1、试 卷 第 1页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标)试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I 卷 （ 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分 一 、 单 选 题1 已 知 集 合 21,0,1,2
2、 1A B x x， ， 则 A B （ ）A 1,0,1 B 0,1 C 1,1 D 0,1,2【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】先 求 出 集 合 B再 求 出 交 集 . 【 详 解 】2 1,x 1 1x ， 1 1B x x ， 则 1,0,1A B ，故 选 A【 点 睛 】本 题 考 查 了 集 合 交 集 的 求 法 ， 是 基 础 题 .2 若 (1 i) 2iz ， 则 z（ ）A 1 i B 1+i C 1 i D 1+i 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】根 据 复 数 运 算 法 则 求 解 即 可 . 试 卷 第 2页 ， 总 21页 外 装
3、 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 详 解 】 ( )(2i 2i1 i 1 i1 i 1 i 1 i)( )z 故 选 D【 点 睛 】本 题 考 查 复 数 的 商 的 运 算 ， 渗 透 了 数 学 运 算 素 养 采 取 运 算 法 则 法 ， 利 用 方 程 思 想 解 题 3 西 游 记 三 国 演 义 水 浒 传 和 红 楼 梦 是 中 国 古 典 文 学 瑰 宝 ， 并 称 为 中 国 古典 小 说 四 大 名 著 .某 中 学 为 了 解 本 校 学 生 阅 读 四 大 名 著 的 情 况 ， 随 机 调 查 了 100 学 生 ，其 中 阅 读 过 西 游
4、 记 或 红 楼 梦 的 学 生 共 有 90位 ， 阅 读 过 红 楼 梦 的 学 生 共 有80位 ， 阅 读 过 西 游 记 且 阅 读 过 红 楼 梦 的 学 生 共 有 60位 ， 则 该 校 阅 读 过 西 游记 的 学 生 人 数 与 该 校 学 生 总 数 比 值 的 估 计 值 为 （ ） A.言 B.言 C.言 D.言【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】根 据 题 先 求 出 阅 读 过 西 游 记 的 人 数 ， 进 而 得 解 .【 详 解 】由 题 意 得 ， 阅 读 过 西 游 记 的 学 生 人 数 为 90-80+60=70， 则 其 与 该 校 学
5、生 人 数 之 比 为70100=0.7 故 选 C【 点 睛 】 本 题 考 查 抽 样 数 据 的 统 计 ， 渗 透 了 数 据 处 理 和 数 学 运 算 素 养 采 取 去 重 法 ， 利 用 转 化 与化 归 思 想 解 题 4 （ 1+2x2 ） （ 1+x） 4的 展 开 式 中 x3的 系 数 为A 12 B 16 C 20 D 24【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】本 题 利 用 二 项 展 开 式 通 项 公 式 求 展 开 式 指 定 项 的 系 数 【 详 解 】 由 题 意 得 x3的 系 数 为 3 14 42 4 8 12C C ， 故 选 A【 点
6、 睛 】本 题 主 要 考 查 二 项 式 定 理 ， 利 用 展 开 式 通 项 公 式 求 展 开 式 指 定 项 的 系 数 试 卷 第 3页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 5 已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 na 的 前 4 项 和 为 15， 且 5 3 13 4a a a ， 则 3a （ ）A 16 B 8 C 4 D 2【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】利 用 方 程 思 想 列 出 关 于 1 ,a q的 方 程 组 ， 求 出 1 ,a q， 再 利 用 通 项 公 式 即 可 求 得 3a
7、 的 值 【 详 解 】设 正 数 的 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q， 则 2 31 1 1 14 21 1 1 15,3 4a aq aq aqaq aq a ，解 得 1 1,2aq ， 23 1 4a aq ， 故 选 C【 点 睛 】本 题 利 用 方 程 思 想 求 解 数 列 的 基 本 量 ， 熟 练 应 用 公 式 是 解 题 的 关 键 。6 已 知 曲 线 e ln 在 点 处 的 切 线 方 程 为 ， 则 （ ）A. B. C. D. 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】通 过 求 导 数 ， 确 定 得 到 切 线 斜 率 的 表 达 式 ， 求
8、 得 ， 将 点 的 坐 标 代 入 直 线 方 程 ， 求 得 【 详 解 】详 解 ： ln ， 将 代 入 得 ， 故 选 D【 点 睛 】本 题 关 键 得 到 含 有 a， b 的 等 式 ， 利 用 导 数 几 何 意 义 和 点 在 曲 线 上 得 到 方 程 关 系 。7 函 数 322 2x xxy 在 6,6 的 图 像 大 致 为 试 卷 第 4页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 A BC D【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】由 分 子 、 分 母 的 奇 偶 性 ， 易 于 确 定 函 数 为 奇 函 数 ， 由 (4
9、)f 的 近 似 值 即 可 得 出 结 果 【 详 解 】 设 32( ) 2 2x xxy f x ， 则 3 32( ) 2( ) ( )2 2 2 2x x x xx xf x f x ， 所 以 ( )f x 是 奇函 数 ， 图 象 关 于 原 点 成 中 心 对 称 ， 排 除 选 项 C 又 34 42 4(4) 0,2 2f 排 除 选 项 D；36 62 6(6) 72 2f ， 排 除 选 项 A， 故 选 B【 点 睛 】本 题 通 过 判 断 函 数 的 奇 偶 性 ， 缩 小 考 察 范 围 ， 通 过 计 算 特 殊 函 数 值 ， 最 后 做 出 选 择 本题
10、较 易 ， 注 重 了 基 础 知 识 、 基 本 计 算 能 力 的 考 查 8 如 图 ， 点 为 正 方 形 的 中 心 ， 为 正 三 角 形 ， 平 面 平 面 是 线 段 的 中 点 ， 则 （ ） 试 卷 第 5页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 A. ， 且 直 线 是 相 交 直 线B. ， 且 直 线 是 相 交 直 线C. ， 且 直 线 是 异 面 直 线D. ， 且 直 线 是 异 面 直 线 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】利 用 垂 直 关 系 ， 再 结 合 勾 股 定 理 进 而 解 决 问 题
11、【 详 解 】如 图 所 示 ， 作 于 ， 连 接 ， 过 作 于 连 ， 平 面 平 面 平 面 ， 平 面 ， 平 面 ， 与 均 为 直 角 三 角 形 设 正 方 形 边 长 为 2， 易 知 ， ， 故 选 B 【 点 睛 】本 题 考 查 空 间 想 象 能 力 和 计 算 能 力 ， 解 答 本 题 的 关 键 是 构 造 直 角 三 角 性 。 试 卷 第 6页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 9 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 为 0.01， 则 输 出 s的 值 等 于 （ ） A 412 2 B
12、 512 2 C 612 2 D 712 2【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】根 据 程 序 框 图 ， 结 合 循 环 关 系 进 行 运 算 ， 可 得 结 果 .【 详 解 】输 入 的 为 0.01，1. 0 1, 0.5 0.01?x S x 不 满 足 条 件 ；1 10 1 , 0.01?2 4S x 不 满 足 条 件 ； 61 1 10 1 , 0.0078125 0.01?2 2 128S x 满 足 条 件输 出 6 7 61 1 1 11 2 1 22 2 2 2S ， 故 选 C【 点 睛 】解 答 本 题 关 键 是 利 用 循 环 运 算 ， 根 据
13、计 算 精 确 度 确 定 数 据 分 析 10 双 曲 线 C： 2 24 2x y =1的 右 焦 点 为 F， 点 P 在 C 的 一 条 渐 近 线 上 ， O 为 坐 标 原 点 ， 若 =PO PF ， 则 PFO 的 面 积 为A 3 24 B 3 22 C 2 2 D 3 2【 答 案 】 A 试 卷 第 7页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 解 析 】【 分 析 】本 题 考 查 以 双 曲 线 为 载 体 的 三 角 形 面 积 的 求 法 ， 渗 透 了 直 观 想 象 、 逻 辑 推 理 和 数 学 运 算素 养 采
14、 取 公 式 法 ， 利 用 数 形 结 合 、 转 化 与 化 归 和 方 程 思 想 解 题 【 详 解 】由 2 22, 2, 6,a b c a b 6, 2PPO PF x ，又 P在 C的 一 条 渐 近 线 上 ， 不 妨 设 为 在 22y x 上 ，1 1 3 3 262 2 2 4 PFO PS OF y ， 故 选 A【 点 睛 】忽 视 圆 锥 曲 线 方 程 和 两 点 间 的 距 离 公 式 的 联 系 导 致 求 解 不 畅 ， 采 取 列 方 程 组 的 方 式 解 出三 角 形 的 高 ， 便 可 求 三 角 形 面 积 11 设 f x 是 定 义 域 为
15、R的 偶 函 数 ， 且 在 0, 单 调 递 减 ， 则 （ ）A 23 323 1log 2 24f f f B 2 33 23 1log 2 24f f f C 2 33 32 12 2 log 4f f f D 2 33 2 3 12 2 log 4f f f 【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 由 已 知 函 数 为 偶 函 数 ， 把 23 323 1log , 2 , 24f f f ， 转 化 为 同 一 个 单 调 区 间 上 ，再 比 较 大 小 【 详 解 】 试 卷 第 8页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 f x 是
16、 R的 偶 函 数 ， 3 31log log 44f f 2 23 30 3 32 23 3 3log 4 log 3 1,1 2 2 2 , log 4 2 2 ，又 f x 在 (0， +)单 调 递 减 ， 2 33 23log 4 2 2f f f ，23 32 3 12 2 log 4f f f ， 故 选 C【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 函 数 的 奇 偶 性 、 单 调 性 ， 解 题 关 键 在 于 利 用 中 间 量 大 小 比 较 同 一 区 间 的 取值 12 设 函 数 f x =sin（ 5x ） ( 0)， 已 知 f x 在 0,2 有 且 仅 有 5
17、个 零点 ， 下 述 四 个 结 论 ： f x 在 （ 0,2） 有 且 仅 有 3个 极 大 值 点 f x 在 （ 0,2） 有 且 仅 有 2个 极 小 值 点 f x 在 （ 0,10 ） 单 调 递 增 的 取 值 范 围 是 12 295 10， )其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是A B C D 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】本 题 为 三 角 函 数 与 零 点 结 合 问 题 ， 难 度 大 ， 通 过 整 体 换 元 得 5 2 65 ， 结 合正 弦 函 数 的 图 像 分 析 得 出 答 案 【 详 解 】当 0,2 x 时 ， ,25 5
18、 5x ， f（ x） 在 0,2 有 且 仅 有 5 个 零 点 ， 试 卷 第 9页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 5 2 65 ， 12 295 10 ， 故 正 确 ，由 5 2 65 ， 知 ,25 5 5x 时 ，令 5 9, ,5 2 2 2x 时 取 得 极 大 值 ， 正 确 ；极 小 值 点 不 确 定 ， 可 能 是 2 个 也 可 能 是 3 个 ， 不 正 确 ；因 此 由 选 项 可 知 只 需 判 断 是 否 正 确 即 可 得 到 答 案 ，当 0,10 x 时 ， ( 2),5 5 10 x ， 若 f（ x
19、） 在 0,10 单 调 递 增 ，则 ( 2)10 2 ， 即 3 ， 12 295 10 ， 故 正 确 故 选 ： D【 点 睛 】极 小 值 点 个 数 动 态 的 ， 易 错 ， 正 确 性 考 查 需 认 真 计 算 ， 易 出 错 ， 本 题 主 要 考 查 了 整 体换 元 的 思 想 解 三 角 函 数 问 题 ， 属 于 中 档 题 试 卷 第 10页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 第 II 卷 （ 非 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题13 已 知 ,a b 为
20、单 位 向 量 ， 且 a b =0， 若 2 5c a b ， 则 cos ,a c _.【 答 案 】 23 .【 解 析 】【 分 析 】根 据 2| |c 结 合 向 量 夹 角 公 式 求 出 | |c ， 进 一 步 求 出 结 果 . 【 详 解 】因 为 2 5c a b ， 0a b ，所 以 22 5a c a a b 2 ，2 2 2| | 4| | 4 5 5| | 9c a a b b ， 所 以 | | 3c ，所 以 cos ,a c 2 21 3 3a ca c 【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 平 面 向 量 的 数 量 积 、 向 量 的 夹 角 渗 透
21、 了 数 学 运 算 、 直 观 想 象 素 养 使 用 转 化 思 想 得 出 答 案 14 记 Sn为 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 ， 1 2 10 3a a a ， ， 则 105SS _.【 答 案 】 4.【 解 析 】【 分 析 】根 据 已 知 求 出 1a 和 d 的 关 系 ， 再 结 合 等 差 数 列 前 n 项 和 公 式 求 得 结 果 .【 详 解 】 因 2 13a a ， 所 以 1 13a d a ， 即 12a d ，所 以 105SS 1 111 10 910 1002 45 4 255 2a d aaa d 试 卷 第 11页 ， 总 21页
22、外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 性 质 、 基 本 量 的 计 算 渗 透 了 数 学 运 算 素 养 使 用 转 化 思想 得 出 答 案 15 设 1 2F F， 为 椭 圆 2 2: + 136 20 x yC 的 两 个 焦 点 ， M 为 C上 一 点 且 在 第 一 象 限 .若1 2MFF 为 等 腰 三 角 形 ， 则 M 的 坐 标 为 _.【 答 案 】 3, 15【 解 析 】【 分 析 】 根 据 椭 圆 的 定 义 分 别 求 出 1 2MF MF、 ， 设 出 M 的 坐
23、标 ， 结 合 三 角 形 面 积 可 求 出 M 的坐 标 .【 详 解 】由 已 知 可 得 2 2 2 2 236, 20, 16, 4a b c a b c ，1 1 2 2 8MF FF c 2 4MF 设 点 M 的 坐 标 为 0 0 0 0, 0, 0 x y x y ， 则 1 2 1 2 0 01 42MFFS FF y y ，又 1 2 2 2 01 4 8 2 4 15, 4 4 152MFFS y ， 解 得 0 15y ， 220 15 136 20 x ， 解 得 0 3x （ 0 3x 舍 去 ） ，M 的 坐 标 为 3, 15 【 点 睛 】本 题 考 查
24、椭 圆 标 准 方 程 及 其 简 单 性 质 ， 考 查 数 形 结 合 思 想 、 转 化 与 化 归 的 能 力 ， 很 好 的落 实 了 直 观 想 象 、 逻 辑 推 理 等 数 学 素 养 16 学 生 到 工 厂 劳 动 实 践 ， 利 用 3D打 印 技 术 制 作 模 型 .如 图 ， 该 模 型 为 长 方 体1 1 1 1ABCD ABCD 挖 去 四 棱 锥 O EFGH 后 所 得 的 几 何 体 ， 其 中 O为 长 方 体 的 中 心 ，, , ,E F G H 分 别 为 所 在 棱 的 中 点 ， 16cm 4cmAB=BC= , AA = ， 3D打 印 所
25、 用 原 料 密度 为 30.9 /g cm ， 不 考 虑 打 印 损 耗 ， 制 作 该 模 型 所 需 原 料 的 质 量 为 _g. 试 卷 第 12页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 答 案 】 118 8【 解 析 】【 分 析 】根 据 题 意 可 知 模 型 的 体 积 为 四 棱 锥 体 积 与 四 棱 锥 体 积 之 差 进 而 求 得 模 型 的 体 积 ， 再 求 出模 型 的 质 量 . 【 详 解 】由 题 意 得 ， 214 6 4 2 3 122EFGHS cm ，四 棱 锥 OEFG 的 高 3cm， 31 12 3
26、 123O EFGHV cm 又 长 方 体 1 1 1 1ABCD ABCD 的 体 积 为 32 4 6 6 144V cm ，所 以 该 模 型 体 积 为 22 1 144 12 132V V V cm ，其 质 量 为 0.9 132 118.8g 【 点 睛 】 本 题 考 查 几 何 体 的 体 积 问 题 ， 理 解 题 中 信 息 联 系 几 何 体 的 体 积 和 质 量 关 系 ， 从 而 利 用 公式 求 解 评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题17 为 了 解 甲 、 乙 两 种 离 子 在 小 鼠 体 内 的 残 留 程 度 ， 进 行 如 下 试 验 ： 将 2
27、00 只 小 鼠 随 机分 成 ,A B两 组 ， 每 组 100只 ， 其 中 A组 小 鼠 给 服 甲 离 子 溶 液 ， B组 小 鼠 给 服 乙 离 子 溶液 .每 只 小 鼠 给 服 的 溶 液 体 积 相 同 、 摩 尔 浓 度 相 同 .经 过 一 段 时 间 后 用 某 种 科 学 方 法 测 算出 残 留 在 小 鼠 体 内 离 子 的 百 分 比 .根 据 试 验 数 据 分 别 得 到 如 下 直 方 图 ： 试 卷 第 13页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 记 C为 事 件 ： “ 乙 离 子 残 留 在 体 内 的
28、百 分 比 不 低 于 5.5” ， 根 据 直 方 图 得 到 P C 的 估计 值 为 0.70.（ 1） 求 乙 离 子 残 留 百 分 比 直 方 图 中 ,a b的 值 ；（ 2） 分 别 估 计 甲 、 乙 离 子 残 留 百 分 比 的 平 均 值 （ 同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 为 代 表 ） .【 答 案 】 (1) 0.35a ， 0.10b ； (2) 4.05， 6.【 解 析 】【 分 析 】(1)由 ( ) 0.70P C 及 频 率 和 为 1可 解 得 a和 b的 值 ； (2)根 据 公 式 求 平 均 数 .【 详 解 】
29、(1)由 题 得 0.20 0.15 0.70a ， 解 得 0.35a ， 由0.05 0.15 1 ( ) 1 0.70b P C ， 解 得 0.10b . (2)由 甲 离 子 的 直 方 图 可 得 ， 甲 离 子 残 留 百 分 比 的 平 均 值 为0.15 2 0.20 3 0.30 4 0.20 5 0.10 6 0.05 7 4.05 ，乙 离 子 残 留 百 分 比 的 平 均 值 为0.05 3 0.10 4 0.15 5 0.35 6 0.20 7 0.15 8 6 【 点 睛 】本 题 考 查 频 率 分 布 直 方 图 和 平 均 数 ， 属 于 基 础 题 .1
30、8 ABC 的 内 角 , ,A B C的 对 边 分 别 为 , ,a b c， 已 知 sin sin2A Ca b A （ 1） 求 B； （ 2） 若 ABC 为 锐 角 三 角 形 ， 且 1c ， 求 ABC 面 积 的 取 值 范 围 【 答 案 】 (1) 3B ;(2) 3 3( , )8 2 .【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 14页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 (1)利 用 正 弦 定 理 化 简 题 中 等 式 ， 得 到 关 于 B的 三 角 方 程 ， 最 后 根 据 A,B,C均 为 三 角 形内 角 解 得 3
31、B .(2)根 据 三 角 形 面 积 公 式 1 sin2ABCS ac B ， 又 根 据 正 弦 定 理 和 1c得 到 ABCS 关 于 C的 函 数 ， 由 于 VABC是 锐 角 三 角 形 ， 所 以 利 用 三 个 内 角 都 小 于 2 来计 算 C的 定 义 域 ， 最 后 求 解 ( )ABCS C 的 值 域 .【 详 解 】(1)根 据 题 意 sin sin2A Ca b A ， 由 正 弦 定 理 得 sin sin sin sin2A CA B A ， 因 为0 A ， 故 sin 0A ， 消 去 sinA得 sin sin2A C B 。0 B， 0 2A
32、C 因 为 故 2A C B 或 者 2A C B ， 而 根 据 题 意A B C ， 故 2A C B 不 成 立 ， 所 以 2A C B ， 又 因 为 A B C ， 代入 得 3B， 所 以 3B .(2)因 为 VABC是 锐 角 三 角 形 ， 由 （ 1） 知 3B ， A B C 得 到 23A C ，故 0 220 3 2C C ， 解 得 6 2C .又 应 用 正 弦 定 理 sin sina cA C ， 1c ， 由 三 角 形 面 积 公 式 有 ： 2 2 2sin( )1 1 1 sin 3 3sin sin sin2 2 2 sin 4 sinABC Ca
33、 AS ac B c B c Bc C C 2 2sin cos cos sin3 3 2 1 2 3 1 33 3 (sin cos )4 sin 4 3 tan 3 8tan 8C CC C C .又 因 3,tan6 2 3C C ,故 3 3 1 3 38 8 tan 8 2C ，故 3 38 2ABCS . 故 ABCS 的 取 值 范 围 是 3 3( , )8 2【 点 睛 】这 道 题 考 查 了 三 角 函 数 的 基 础 知 识 ， 和 正 弦 定 理 或 者 余 弦 定 理 的 使 用 （ 此 题 也 可 以 用 余 试 卷 第 15页 ， 总 21页外 装 订 线 学校
34、:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 弦 定 理 求 解 ） ， 最 后 考 查 VABC是 锐 角 三 角 形 这 个 条 件 的 利 用 。 考 查 的 很 全 面 ， 是 一 道很 好 的 考 题 .19 图 1是 由 矩 形 ADEB， Rt ABC 和 菱 形 BFGC 组 成 的 一 个 平 面 图 形 ， 其 中 AB=1，BE=BF=2， FBC=60， 将 其 沿 AB， BC 折 起 使 得 BE 与 BF 重 合 ， 连 结 DG， 如 图 2.（ 1） 证 明 ： 图 2中 的 A， C， G， D 四 点 共 面 ， 且 平 面 ABC 平 面 BCGE；（
35、 2） 求 图 2中 的 二 面 角 BCGA 的 大 小 . 【 答 案 】 (1)见 详 解 ； (2) 30.【 解 析 】【 分 析 】(1)因 为 折 纸 和 粘 合 不 改 变 矩 形 ABED， Rt ABC 和 菱 形 BFGC内 部 的 夹 角 ， 所 以/AD BE， /BF CG依 然 成 立 ， 又 因 E和 F 粘 在 一 起 ， 所 以 得 证 .因 为 AB是 平 面BCGE垂 线 ， 所 以 易 证 .(2)在 图 中 找 到 B CG A 对 应 的 平 面 角 ， 再 求 此 平 面 角 即 可 .于 是 考 虑 B关 于 GC的 垂 线 ， 发 现 此 垂
36、 足 与 A的 连 线 也 垂 直 于 CG.按 照 此 思 路 即 证 .【 详 解 】 (1)证 ： /AD BE， /BF CG， 又 因 为 E和 F 粘 在 一 起 . /AD CG， A， C， G， D四 点 共 面 .又 ,AB BE AB BC .AB 平 面 BCGE， AB 平 面 ABC， 平 面 ABC平 面 BCGE， 得 证 .(2)过 B作 BH GC 延 长 线 于 H， 连 结 AH， 因 为 AB平 面 BCGE， 所 以 AB GC而 又 BH GC ， 故 GC平 面 HAB， 所 以 AH GC .又 因 为 BH GC 所 以 BHA是 二 面 角
37、 B CG A 的 平 面 角 ， 而 在 BHC 中 90BHC ， 又 因 为 60FBC 故60BCH ， 所 以 sin60 3BH BC . 而 在 ABH 中 90ABH , 1 3tan 33ABBHA BH ， 即 二 面 角 B CG A 的度 数 为 30. 试 卷 第 16页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 点 睛 】很 新 颖 的 立 体 几 何 考 题 。 首 先 是 多 面 体 粘 合 问 题 ， 考 查 考 生 在 粘 合 过 程 中 哪 些 量 是 不 变的 。 再 者 粘 合 后 的 多 面 体 不 是 直 棱 柱
38、， 建 系 的 向 量 解 法 在 本 题 中 略 显 麻 烦 ， 突 出 考 查 几何 方 法 。 最 后 将 求 二 面 角 转 化 为 求 二 面 角 的 平 面 角 问 题 考 查 考 生 的 空 间 想 象 能 力 。20 已 知 函 数 3 2( ) 2f x x ax b . （ 1） 讨 论 ( )f x 的 单 调 性 ；（ 2） 是 否 存 在 ,a b， 使 得 ( )f x 在 区 间 0,1的 最 小 值 为 1 且 最 大 值 为 1？ 若 存 在 ， 求出 ,a b的 所 有 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 .【 答 案 】 (1)见 详 解 ； (2
39、) 01ab 或 41ab .【 解 析 】【 分 析 】(1)先 求 ( )f x 的 导 数 ， 再 根 据 a的 范 围 分 情 况 讨 论 函 数 单 调 性 ； (2) 根 据 a的 各 种 范 围 ， 利 用 函 数 单 调 性 进 行 最 大 值 和 最 小 值 的 判 断 ， 最 终 得 出 a,b的 值 .【 详 解 】(1)对 3 2( ) 2f x x ax b 求 导 得 2( ) 6 2 6 ( )3af x x ax x x .所 以 有当 0a 时 ， ( , )3a 区 间 上 单 调 递 增 ， ( ,0)3a 区 间 上 单 调 递 减 ， (0, ) 区
40、间 上 单 调 递增 ；当 0a 时 ， ( , ) 区 间 上 单 调 递 增 ；当 0a 时 ， ( ,0) 区 间 上 单 调 递 增 ， (0, )3a 区 间 上 单 调 递 减 ， ( , )3a 区 间 上 单 调 递 增 .(2)若 ( )f x 在 区 间 0,1有 最 大 值 1和 最 小 值 -1， 所 以若 0a ， ( , )3a 区 间 上 单 调 递 增 ， ( ,0)3a 区 间 上 单 调 递 减 ， (0, ) 区 间 上 单 调 递 增 ；此 时 在 区 间 0,1上 单 调 递 增 ， 所 以 (0) 1f ， (1) 1f 代 入 解 得 1b ， 0
41、a ， 与0a 矛 盾 ， 所 以 0a 不 成 立 . 试 卷 第 17页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 若 0a ， ( , ) 区 间 上 单 调 递 增 ； 在 区 间 0,1.所 以 (0) 1f ， (1) 1f 代 入 解 得01ab .若 0 2a ， ( ,0) 区 间 上 单 调 递 增 ， (0, )3a 区 间 上 单 调 递 减 ， ( , )3a 区 间 上 单 调递 增 .即 ( )f x 在 区 间 (0, )3a 单 调 递 减 ， 在 区 间 ( ,1)3a 单 调 递 增 ， 所 以 区 间 0,1上 最
42、 小 值 为( )3af而 (0) , (1) 2 (0)f b f a b f ， 故 所 以 区 间 0,1上 最 大 值 为 (1)f . 即 3 22( ) ( ) 13 32 1a aa ba b 相 减 得 32 227aa ， 即 ( 3 3)( 3 3) 0a a a ， 又 因为 0 2a ， 所 以 无 解 .若 2 3a ， ( ,0) 区 间 上 单 调 递 增 ， (0, )3a 区 间 上 单 调 递 减 ， ( , )3a 区 间 上 单 调递 增 .即 ( )f x 在 区 间 (0, )3a 单 调 递 减 ， 在 区 间 ( ,1)3a 单 调 递 增 ，
43、所 以 区 间 0,1上 最 小 值 为( )3af而 (0) , (1) 2 (0)f b f a b f ， 故 所 以 区 间 0,1上 最 大 值 为 (0)f . 即 3 22( ) ( ) 13 31a aa bb 相 减 得 3 227a ， 解 得 33 2x ， 又 因 为 2 3a ， 所 以 无解 .若 3a ， ( ,0) 区 间 上 单 调 递 增 ， (0, )3a 区 间 上 单 调 递 减 ， ( , )3a 区 间 上 单 调 递 增 .所 以 有 ( )f x 区 间 0,1上 单 调 递 减 ， 所 以 区 间 0,1上 最 大 值 为 (0)f ， 最
44、小 值 为 (1)f即 12 1b a b 解 得 41ab .综 上 得 01ab 或 41ab . 【 点 睛 】这 是 一 道 常 规 的 函 数 导 数 不 等 式 和 综 合 题 ， 题 目 难 度 比 往 年 降 低 了 不 少 。 考 查 的 函 数 单 试 卷 第 18页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 调 性 ， 最 大 值 最 小 值 这 种 基 本 概 念 的 计 算 。 思 考 量 不 大 ， 由 计 算 量 补 充 。21 已 知 曲 线 C： y= 22x ， D 为 直 线 y= 12 上 的 动 点 ， 过 D 作 C 的
45、 两 条 切 线 ， 切 点 分别 为 A， B.（ 1） 证 明 ： 直 线 AB 过 定 点 ：（ 2） 若 以 E(0， 52 )为 圆 心 的 圆 与 直 线 AB 相 切 ， 且 切 点 为 线 段 AB 的 中 点 ， 求 四 边 形ADBE 的 面 积 .【 答 案 】 (1)见 详 解 ； (2)3或 4 2.【 解 析 】 【 分 析 】（ 1） 可 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 1( , )2Dt 然 后 求 出 A， B两 点 处 的 切 线 方 程 ， 比 如 AD：1 1 11 ( )2y x x t ， 又 因 为 BD也 有
46、类 似 的 形 式 ， 从 而 求 出 带 参 数 直 线 AB方 程 ， 最 后求 出 它 所 过 的 定 点 .（ 2） 由 (1)得 带 参 数 的 直 线 AB方 程 和 抛 物 线 方 程 联 立 ， 再 通 过 M 为 线 段 AB的 中 点 ，EM AB 得 出 t的 值 ， 从 而 求 出 M 坐 标 和 EM的 值 ， 1 2,d d 分 别 为 点 ,D E到 直 线AB 的 距 离 ， 则 21 2 221, 1d t d t ， 结 合 弦 长 公 式 和 韦 达 定 理 代 入 求 解 即 可 .【 详 解 】(1)证 明 ： 设 1( , )2Dt , 1 1( , )A x y ,则 21 112y x 。又 因 为 212y x ， 所 以 y x .则 切 线 DA的 斜 率 为 1x ，故 1 1 11 ( )2y x x t ， 整 理
