1、试 卷 第 1页 ， 总 22页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标)试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I 卷 （ 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分 一 、 单 选 题1 设 集 合 A=x|x2-5x+
2、60， B=x|x-1b， 则A ln(ab)0 B 3a0 D ab【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】本 题 也 可 用 直 接 法 ， 因 为 a b ， 所 以 0a b ， 当 1a b 时 ， ln( ) 0a b ， 知 A错 ， 因 为 3xy 是 增 函 数 ， 所 以 3 3a b ， 故 B错 ； 因 为 幂 函 数 3y x 是 增 函 数 ， a b ， 所 以 3 3a b ， 知 C正 确 ； 取 1, 2a b ， 满 足 a b ， 1 2a b ， 知 D错 【 详 解 】取 2, 1a b ， 满 足 a b ， ln( ) 0a b ， 知 A
3、错 ， 排 除 A； 因 为 9 3 3 3a b ，知 B错 ， 排 除 B； 取 1, 2a b ， 满 足 a b ， 1 2a b ， 知 D错 ， 排 除 D， 因为 幂 函 数 3y x 是 增 函 数 ， a b ， 所 以 3 3a b ， 故 选 C【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 对 数 函 数 性 质 、 指 数 函 数 性 质 、 幂 函 数 性 质 及 绝 对 值 意 义 ， 渗 透 了 逻 辑 推 理 和 运 算 能 力 素 养 ， 利 用 特 殊 值 排 除 即 可 判 断 7 设 ， 为 两 个 平 面 ， 则 的 充 要 条 件 是A 内 有 无 数 条
4、直 线 与 平 行B 内 有 两 条 相 交 直 线 与 平 行C ， 平 行 于 同 一 条 直 线D ， 垂 直 于 同 一 平 面 试 卷 第 5页 ， 总 22页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】本 题 考 查 了 空 间 两 个 平 面 的 判 定 与 性 质 及 充 要 条 件 ， 渗 透 直 观 想 象 、 逻 辑 推 理 素 养 ， 利用 面 面 平 行 的 判 定 定 理 与 性 质 定 理 即 可 作 出 判 断 【 详 解 】由 面 面 平 行 的 判 定 定 理 知 ： 内 两 条 相 交
5、直 线 都 与 平 行 是 / 的 充 分 条 件 ， 由 面面 平 行 性 质 定 理 知 ， 若 / ， 则 内 任 意 一 条 直 线 都 与 平 行 ， 所 以 内 两 条 相 交直 线 都 与 平 行 是 / 的 必 要 条 件 ， 故 选 B 【 点 睛 】面 面 平 行 的 判 定 问 题 要 紧 扣 面 面 平 行 判 定 定 理 ， 最 容 易 犯 的 错 误 为 定 理 记 不 住 ， 凭 主 观臆 断 ， 如 ： “ 若 , , /a b a b ， 则 / ” 此 类 的 错 误 8 若 抛 物 线 y2=2px（ p0） 的 焦 点 是 椭 圆 2 23 1x yp
6、p 的 一 个 焦 点 ， 则 p=A 2 B 3C 4 D 8【 答 案 】 D 【 解 析 】【 分 析 】利 用 抛 物 线 与 椭 圆 有 共 同 的 焦 点 即 可 列 出 关 于 p 的 方 程 ， 即 可 解 出 p ， 或 者 利 用 检 验排 除 的 方 法 ， 如 2p 时 ， 抛 物 线 焦 点 为 （ 1， 0） ， 椭 圆 焦 点 为 （ 2， 0） ， 排 除 A， 同样 可 排 除 B， C， 故 选 D【 详 解 】因 为 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p 的 焦 点 ( ,0)2p 是 椭 圆 2 23 1x yp p 的 一 个 焦 点 ， 所 以2
7、3 ( )2pp p ， 解 得 8p ， 故 选 D【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 抛 物 线 与 椭 圆 的 几 何 性 质 ， 渗 透 逻 辑 推 理 、 运 算 能 力 素 养 9 下 列 函 数 中 ， 以 2 为 周 期 且 在 区 间 (4， 2 )单 调 递 增 的 是 试 卷 第 6页 ， 总 22页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 A f(x)=cos2x B f(x)=sin2xC f(x)=cosx D f(x)=sinx【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 图 象 与 性 质 ， 渗 透 直
8、 观 想 象 、 逻 辑 推 理 等 数 学 素 养 画 出 各 函 数图 象 ， 即 可 做 出 选 择 【 详 解 】因 为 sin| |y x 图 象 如 下 图 ， 知 其 不 是 周 期 函 数 ， 排 除 D； 因 为 cos cosy x x ， 周 期 为 2 ， 排 除 C， 作 出 cos2y x 图 象 ， 由 图 象 知 ， 其 周 期 为 2 ， 在 区 间 ( , )4 2 单调 递 增 ， A正 确 ； 作 出 sin2y x 的 图 象 ， 由 图 象 知 ， 其 周 期 为 2 ， 在 区 间 ( , )4 2 单调 递 减 ， 排 除 B， 故 选 A 【
9、点 睛 】利 用 二 级 结 论 ： 函 数 ( )y f x 的 周 期 是 函 数 ( )y f x 周 期 的 一 半 ； siny x 不 是 周 期 函 数 ；10 已 知 a （ 0， 2） ， 2sin2=cos2+1， 则 sin=A 15 B 55C 33 D 2 55 试 卷 第 7页 ， 总 22页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】利 用 二 倍 角 公 式 得 到 正 余 弦 关 系 ， 利 用 角 范 围 及 正 余 弦 平 方 和 为 1关 系 得 出 答 案 【 详 解 】2sin2
10、cos2 1 ， 24sin cos 2cos . 0, , cos 02 sin 0, 2sin cos ， 又 2 2sin cos 1 ， 2 2 15sin 1, sin 5 ，又 sin 0 ， 5sin 5 ， 故 选 B 【 点 睛 】本 题 为 三 角 函 数 中 二 倍 角 公 式 、 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 的 考 查 ， 中 等 难 度 ， 判 断 正 余弦 正 负 ， 运 算 准 确 性 是 关 键 ， 题 目 不 难 ， 需 细 心 ， 解 决 三 角 函 数 问 题 ， 研 究 角 的 范 围 后得 出 三 角 函 数 值 的 正 负 ， 很 关
11、 键 ， 切 记 不 能 凭 感 觉 11 设 F 为 双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b （ a0， b0） 的 右 焦 点 ， O 为 坐 标 原 点 ， 以 OF 为直 径 的 圆 与 圆 x 2+y2=a2交 于 P、 Q 两 点 若 |PQ|=|OF|， 则 C 的 离 心 率 为A 2 B 3C 2 D 5【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】准 确 画 图 ， 由 图 形 对 称 性 得 出 P点 坐 标 ， 代 入 圆 的 方 程 得 到 c与 a关 系 ， 可 求 双 曲 线 的离 心 率 【 详 解 】设 PQ与 x轴 交 于 点 A， 由 对 称 性
12、可 知 PQ x 轴 ，又 | |PQ OF c ， | | ,2cPA PA 为 以 OF 为 直 径 的 圆 的 半 径 ，A 为 圆 心 | | 2cOA ,2 2c cP ， 又 P 点 在 圆 2 2 2x y a 上 ， 试 卷 第 8页 ， 总 22页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 2 2 24 4c c a ， 即 2 22 2 2, 22c ca e a 2e ， 故 选 A 【 点 睛 】本 题 为 圆 锥 曲 线 离 心 率 的 求 解 ， 难 度 适 中 ， 审 题 时 注 意 半 径 还 是 直 径 ， 优 先 考 虑 几何 法 ， 避 免
13、代 数 法 从 头 至 尾 ， 运 算 繁 琐 ， 准 确 率 大 大 降 低 ， 双 曲 线 离 心 率 问 题 是 圆 锥 曲线 中 的 重 点 问 题 ， 需 强 化 练 习 ， 才 能 在 解 决 此 类 问 题 时 事 半 功 倍 ， 信 手 拈 来 12 设 函 数 姀的 定 义 域 为 R， 满 足 1姀 2姀， 且 当 1时 ， 姀 1姀.若 对 任 意 ， 都 有 姀 ， 则 m 的 取 值 范 围 是A. B. C. 2 D. 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】本 题 为 选 择 压 轴 题 ， 考 查 函 数 平 移 伸 缩 ， 恒 成 立 问 题 ， 需 准
14、 确 求 出 函 数 每 一 段 解 析 式 ，分 析 出 临 界 点 位 置 ， 精 准 运 算 得 到 解 决 【 详 解 】 1时 ， 姀1姀， 1姀2姀， 姀 21姀， 即 姀右 移 1个单 位 ， 图 像 变 为 原 来 的 2倍 如 图 所 示 ： 当 2 时 ， 姀2姀2姀姀， 令 2姀姀 ， 整 理 得 ： 2 ， 姀姀 1 2 （ 舍 ） ， 时 ， 姀 成 立 ， 即 ， ， 故 选 B 试 卷 第 9页 ， 总 22页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 点 睛 】易 错 警 示 ： 图 像 解 析 式 求 解 过 程 容 易 求 反 ，
15、 画 错 示 意 图 ， 画 成 向 左 侧 扩 大 到 2倍 ，导 致 题 目 出 错 ， 需 加 深 对 抽 象 函 数 表 达 式 的 理 解 ， 平 时 应 加 强 这 方 面 练 习 ， 提 高 抽 象 概 括 、 数 学 建 模 能 力 试 卷 第 10页 ， 总 22页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 第 II 卷 （ 非 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题13 我 国 高 铁 发 展 迅 速 ， 技 术 先 进 经 统 计 ， 在 经 停 某 站 的 高 铁 列 车 中 ， 有 10个
16、车 次的 正 点 率 为 0.97， 有 20个 车 次 的 正 点 率 为 0.98， 有 10个 车 次 的 正 点 率 为 0.99， 则 经 停该 站 高 铁 列 车 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为 _.【 答 案 】 0 98.【 解 析 】【 分 析 】 本 题 考 查 通 过 统 计 数 据 进 行 概 率 的 估 计 ， 采 取 估 算 法 ， 利 用 概 率 思 想 解 题 【 详 解 】由 题 意 得 ， 经 停 该 高 铁 站 的 列 车 正 点 数 约 为 10 0.97 20 0.98 10 0.99 39.2 ，其 中 高 铁 个 数 为
17、 10+20+10=40， 所 以 该 站 所 有 高 铁 平 均 正 点 率 约 为 39.2 0.9840 【 点 睛 】本 题 考 点 为 概 率 统 计 ， 渗 透 了 数 据 处 理 和 数 学 运 算 素 养 侧 重 统 计 数 据 的 概 率 估 算 ， 难度 不 大 易 忽 视 概 率 的 估 算 值 不 是 精 确 值 而 失 误 ， 根 据 分 类 抽 样 的 统 计 数 据 ， 估 算 出 正点 列 车 数 量 与 列 车 总 数 的 比 值 14 已 知 ( )f x 是 奇 函 数 ， 且 当 0 x 时 ， ( ) eaxf x .若 (ln2) 8f ， 则a_.
18、【 答 案 】 -3【 解 析 】【 分 析 】当 0 x 时 0 x ， ( ) ( ) axf x f x e 代 入 条 件 即 可 得 解 .【 详 解 】因 为 ( )f x 是 奇 函 数 ， 且 当 0 x 时 0 x ， ( ) ( ) axf x f x e 又 因 为 ln2 (0,1) ， (ln2) 8f ，所 以 ln2 8ae ， 两 边 取 以 e为 底 的 对 数 得 ln2 3ln2a ， 所 以 3a ， 即 3a 【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 函 数 奇 偶 性 ， 对 数 的 计 算 渗 透 了 数 学 运 算 、 直 观 想 象 素 养 使 用
19、 转 化 思想 得 出 答 案 试 卷 第 11页 ， 总 22页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 15 ABC 的 内 角 , ,A B C 的 对 边 分 别 为 , ,a b c.若 6, 2 , 3b a c B ， 则 ABC 的面 积 为 _.【 答 案 】 6 3【 解 析 】【 分 析 】本 题 首 先 应 用 余 弦 定 理 ， 建 立 关 于 c的 方 程 ， 应 用 ,a c 的 关 系 、 三 角 形 面 积 公 式 计 算 求解 ， 本 题 属 于 常 见 题 目 ， 难 度 不 大 ， 注 重 了 基 础 知 识 、 基 本 方 法
20、 、 数 学 式 子 的 变 形 及 运算 求 解 能 力 的 考 查 【 详 解 】 由 余 弦 定 理 得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，所 以 2 2 21(2 ) 2 2 62c c c c ，即 2 12c 解 得 2 3, 2 3c c （ 舍 去 ）所 以 2 4 3a c ，1 1 3sin 4 3 2 3 6 3.2 2 2ABCS ac B 【 点 睛 】本 题 涉 及 正 数 开 平 方 运 算 ， 易 错 点 往 往 是 余 弦 定 理 应 用 有 误 或 是 开 方 导 致 错 误 解答 此 类 问 题 ， 关 键 是 在 明 确 方 法 的 基 础
21、上 ， 准 确 记 忆 公 式 ， 细 心 计 算 16 中 国 有 悠 久 的 金 石 文 化 ， 印 信 是 金 石 文 化 的 代 表 之 一 印 信 的 形 状 多 为 长 方 体 、 正方 体 或 圆 柱 体 ， 但 南 北 朝 时 期 的 官 员 独 孤 信 的 印 信 形 状 是 “半 正 多 面 体 ”（ 图 1） .半 正 多面 体 是 由 两 种 或 两 种 以 上 的 正 多 边 形 围 成 的 多 面 体 .半 正 多 面 体 体 现 了 数 学 的 对 称美 图 2是 一 个 棱 数 为 48的 半 正 多 面 体 ， 它 的 所 有 顶 点 都 在 同 一 个 正
22、方 体 的 表 面 上 ，且 此 正 方 体 的 棱 长 为 1 则 该 半 正 多 面 体 共 有 _个 面 ， 其 棱 长 为 _ 【 答 案 】 共 26个 面 . 棱 长 为 2 1 . 试 卷 第 12页 ， 总 22页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 解 析 】【 分 析 】第 一 问 可 按 题 目 数 出 来 ， 第 二 问 需 在 正 方 体 中 简 单 还 原 出 物 体 位 置 ， 利 用 对 称 性 ， 平 面几 何 解 决 【 详 解 】由 图 可 知 第 一 层 与 第 三 层 各 有 9个 面 ， 计 18个 面 ， 第 二 层 共 有
23、 8个 面 ， 所 以 该 半 正 多面 体 共 有 18 8 26 个 面 如 图 ， 设 该 半 正 多 面 体 的 棱 长 为 x， 则 AB BE x ， 延 长 BC 与 FE交 于 点 G ， 延 长BC 交 正 方 体 棱 于 H ， 由 半 正 多 面 体 对 称 性 可 知 ， BGE 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，2 2, 2 ( 2 1) 12 2BG GE CH x GH x x x ，1 2 12 1x ， 即 该 半 正 多 面 体 棱 长 为 2 1 【 点 睛 】本 题 立 意 新 颖 ， 空 间 想 象 能 力 要 求 高 ， 物 体 位 置 还 原 是
24、关 键 ， 遇 到 新 题 别 慌 乱 ， 题 目 其实 很 简 单 ， 稳 中 求 胜 是 关 键 立 体 几 何 平 面 化 ， 无 论 多 难 都 不 怕 ， 强 大 空 间 想 象 能 力 ，快 速 还 原 图 形 评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题17 如 图 ， 长 方 体 ABCDA 1B1C1D1的 底 面 ABCD是 正 方 形 ， 点 E在 棱 AA1上 ， BE EC1. 试 卷 第 13页 ， 总 22页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 （ 1） 证 明 ： BE 平 面 EB 1C1；（ 2） 若 AE=A1E， 求 二 面 角
25、BECC1的 正 弦 值 .【 答 案 】 （ 1） 证 明 见 解 析 ； （ 2） 32【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 利 用 长 方 体 的 性 质 ， 可 以 知 道 1 1BC 侧 面 1 1ABBA， 利 用 线 面 垂 直 的 性 质 可 以 证明 出 1 1BC EB ， 这 样 可 以 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 ， 证 明 出 BE平 面 1 1EBC ； （ 2） 以 点 B 坐 标 原 点 ， 以 1, ,BC BA BB 分 别 为 , ,x y z轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 正方 形 ABCD的 边 长 为 a， 1B
26、B b ， 求 出 相 应 点 的 坐 标 ， 利 用 1BE EC ， 可 以 求 出 ,a b之 间 的 关 系 ， 分 别 求 出 平 面 EBC 、 平 面 1ECC 的 法 向 量 ， 利 用 空 间 向 量 的 数 量 积 公 式求 出 二 面 角 1B EC C 的 余 弦 值 的 绝 对 值 ， 最 后 利 用 同 角 的 三 角 函 数 关 系 ， 求 出 二 面角 1B EC C 的 正 弦 值 .【 详 解 】证 明 （ 1） 因 为 1 1 1 1ABCD ABC D 是 长 方 体 ， 所 以 1 1BC 侧 面 1 1ABBA， 而 BE 平 面 1 1ABBA，
27、所 以 1 1BE BC又 1BE EC ， 1 1 1 1BC EC C ， 1 1 1,BC EC 平 面 1 1EBC ， 因 此 BE平 面 1 1EBC ；（ 2） 以 点 B 坐 标 原 点 ， 以 1, ,BC BA BB 分 别 为 , ,x y z轴 ， 建 立 如 下 图 所 示 的 空 间 直 角坐 标 系 ， 试 卷 第 14页 ， 总 22页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 1(0,0,0), ( ,0,0), ( ,0, ), (0, , )2bB C a C a b E a ， 因 为 1BE EC ， 所 以 221 0 (0, , )
28、( , , ) 0 0 22 2 4b b bBE EC a a a a b a ，所 以 (0, , )E a a ， 1( , , ), (0,0,2 ), (0, , )EC a a a CC a BE a a ，设 1 1 1( , , )m x y z 是 平 面 BEC 的 法 向 量 ，所 以 1 11 1 10,0, (0,1, 1)0.0. ay azm BE max ay azm EC ，设 2 2 2( , , )n x y z 是 平 面 1ECC 的 法 向 量 ， 所 以 21 2 2 22 0,0, (1,1,0)0.0. azn CC nax ay azn EC
29、 ，二 面 角 1B EC C 的 余 弦 值 的 绝 对 值 为 1 122 2m nm n ，所 以 二 面 角 1B EC C 的 正 弦 值 为 21 31 ( )2 2 .【 点 睛 】本 题 考 查 了 利 用 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 证 明 线 线 垂 直 ， 考 查 了 利 用 空 间 向 量 求 二 角 角 的 余弦 值 ， 以 及 同 角 的 三 角 函 数 关 系 ， 考 查 了 数 学 运 算 能 力 . 18 11分 制 乒 乓 球 比 赛 ， 每 赢 一 球 得 1分 ， 当 某 局 打 成 10:10平 后 ， 每 球 交 换 发 球 权 ，先 多 得
30、 2分 的 一 方 获 胜 ， 该 局 比 赛 结 束 .甲 、 乙 两 位 同 学 进 行 单 打 比 赛 ， 假 设 甲 发球 时 甲 得 分 的 概 率 为 0.5， 乙 发 球 时 甲 得 分 的 概 率 为 0.4， 各 球 的 结 果 相 互 独 立 .在某 局 双 方 10:10平 后 ， 甲 先 发 球 ， 两 人 又 打 了 X 个 球 该 局 比 赛 结 束 . 试 卷 第 15页 ， 总 22页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 （ 1） 求 P（ X=2） ；（ 2） 求 事 件 “X=4且 甲 获 胜 ”的 概 率 .【 答 案 】 （
31、 1） 0.5； （ 2） 0.1【 解 析 】【 分 析 】(1)本 题 首 先 可 以 通 过 题 意 推 导 出 2P X 所 包 含 的 事 件 为 “ 甲 连 赢 两 球 或 乙 连 赢 两球 ” ， 然 后 计 算 出 每 种 事 件 的 概 率 并 求 和 即 可 得 出 结 果 ；(2)本 题 首 先 可 以 通 过 题 意 推 导 出 ( )4P X = 所 包 含 的 事 件 为 “ 前 两 球 甲 乙 各 得 1分 ， 后两 球 均 为 甲 得 分 ” ， 然 后 计 算 出 每 种 事 件 的 概 率 并 求 和 即 可 得 出 结 果 。【 详 解 】 (1)由 题
32、意 可 知 ， 2P X 所 包 含 的 事 件 为 “ 甲 连 赢 两 球 或 乙 连 赢 两 球 ”所 以 ( )2 0.5 0.4 0.5 0.6 0.5P X = = + =(2)由 题 意 可 知 ， ( )4P X = 包 含 的 事 件 为 “ 前 两 球 甲 乙 各 得 1分 ， 后 两 球 均 为 甲 得 分 ”所 以 ( )4 0.5 0.6 0.5 0.4+0.5 0.4 0.5 0.4 0.1P X = = 创 创 创 =【 点 睛 】本 题 考 查 古 典 概 型 的 相 关 性 质 ， 能 否 通 过 题 意 得 出 2P X 以 及 ( )4P X = 所 包 含
33、 的事 件 是 解 决 本 题 的 关 键 ， 考 查 推 理 能 力 ， 考 查 学 生 从 题 目 中 获 取 所 需 信 息 的 能 力 ， 是 中 档 题 。19 已 知 数 列 an和 bn满 足 a1=1， b1=0， 14 3 4n n na a b ， 14 3 4n n nb b a .（ 1） 证 明 ： an+bn是 等 比 数 列 ， an bn是 等 差 数 列 ；（ 2） 求 an和 bn的 通 项 公 式 .【 答 案 】 （ 1） 见 解 析 ； （ 2） 1 122nna n= + - ， 1 122nnb n= - + 。【 解 析 】【 分 析 】(1)可
34、 通 过 题 意 中 的 14 3 4n n na a b 以 及 14 3 4n n nb b a 对 两 式 进 行 相 加 和 相 减 即 可 推 导 出 数 列 n na b 是 等 比 数 列 以 及 数 列 n na b 是 等 差 数 列 ；(2)可 通 过 (1)中 的 结 果 推 导 出 数 列 n na b 以 及 数 列 n na b 的 通 项 公 式 ， 然 后 利 用数 列 n na b 以 及 数 列 n na b 的 通 项 公 式 即 可 得 出 结 果 。 试 卷 第 16页 ， 总 22页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 详 解
35、 】(1)由 题 意 可 知 14 3 4n n na a b ， 14 3 4n n nb b a ， 1 1 1a b+ = ， 1 1 1a b ，所 以 1 14 4 3 23 4 4 2n n n n n n n na b a b b a a b+ + = + =- - + - ， 即 ( )11 1 2n n n na b a b+ + += ，所 以 数 列 n na b 是 首 项 为 1、 公 比 为 12 的 等 比 数 列 ， ( ) 112 nn na b -+ = ，因 为 ( )1 14 4 3 4 3 4 4 4 8n n n n n n n na b a b b
36、 a a b+ +- - -= + - = - +- ，所 以 1 1 2n n n na b a b+ + = - +- ， 数 列 n na b 是 首 项 1、 公 差 为 2的 等 差 数 列 ，2 1n na b n- = - 。 (2)由 (1)可 知 ， ( ) 112 nn na b -+ = ， 2 1n na b n- = - ，所 以 ( )1 1 12 22nn n n n na a b a b n= + + - = + - ， ( )1 1 12 22nn n n n nb a b a b n轾= + - - = - +臌 。【 点 睛 】本 题 考 查 了 数 列
37、的 相 关 性 质 ， 主 要 考 查 了 等 差 数 列 以 及 等 比 数 列 的 相 关 证 明 ， 证 明 数 列是 等 差 数 列 或 者 等 比 数 列 一 定 要 结 合 等 差 数 列 或 者 等 比 数 列 的 定 义 ， 考 查 推 理 能 力 ， 考查 化 归 与 转 化 思 想 ， 是 中 档 题 。20已 知 函 数 11ln xf x x x . （ 1） 讨 论 f(x)的 单 调 性 ， 并 证 明 f(x)有 且 仅 有 两 个 零 点 ；（ 2） 设 x0是 f(x)的 一 个 零 点 ， 证 明 曲 线 y=ln x 在 点 A(x0， lnx0)处 的
38、切 线 也 是 曲线 exy 的 切 线 .【 答 案 】 （ 1） 函 数 ( )f x 在 (0,1)和 (1, ) 上 是 单 调 增 函 数 ， 证 明 见 解 析 ；（ 2） 证 明 见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 对 函 数 ( )f x 求 导 ， 结 合 定 义 域 ， 判 断 函 数 的 单 调 性 ； （ 2） 先 求 出 曲 线 lny x 在 0 0A( ,ln )x x 处 的 切 线 l， 然 后 求 出 当 曲 线 xy e 切 线 的 斜率 与 l斜 率 相 等 时 ， 证 明 曲 线 xy e 切 线 l 在 纵 轴 上 的 截 距 与 l
39、在 纵 轴 的 截 距 相 等 即 可 .【 详 解 】（ 1） 函 数 ( )f x 的 定 义 域 为 (0,1) (1, ) ， 试 卷 第 17页 ， 总 22页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 2 21 1( ) ln ( )1 ( 1)x xf x x f xx x x ， 因 为 函 数 ( )f x 的 定 义 域 为 (0,1) (1, ) ，所 以 ( ) 0f x ， 因 此 函 数 ( )f x 在 (0,1)和 (1, ) 上 是 单 调 增 函 数 ；当 (0,1)x ， 时 ， 0,x y ， 而 1 11 1 2( ) ln 0
40、1 11ef e e ee ， 显 然 当 (0,1)x ，函 数 ( )f x 有 零 点 ， 而 函 数 ( )f x 在 (0,1)x 上 单 调 递 增 ， 故 当 (0,1)x 时 ， 函 数 ( )f x 有唯 一 的 零 点 ；当 (1, )x 时 ， 2 22 2 2 21 2 1 3( ) ln 0, ( ) ln 01 1 1 1e e ef e e f e ee e e e ， 因 为 2( ) ( ) 0f e f e ， 所 以 函 数 ( )f x 在 2( , )e e 必 有 一 零 点 ， 而 函 数 ( )f x 在 (1, ) 上是 单 调 递 增 ， 故
41、 当 (1, )x 时 ， 函 数 ( )f x 有 唯 一 的 零 点综 上 所 述 ， 函 数 ( )f x 的 定 义 域 (0,1) (1, ) 内 有 2 个 零 点 ；（ 2） 因 为 0 x 是 ( )f x 的 一 个 零 点 ， 所 以 0 00 0 00 01 1( ) ln 0 ln1 1x xf x x xx x 1lny x y x ， 所 以 曲 线 lny x 在 0 0A( ,ln )x x 处 的 切 线 l的 斜 率 01k x ， 故 曲 线 lny x 在 0 0A( ,ln )x x 处 的 切 线 l的 方 程 为 ： 0 001ln ( )y x
42、x xx 而 00 0 1ln 1xx x ，所 以 l的 方 程 为 0 02 1xy x x ， 它 在 纵 轴 的 截 距 为 02 1x .设 曲 线 xy e 的 切 点 为 11( , )xB x e ， 过 切 点 为 11( , )xB x e 切 线 l ， x xy e y e ， 所以 在 11( , )xB x e 处 的 切 线 l 的 斜 率 为 1xe ， 因 此 切 线 l 的 方 程 为 1 1 1(1 )x xy e x e x ，当 切 线 l 的 斜 率 11 xk e 等 于 直 线 l的 斜 率 01k x 时 ， 即 1 1 001 (ln )xe
43、 x xx ，切 线 l 在 纵 轴 的 截 距 为 01 ln1 1 0 001(1 ) (1 ln ) (1 ln )xxb e x e x xx ， 而00 0 1ln 1xx x ， 所 以 01 0 0 011 2(1 )1 1xb x x x ， 直 线 ,l l 的 斜 率 相 等 ， 在 纵 轴 上 的 截距 也 相 等 ， 因 此 直 线 ,l l 重 合 ， 故 曲 线 lny x 在 0 0A( ,ln )x x 处 的 切 线 也 是 曲 线 xy e 试 卷 第 18页 ， 总 22页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 的 切 线 .【 点 睛
44、】本 题 考 查 了 利 用 导 数 求 已 知 函 数 的 单 调 性 、 考 查 了 曲 线 的 切 线 方 程 ， 考 查 了 数 学 运 算 能力 . 21已 知 点 A(2,0)， B(2,0)， 动 点 M(x,y)满 足 直 线 AM 与 BM 的 斜 率 之 积 为 12.记 M的 轨 迹 为 曲 线 C.（ 1） 求 C 的 方 程 ， 并 说 明 C 是 什 么 曲 线 ；（ 2） 过 坐 标 原 点 的 直 线 交 C 于 P， Q 两 点 ， 点 P 在 第 一 象 限 ， PE x 轴 ， 垂足 为 E， 连 结 QE 并 延 长 交 C 于 点 G. （ i） 证
45、明 ： PQG 是 直 角 三 角 形 ；（ ii） 求 PQG 面 积 的 最 大 值 .【 答 案 】 （ 1） 详 见 解 析 （ 2） 详 见 解 析【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 分 别 求 出 直 线 AM 与 BM 的 斜 率 ， 由 已 知 直 线 AM 与 BM 的 斜 率 之 积 为 12 ， 可 以 得 到 等 式 ， 化 简 可 以 求 出 曲 线 C 的 方 程 ， 注 意 直 线 AM 与 BM 有 斜 率 的 条 件 ；（ 2） （ i） 设 出 直 线 PQ的 方 程 ， 与 椭 圆 方 程 联 立 ， 求 出 P， Q 两 点 的 坐 标 ， 进 而 求
46、 出点 E的 坐 标 ， 求 出 直 线 QE 的 方 程 ， 与 椭 圆 方 程 联 立 ， 利 用 根 与 系 数 关 系 求 出 G 的 坐标 ， 再 求 出 直 线 PG 的 斜 率 ， 计 算 PQ PGk k 的 值 ， 就 可 以 证 明 出 PQG 是 直 角 三 角 形 ；（ ii） 由 （ i） 可 知 , ,P Q G 三 点 坐 标 ， PQG 是 直 角 三 角 形 ， 求 出 ,PQ PG 的 长 ， 利 用面 积 公 式 求 出 PQG 的 面 积 ， 利 用 导 数 求 出 面 积 的 最 大 值 .【 详 解 】 （ 1） 直 线 AM的 斜 率 为 ( 2)
47、2y xx ， 直 线 BM 的 斜 率 为 ( 2)2y xx ， 由 题 意 可知 ： 2 21 2 4,( 2)2 2 2y y x y xx x ， 所 以 曲 线 C 是 以 坐 标 原 点 为 中 心 ，焦 点 在 x轴 上 ， 不 包 括 左 右 两 顶 点 的 椭 圆 ， 其 方 程 为 2 2 1, 24 2x y x ； 试 卷 第 19页 ， 总 22页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 （ 2） （ i） 设 直 线 PQ的 方 程 为 y kx ,由 题 意 可 知 0k ,直 线 PQ的 方 程 与 椭 圆 方 程2 22 4x y 联 立 ,即 22 2 22 , 2 12 4. 2 .2 1xy kx kx y ky k 或 222 ,2 12 .2 1x k ky k ,点 P 在 第一 象 限 ， 所 以 2 2 2 22 2 2 2( , ), (
