1、试 卷 第 1页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标)试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I 卷 （ 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分 一 、 单 选 题1 已 知 集 合 24 2 6 0
2、M x x N x x x ， ， 则 M N =A 4 3x x B 4 2x x C 2 2x x D 2 3x x 【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】本 题 考 查 集 合 的 交 集 和 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 ， 渗 透 了 数 学 运 算 素 养 采 取 数 轴 法 ， 利 用 数 形 结 合 的 思 想 解 题 【 详 解 】由 题 意 得 ， 4 2 , 2 3M x x N x x ， 则 2 2M N x x 故 选 C【 点 睛 】不 能 领 会 交 集 的 含 义 易 致 误 ， 区 分 交 集 与 并 集 的 不 同 ， 交 集 取 公 共
3、 部 分 ， 并 集 包 括 二 者部 分 2 设 复 数 z满 足 =1iz ， z在 复 平 面 内 对 应 的 点 为 (x， y)， 则 A 2 2+1 1( )x y B 2 2( 1) 1x y C 2 2( 1) 1x y D 22 ( +1) 1yx 【 答 案 】 C 试 卷 第 2页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 解 析 】【 分 析 】本 题 考 点 为 复 数 的 运 算 ， 为 基 础 题 目 ， 难 度 偏 易 此 题 可 采 用 几 何 法 ， 根 据 点 （ x， y）和 点 (0， 1)之 间 的 距 离 为 1，
4、 可 选 正 确 答 案 C【 详 解 】 , ( 1) ,z x yi z i x y i 2 2( 1) 1,z i x y 则 2 2( 1) 1x y 故 选 C【 点 睛 】本 题 考 查 复 数 的 几 何 意 义 和 模 的 运 算 ， 渗 透 了 直 观 想 象 和 数 学 运 算 素 养 采 取 公 式 法 或几 何 法 ， 利 用 方 程 思 想 解 题 3 已 知 log., ., .， 则A. B. C. D. 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】运 用 中 间 量 比 较 ,， 运 用 中 间 量 比 较 ,【 详 解 】 log . log , . , .
5、 . ,则 , 故 选 B【 点 睛 】本 题 考 查 指 数 和 对 数 大 小 的 比 较 ， 渗 透 了 直 观 想 象 和 数 学 运 算 素 养 采 取 中 间 变 量 法 ，利 用 转 化 与 化 归 思 想 解 题 4 古 希 腊 时 期 ， 人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是5 12 （ 5 12 0.618， 称 为 黄 金 分 割 比 例 )， 著 名 的 “ 断 臂 维 纳 斯 ” 便 是 如 此 此 外 ， 最 美 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长
6、度 之 比 也 是 5 12 若 某 人 满 足 上 述两 个 黄 金 分 割 比 例 ， 且 腿 长 为 105cm， 头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 26cm， 则 其 身 高 可 能是 试 卷 第 3页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 A 165cm B 175cm C 185cm D 190cm【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】 理 解 黄 金 分 割 比 例 的 含 义 ， 应 用 比 例 式 列 方 程 求 解 【 详 解 】设 人 体 脖 子 下 端 至 肚 脐 的 长 为 x cm， 肚 脐 至 腿 根
7、的 长 为 y cm， 则 26 26 5 1105 2xx y ，得 42.07 , 5.15x cm y cm 又 其 腿 长 为 105cm， 头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 26cm， 所以 其 身 高 约 为 42 07+5 15+105+26=178 22， 接 近 175cm 故 选 B【 点 睛 】本 题 考 查 类 比 归 纳 与 合 情 推 理 ， 渗 透 了 逻 辑 推 理 和 数 学 运 算 素 养 采 取 类 比 法 ， 利 用 转 化 思 想 解 题 5 函 数 f(x)= 2sincos x xx x 在 ， 的 图 像 大 致 为A BC D 【 答
8、 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】先 判 断 函 数 的 奇 偶 性 ， 得 ( )f x 是 奇 函 数 ， 排 除 A， 再 注 意 到 选 项 的 区 别 ， 利 用 特 殊 值得 正 确 答 案 【 详 解 】 试 卷 第 4页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 由 2 2sin( ) ( ) sin( ) ( )cos( ) ( ) cosx x x xf x f xx x x x ， 得 ( )f x 是 奇 函 数 ， 其 图 象 关 于 原点 对 称 又 221 4 22( ) 1,2 ( )2f 2( ) 01f 故 选 D【 点
9、睛 】本 题 考 查 函 数 的 性 质 与 图 象 ， 渗 透 了 逻 辑 推 理 、 直 观 想 象 和 数 学 运 算 素 养 采 取 性 质 法或 赋 值 法 ， 利 用 数 形 结 合 思 想 解 题 6 我 国 古 代 典 籍 周 易 用 “ 卦 ” 描 述 万 物 的 变 化 每 一 “ 重 卦 ” 由 从 下 到 上 排 列 的6个 爻 组 成 ， 爻 分 为 阳 爻 “ ” 和 阴 爻 “ ” ， 如 图 就 是 一 重 卦 在 所 有 重 卦 中 随 机 取 一 重 卦 ， 则 该 重 卦 恰 有 3个 阳 爻 的 概 率 是A 516 B 1132 C 2132 D 11
10、16【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】 本 题 主 要 考 查 利 用 两 个 计 数 原 理 与 排 列 组 合 计 算 古 典 概 型 问 题 ， 渗 透 了 传 统 文 化 、 数 学计 算 等 数 学 素 养 ， “ 重 卦 ” 中 每 一 爻 有 两 种 情 况 ， 基 本 事 件 计 算 是 住 店 问 题 ， 该 重 卦 恰有 3个 阳 爻 是 相 同 元 素 的 排 列 问 题 ， 利 用 直 接 法 即 可 计 算 【 详 解 】由 题 知 ， 每 一 爻 有 2种 情 况 ， 一 重 卦 的 6爻 有 62 情 况 ， 其 中 6爻 中 恰 有 3个 阳 爻 情
11、 况有 36C ， 所 以 该 重 卦 恰 有 3个 阳 爻 的 概 率 为 3662C = 516， 故 选 A【 点 睛 】对 利 用 排 列 组 合 计 算 古 典 概 型 问 题 ， 首 先 要 分 析 元 素 是 否 可 重 复 ， 其 次 要 分 析 是 排 列 问 题 还 是 组 合 问 题 本 题 是 重 复 元 素 的 排 列 问 题 ， 所 以 基 本 事 件 的 计 算 是 “ 住 店 ” 问 题 ，满 足 条 件 事 件 的 计 算 是 相 同 元 素 的 排 列 问 题 即 为 组 合 问 题 7 已 知 非 零 向 量 a， b满 足 a =2 b，且（ab）b，则
12、 a与 b的 夹 角 为A 6 B 3 C 23 D 56 试 卷 第 5页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】本 题 主 要 考 查 利 用 平 面 向 量 数 量 积 计 算 向 量 长 度 、 夹 角 与 垂 直 问 题 ， 渗 透 了 转 化 与 化 归 、数 学 计 算 等 数 学 素 养 先 由 ( )a b b 得 出 向 量 ,a b的 数 量 积 与 其 模 的 关 系 ， 再 利 用 向量 夹 角 公 式 即 可 计 算 出 向 量 夹 角 【 详 解 】因 为 ( )a b b
13、， 所 以 2( )a b b a b b =0， 所 以 2a b b ， 所 以cos = 22| | 12| | 2a b ba b b ， 所 以 a与 b的 夹 角 为 3 ， 故 选 B【 点 睛 】对 向 量 夹 角 的 计 算 ， 先 计 算 出 向 量 的 数 量 积 及 各 个 向 量 的 摸 ， 在 利 用 向 量 夹 角 公 式 求 出夹 角 的 余 弦 值 ， 再 求 出 夹 角 ， 注 意 向 量 夹 角 范 围 为 0, 8 如 图 是 求 的 程 序 框 图 ， 图 中 空 白 框 中 应 填 入 A.A= B.A= C.A= D.A= 【 答 案 】 A【 解
14、 析 】【 分 析 】本 题 主 要 考 查 算 法 中 的 程 序 框 图 ， 渗 透 阅 读 、 分 析 与 解 决 问 题 等 素 养 ， 认 真 分 析 式 子 结构 特 征 与 程 序 框 图 结 构 ， 即 可 找 出 作 出 选 择 【 详 解 】 试 卷 第 6页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 执 行 第 1次 ， , 是 ， 因 为 第 一 次 应 该 计 算 = ， =2， 循 环 ，执 行 第 2次 ， ， 是 ， 因 为 第 二 次 应 该 计 算 = ， =3， 循 环 ， 执行 第 3次 ， ， 否 ， 输 出 ， 故 循
15、环 体 为 ， 故 选 A【 点 睛 】秒 杀 速 解 认 真 观 察 计 算 式 子 的 结 构 特 点 ， 可 知 循 环 体 为 9 记 为 等 差 数 列 的 前 n项 和 已 知 ， ， 则A. B. C. D. 【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】等 差 数 列 通 项 公 式 与 前 n项 和 公 式 本 题 还 可 用 排 除 ， 对 B， ， ， 排 除 B， 对 C， , ， 排 除 C 对D， , ， 排 除 D， 故 选 A【 详 解 】由 题 知 ， ， 解 得 ， ， 故 选 A【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 通 项 公 式 与 前
16、n项 和 公 式 ， 渗 透 方 程 思 想 与 数 学 计 算 等 素 养 利用 等 差 数 列 通 项 公 式 与 前 n项 公 式 即 可 列 出 关 于 首 项 与 公 差 的 方 程 ， 解 出 首 项 与 公 差 ，在 适 当 计 算 即 可 做 了 判 断 10 已 知 椭 圆 C的 焦 点 为 1 21,0 1,0F F( )， ( )， 过 F 2的 直 线 与 C交 于 A， B两 点 .若2 22AF F B ， 1AB BF ， 则 C的 方 程 为A 2 2 12x y B 2 2 13 2x y C 2 2 14 3x y D 2 2 15 4x y 【 答 案 】
17、 B【 解 析 】【 分 析 】由 已 知 可 设 2F B n ， 则 2 12 , 3AF n BF AB n ， 得 1 2AF n ， 在 1AFB 中 试 卷 第 7页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 求 得 1 1cos 3F AB ， 再 在 1 2AFF 中 ， 由 余 弦 定 理 得 32n ， 从 而 可 求 解 .【 详 解 】法 一 ： 如 图 ， 由 已 知 可 设 2F B n ， 则 2 12 , 3AF n BF AB n ， 由 椭 圆 的 定 义有 1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a
18、 AF n 在 1AFB 中 ， 由 余 弦 定 理 推 论得 2 2 21 4 9 9 1cos 2 2 3 3n n nFAB n n 在 1 2AFF 中 ， 由 余 弦 定 理 得2 2 14 4 2 2 2 43n n n n ， 解 得 32n 2 2 22 4 2 3, 3, 3 1 2,a n a b a c 所 求 椭 圆 方 程 为2 2 13 2x y ， 故 选 B法 二 ： 由 已 知 可 设 2F B n ， 则 2 12 , 3AF n BF AB n ， 由 椭 圆 的 定 义 有1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n 在 1 2
19、AFF 和 1 2BFF 中 ， 由 余 弦 定理 得 2 22 12 22 14 4 2 2 2 cos 4 ,4 2 2 cos 9n n AF F nn n BF F n ， 又 2 1 2 1,AF F BF F 互 补 ，2 1 2 1cos cos 0AF F BF F ， 两 式 消 去 2 1 2 1cos cosAF F BF F , ， 得2 23 6 11n n ， 解 得32n 2 2 22 4 2 3, 3, 3 1 2,a n a b a c 所 求 椭 圆 方 程 为2 2 13 2x y ， 故 选 B 【 点 睛 】本 题 考 查 椭 圆 标 准 方 程 及
20、其 简 单 性 质 ， 考 查 数 形 结 合 思 想 、 转 化 与 化 归 的 能 力 ， 很 试 卷 第 8页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 好 的 落 实 了 直 观 想 象 、 逻 辑 推 理 等 数 学 素 养 11 关 于 函 数 ( ) sin| | |sin |f x x x 有 下 述 四 个 结 论 ： f(x)是 偶 函 数 f(x)在 区 间 （ 2 , ） 单 调 递 增 f(x)在 , 有 4个 零 点 f(x)的 最 大 值 为 2其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是A B C D 【 答 案 】 C【 解 析
21、 】【 分 析 】 化 简 函 数 sin sinf x x x ， 研 究 它 的 性 质 从 而 得 出 正 确 答 案 【 详 解 】 sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x 为 偶 函 数 ， 故 正确 当 2 x 时 ， 2sinf x x ， 它 在 区 间 ,2 单 调 递 减 ， 故 错 误 当0 x 时 ， 2sinf x x ， 它 有 两 个 零 点 ： 0； 当 0 x 时 ， sin sin 2sinf x x x x ， 它 有 一 个 零 点 ： ， 故 f x 在 , 有 3个 零 点 ： 0 ， 故 错 误 当 2 ,2x k
22、 k k N 时 ， 2sinf x x ； 当 2 ,2 2x k k k N 时 ， sin sin 0f x x x ， 又 f x 为 偶 函 数 ， f x 的 最 大 值 为 2， 故 正 确 综 上 所 述 ， 正 确 ， 故 选 C【 点 睛 】画 出 函 数 sin sinf x x x 的 图 象 ， 由 图 象 可 得 正 确 ， 故 选 C 12 已 知 三 棱 锥 P-ABC的 四 个 顶 点 在 球 O的 球 面 上 ， PA=PB=PC， ABC是 边 长 为 2的 正 三 角 形 ， E， F分 别 是 PA， AB的 中 点 ， CEF=90 ， 则 球 O的
23、 体 积 为A 8 6 B 4 6 C 2 6 D 6 试 卷 第 9页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】先 证 得 PB 平 面 PAC ， 再 求 得 2PA PB PC ， 从 而 得 P ABC 为 正 方 体 一部 分 ， 进 而 知 正 方 体 的 体 对 角 线 即 为 球 直 径 ， 从 而 得 解 .【 详 解 】解 法 一 : ,PA PB PC ABC 为 边 长 为 2的 等 边 三 角 形 ， P ABC 为 正 三 棱 锥 ，PB AC ， 又 E， F 分 别 为 PA
24、、 AB 中 点 ，/EF PB ， EF AC ， 又 EF CE ， ,CE AC C EF 平 面 PAC ， PB 平 面 PAC ， 2APB PA PB PC ， P ABC 为 正 方 体 一 部 分 ，2 2 2 2 6R ， 即 36 4 4 6 6, 62 3 3 8R V R ，故选D 解 法 二 :设 2PA PB PC x ， ,E F 分 别 为 ,PA AB中 点 ，/EF PB ， 且 12EF PB x ， ABC 为 边 长 为 2的 等 边 三 角 形 ， 试 卷 第 10页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 3CF
25、又 90CEF 2 13 , 2CE x AE PA x AEC 中 余 弦 定 理 2 24 3cos 2 2x xEAC x ， 作 PD AC 于 D， PA PC ，DQ 为 AC 中 点 ， 1cos 2ADEAC PA x ， 2 24 3 14 2x xx x ，2 2 1 22 1 2 2 2x x x ， 2PA PB PC ， 又 = = =2AB BC AC ，, ,PA PB PC 两 两 垂 直 ， 2 2 2 2 6R ， 62R ， 34 4 6 6 63 3 8V R ， 故 选 D.【 点 睛 】本 题 考 查 学 生 空 间 想 象 能 力 ， 补 体 法
26、解 决 外 接 球 问 题 可 通 过 线 面 垂 直 定 理 ， 得 到 三 棱两 两 互 相 垂 直 关 系 ， 快 速 得 到 侧 棱 长 ， 进 而 补 体 成 正 方 体 解 决 试 卷 第 11页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 第 II 卷 （ 非 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题13 曲 线 23( )exy x x 在 点 (0,0)处 的 切 线 方 程 为 _【 答 案 】 3 0 x y .【 解 析 】【 分 析 】本 题 根 据 导 数 的 几 何
27、 意 义 ， 通 过 求 导 数 ， 确 定 得 到 切 线 的 斜 率 ， 利 用 直 线 方 程 的 点 斜 式 求 得 切 线 方 程【 详 解 】详 解 ： / 2 23(2 1) 3( ) 3( 3 1) ,x x xy x e x x e x x e 所 以 ， / 0| 3xk y 所 以 ， 曲 线 23( )exy x x 在 点 (0,0)处 的 切 线 方 程 为 3y x ， 即 3 0 x y 【 点 睛 】准 确 求 导 数 是 进 一 步 计 算 的 基 础 ， 本 题 易 因 为 导 数 的 运 算 法 则 掌 握 不 熟 ， 二 导 致 计 算 错误 求 导
28、要 “ 慢 ” ， 计 算 要 准 ， 是 解 答 此 类 问 题 的 基 本 要 求 14 记 Sn为 等 比 数 列 an的 前 n项 和 若 21 4 613a a a ， ， 则 S5=_【 答 案 】 1213 .【 解 析 】【 分 析 】本 题 根 据 已 知 条 件 ， 列 出 关 于 等 比 数 列 公 比 q的 方 程 ， 应 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 ， 计 算得 到 5S 题 目 的 难 度 不 大 ， 注 重 了 基 础 知 识 、 基 本 计 算 能 力 的 考 查 【 详 解 】设 等 比 数 列 的 公 比 为 q， 由 已 知 21 4 61,3
29、a a a ， 所 以 3 2 51 1( ) ,3 3q q 又 0q ， 所 以 3,q 所 以 5515 1(1 3 )(1 ) 12131 1 3 3a qS q 【 点 睛 】 试 卷 第 12页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 准 确 计 算 ， 是 解 答 此 类 问 题 的 基 本 要 求 本 题 由 于 涉 及 幂 的 乘 方 运 算 、 繁 分 式 分 式计 算 ， 部 分 考 生 易 出 现 运 算 错 误 15 甲 、 乙 两 队 进 行 篮 球 决 赛 ， 采 取 七 场 四 胜 制 （ 当 一 队 赢 得 四 场 胜 利 时
30、， 该 队 获 胜 ，决 赛 结 束 ） 根 据 前 期 比 赛 成 绩 ， 甲 队 的 主 客 场 安 排 依 次 为 “主 主 客 客 主 客 主 ” 设 甲 队主 场 取 胜 的 概 率 为 0.6， 客 场 取 胜 的 概 率 为 0.5， 且 各 场 比 赛 结 果 相 互 独 立 ， 则 甲 队 以 4 1获 胜 的 概 率 是 _【 答 案 】 0.18【 解 析 】【 分 析 】本 题 应 注 意 分 情 况 讨 论 ， 即 前 五 场 甲 队 获 胜 的 两 种 情 况 ， 应 用 独 立 事 件 的 概 率 的 计 算 公 式 求 解 题 目 有 一 定 的 难 度 ， 注
31、 重 了 基 础 知 识 、 基 本 计 算 能 力 及 分 类 讨 论 思 想 的 考 查 【 详 解 】前 四 场 中 有 一 场 客 场 输 ， 第 五 场 赢 时 ， 甲 队 以 4:1获 胜 的 概 率 是30.6 0.5 0.5 2 0.108, 前 四 场 中 有 一 场 主 场 输 ， 第 五 场 赢 时 ， 甲 队 以 4:1获 胜 的 概 率 是2 20.4 0.6 0.5 2 0.072, 综 上 所 述 ， 甲 队 以 4:1获 胜 的 概 率 是 0.108 0.072 0.18.q 【 点 睛 】 由 于 本 题 题 干 较 长 ， 所 以 ， 易 错 点 之 一
32、就 是 能 否 静 心 读 题 ， 正 确 理 解 题 意 ； 易 错 点 之 二是 思 维 的 全 面 性 是 否 具 备 ， 要 考 虑 甲 队 以 4:1获 胜 的 两 种 情 况 ； 易 错 点 之 三 是 是 否 能 够准 确 计 算 16 已 知 双 曲 线 C： 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2， 过 F1的 直 线与 C的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 A， B两 点 若 1F A AB ， 1 2 0FB F B ， 则 C的 离 心 率为 _【 答 案 】 2. 【 解 析 】【 分 析 】通 过 向
33、 量 关 系 得 到 1F A AB 和 1OA F A ， 得 到 1AOB AOF ， 结 合 双 曲 线 的 渐近 线 可 得 2 1,BOF AOF 02 1 60 ,BOF AOF BOA 从 而 由 试 卷 第 13页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 0tan60 3ba 可 求 离 心 率 .【 详 解 】如 图 ，由 1 ,FA AB 得 1 .F A AB 又 1 2,OF OF 得 OA是 三 角 形 1 2FF B的 中 位 线 ， 即 2 2/ , 2 .BF OA BF OA 由 1 2 0FB F B ， 得 1 2
34、 1, ,F B F B OA F A 则 1OB OF 有1AOB AOF ，又 OA 与 OB 都 是 渐 近 线 ， 得 2 1,BOF AOF 又 2 1BOF AOB AOF ， 得02 1 60 ,BOF AOF BOA 又 渐 近 线 OB 的 斜 率 为 0tan60 3ba ， 所 以 该双 曲 线 的 离 心 率 为 2 21 ( ) 1 ( 3) 2c be a a 【 点 睛 】 本 题 考 查 平 面 向 量 结 合 双 曲 线 的 渐 进 线 和 离 心 率 ， 渗 透 了 逻 辑 推 理 、 直 观 想 象 和 数 学 运算 素 养 采 取 几 何 法 ， 利 用
35、 数 形 结 合 思 想 解 题 评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题17 V ABC 的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， 设2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C （ 1） 求 A； （ 2） 若 2 2a b c ， 求 sinC【 答 案 】 （ 1） 3A ； （ 2） 6 2sin 4C .【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 14页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 （ 1） 利 用 正 弦 定 理 化 简 已 知 边 角 关 系 式 可 得 ： 2 2 2b c a bc ，
36、 从 而 可 整 理 出 cosA，根 据 0,A 可 求 得 结 果 ； （ 2） 利 用 正 弦 定 理 可 得 2 sin sin 2sinA B C ， 利 用 sin sinB A C 、 两 角 和 差 正 弦 公 式 可 得 关 于 sinC 和 cosC 的 方 程 ， 结 合 同 角 三角 函 数 关 系 解 方 程 可 求 得 结 果 .【 详 解 】（ 1） 2 2 2 2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sinB C B B C C A B C 即 ： 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C 由 正 弦 定 理
37、 可 得 ： 2 2 2b c a bc 2 2 2 1cos 2 2b c aA bc 0,A 3A =（ 2） 2 2a b c ， 由 正 弦 定 理 得 ： 2 sin sin 2sinA B C 又 sin sin sin cos cos sinB A C A C A C ， 3A 3 3 12 cos sin 2sin2 2 2C C C 整 理 可 得 ： 3sin 6 3cosC C 2 2sin cos 1C C 2 23sin 6 3 1 sinC C 解 得 ： 6 2sin 4C 或 6 24因 为 6sin 2sin 2sin 2sin 02B C A C 所 以 6
38、sin 4C ， 故6 2sin 4C . （ 2） 法 二 ： 2 2a b c ， 由 正 弦 定 理 得 ： 2 sin sin 2sinA B C 又 sin sin sin cos cos sinB A C A C A C ， 3A 3 3 12 cos sin 2sin2 2 2C C C 试 卷 第 15页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 整 理 可 得 ： 3sin 6 3cosC C ， 即 3sin 3cos 2 3sin 66C C C 2sin 6 2C 由 2(0, ), ( , )3 6 6 2C C ， 所 以 ,
39、6 4 4 6C C 6 2sin sin( )4 6 4C .【 点 睛 】本 题 考 查 利 用 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 解 三 角 形 的 问 题 ， 涉 及 到 两 角 和 差 正 弦 公 式 、 同 角 三 角 函 数 关 系 的 应 用 ， 解 题 关 键 是 能 够 利 用 正 弦 定 理 对 边 角 关 系 式 进 行 化 简 ， 得 到 余 弦 定理 的 形 式 或 角 之 间 的 关 系 .18 如 图 ， 直 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1的 底 面 是 菱 形 ， AA1=4， AB=2， BAD=60 ，E， M， N分 别 是 BC， BB1，
40、A1D的 中 点 （ 1） 证 明 ： MN 平 面 C1DE；（ 2） 求 二 面 角 A-MA1-N的 正 弦 值 【 答 案 】 （ 1） 见 解 析 ； （ 2） 105 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 利 用 三 角 形 中 位 线 和 1 1/AD BC可 证 得 /ME ND， 证 得 四 边 形 MNDE 为 平 行 四边 形 ， 进 而 证 得 /MN DE， 根 据 线 面 平 行 判 定 定 理 可 证 得 结 论 ； （ 2） 以 菱 形 ABCD对 角 线 交 点 为 原 点 可 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 通 过 取 AB 中 点 F ， 可 证
41、 得 DF 平 面 1AMA ，得 到 平 面 1AMA 的 法 向 量 DF； 再 通 过 向 量 法 求 得 平 面 1MAN的 法 向 量 n， 利 用 向 量 试 卷 第 16页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 夹 角 公 式 求 得 两 个 法 向 量 夹 角 的 余 弦 值 ， 进 而 可 求 得 所 求 二 面 角 的 正 弦 值 .【 详 解 】（ 1） 连 接 ME ， 1BCM ， E分 别 为 1BB ， BC 中 点 ME 为 1B BC 的 中 位 线1/ME BC 且 112ME B C又 N 为 1AD中 点 ， 且 1 1
42、/AD BC 1/ND BC 且 112ND BC/ME ND 四 边 形 MNDE 为 平 行 四 边 形/MN DE ， 又 MN 平 面 1C DE， DE 平 面 1C DE/MN 平 面 1C DE（ 2） 设 AC BD O ， 1 1 1 1 1AC B D O 由 直 四 棱 柱 性 质 可 知 ： 1OO 平 面 ABCD四 边 形 ABCD为 菱 形 AC BD 则 以 O为 原 点 ， 可 建 立 如 下 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ： 则 ： 3,0,0A ， 0,1,2M ， 1 3,0,4A ， D（ 0， -1,0） 3 1, ,22 2N 试 卷
43、 第 17页 ， 总 25页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 取 AB 中 点 F ， 连 接 DF ， 则 03 1, ,2 2F 四 边 形 ABCD为 菱 形 且 60BAD BAD 为 等 边 三 角 形 DF AB 又 1AA 平 面 ABCD， DF 平 面 ABCD 1DF AA DF 平 面 1 1ABB A ， 即 DF 平 面 1AMADF 为 平 面 1AMA 的 一 个 法 向 量 ， 且 3 3, ,02 2DF 设 平 面 1MAN的 法 向 量 , ,n x y zr ， 又 1 3, 1,2MA ， 3 3, ,02 2MN 1
44、 3 2 03 3 02 2n MA x y zn MN x y ， 令 3x ， 则 1y ， 1z 3,1, 1n 3 15cos , 515DF nDF n DF n 10sin , 5DF n 二 面 角 1A MA N 的 正 弦 值 为 ： 105【 点 睛 】本 题 考 查 线 面 平 行 关 系 的 证 明 、 空 间 向 量 法 求 解 二 面 角 的 问 题 .求 解 二 面 角 的 关 键 是 能 够 利 用 垂 直 关 系 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 从 而 通 过 求 解 法 向 量 夹 角 的 余 弦 值 来 得 到 二 面 角的 正 弦 值 ， 属 于
45、 常 规 题 型 .19 已 知 抛 物 线 C： y2=3x的 焦 点 为 F， 斜 率 为 32 的 直 线 l与 C的 交 点 为 A， B， 与 x轴 的 交 点 为 P（ 1） 若 |AF|+|BF|=4， 求 l的 方 程 ；（ 2） 若 3AP PB ， 求 |AB|【 答 案 】 （ 1） 12 8 7 0 x y ； （ 2） 4 133 . 【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 设 直 线 l： 3y= x m2 ， 1 1,A x y ， 2 2,B x y ； 根 据 抛 物 线 焦 半 径 公 式 可 得 试 卷 第 18页 ， 总 25页 外 装 订 线 请不要在装
46、订 线内答题 内 装 订 线 1 2 52x x ； 联 立 直 线 方 程 与 抛 物 线 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理 可 构 造 关 于 m 的 方 程 ， 解 方 程求 得 结 果 ； （ 2） 设 直 线 l： 23x y t ； 联 立 直 线 方 程 与 抛 物 线 方 程 ， 得 到 韦 达 定 理 的形 式 ； 利 用 3AP PB 可 得 1 23y y ， 结 合 韦 达 定 理 可 求 得 1 2y y ； 根 据 弦 长 公 式 可 求得 结 果 .【 详 解 】（ 1） 设 直 线 l方 程 为 ： 3y= x m2 ， 1 1,A x y ， 2 2,B x y由 抛 物 线 焦 半 径 公 式 可 知 ： 1 2 3 42
