1、试 卷 第 1页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2019年天津市高考数学试卷（文科)试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I 卷 （ 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分 一 、 单 选 题1 设 集 合 1,1,2,3,5A ， 2,3
2、,4B ， |1 3C x R x ， 则 ( )A C B A 2 B 2， 3 C -1， 2， 3 D 1， 2， 3， 4【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】先 求 A C ， 再 求 ( )A C B 。 【 详 解 】因 为 1,2A C ，所 以 ( ) 1,2,3,4A C B .故 选 D。【 点 睛 】集 合 的 运 算 问 题 ， 一 般 要 先 研 究 集 合 中 元 素 的 构 成 ， 能 化 简 的 要 先 化 简 ， 同 时 注 意 数 形结 合 ， 即 借 助 数 轴 、 坐 标 系 、 韦 恩 图 等 进 行 运 算 2 设 变 量 ,x y满 足
3、约 束 条 件 2 0,2 0,1,1,x yx yxy ， 则 目 标 函 数 4z x y 的 最 大 值 为A 2 B 3 C 5 D 6【 答 案 】 C 试 卷 第 2页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 解 析 】【 分 析 】画 出 可 行 域 ， 用 截 距 模 型 求 最 值 。【 详 解 】已 知 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 中 的 阴 影 部 分 。目 标 函 数 的 几 何 意 义 是 直 线 4y x z 在 y轴 上 的 截 距 ，故 目 标 函 数 在 点 A处 取 得 最 大 值 。由 2 0,1
4、x yx ， 得 ( 1,1)A ， 所 以 max 4 ( 1) 1 5z 。故 选 C。 【 点 睛 】线 性 规 划 问 题 ， 首 先 明 确 可 行 域 对 应 的 是 封 闭 区 域 还 是 开 放 区 域 ， 分 界 线 是 实 线 还 是 虚线 ， 其 次 确 定 目 标 函 数 的 几 何 意 义 ， 是 求 直 线 的 截 距 、 两 点 间 距 离 的 平 方 、 直 线 的 斜 率 、还 是 点 到 直 线 的 距 离 等 等 ， 最 后 结 合 图 形 确 定 目 标 函 数 最 值 或 范 围 即 ： 一 画 ， 二 移 ，三 求 3 设 ， 则 “ ” 是 “ ”
5、 的A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】求 出 的 解 集 ， 根 据 两 解 集 的 包 含 关 系 确 定 . 试 卷 第 3页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 详 解 】 等 价 于 ， 故 推 不 出 ；由 能 推 出 。故 “ ” 是 “ ” 的 必 要 不 充 分 条 件 。故 选 B。【 点 睛 】充 要 条 件 的 三 种 判 断 方 法 ：(1)定 义 法 ： 根 据 pq， qp 进
6、 行 判 断 ；(2)集 合 法 ： 根 据 由 p， q 成 立 的 对 象 构 成 的 集 合 之 间 的 包 含 关 系 进 行 判 断 ；(3)等 价 转 化 法 ： 根 据 一 个 命 题 与 其 逆 否 命 题 的 等 价 性 ， 把 要 判 断 的 命 题 转 化 为 其 逆 否 命 题 进 行 判 断 这 个 方 法 特 别 适 合 以 否 定 形 式 给 出 的 问 题 4 阅 读 下 边 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 输 出 S 的 值 为 A 5 B 8 C 24 D 29【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】根 据 程 序 框 图 ，
7、逐 步 写 出 运 算 结 果 。【 详 解 】1, 2S i 11, 1 2 2 5, 3j S i ， 8, 4S i ， 试 卷 第 4页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 结 束 循 环 ， 故 输 出 8。故 选 B。【 点 睛 】解 答 本 题 要 注 意 要 明 确 循 环 体 终 止 的 条 件 是 什 么 ， 会 判 断 什 么 时 候 终 止 循 环 体 5 已 知 log， log， 篸篸， 则 的 大 小 关 系 为A. B. C. D. 【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】 利 用 利 用 等 中 间 值 区 分 各 个
8、 数 值 的 大 小 。【 详 解 】 篸篸 篸 ；log log ； log log 。故 。故 选 A。【 点 睛 】利 用 指 数 函 数 、 对 数 函 数 的 单 调 性 时 要 根 据 底 数 与 的 大 小 区 别 对 待 。 6 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 准 线 为 .若 与 双 曲 线 的两 条 渐 近 线 分 别 交 于 点 A 和 点 B， 且 （ 为 原 点 ） ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为A. B. C.2 D. 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】只 需 把 用 表 示 出 来 ， 即 可 根 据 双 曲 线 离 心 率 的 定 义
9、 求 得 离 心 率 。【 详 解 】 抛 物 线 的 准 线 的 方 程 为 ，双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ，则 有 ， ， ， 试 卷 第 5页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 。故 选 D。【 点 睛 】本 题 考 查 抛 物 线 和 双 曲 线 的 性 质 以 及 离 心 率 的 求 解 ， 解 题 关 键 是 求 出 AB 的 长 度 。7 已 知 函 数 ( ) sin( )( 0, 0,| | )f x A x A 是 奇 函 数 ， 将 y f x 的 图 像上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2
10、 倍 （ 纵 坐 标 不 变 ） ， 所 得 图 像 对 应 的 函 数 为 g x .若 g x 的 最 小 正 周 期 为 2， 且 24g ， 则 38f （ ） A 2 B 2 C 2 D 2【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】只 需 根 据 函 数 性 质 逐 步 得 出 , ,A 值 即 可 。【 详 解 】因 为 ( )f x 为 奇 函 数 ， (0) sin 0 = , 0,f A k k ， 0 ； 又 1 2( ) sin , 2 ,12 2g x A x T 2 ， 2A ， 又 ( ) 24g ( ) 2sin2f x x ， 3( ) 2.8f 故 选 C
11、。【 点 睛 】本 题 考 查 函 数 的 性 质 和 函 数 的 求 值 问 题 ， 解 题 关 键 是 求 出 函 数 g x 。 8 已 知 函 数 2 , 0 1,( ) 1, 1.x xf x xx 若 关 于 x的 方 程 1( ) ( )4f x x a a R 恰 有两 个 互 异 的 实 数 解 ， 则 a 的 取 值 范 围 为A 5 9,4 4 B 5 9,4 4 C 5 9, 14 4 D 5 9, 14 4 【 答 案 】 D 试 卷 第 6页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 解 析 】【 分 析 】画 出 f x 图 象
12、及 直 线 14y x a ， 借 助 图 象 分 析 。【 详 解 】如 图 ， 当 直 线 14y x a 位 于 B 点 及 其 上 方 且 位 于 A点 及 其 下 方 ，或 者 直 线 14y x a 与 曲 线 1y x 相 切 在 第 一 象 限 时 符 合 要 求 。即 11 24 a ， 即 5 94 4a ，或 者 21 14x ， 得 2x ， 12y ， 即 1 1 22 4 a ， 得 1a ， 所 以 a的 取 值 范 围 是 5 9, 14 4 。故 选 D。【 点 睛 】 根 据 方 程 实 根 个 数 确 定 参 数 范 围 ， 常 把 其 转 化 为 曲 线
13、 交 点 个 数 ， 特 别 是 其 中 一 条 为 直 线时 常 用 此 法 。 试 卷 第 7页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 第 II 卷 （ 非 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题9 i是 虚 数 单 位 ， 则 51 ii 的 值 为 _.【 答 案 】 13【 解 析 】【 分 析 】 先 化 简 复 数 ， 再 利 用 复 数 模 的 定 义 求 所 给 复 数 的 模 。【 详 解 】5 (5 )(1 ) 2 3 131 (1 )(1 )i i i ii i
14、i 。【 点 睛 】本 题 考 查 了 复 数 模 的 运 算 ， 是 基 础 题 .10 设 xR ， 使 不 等 式 23 2 0 x x 成 立 的 x的 取 值 范 围 为 _.【 答 案 】 2( 1, )3 【 解 析 】【 分 析 】通 过 因 式 分 解 ， 解 不 等 式 。【 详 解 】23 2 0 x x ，即 ( 1)(3 2) 0 x x ，即 21 3x ， 故 x的 取 值 范 围 是 2( 1, )3 。【 点 睛 】解 一 元 二 次 不 等 式 的 步 骤 ： (1)将 二 次 项 系 数 化 为 正 数 ； (2)解 相 应 的 一 元 二 次 方 程 ；
15、 (3)根 据 一 元 二 次 方 程 的 根 ， 结 合 不 等 号 的 方 向 画 图 ； (4)写 出 不 等 式 的 解 集 容 易 出 现 的 错误 有 ： 未 将 二 次 项 系 数 化 正 ， 对 应 错 标 准 形 式 ； 解 方 程 出 错 ； 结 果 未 按 要 求 写 成 试 卷 第 8页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 集 合 11 曲 线 cos 2xy x 在 点 0,1 处 的 切 线 方 程 为 _.【 答 案 】 2 2 0 x y 【 解 析 】【 分 析 】利 用 导 数 值 确 定 切 线 斜 率 ， 再 用 点
16、斜 式 写 出 切 线 方 程 。【 详 解 】 1 sin 2y x ， 当 0 x 时 其 值 为 12 ，故 所 求 的 切 线 方 程 为 11 2y x ， 即 2 2 0 x y 。【 点 睛 】曲 线 切 线 方 程 的 求 法 ：(1)以 曲 线 上 的 点 (x0， f(x0)为 切 点 的 切 线 方 程 的 求 解 步 骤 ： 求 出 函 数 f(x)的 导 数 f(x)； 求 切 线 的 斜 率 f(x 0)； 写 出 切 线 方 程 y f(x0) f(x0)(x x0)， 并 化 简 (2)如 果 已 知 点 (x1， y1)不 在 曲 线 上 ， 则 设 出 切
17、点 (x0， y0)， 解 方 程 组 0 01 0 01 0( ) ( )y f xy y f xx x 得切 点 (x0， y0)， 进 而 确 定 切 线 方 程 12 已 知 四 棱 锥 的 底 面 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 侧 棱 长 均 为 5.若 圆 柱 的 一 个 底 面 的 圆周 经 过 四 棱 锥 四 条 侧 棱 的 中 点 ， 另 一 个 底 面 的 圆 心 为 四 棱 锥 底 面 的 中 心 ， 则 该 圆 柱 的 体积 为 _. 【 答 案 】 4.【 解 析 】【 分 析 】根 据 棱 锥 的 结 构 特 点 ， 确 定 所 求 的 圆 柱 的 高 和
18、 底 面 半 径 。【 详 解 】由 题 意 四 棱 锥 的 底 面 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 侧 棱 长 均 为 5， 借 助 勾 股 定 理 ， 可 知 四 试 卷 第 9页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 棱 锥 的 高 为 5 1 2 ， .若 圆 柱 的 一 个 底 面 的 圆 周 经 过 四 棱 锥 四 条 侧 棱 的 中 点 ， 圆 柱 的底 面 半 径 为 12 ， 一 个 底 面 的 圆 心 为 四 棱 锥 底 面 的 中 心 ， 故 圆 柱 的 高 为 1， 故 圆 柱 的 体 积为 21 12 4 。【 点
19、睛 】本 题 主 要 考 查 了 圆 柱 与 四 棱 锥 的 组 合 ， 考 查 了 空 间 想 象 力 ， 属 于 基 础 题 .13 设 0 x ， 0y ， 2 4x y ， 则 ( 1)(2 1)x yxy 的 最 小 值 为 _. 【 答 案 】 92.【 解 析 】【 分 析 】把 分 子 展 开 化 为 ( 1)(2 1) 2 2 1 2 5 52x y xy x y xyxy xy xy xy ， 再 利 用 基 本 不等 式 求 最 值 。【 详 解 】由 2 4x y ， 得 2 4 2 2x y xy ， 得 2xy ( 1)(2 1) 2 2 1 2 5 5 5 92
20、2 2 2x y xy x y xyxy xy xy xy ，等 号 当 且 仅 当 2x y ， 即 2, 1x y 时 成 立 。故 所 求 的 最 小 值 为 92 。【 点 睛 】使 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时 一 定 要 验 证 等 号 是 否 能 够 成 立 。14 在 四 边 形 ABCD中 ， AD BC ， 2 3AB ， 5AD ， 30A ， 点 E在 线 段 CB的 延 长 线 上 ， 且 AE BE ， 则 BD AE _.【 答 案 】 1 .【 解 析 】【 分 析 】建 立 坐 标 系 利 用 向 量 的 坐 标 运 算 分 别 写 出 向 量 而
21、求 解 。 试 卷 第 10页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 详 解 】建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 ， 则 (2 3,0)B ， 5 3 5( , )2 2D 。因 为 AD BC ， 30BAD ， 所 以 150CBA ，因 为 AE BE ， 所 以 30BAE ABE ，所 以 直 线 BE 的 斜 率 为 33 ， 其 方 程 为 3( 2 3)3y x ，直 线 AE 的 斜 率 为 33 ， 其 方 程 为 33y x 。 由 3( 2 3),3 33y xy x 得 3x ， 1y ，所 以 ( 3, 1)E 。
22、所 以 3 5( , ) ( 3, 1) 12 2BD AE 。 【 点 睛 】平 面 向 量 问 题 有 两 大 类 解 法 ： 基 向 量 法 和 坐 标 法 ， 在 便 于 建 立 坐 标 系 的 问 题 中 使 用 坐 标方 法 更 为 方 便 。评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题15 2019年 ， 我 国 施 行 个 人 所 得 税 专 项 附 加 扣 除 办 法 ， 涉 及 子 女 教 育 、 继 续 教 育 、 大病 医 疗 、 住 房 贷 款 利 息 或 者 住 房 租 金 、 赡 养 老 人 等 六 项 专 项 附 加 扣 除 .某 单 位 老 、 中 、青 员 工 分
23、 别 有 72,108,120人 ， 现 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 ， 从 该 单 位 上 述 员 工 中 抽 取 25人 调 查 专 项 附 加 扣 除 的 享 受 情 况 . 试 卷 第 11页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 （ ） 应 从 老 、 中 、 青 员 工 中 分 别 抽 取 多 少 人 ？（ ） 抽 取 的 25 人 中 ， 享 受 至 少 两 项 专 项 附 加 扣 除 的 员 工 有 6人 ， 分 别 记 为, , , , ,A B C D E F .享 受 情 况 如 下 表 ， 其 中 “ ” 表 示 享
24、受 ， “ ” 表 示 不 享 受 .现 从 这6 人 中 随 机 抽 取 2 人 接 受 采 访 .员 工项 目 A B C D E F子 女 教 育 继 续 教 育 大 病 医 疗 住 房 贷 款 利 息 住 房 租 金 赡 养 老 人 （ i） 试 用 所 给 字 母 列 举 出 所 有 可 能 的 抽 取 结 果 ；（ ii） 设 M 为 事 件 “ 抽 取 的 2人 享 受 的 专 项 附 加 扣 除 至 少 有 一 项 相 同 ” ， 求 事 件 M 发 生 的 概 率 .【 答 案 】 （ I） 6 人 ， 9 人 ， 1 0 人 ；（ II） （ i） 见 解 析 ； （ ii
25、） 1115.【 解 析 】【 分 析 】（ I） 根 据 题 中 所 给 的 老 、 中 、 青 员 工 人 数 ， 求 得 人 数 比 ， 利 用 分 层 抽 样 要 求 每 个 个 体被 抽 到 的 概 率 是 相 等 的 ， 结 合 样 本 容 量 求 得 结 果 ；（ II） （ I） 根 据 6 人 中 随 机 抽 取 2 人 ， 将 所 有 的 结 果 一 一 列 出 ； （ ii） 根 据 题 意 ， 找 出 满 足 条 件 的 基 本 事 件 ， 利 用 公 式 求 得 概 率 .【 详 解 】（ I） 由 已 知 ， 老 、 中 、 青 员 工 人 数 之 比 为 6:9:
26、10，由 于 采 取 分 层 抽 样 的 方 法 从 中 抽 取 2 5 位 员 工 ，因 此 应 从 老 、 中 、 青 员 工 中 分 别 抽 取 6 人 ， 9 人 ， 1 0 人 .（ II） （ i） 从 已 知 的 6 人 中 随 机 抽 取 2 人 的 所 有 可 能 结 果 为 试 卷 第 12页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 , , , , , , , , ,A B A C A D A E A F , , , , , , , ,B C B D B E B F , , , , , ,C D C E C F , , , , , ,D E
27、D F E F ,共 1 5 种 ；（ ii） 由 表 格 知 ， 符 合 题 意 的 所 有 可 能 结 果 为 , , , , , , ,A B A D A E A F , , , , , ,B D B E B F , , , ,C E C F , , , ,D F E F ,共 1 1 种 ，所 以 ， 事 件 M 发 生 的 概 率 11( ) 15P M .【 点 睛 】本 小 题 主 要 考 查 随 机 抽 样 、 用 列 举 法 计 算 随 机 事 件 所 含 的 基 本 事 件 数 、 古 典 概 型 即 其 概 率 计 算 公 式 等 基 本 知 识 ， 考 查 运 用 概
28、率 知 识 解 决 简 单 实 际 问 题 的 能 力 .16 在 ABC 中 ， 内 角 A B C， ， 所 对 的 边 分 别 为 , ,a b c.已 知 2b c a ，3 sin 4 sinc B a C .（ ） 求 cosB的 值 ；（ ） 求 sin 2 6B 的 值 .【 答 案 】 ( ) 14 ； ( ) 3 5 716 .【 解 析 】【 分 析 】( )由 题 意 结 合 正 弦 定 理 得 到 , ,a b c的 比 例 关 系 ， 然 后 利 用 余 弦 定 理 可 得 cosB的 值( )利 用 二 倍 角 公 式 首 先 求 得 sin2 ,cos2B B
29、的 值 ， 然 后 利 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 可 得sin 2 6B 的 值 . 【 详 解 】( )在 ABC 中 ， 由 正 弦 定 理 sin sinb cB C 得 sin sinb C c B ，又 由 3 sin 4 sinc B a C ， 得 3 sin 4 sinb C a C ， 即 3 4b a .又 因 为 2b c a ， 得 到 43b a ， 23c a . 试 卷 第 13页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 由 余 弦 定 理 可 得 2 2 2cos 2a c bB ac 2 2 24 16 19
30、 92 42 3a a aa a .( )由 ( )可 得 2 15sin 1 cos 4B B ，从 而 15sin2 2sin cos 8B B B ， 2 2 7cos2 cos sin 8B B B .故 15 3 7 1 3 5 7sin 2 sin2 cos cos2 sin6 6 6 8 2 8 2 16B B B .【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 ， 两 角 和 的 正 弦 公 式 ， 二 倍 角 的 正 弦 与 余 弦 公 式 ，以 及 正 弦 定 理 余 弦 定 理 等 基 础 知 识 .考 查 计 算 求 解 能 力 .
31、17 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD为 平 行 四 边 形 ， PCD 为 等 边 三 角形 ， 平 面 PAC 平 面 PCD， PA CD ， 2CD ， 3AD ， （ ） 设 G H， 分 别 为 PB AC， 的 中 点 ， 求 证 ： GH 平 面 PAD；（ ） 求 证 ： PA平 面 PCD；（ ） 求 直 线 AD与 平 面 PAC 所 成 角 的 正 弦 值 .【 答 案 】 （ I） 见 解 析 ； （ II） 见 解 析 ； （ III） 33 .【 解 析 】【 分 析 】（ I） 连 接 BD， 结 合 平 行 四 边 形 的 性
32、 质 ， 以 及 三 角 形 中 位 线 的 性 质 ， 得 到 GH PD ， 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 证 得 结 果 ；（ II） 取 棱 PC的 中 点 N ， 连 接 DN ， 依 题 意 ， 得 DN PC ， 结 合 面 面 垂 直 的 性 质 以及 线 面 垂 直 的 性 质 得 到 DN PA ， 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 得 结 果 ；（ III） 利 用 线 面 角 的 平 面 角 的 定 义 得 到 DAN 为 直 线 AD与 平 面 PAC 所 成 的 角 ， 放 在 试 卷 第 14页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在
33、装订 线内答题 内 装 订 线 直 角 三 角 形 中 求 得 结 果 .【 详 解 】（ I） 证 明 ： 连 接 BD， 易 知 AC BD H ， BH DH ，又 由 BG PG ， 故 GH PD ， 又 因 为 GH 平 面 PAD， PD平 面 PAD，所 以 GH 平 面 PAD .（ II） 证 明 ： 取 棱 PC的 中 点 N ， 连 接 DN ， 依 题 意 ， 得 DN PC ，又 因 为 平 面 PAC 平 面 PCD， 平 面 PAC 平 面 PCD PC ，所 以 DN 平 面 PAC ， 又 PA平 面 PAC ， 故 DN PA ，又 已 知 PA CD ，
34、 CD DN D ，所 以 PA平 面 PCD.（ III） 解 ： 连 接 AN ， 由 （ II） 中 DN 平 面 PAC ，可 知 DAN 为 直 线 AD与 平 面 PAC 所 成 的 角 . 因 为 PCD 为 等 边 三 角 形 ， 2CD 且 N 为 PC的 中 点 ，所 以 3DN ， 又 DN AN ，在 Rt AND 中 ， 3sin 3DNDAN AD ，所 以 ， 直 线 AD与 平 面 PAC 所 成 角 的 正 弦 值 为 33 .【 点 睛 】本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 平 面 平 行 、 直 线 与 平 面 垂 直 、 平 面 与 平 面 垂 直
35、、 直 线 与 平 面 所 成 的 角 等 基 础 知 识 ， 考 查 空 间 想 象 能 力 和 推 理 能 力 .18 设 na 是 等 差 数 列 ， nb 是 等 比 数 列 ， 公 比 大 于 0， 已 知 1 1 3a b ， 2 3b a ，3 24 3b a .（ ） 求 na 和 nb 的 通 项 公 式 ； 试 卷 第 15页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 （ ） 设 数 列 nc 满 足 21, ,n n nc b n 为 奇 数为 偶 数 求 *1 1 2 2 2 2n na c a c a c n N .【 答 案
36、】 （ I） 3na n ， 3nnb ；（ II） 2 2(2 1)3 6 9( )2nn n n N 【 解 析 】【 分 析 】（ I） 首 先 设 出 等 差 数 列 的 公 差 ， 等 比 数 列 的 公 比 ， 根 据 题 意 ， 列 出 方 程 组 ， 求 得 33dq ， 进 而 求 得 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 通 项 公 式 ；（ II） 根 据 题 中 所 给 的 nc 所 满 足 的 条 件 ， 将 1 1 2 2 2 2n na c a c a c 表 示 出 来 ， 之 后 应用 分 组 求 和 法 ， 结 合 等 差 数 列 的 求 和 公 式 ，
37、以 及 错 位 相 减 法 求 和 ， 最 后 求 得 结 果 .【 详 解 】（ I） 解 ： 设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d ， 等 比 数 列 nb 的 公 比 为 q，依 题 意 ， 得 23 3 23 15 4q dq d ， 解 得 33dq ，故 3 3( 1) 3na n n ， 13 3 3n nnb ， 所 以 ， na 的 通 项 公 式 为 3na n ， nb 的 通 项 公 式 为 3nnb ；（ II） 1 1 2 2 2 2n na c a c a c 1 3 5 2 1 2 1 4 2 6 3 2( ) ( )n n na a a a a b a
38、 b a b a b 1 2 3( 1) 3 6 (6 3 12 3 18 3 6 3 )2 nn nn n 2 1 23 6 (1 3 2 3 3 )nn n ，记 1 21 3 2 3 3nnT n 则 2 3 13 1 3 2 3 3nnT n 得 ， 2 3 12 3 3 3 3 3n nnT n 113(1 3 ) (2 1)3 331 3 2n nn nn ， 试 卷 第 16页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 所 以 12 21 1 2 2 2 2 (2 1)3 33 6 3 3 2 nn n n na c a c a c n T n 2
39、2(2 1)3 6 9( )2nn n n N .【 点 睛 】本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列 、 等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 前 n项 和 公 式 等 基 础 知 识 ， 考 查 数 列求 和 的 基 本 方 法 和 运 算 求 解 能 力 ， 属 于 中 档 题 目 .19 设 椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b 的 左 焦 点 为 F ， 左 顶 点 为 A， 上 顶 点 为 B.已 知3| | 2| |OA OB （ O为 原 点 ） . （ ） 求 椭 圆 的 离 心 率 ；（ ） 设 经 过 点 F 且 斜 率 为 34的 直 线 l与 椭
40、 圆 在 x轴 上 方 的 交 点 为 P ， 圆 C同 时 与 x轴和 直 线 l相 切 ， 圆 心 C在 直 线 4x 上 ， 且 OC AP ， 求 椭 圆 的 方 程 .【 答 案 】 （ I） 12 ； （ II） 2 2 116 12x y .【 解 析 】【 分 析 】 （ I） 根 据 题 意 得 到 3 2a b ， 结 合 椭 圆 中 , ,a b c的 关 系 ， 得 到 2 2 23( )2a a c ， 化简 得 出 12ca ， 从 而 求 得 其 离 心 率 ；（ II） 结 合 （ I） 的 结 论 ， 设 出 椭 圆 的 方 程 2 22 2 14 3x yc
41、 c ， 写 出 直 线 的 方 程 ， 两 个 方 程 联立 ， 求 得 交 点 的 坐 标 ， 利 用 直 线 与 圆 相 切 的 条 件 ， 列 出 等 量 关 系 式 ， 求 得 2c ， 从 而得 到 椭 圆 的 方 程 .【 详 解 】（ I） 解 ： 设 椭 圆 的 半 焦 距 为 c， 由 已 知 有 3 2a b ， 又 由 2 2 2a b c ， 消 去 b得 2 2 23( )2a a c ， 解 得 12ca ，所 以 ， 椭 圆 的 离 心 率 为 12 . 试 卷 第 17页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 （ I
42、I） 解 ： 由 （ I） 知 ， 2 , 3a c b c ， 故 椭 圆 方 程 为 2 22 2 14 3x yc c ，由 题 意 ， ( ,0)F c ， 则 直 线 l的 方 程 为 3( )4y x c ，点 P 的 坐 标 满 足 2 22 2 14 33( )4x yc cy x c ， 消 去 y并 化 简 ， 得 到 2 27 6 13 0 x cx c ，解 得 1 2 13, 7cx c x ，代 入 到 l的 方 程 ， 解 得 1 23 9,2 14y c y c ， 因 为 点 P 在 x轴 的 上 方 ， 所 以 3( , )2P c c ，由 圆 心 在 直
43、 线 4x 上 ， 可 设 (4, )C t ， 因 为 OC AP ，且 由 （ I） 知 ( 2 ,0)A c ， 故 324 2ct c c ， 解 得 2t ，因 为 圆 C与 x轴 相 切 ， 所 以 圆 的 半 径 为 2 ，又 由 圆 C与 l相 切 ， 得 23(4 ) 24 231 ( )4c ， 解 得 2c ， 所 以 椭 圆 的 方 程 为 ： 2 2 116 12x y .【 点 睛 】本 小 题 主 要 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程 和 几 何 性 质 、 直 线 方 程 、 圆 等 基 础 知 识 ， 考 查 用 代 数 方法 研 究 圆 锥 曲 线 的 性
44、 质 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ， 以 及 用 方 程 思 想 、 数 形 结 合 思 想 解 决 问 题的 能 力 .20 设 函 数 ( ) ln ( 1) xf x x a x e ， 其 中 a R .（ ） 若 0a ， 讨 论 f x 的 单 调 性 ； （ ） 若 10 a e ，（ i） 证 明 f x 恰 有 两 个 零 点（ ii） 设 0 x 为 f x 的 极 值 点 ， 1x 为 f x 的 零 点 ， 且 1 0 x x ， 证 明 0 13 2x x .【 答 案 】 （ I） ( )f x 在 (0, ) 内 单 调 递 增 .； 试 卷 第 18页
45、， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 （ II） （ i） 见 解 析 ； （ ii） 见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】（ I） ； 首 先 写 出 函 数 的 定 义 域 ， 对 函 数 求 导 ， 判 断 导 数 在 对 应 区 间 上 的 符 号 ， 从 而 得 到结 果 ；（ II） （ i） 对 函 数 求 导 ， 确 定 函 数 的 单 调 性 ， 求 得 极 值 的 符 号 ， 从 而 确 定 出 函 数 的 零 点个 数 ， 得 到 结 果 ；（ ii） 首 先 根 据 题 意 ， 列 出 方 程 组 ， 借 助 于 中 介 函 数
46、， 证 得 结 果 .【 详 解 】 （ I） 解 ： 由 已 知 ， ( )f x 的 定 义 域 为 (0, ) ，且 21 1( ) ( 1) xx x ax ef x ae a x ex x ，因 此 当 0a 时 ， 21 0 xax e ， 从 而 ( ) 0f x ，所 以 ( )f x 在 (0, ) 内 单 调 递 增 .（ II） 证 明 ： （ i） 由 （ I） 知 ， 21( ) xax ef x x ，令 2( ) 1 xg x ax e ， 由 10 a e ， 可 知 ( )g x 在 (0, ) 内 单 调 递 减 ， 又 (1) 1 0g ae ， 且 2 21 1 1 1(ln ) 1 (ln ) 1 (ln ) 0g aa a a a ，故 ( ) 0g x 在 (0, ) 内 有 唯 一 解 ，从 而 ( ) 0f x 在 (0, ) 内 有 唯 一 解 ， 不 妨 设 为 0 x ，则 0 11 lnx a ， 当 0(0, )x x 时 ， 0(
