， 厂 家 每 件 要 赔 偿 原 料 损 失 费 50元 .该 厂 有 甲 、 乙 两 个 分 厂可 承 接 加 工 业 务 .甲 分 厂 加 工 成 本 费 为 25元 /件 ， 乙 分 厂 加 工 成 本 费 为 20元 /件 .
31、厂 家 为决 定 由 哪 个 分 厂 承 接 加 工 业 务 ， 在 两 个 分 厂 各 试 加 工 了 100件 这 种 产 品 ， 并 统 计 了 这 些 产 品 的 等 级 ， 整 理 如 下 ：甲 分 厂 产 品 等 级 的 频 数 分 布 表等 级 A B C D频 数 40 20 20 20乙 分 厂 产 品 等 级 的 频 数 分 布 表等 级 A B C D 频 数 28 17 34 21（ 1） 分 别 估 计 甲 、 乙 两 分 厂 加 工 出 来 的 一 件 产 品 为 A级 品 的 概 率 ；（ 2） 分 别 求 甲 、 乙 两 分 厂 加 工 出 来 的 100件 产
32、 品 的 平 均 利 润 ， 以 平 均 利 润 为 依 据 ， 厂家 应 选 哪 个 分 厂 承 接 加 工 业 务 ? 试 卷 第 14页 ， 总 23页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 答 案 】 （ 1） 甲 分 厂 加 工 出 来 的 A级 品 的 概 率 为 0.4 ， 乙 分 厂 加 工 出 来 的 A级 品 的 概率 为 0.28； （ 2） 选 甲 分 厂 ， 理 由 见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 根 据 两 个 频 数 分 布 表 即 可 求 出 ；（ 2） 根 据 题 意 分 别 求 出 甲 乙 两 厂 加 工 100件
33、产 品 的 总 利 润 ， 即 可 求 出 平 均 利 润 ， 由 此作 出 选 择 【 详 解 】（ 1） 由 表 可 知 ， 甲 厂 加 工 出 来 的 一 件 产 品 为 A级 品 的 概 率 为 40 0.4100 ， 乙 厂 加 工 出 来 的 一 件 产 品 为 A级 品 的 概 率 为 28 0.28100 ；（ 2） 甲 分 厂 加 工 100件 产 品 的 总 利 润 为 40 90 25 20 50 25 20 20 25 20 50 25 1500 元 ，所 以 甲 分 厂 加 工 100件 产 品 的 平 均 利 润 为 15元 每 件 ；乙 分 厂 加 工 100件
34、产 品 的 总 利 润 为 28 90 20 17 50 20 34 20 20 21 50 20 1000 元 ，所 以 乙 分 厂 加 工 100件 产 品 的 平 均 利 润 为 10元 每 件 故 厂 家 选 择 甲 分 厂 承 接 加 工 任 务 【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 古 典 概 型 的 概 率 公 式 的 应 用 ， 以 及 平 均 数 的 求 法 ， 并 根 据 平 均 值 作 出 决 策 ，属 于 基 础 题 18 ABC 的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c.已 知 B=150.（ 1） 若 a= 3c， b=2 7 ， 求 AB
35、C 的 面 积 ；（ 2） 若 sinA+ 3sinC= 22 ， 求 C. 【 答 案 】 （ 1） 3； （ 2） 15.【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 已 知 角 B 和 b边 ， 结 合 ,a c 关 系 ， 由 余 弦 定 理 建 立 c的 方 程 ， 求 解 得 出 ,a c ， 利用 面 积 公 式 ， 即 可 得 出 结 论 ； 试 卷 第 15页 ， 总 23页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 （ 2） 将 30A C 代 入 已 知 等 式 ， 由 两 角 差 的 正 弦 和 辅 助 角 公 式 ， 化 简 得 出 有 关 C角的 三
36、 角 函 数 值 ， 结 合 C的 范 围 ， 即 可 求 解 .【 详 解 】（ 1） 由 余 弦 定 理 可 得 2 2 2 228 2 cos150 7b a c ac c ，2, 2 3,c a ABC 的 面 积 1 sin 32S ac B ；（ 2） 30A C ，sin 3sin sin(30 ) 3sinA C C C 1 3 2cos sin sin( 30 )2 2 2C C C ，0 30 , 30 30 60C C ，30 45 , 15C C .【 点 睛 】本 题 考 查 余 弦 定 理 、 三 角 恒 等 变 换 解 三 角 形 ， 熟 记 公 式 是 解 题
37、的 关 键 ， 考 查 计 算 求 解 能力 ， 属 于 基 础 题 .19 如 图 ， D为 圆 锥 的 顶 点 ， O是 圆 锥 底 面 的 圆 心 ， ABC 是 底 面 的 内 接 正 三 角 形 ，P 为 DO上 一 点 ， APC=90 （ 1） 证 明 ： 平 面 PAB 平 面 PAC；（ 2） 设 DO= 2， 圆 锥 的 侧 面 积 为 3， 求 三 棱 锥 PABC 的 体 积 .【 答 案 】 （ 1） 证 明 见 解 析 ； （ 2） 68 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 根 据 已 知 可 得 PA PB PC ， 进 而 有 PAC PBC ， 可 得90
38、APC BPC ， 即 PB PC ， 从 而 证 得 PC 平 面 PAB， 即 可 证 得 结 论 ； 试 卷 第 16页 ， 总 23页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 （ 2） 将 已 知 条 件 转 化 为 母 线 l和 底 面 半 径 r 的 关 系 ， 进 而 求 出 底 面 半 径 ， 由 正 弦 定 理 ，求 出 正 三 角 形 ABC边 长 ， 在 等 腰 直 角 三 角 形 APC中 求 出 AP， 在 Rt APO 中 ， 求 出PO， 即 可 求 出 结 论 .【 详 解 】（ 1） 连 接 , ,OA OB OC ， DQ 为 圆 锥 顶 点
39、 ， O为 底 面 圆 心 ， OD 平 面 ABC，P 在 DO上 ， ,OA OB OC PA PB PC ，ABC 是 圆 内 接 正 三 角 形 ， AC BC ， PAC PBC ，90APC BPC ， 即 ,PB PC PA PC ，,PA PB P PC 平 面 ,PAB PC 平 面 PAC ， 平 面 PAB 平 面 PAC ； （ 2） 设 圆 锥 的 母 线 为 l， 底 面 半 径 为 r ， 圆 锥 的 侧 面 积 为 3 , 3rl rl ，2 2 2 2OD l r ， 解 得 1, 3r l ， 2 sin60 3AC r ，在 等 腰 直 角 三 角 形 A
40、PC中 ， 2 62 2AP AC ，在 Rt PAO 中 ， 2 2 6 214 2PO AP OA ，三 棱 锥 P ABC 的 体 积 为 1 1 2 3 633 3 2 4 8P ABC ABCV PO S . 【 点 睛 】本 题 考 查 空 间 线 、 面 位 置 关 系 ， 证 明 平 面 与 平 面 垂 直 ， 求 锥 体 的 体 积 ， 注 意 空 间 垂 直 间的 相 互 转 化 ， 考 查 逻 辑 推 理 、 直 观 想 象 、 数 学 计 算 能 力 ， 属 于 中 档 题 .20 已 知 函 数 ( ) ( 2)xf x e a x .（ 1） 当 1a 时 ， 讨
41、论 ( )f x 的 单 调 性 ； 试 卷 第 17页 ， 总 23页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 （ 2） 若 ( )f x 有 两 个 零 点 ， 求 a的 取 值 范 围 .【 答 案 】 （ 1） ( )f x 的 减 区 间 为 ( ,0) ， 增 区 间 为 (0, ) ； （ 2） 1( , )e .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 将 1a 代 入 函 数 解 析 式 ， 对 函 数 求 导 ， 分 别 令 导 数 大 于 零 和 小 于 零 ， 求 得 函 数 的单 调 增 区 间 和 减 区 间 ；（ 2） 若 ( )f x 有
42、两 个 零 点 ， 即 ( 2) 0 xe a x 有 两 个 解 ， 将 其 转 化 为 2xea x 有 两 个解 ， 令 ( ) ( 2)2xeh x xx ， 求 导 研 究 函 数 图 象 的 走 向 ， 从 而 求 得 结 果 . 【 详 解 】（ 1） 当 1a 时 ， ( ) ( 2)xf x e x ， ( ) 1xf x e ，令 ( ) 0f x ， 解 得 0 x ， 令 ( ) 0f x ， 解 得 0 x ，所 以 ( )f x 的 减 区 间 为 ( ,0) ， 增 区 间 为 (0, ) ；（ 2） 若 ( )f x 有 两 个 零 点 ， 即 ( 2) 0 x
43、e a x 有 两 个 解 ，从 方 程 可 知 ， 2x 不 成 立 ， 即 2xea x 有 两 个 解 ， 令 ( ) ( 2)2xeh x xx ， 则 有 2 2( 2) ( 1)( ) ( 2) ( 2)x x xe x e e xh x x x ，令 ( ) 0h x ， 解 得 1x ， 令 ( ) 0h x ， 解 得 2x 或 2 1x ，所 以 函 数 ( )h x 在 ( , 2) 和 ( 2, 1) 上 单 调 递 减 ， 在 ( 1, ) 上 单 调 递 增 ，且 当 2x 时 ， ( ) 0h x ，而 2x 时 ， ( )h x ， 当 x时 ， ( )h x
44、，所 以 当 2xea x 有 两 个 解 时 ， 有 1( 1)a h e ， 所 以 满 足 条 件 的 a的 取 值 范 围 是 ： 1( , )e .【 点 睛 】本 题 考 查 的 是 有 关 应 用 导 数 研 究 函 数 的 问 题 ， 涉 及 到 的 知 识 点 有 应 用 导 数 研 究 函 数 的 单调 性 ， 根 据 零 点 个 数 求 参 数 的 取 值 范 围 ， 在 解 题 的 过 程 中 ， 也 可 以 利 用 数 形 结 合 ， 将 问 试 卷 第 18页 ， 总 23页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 题 转 化 为 曲 线 xy e
45、和 直 线 ( 2)y a x 有 两 个 交 点 ， 利 用 过 点 ( 2,0) 的 曲 线 xy e的 切 线 斜 率 ， 结 合 图 形 求 得 结 果 .21 已 知 A、 B 分 别 为 椭 圆 E： 2 22 1x ya （ a1） 的 左 、 右 顶 点 ， G 为 E 的 上 顶 点 ，8AG GB ， P 为 直 线 x=6上 的 动 点 ， PA 与 E 的 另 一 交 点 为 C， PB 与 E 的 另 一 交 点为 D（ 1） 求 E 的 方 程 ；（ 2） 证 明 ： 直 线 CD 过 定 点 . 【 答 案 】 （ 1） 2 2 19x y ； （ 2） 证 明
46、详 见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 由 已 知 可 得 ： ,0A a ， ,0B a ， 0,1G ， 即 可 求 得 2 1AG GB a ， 结合 已 知 即 可 求 得 ： 2 9a ， 问 题 得 解 .（ 2） 设 06,P y ， 可 得 直 线 AP的 方 程 为 ： 0 39yy x ， 联 立 直 线 AP的 方 程 与 椭 圆 方 程 即 可 求 得 点 C的 坐 标 为 20 02 20 03 27 6,9 9y yy y ， 同 理 可 得 点 D的 坐 标 为20 02 20 03 3 2,1 1y yy y ， 当 20 3y 时 ， 可 表 示 出 直 线 CD的 方 程 ， 整 理 直 线 CD的 方 程 可得 ： 0 204 323 3 yy xy 即 可 知 直 线 过 定 点 3,02 ， 当 20 3y 时 ， 直 线 CD： 32x ，直 线 过 点 3,02 ， 命 题 得 证 .【 详 解 】 （ 1） 依 据 题 意 作 出 如 下 图 象 ： 试 卷 第 19页 ， 总 23页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_
