1、2018年 福 建 省 中 考 真 题 数 学 (A 卷 )一 、 选 择 题 (每 题 只 有 一 个 正 确 选 项 ， 本 题 共 10小 题 ， 每 题 4分 ， 共 40分 .在 每 小 题 给 出 的四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.在 实 数 |-3|， -2， 0， 中 ， 最 小 的 数 是 ( )A.|-3|B.-2C.0D.解 析 ： 直 接 利 用 利 用 绝 对 值 的 性 质 化 简 ， 进 而 比 较 大 小 得 出 答 案 .在 实 数 |-3|， -2， 0， 中 ， |-3|=3， 则 -2 0 |-3| ，故 最
2、 小 的 数 是 ： -2.答 案 ： B2.几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 是 ( )A.圆 柱 B.三 棱 柱C.长 方 体D.四 棱 锥解 析 ： 根 据 常 见 几 何 体 的 三 视 图 逐 一 判 断 即 可 得 .A、 圆 柱 的 主 视 图 和 左 视 图 是 矩 形 ， 但 俯 视 图 是 圆 ， 不 符 合 题 意 ；B、 三 棱 柱 的 主 视 图 和 左 视 图 是 矩 形 ， 但 俯 视 图 是 三 角 形 ， 不 符 合 题 意 ；C、 长 方 体 的 主 视 图 、 左 视 图 及 俯 视 图 都 是 矩 形 ， 符 合 题 意
3、 ；D、 四 棱 锥 的 主 视 图 、 左 视 图 都 是 三 角 形 ， 而 俯 视 图 是 四 边 形 ， 不 符 合 题 意 .答 案 ： C3.下 列 各 组 数 中 ， 能 作 为 一 个 三 角 形 三 边 边 长 的 是 ( )A.1， 1， 2B.1， 2， 4 C.2， 3， 4D.2， 3， 5解 析 ： 根 据 三 角 形 中 任 意 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 任 意 两 边 之 差 小 于 第 三 边 .即 可 求 解 .A、 1+1=2， 不 满 足 三 边 关 系 ， 故 错 误 ；B、 1+2 4， 不 满 足 三 边 关 系 ， 故 错 误 ；
4、C、 2+3 4， 满 足 三 边 关 系 ， 故 正 确 ；D、 2+3=5， 不 满 足 三 边 关 系 ， 故 错 误 .答 案 ： C4.一 个 n 边 形 的 内 角 和 为 360 ， 则 n等 于 ( )A.3B.4C.5D.6解 析 ： n 边 形 的 内 角 和 是 (n-2) 180 ， 如 果 已 知 多 边 形 的 内 角 和 ， 就 可 以 得 到 一 个 关 于 边数 的 方 程 ， 解 方 程 就 可 以 求 n.根 据 n边 形 的 内 角 和 公 式 ， 得 ： (n-2) 180=360，解 得 n=4. 答 案 ： B5.如 图 ， 等 边 三 角 形 A
5、BC中 ， AD BC， 垂 足 为 D， 点 E在 线 段 AD上 ， EBC=45 ， 则 ACE等 于 ( ) A.15B.30C.45D.60解 析 ： 等 边 三 角 形 ABC中 ， AD BC， BD=CD， 即 ： AD是 BC 的 垂 直 平 分 线 ， 点 E在 AD上 ， BE=CE， EBC= ECB， EBC=45 ， ECB=45 ， ABC是 等 边 三 角 形 ， ACB=60 ， ACE= ACB- ECB=15 .答 案 ： A6.投 掷 两 枚 质 地 均 匀 的 骰 子 ， 骰 子 的 六 个 面 上 分 别 刻 有 1 到 6 的 点 数 ， 则 下
6、列 事 件 为 随 机 事件 的 是 ( ) A.两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 大 于 1B.两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 等 于 1C.两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 大 于 12D.两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 等 于 12解 析 ： 根 据 事 先 能 肯 定 它 一 定 会 发 生 的 事 件 称 为 必 然 事 件 ， 事 先 能 肯 定 它 一 定 不 会 发 生 的 事件 称 为 不 可 能 事 件 ， 在 一 定 条 件 下 ， 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 的 事 件 ， 称 为
7、随 机 事 件 进 行 分 析即 可 .A、 两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 大 于 1， 是 必 然 事 件 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 等 于 1， 是 不 可 能 事 件 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 大 于 12， 是 不 可 能 事 件 ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 等 于 12， 是 随 机 事 件 ， 故 此 选 项 正 确 .答 案 ： D 7.已 知 34 m ， 则 以 下 对 m
8、 的 估 算 正 确 的 ( )A.2 m 3B.3 m 4C.4 m 5D.5 m 6解 析 ： 直 接 化 简 二 次 根 式 ， 得 出 3 的 取 值 范 围 ， 进 而 得 出 答 案 . 3 34 2 m ， 1 3 2， 3 m 4.答 案 ： B 8.我 国 古 代 数 学 著 作 增 删 算 法 统 宗 记 载 ” 绳 索 量 竿 ” 问 题 ： “ 一 条 竿 子 一 条 索 ， 索 比 竿子 长 一 托 .折 回 索 子 却 量 竿 ， 却 比 竿 子 短 一 托 “ 其 大 意 为 ： 现 有 一 根 竿 和 一 条 绳 索 ， 用 绳 索去 量 竿 ， 绳 索 比 竿
9、 长 5 尺 ； 如 果 将 绳 索 对 半 折 后 再 去 量 竿 ， 就 比 竿 短 5 尺 .设 绳 索 长 x 尺 ，竿 长 y尺 ， 则 符 合 题 意 的 方 程 组 是 ( )A. 5 512 x yx yB. 5 512 x yx y C. 52 5 x yx yD. 52 5 x yx y 解 析 ： 设 索 长 为 x 尺 ， 竿 子 长 为 y 尺 ， 根 据 “ 索 比 竿 子 长 一 托 ， 折 回 索 子 却 量 竿 ， 却 比 竿 子短 一 托 ” ， 即 可 得 出 关 于 x、 y的 二 元 一 次 方 程 组 ： 5 512 x yx y .答 案 ： A9
10、.如 图 ， AB 是 O的 直 径 ， BC与 O 相 切 于 点 B， AC交 O 于 点 D， 若 ACB=50 ， 则 BOD等 于 ( ) A.40B.50C.60D.80解 析 ： 根 据 切 线 的 性 质 得 到 ABC=90 ， 根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 求 出 A， 根 据 圆 周 角 定 理计 算 即 可 . BC 是 O的 切 线 ， ABC=90 ， A=90 - ACB=40 ，由 圆 周 角 定 理 得 ， BOD=2 A=80 .答 案 ： D10.已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 (a+1)x 2+2bx+(a+1)=0有 两 个
11、相 等 的 实 数 根 ， 下 列 判 断 正 确 的是 ( )A.1一 定 不 是 关 于 x的 方 程 x2+bx+a=0 的 根B.0一 定 不 是 关 于 x的 方 程 x2+bx+a=0 的 根C.1和 -1 都 是 关 于 x的 方 程 x2+bx+a=0的 根D.1和 -1 不 都 是 关 于 x 的 方 程 x2+bx+a=0的 根解 析 ： 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 (a+1)x2+2bx+(a+1)=0有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 2 21 02 4 1 0 Va b a ， b=a+1 或 b=-(a+1).当 b=a+1 时 ， 有 a-b+1=0
12、， 此 时 -1是 方 程 x 2+bx+a=0的 根 ；当 b=-(a+1)时 ， 有 a+b+1=0， 此 时 1 是 方 程 x2+bx+a=0的 根 . a+1 0， a+1 -(a+1)， 1 和 -1 不 都 是 关 于 x 的 方 程 x2+bx+a=0的 根 .答 案 ： D二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6小 题 ， 每 小 题 4分 ， 满 分 24分 ， 请 把 答 案 填 在 答 題 卷 相 应 题 号 的 横线 上 )11.计 算 ： 02 12 .解 析 ： 根 据 零 指 数 幂 ： a 0=1(a 0)进 行 计 算 即 可 .原 式 =1-1=0.答 案
13、 ： 012.某 8 种 食 品 所 含 的 热 量 值 分 别 为 ： 120， 134， 120， 119， 126， 120， 118， 124， 则 这 组数 据 的 众 数 为 .解 析 ： 根 据 众 数 的 定 义 ： 一 组 数 据 中 出 现 次 数 最 多 的 数 据 即 为 众 数 . 这 组 数 据 中 120出 现 次 数 最 多 ， 有 3次 ， 这 组 数 据 的 众 数 为 120.答 案 ： 12013.如 图 ， Rt ABC中 ， ACB=90 ， AB=6， D 是 AB 的 中 点 ， 则 CD= . 解 析 ： 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上
14、 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 解 答 . ACB=90 ， D 为 AB 的 中 点 ， 1 312 2 6 CD AB .答 案 ： 314.不 等 式 组 3 1 32 0 x xx 的 解 集 为 .解 析 ： 先 求 出 每 个 不 等 式 的 解 集 ， 再 求 出 不 等 式 组 的 解 集 即 可 .3 1 32 0 x xx ， 解 不 等 式 得 ： x 1， 解 不 等 式 得 ： x 2， 不 等 式 组 的 解 集 为 x 2.答 案 ： x 2 15.把 两 个 同 样 大 小 的 含 45 角 的 三 角 尺 按 如 图 所 示 的 方 式 放 置 ，
15、其 中 一 个 三 角 尺 的 锐 角 顶点 与 另 一 个 的 直 角 顶 点 重 合 于 点 A， 且 另 三 个 锐 角 顶 点 B， C， D在 同 一 直 线 上 .若 AB= 2 ，则 CD= .解 析 ： 如 图 ， 过 点 A作 AF BC于 F， 在 Rt ABC中 ， B=45 ， BC= 2 AB=2， BF=AF= 22 AB=1， 两 个 同 样 大 小 的 含 45 角 的 三 角 尺 ， AD=BC=2，在 Rt ADF中 ， 根 据 勾 股 定 理 得 ， 2 2 3 DF AD AF ， 1 2 13 3 CD BF DF BC .答 案 ： 3 1 16.如
16、 图 ， 直 线 y=x+m 与 双 曲 线 3y x 相 交 于 A， B 两 点 ， BC x 轴 ， AC y 轴 ， 则 ABC 面积 的 最 小 值 为 .解 析 ： 设 A(a， 3a )， B(b， 3b )， 则 C(a， 3b ). 将 y=x+m 代 入 3y x ， 得 3 x m x ，整 理 ， 得 x2+mx-3=0，则 a+b=-m， ab=-3， (a-b)2=(a+b)2-4ab=m2+12. 12V gABCS AC BC 2 22121 3 33 12121212 26 g ga b a bb a a baba bmm 当 m=0时 ， ABC的 面 积
17、有 最 小 值 6.答 案 ： 6三 、 解 答 题 (本 大 题 共 9小 题 ， 满 分 86分 ， 请 认 真 读 题 ， 冷 静 思 考 解 答 题 应 写 出 必 要 的 文 宇说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ， 请 把 解 题 过 程 写 在 答 题 卷 相 应 题 号 的 位 置 )17.解 方 程 组 ： 14 10 x yx y . 解 析 ： 方 程 组 利 用 加 减 消 元 法 求 出 解 即 可 .答 案 ： 14 10 x yx y ， - 得 ： 3x=9，解 得 ： x=3，把 x=3代 入 得 ： y=-2，则 方 程 组 的 解 为 3 2
18、xy .18.如 图 ， Y ABCD的 对 角 线 AC， BD相 交 于 点 O， EF过 点 O 且 与 AD， BC 分 别 相 交 于 点 E， F.求 证 ： OE=OF. 解 析 ： 由 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 可 得 OA=OC， AD BC， 继 而 可 证 得 AOE COF(ASA)，则 可 证 得 结 论 .答 案 ： 证 明 ： 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， OA=OC， AD BC， OAE= OCF，在 OAE和 OCF中 ， OAE OCFOA OCAOE COF ， AOE COF(ASA)， OE=OF. 19.先
19、 化 简 ， 再 求 值 ： 22 1 11 m mm m ， 其 中 13 m .解 析 ： 根 据 分 式 的 减 法 和 除 法 可 以 化 简 题 目 中 的 式 子 ， 然 后 将 m 的 值 代 入 即 可 解 答 本 题 .答 案 ： 22 1 1 2 1 11 1 1 1 1 1 g gm m m m m m m mm m m m m m m m m ，当 13 m 时 ， 原 式 1 1 333 1 1 3 .20.求 证 ： 相 似 三 角 形 对 应 边 上 的 中 线 之 比 等 于 相 似 比 . 要 求 ：(1)根 据 给 出 的 ABC及 线 段 A B ， A
20、( A = A)， 以 线 段 A B 为 一 边 ， 在 给 出 的图 形 上 用 尺 规 作 出 A B C ， 使 得 A B C ABC， 不 写 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 .解 析 ： (1)作 A B C= ABC， 即 可 得 到 A B C .答 案 ： (1)如 图 所 示 ， A B C 即 为 所 求 . (2)在 已 有 的 图 形 上 画 出 一 组 对 应 中 线 ， 并 据 此 写 出 已 知 、 求 证 和 证 明 过 程 .解 析 ： (2)依 据 D 是 AB 的 中 点 ， D 是 A B 的 中 点 ， 即 可 得 到 A D A BAD AB
21、 ， 根 据 ABC A B C ， 即 可 得 到 A B ACAB AC ， A = A， 进 而 得 出 A C D ACD， 可 得 C D AC kCD AC .答 案 ： (2)已 知 ， 如 图 ， ABC A B C ， 则 A B BC AC kAB BC AC ， D是 AB的 中 点 ，D 是 A B 的 中 点 .求 证 ： C D kCD . 证 明 ： D是 AB的 中 点 ， D 是 A B 的 中 点 ， AD= 12 AB， A D = 12 A B ， 1212 ABAD ABAD ABAB ， ABC A B C ， A B ACAB AC ， A = A
22、， A D ACAD AC ， A = A， A C D ACD， C D AC kCD AC .21.如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C=90 ， AB=10， AC=8.线 段 AD 由 线 段 AB绕 点 A 按 逆 时 针 方 向旋 转 90 得 到 ， EFG由 ABC沿 CB 方 向 平 移 得 到 ， 且 直 线 EF过 点 D. (1)求 BDF的 大 小 .解 析 ： (1)由 旋 转 的 性 质 得 ， AD=AB=10， ABD=45 ， 再 由 平 移 的 性 质 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1) 线 段 AD是 由 线 段 AB 绕 点 A 按 逆 时
23、 针 方 向 旋 转 90 得 到 ， DAB=90 ， AD=AB=10， ABD=45 ， EFG是 ABC沿 CB 方 向 平 移 得 到 ， AB EF， BDF= ABD=45 .(2)求 CG 的 长 .解 析 ： (2)先 判 断 出 ADE= ACB， 进 而 得 出 ADE ACB， 得 出 比 例 式 求 出 AE， 即 可 得 出结 论 .答 案 ： (2)由 平 移 的 性 质 得 ， AE CG， AB EF， DEA= DFC= ABC， ADE+ DAB=180 ， DAB=90 ， ADE=90 ， ACB=90 ， ADE= ACB， ADE ACB， AD
24、AEAC AB ， AB=8， AB=AD=10， AE=12.5，由 平 移 的 性 质 得 ， CG=AE=12.5.22.甲 、 乙 两 家 快 递 公 司 揽 件 员 (揽 收 快 件 的 员 工 )的 日 工 资 方 案 如 下 ： 甲 公 司 为 “ 基 本 工 资 +揽 件 提 成 ” ， 其 中 基 本 工 资 为 70元 /日 ， 每 揽 收 一 件 提 成 2元 ；乙 公 司 无 基 本 工 资 ， 仅 以 揽 件 提 成 计 算 工 资 .若 当 日 揽 件 数 不 超 过 40， 每 件 提 成 4元 ； 若 当日 搅 件 数 超 过40， 超 过 部 分 每 件 多
25、提 成 2 元 .如 图 是 今 年 四 月 份 甲 公 司 揽 件 员 人 均 揽 件 数 和 乙 公 司 搅 件 员 人 均 揽 件 数 的 条 形 统 计 图 ： (1)现 从 今 年 四 月 份 的 30天 中 随 机 抽 取 1天 ， 求 这 一 天 甲 公 司 揽 件 员 人 均 揽 件 数 超 过 40(不含 40)的 概 率 .解 析 ： (1)根 据 概 率 公 式 计 算 可 得 .答 案 ： (1)因 为 今 年 四 月 份 甲 公 司 揽 件 员 人 均 揽 件 数 超 过 40 的 有 4天 ，所 以 甲 公 司 揽 件 员 人 均 揽 件 数 超 过 40(不 含
26、40)的 概 率 为 4 230 15 P .答 ： 甲 公 司 揽 件 员 人 均 揽 件 数 超 过 40(不 含 40)的 概 率 为 215 .(2)根 据 以 上 信 息 ， 以 今 年 四 月 份 的 数 据 为 依 据 ， 并 将 各 公 司 揽 件 员 的 人 均 揽 件 数 视 为 该 公司 各 揽 件 员 的 揽 件 数 ， 解 决 以 下 问 题 ： 估 计 甲 公 司 各 揽 件 员 的 日 平 均 件 数 . 小 明 拟 到 甲 、 乙 两 家 公 司 中 的 一 家 应 聘 揽 件 员 ， 如 果 仅 从 工 资 收 入 的 角 度 考 虑 ， 请 利 用 所 学
27、的 统 计 知 识 帮 他 选 择 ， 井 说 明 理 由 .解 析 ： (2)分 别 根 据 平 均 数 的 定 义 及 其 意 义 解 答 可 得 .答 案 ： (2) 甲 公 司 各 揽 件 员 的 日 平 均 件 数 为38 13 39 9 40 4 41 3 42 1 3930 (件 ).答 ： 甲 公 司 各 揽 件 员 的 日 平 均 件 数 为 39件 . 甲 公 司 揽 件 员 的 日 平 均 工 资 为 70+39 2=148 元 ，乙 公 司 揽 件 员 的 日 平 均 工 资 为 38 7 39 7 40 8 5 3 4 1 5 2 3 630 2 7 1 7 1 5
28、2 340 4 6 159.430 30 (元 )， 因 为 159.4 148，所 以 仅 从 工 资 收 入 的 角 度 考 虑 ， 小 明 应 到 乙 公 司 应 聘 .23.如 图 ， 在 足 够 大 的 空 地 上 有 一 段 长 为 a米 的 旧 墙 MN， 某 人 利 用 旧 墙 和 木 栏 围 成 一 个 矩 形菜 园 ABCD， 其 中 AD MN， 已 知 矩 形 菜 园 的 一 边 靠 墙 ， 另 三 边 一 共 用 了 100 米 木 栏 . (1)若 a=20， 所 围 成 的 矩 形 菜 园 的 面 积 为 450平 方 米 ， 求 所 利 用 旧 墙 AD的 长
29、.解 析 ： (1)设 AB=xm， 则 BC=(100-2x)m， 利 用 矩 形 的 面 积 公 式 得 到 x(100-2x)=450， 解 方 程得 x1=5， x2=45， 然 后 计 算 100-2x后 与 20进 行 大 小 比 较 即 可 得 到 AD 的 长 .答 案 ： (1)设 AB=xm， 则 BC=(100-2x)m，根 据 题 意 得 x(100-2x)=450， 解 得 x1=5， x2=45，当 x=5时 ， 100-2x=90 20， 不 合 题 意 舍 去 ；当 x=45时 ， 100-2x=10，答 ： AD的 长 为 10m.(2)求 矩 形 菜 园 A
30、BCD面 积 的 最 大 值 .解 析 ： (2) 设 AD=xm ， 利 用 矩 形 面 积 得 到 1 012 0 S x x ， 配 方 得 到 25012 1250 S x ， 讨 论 ： 当 a 50时 ， 根 据 二 次 函 数 的 性 质 得 S的 最 大 值 为 1250；当 0 a 50时 ， 则 当 0 x a 时 ， 根 据 二 次 函 数 的 性 质 得 S 的 最 大 值 为 250 12a a .答 案 ： (2)设 AD=xm， 21 12 2100 50 1250 S x x x ，当 a 50 时 ， 则 x=50时 ， S 的 最 大 值 为 1250；当
31、0 a 50 时 ， 则 当 0 x a 时 ， S随 x 的 增 大 而 增 大 ， 当 x=a 时 ， S 的 最 大 值 为 250 12a a .综 上 所 述 ， 当 a 50时 ， S 的 最 大 值 为 1250； 当 0 a 50时 ， S 的 最 大 值 为 250 12a a . 24.已 知 四 边 形 ABCD是 O 的 内 接 四 边 形 ， AC 是 O的 直 径 ， DE AB， 垂 足 为 E.(1)延 长 DE交 O 于 点 F， 延 长 DC， FB交 于 点 P， 如 图 1.求 证 ： PC=PB. 解 析 ： (1)先 判 断 出 BC DF， 再 利
32、 用 同 角 的 补 角 相 等 判 断 出 F= PCB， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)如 图 1， AC 是 O的 直 径 ， ABC=90 ， DE AB， DEA=90 ， DEA= ABC， BC DF， F= PBC， 四 边 形 BCDF 是 圆 内 接 四 边 形 ， F+ DCB=180 ， PCB+ DCB=180 ， F= PCB， PBC= PCB， PC=PB.(2)过 点 B 作 BC AD， 垂 足 为 G， BG交 DE 于 点 H， 且 点 O 和 点 A 都 在 DE的 左 侧 ， 如 图 2.若AB= 3 ， DH=1， OHD=80 ，
33、求 BDE的 大 小 .解 析 ： (2)先 判 断 出 四 边 形 DHBC 是 平 行 四 边 形 ， 得 出 BC=DH=1， 再 用 锐 角 三 角 函 数 求 出 ACB=60 ， 进 而 判 断 出 DH=OD， 求 出 ODH=20 ， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (2)如 图 2， 连 接 OD， AC是 O 的 直 径 ， ADC=90 ， BG AD， AGB=90 ， ADC= AGB， BG DC， BC DE， 四 边 形 DHBC 是 平 行 四 边 形 ， BC=DH=1，在 Rt ABC中 ， AB= 3 ， tan 3 ABACB BC ， ACB=
34、60 ， BC= 12 AC=OD， DH=OD， 在 等 腰 三 角 形 DOH中 ， DOH= OHD=80 ， ODH=20 ，设 DE 交 AC于 N， BC DE， ONH= ACB=60 ， NOH=180 -( ONH+ OHD)=40 ， DOC= DOH- NOH=40 ， OA=OD， OAD= 12 DOC=20 ， CBD= OAD=20 ， BC DE， BDE= CBD=20 . 25.已 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c 过 点 A(0， 2).(1)若 点 ( 2 ， 0)也 在 该 抛 物 线 上 ， 求 a， b 满 足 的 关 系 式 .解 析 ： (
35、1)由 抛 物 线 经 过 点 A 可 求 出 c=2， 再 代 入 ( 2 ， 0)即 可 找 出 2 2 02a b (a 0).答 案 ： (1) 抛 物 线 y=ax 2+bx+c 过 点 A(0， 2)， c=2.又 点 ( 2 ， 0)也 在 该 抛 物 线 上 ， 2 02 2a b c ， 2 2 02a b (a 0).(2)若 该 抛 物 线 上 任 意 不 同 两 点 M(x 1， y1)， N(x2， y2)都 满 足 ： 当 x1 x2 0 时 ， (x1-x2)(y1-y2) 0； 当 0 x1 x2时 ， (x1-x2)(y1-y2) 0.以 原 点 O 为 心
36、， OA 为 半 径 的 圆 与 拋 物 线 的 另 两 个交 点 为 B， C， 且 ABC有 一 个 内 角 为 60 . 求 抛 物 线 的 解 析 式 . 若 点 P 与 点 O关 于 点 A对 称 ， 且 O， M， N三 点 共 线 ， 求 证 ： PA 平 分 MPN.解 析 ： (2) 根 据 二 次 函 数 的 性 质 可 得 出 抛 物 线 的 对 称 轴 为 y 轴 、 开 口 向 下 ， 进 而 可 得 出 b=0，由 抛 物 线 的 对 称 性 可 得 出 ABC为 等 腰 三 角 形 ， 结 合 其 有 一 个 60 的 内 角 可 得 出 ABC为 等边 三 角
37、形 ， 设 线 段 BC 与 y 轴 交 于 点 D， 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 可 得 出 点 C 的 坐 标 ， 再 利 用待 定 系 数 法 可 求 出 a值 ， 此 题 得 解 . 由 的 结 论 可 得 出 点 M 的 坐 标 为 (x 1， -x12+2)、 点 N 的 坐 标 为 (x2， -x22+2)， 由 O、 M、 N 三点 共 线 可 得 出 2 12x x ， 进 而 可 得 出 点 N 及 点 N 的 坐 标 ， 由 点 A、 M 的 坐 标 利 用 待 定 系 数法 可 求 出 直 线 AM的 解 析 式 ， 利 用 一 次 函 数 图 象 上 点
38、的 坐 标 特 征 可 得 出 点 N 在 直 线 PM上 ，进 而 即 可 证 出 PA平 分 MPN. 答 案 ： (2) 如 图 所 示 ： 当 x 1 x2 0 时 ， (x1-x2)(y1-y2) 0， x1-x2 0， y1-y2 0， 当 x 0 时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 ；同 理 ： 当 x 0 时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， 抛 物 线 的 对 称 轴 为 y 轴 ， 开 口 向 下 ， b=0. OA 为 半 径 的 圆 与 拋 物 线 的 另 两 个 交 点 为 B、 C， ABC为 等 腰 三 角 形 ，又 ABC有 一 个 内 角 为 60
39、， ABC为 等 边 三 角 形 .设 线 段 BC 与 y 轴 交 于 点 D， 则 BD=CD， 且 OCD=30 ，又 OB=OC=OA=2， CD=OC cos30 = 3 ， OD=OC sin30 =1.不 妨 设 点 C在 y轴 右 侧 ， 则 点 C 的 坐 标 为 ( 3 ， -1). 点 C在 抛 物 线 上 ， 且 c=2， b=0， 3a+2=-1， a=-1， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-x2+2. 证 明 ： 如 图 所 示 ： 由 可 知 ， 点 M的 坐 标 为 (x1， -x12+2)， 点 N的 坐 标 为 (x2， -x22+2).直 线 OM的
40、 解 析 式 为 y=k1x(k1 0). O、 M、 N三 点 共 线 ， x1 0， x2 0， 且 2 21 21 22 2x xx x ， 1 21 22 2x xx x ， 1 21 2 1 22 x xx x x x ， x 1x2=-2， 即 2 12x x ， 点 N的 坐 标 为 ( 12x ， 214 2x )，设 点 N关 于 y 轴 的 对 称 点 为 点 N ， 则 点 N 的 坐 标 为 ( 12x ， 214 2x )， 点 P是 点 O 关 于 点 A 的 对 称 点 ， OP=2OA=4， 点 P的 坐 标 为 (0， 4).设 直 线 PM 的 解 析 式 为 y=k 2x+4， 点 M的 坐 标 为 (x， -x12+2)， -x12+2=k2x1+4， 212 1 2xk x ， 直 线 PM 的 解 析 式 为 21 1 2 4xy x . 2 22 1 11 2 21 1 1 12 2 4 2 2 44 2x xx x x x x ， 点 N 在 直 线 PM 上 ， PA 平 分 MPN.
