1、试 卷 第 1页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2019年全国统一高考数学试卷（文科)（新课标)试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I 卷 （ 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分 一 、 单 选 题1 已 知 集 合 = | 1A x
2、 x ， | 2B x x ， 则 A B=A ( 1， + ) B ( ， 2)C (1， 2) D 【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 本 题 借 助 于 数 轴 ， 根 据 交 集 的 定 义 可 得 【 详 解 】由 题 知 ， ( 1,2)A B ， 故 选 C【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 交 集 运 算 ， 容 易 题 ， 注 重 了 基 础 知 识 、 基 本 计 算 能 力 的 考 查 易 错 点 是 理解 集 合 的 概 念 及 交 集 概 念 有 误 ， 不 能 借 助 数 轴 解 题 2 设 z=i(2+i)， 则 z =A 1+2i B 1+2iC
3、12i D 12i 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】本 题 根 据 复 数 的 乘 法 运 算 法 则 先 求 得 z ， 然 后 根 据 共 轭 复 数 的 概 念 ， 写 出 z 试 卷 第 2页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 详 解 】 2i(2 i) 2i i 1 2iz ，所 以 1 2z i ， 选 D【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 复 数 的 运 算 及 共 轭 复 数 ， 容 易 题 ， 注 重 了 基 础 知 识 、 基 本 计 算 能 力 的 考查 理 解 概 念 ， 准 确 计 算 ， 是 解 答 此 类
4、问 题 的 基 本 要 求 部 分 考 生 易 出 现 理 解 性 错 误 3 已 知 向 量 a=(2， 3)， b=(3， 2)， 则 |a b|=A 2 B 2C 5 2 D 50 【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】本 题 先 计 算 a b ， 再 根 据 模 的 概 念 求 出 | |a b 【 详 解 】由 已 知 ， (2,3) (3,2) ( 1,1) a b ，所 以 2 2| | ( 1) 1 2 a b ，故 选 A 【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 平 面 向 量 模 长 的 计 算 ， 容 易 题 ， 注 重 了 基 础 知 识 、 基 本 计 算 能
5、 力 的 考 查 由于 对 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 存 在 理 解 错 误 ， 从 而 导 致 计 算 有 误 ； 也 有 可 能 在 计 算 模 的 过 程中 出 错 4 生 物 实 验 室 有 5只 兔 子 ， 其 中 只 有 3只 测 量 过 某 项 指 标 ， 若 从 这 5只 兔 子 中 随 机 取出 3只 ， 则 恰 有 2只 测 量 过 该 指 标 的 概 率 为A 23 B 35C 25 D 15【 答 案 】 B 【 解 析 】【 分 析 】本 题 首 先 用 列 举 法 写 出 所 有 基 本 事 件 ， 从 中 确 定 符 合 条 件 的 基 本 事 件 数
6、， 应 用 古 典 概 率的 计 算 公 式 求 解 试 卷 第 3页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 详 解 】设 其 中 做 过 测 试 的 3只 兔 子 为 , ,a b c， 剩 余 的 2只 为 ,A B ， 则 从 这 5只 中 任 取 3只 的 所有 取 法 有 , , , , , , , , , , , , , , , , , a b c a b A a b B a c A a c B a A B ， ,c, , ,c, ,b, , ,c, , b A b B A B A B 共 10种 其 中 恰 有 2只 做 过 测 试
7、 的 取 法 有 , , , , , , , , , , , ,a b A a b B a c A a c B ,c, , ,c, b A b B 共 6种 ，所 以 恰 有 2只 做 过 测 试 的 概 率 为 6 310 5 ， 选 B【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 古 典 概 率 的 求 解 ， 题 目 较 易 ， 注 重 了 基 础 知 识 、 基 本 计 算 能 力 的 考 查 应 用 列 举 法 写 出 所 有 基 本 事 件 过 程 中 易 于 出 现 遗 漏 或 重 复 ， 将 兔 子 标 注 字 母 ， 利 用 “ 树 图法 ” ， 可 最 大 限 度 的 避 免 出
8、错 5 在 “ 一 带 一 路 ” 知 识 测 验 后 ， 甲 、 乙 、 丙 三 人 对 成 绩 进 行 预 测 甲 ： 我 的 成 绩 比 乙 高 乙 ： 丙 的 成 绩 比 我 和 甲 的 都 高 丙 ： 我 的 成 绩 比 乙 高 成 绩 公 布 后 ， 三 人 成 绩 互 不 相 同 且 只 有 一 个 人 预 测 正 确 ， 那 么 三 人 按 成 绩 由 高 到 低的 次 序 为A 甲 、 乙 、 丙 B 乙 、 甲 、 丙C 丙 、 乙 、 甲 D 甲 、 丙 、 乙【 答 案 】 A 【 解 析 】【 分 析 】利 用 逐 一 验 证 的 方 法 进 行 求 解 .【 详 解
9、 】若 甲 预 测 正 确 ， 则 乙 、 丙 预 测 错 误 ， 则 甲 比 乙 成 绩 高 ， 丙 比 乙 成 绩 低 ， 故 3人 成 绩 由 高到 低 依 次 为 甲 ， 乙 ， 丙 ； 若 乙 预 测 正 确 ， 则 丙 预 测 也 正 确 ， 不 符 合 题 意 ； 若 丙 预 测 正 确 ，则 甲 必 预 测 错 误 ， 丙 比 乙 的 成 绩 高 ， 乙 比 甲 成 绩 高 ， 即 丙 比 甲 ， 乙 成 绩 都 高 ， 即 乙 预 测正 确 ， 不 符 合 题 意 ， 故 选 A【 点 睛 】 本 题 将 数 学 知 识 与 时 政 结 合 ， 主 要 考 查 推 理 判 断
10、 能 力 题 目 有 一 定 难 度 ， 注 重 了 基 础 知识 、 逻 辑 推 理 能 力 的 考 查 6 设 f(x)为 奇 函 数 ， 且 当 x0时 ， f(x)= ， 则 当 x0时 ， f(x)=A. B. C. D. 试 卷 第 4页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】先 把 x0,代 入 可 得 ， 结 合 奇 偶 性 可 得 .【 详 解 】 是 奇 函 数 ， 时 ， 当 时 ， ， ， 得 故 选 D【 点 睛 】本 题 考 查 分 段 函 数 的 奇 偶 性 和 解 析 式 ， 渗 透
11、 了 数 学 抽 象 和 数 学 运 算 素 养 采 取 代 换 法 ，利 用 转 化 与 化 归 的 思 想 解 题 7 设 ， 为 两 个 平 面 ， 则 的 充 要 条 件 是A 内 有 无 数 条 直 线 与 平 行B 内 有 两 条 相 交 直 线 与 平 行C ， 平 行 于 同 一 条 直 线D ， 垂 直 于 同 一 平 面【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】本 题 考 查 了 空 间 两 个 平 面 的 判 定 与 性 质 及 充 要 条 件 ， 渗 透 直 观 想 象 、 逻 辑 推 理 素 养 ， 利 用 面 面 平 行 的 判 定 定 理 与 性 质 定 理
12、即 可 作 出 判 断 【 详 解 】由 面 面 平 行 的 判 定 定 理 知 ： 内 两 条 相 交 直 线 都 与 平 行 是 / 的 充 分 条 件 ， 由 面面 平 行 性 质 定 理 知 ， 若 / ， 则 内 任 意 一 条 直 线 都 与 平 行 ， 所 以 内 两 条 相 交直 线 都 与 平 行 是 / 的 必 要 条 件 ， 故 选 B【 点 睛 】面 面 平 行 的 判 定 问 题 要 紧 扣 面 面 平 行 判 定 定 理 ， 最 容 易 犯 的 错 误 为 定 理 记 不 住 ， 凭 主 观 臆 断 ， 如 ： “ 若 , , /a b a b ， 则 / ” 此
13、类 的 错 误 8 若 x1= 4 ， x2=34 是 函 数 f(x)=sin x (0)两 个 相 邻 的 极 值 点 ， 则 =A 2 B 32C 1 D 12 试 卷 第 5页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】从 极 值 点 可 得 函 数 的 周 期 ， 结 合 周 期 公 式 可 得 .【 详 解 】由 题 意 知 ， ( ) sinf x x 的 周 期 2 32( )4 4T ， 得 2 故 选 A【 点 睛 】本 题 考 查 三 角 函 数 的 极 值 、 最 值 和 周 期 ，
14、渗 透 了 直 观 想 象 、 逻 辑 推 理 和 数 学 运 算 素 养 采取 公 式 法 ， 利 用 方 程 思 想 解 题 9 若 抛 物 线 y2=2px（ p0） 的 焦 点 是 椭 圆 2 23 1x yp p 的 一 个 焦 点 ， 则 p=A 2 B 3C 4 D 8【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】利 用 抛 物 线 与 椭 圆 有 共 同 的 焦 点 即 可 列 出 关 于 p 的 方 程 ， 即 可 解 出 p ， 或 者 利 用 检 验排 除 的 方 法 ， 如 2p 时 ， 抛 物 线 焦 点 为 （ 1， 0） ， 椭 圆 焦 点 为 （ 2， 0） ，
15、 排 除 A， 同 样 可 排 除 B， C， 故 选 D【 详 解 】因 为 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p 的 焦 点 ( ,0)2p 是 椭 圆 2 23 1x yp p 的 一 个 焦 点 ， 所 以23 ( )2pp p ， 解 得 8p ， 故 选 D【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 抛 物 线 与 椭 圆 的 几 何 性 质 ， 渗 透 逻 辑 推 理 、 运 算 能 力 素 养 10 曲 线 y=2sinx+cosx 在 点 ( ， 1)处 的 切 线 方 程 为 A 1 0 x y B 2 2 1 0 x y C 2 2 1 0 x y D 1 0 x y 【
16、答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 6页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 先 判 定 点 ( , 1) 是 否 为 切 点 ， 再 利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 解 .【 详 解 】当 x 时 ， 2sin cos 1y ， 即 点 ( , 1) 在 曲 线 2sin cosy x x 上 2cos sin ,y x x 2cos sin 2,xy 则 2sin cosy x x 在 点( , 1) 处 的 切 线 方 程 为 ( 1) 2( )y x ， 即 2 2 1 0 x y 故 选 C【 点 睛 】本 题 考 查
17、利 用 导 数 工 具 研 究 曲 线 的 切 线 方 程 ， 渗 透 了 直 观 想 象 、 逻 辑 推 理 和 数 学 运 算 素养 采 取 导 数 法 ， 利 用 函 数 与 方 程 思 想 解 题 学 生 易 在 非 切 点 处 直 接 求 导 数 而 出 错 ， 首 先 证 明 已 知 点 是 否 为 切 点 ， 若 是 切 点 ， 可 以 直 接 利 用 导 数 求 解 ； 若 不 是 切 点 ， 设 出 切 点 ，再 求 导 ， 然 后 列 出 切 线 方 程 11 已 知 a （ 0， 2） ， 2sin2=cos2+1， 则 sin=A 15 B 55C 33 D 2 55【
18、 答 案 】 B 【 解 析 】【 分 析 】利 用 二 倍 角 公 式 得 到 正 余 弦 关 系 ， 利 用 角 范 围 及 正 余 弦 平 方 和 为 1关 系 得 出 答 案 【 详 解 】2sin2 cos2 1 ， 24sin cos 2cos . 0, , cos 02 sin 0, 2sin cos ， 又 2 2sin cos 1 ， 2 2 15sin 1, sin 5 ，又 sin 0 ， 5sin 5 ， 故 选 B 【 点 睛 】本 题 为 三 角 函 数 中 二 倍 角 公 式 、 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 的 考 查 ， 中 等 难 度 ， 判
19、断 正 余弦 正 负 ， 运 算 准 确 性 是 关 键 ， 题 目 不 难 ， 需 细 心 ， 解 决 三 角 函 数 问 题 ， 研 究 角 的 范 围 后得 出 三 角 函 数 值 的 正 负 ， 很 关 键 ， 切 记 不 能 凭 感 觉 试 卷 第 7页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 12 设 F 为 双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b （ a0， b0） 的 右 焦 点 ， O 为 坐 标 原 点 ， 以 OF 为直 径 的 圆 与 圆 x2+y2=a2交 于 P、 Q 两 点 若 |PQ|=|OF|， 则 C 的 离
20、 心 率 为A 2 B 3C 2 D 5【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】准 确 画 图 ， 由 图 形 对 称 性 得 出 P点 坐 标 ， 代 入 圆 的 方 程 得 到 c与 a关 系 ， 可 求 双 曲 线 的 离 心 率 【 详 解 】设 PQ与 x轴 交 于 点 A， 由 对 称 性 可 知 PQ x 轴 ，又 | |PQ OF c ， | | ,2cPA PA 为 以 OF 为 直 径 的 圆 的 半 径 ，A 为 圆 心 | | 2cOA ,2 2c cP ， 又 P 点 在 圆 2 2 2x y a 上 ，2 2 24 4c c a ， 即 2 22 2 2, 2
21、2c ca e a 2e ， 故 选 A 【 点 睛 】本 题 为 圆 锥 曲 线 离 心 率 的 求 解 ， 难 度 适 中 ， 审 题 时 注 意 半 径 还 是 直 径 ， 优 先 考 虑 几何 法 ， 避 免 代 数 法 从 头 至 尾 ， 运 算 繁 琐 ， 准 确 率 大 大 降 低 ， 双 曲 线 离 心 率 问 题 是 圆 锥 曲 试 卷 第 8页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 线 中 的 重 点 问 题 ， 需 强 化 练 习 ， 才 能 在 解 决 此 类 问 题 时 事 半 功 倍 ， 信 手 拈 来 试 卷 第 9页 ， 总 1
22、9页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 第 II 卷 （ 非 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题13 若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 2 3 6 03 02 0 x yx yy ， 则 z=3xy 的 最 大 值 是 _.【 答 案 】 9.【 解 析 】【 分 析 】 作 出 可 行 域 ， 平 移 3 0 x y 找 到 目 标 函 数 取 到 最 大 值 的 点 ， 求 出 点 的 坐 标 ， 代 入 目 标函 数 可 得 .【 详 解 】画 出 不 等 式 组 表 示 的
23、可 行 域 ， 如 图 所 示 ， 阴 影 部 分 表 示 的 三 角 形 ABC区 域 ， 根 据 直 线 3 0 x y z 中 的 z 表 示 纵 截 距 的 相 反 数 ，当 直 线 3z x y 过 点 3,0C（ ） 时 ， z 取 最 大 值 为 9【 点 睛 】本 题 考 查 线 性 规 划 中 最 大 值 问 题 ， 渗 透 了 直 观 想 象 、 逻 辑 推 理 和 数 学 运 算 素 养 采 取 图解 法 ， 利 用 数 形 结 合 思 想 解 题 搞 不 清 楚 线 性 目 标 函 数 的 几 何 意 义 致 误 ， 从 线 性 目 标 函数 对 应 直 线 的 截 距
24、 观 察 可 行 域 ， 平 移 直 线 进 行 判 断 取 最 大 值 还 是 最 小 值 14 我 国 高 铁 发 展 迅 速 ， 技 术 先 进 经 统 计 ， 在 经 停 某 站 的 高 铁 列 车 中 ， 有 10个 车 次的 正 点 率 为 0.97， 有 20个 车 次 的 正 点 率 为 0.98， 有 10个 车 次 的 正 点 率 为 0.99， 则 经 停该 站 高 铁 列 车 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为 _. 【 答 案 】 0 98.【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 10页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题
25、 内 装 订 线 本 题 考 查 通 过 统 计 数 据 进 行 概 率 的 估 计 ， 采 取 估 算 法 ， 利 用 概 率 思 想 解 题 【 详 解 】由 题 意 得 ， 经 停 该 高 铁 站 的 列 车 正 点 数 约 为 10 0.97 20 0.98 10 0.99 39.2 ，其 中 高 铁 个 数 为 10+20+10=40， 所 以 该 站 所 有 高 铁 平 均 正 点 率 约 为 39.2 0.9840 【 点 睛 】本 题 考 点 为 概 率 统 计 ， 渗 透 了 数 据 处 理 和 数 学 运 算 素 养 侧 重 统 计 数 据 的 概 率 估 算 ， 难度 不
26、 大 易 忽 视 概 率 的 估 算 值 不 是 精 确 值 而 失 误 ， 根 据 分 类 抽 样 的 统 计 数 据 ， 估 算 出 正点 列 车 数 量 与 列 车 总 数 的 比 值 15 V ABC 的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c.已 知 bsinA+acosB=0， 则B=_. 【 答 案 】 34 .【 解 析 】【 分 析 】先 根 据 正 弦 定 理 把 边 化 为 角 ， 结 合 角 的 范 围 可 得 .【 详 解 】由 正 弦 定 理 ， 得 sin sin sin cos 0B A A B (0, ), (0, )A B ， sin
27、 0,A 得sin cos 0B B ， 即 tan 1B ， 3 .4B 故 选 D【 点 睛 】 本 题 考 查 利 用 正 弦 定 理 转 化 三 角 恒 等 式 ， 渗 透 了 逻 辑 推 理 和 数 学 运 算 素 养 采 取 定 理 法 ，利 用 转 化 与 化 归 思 想 解 题 忽 视 三 角 形 内 角 的 范 围 致 误 ， 三 角 形 内 角 均 在 (0, ) 范 围 内 ，化 边 为 角 ， 结 合 三 角 函 数 的 恒 等 变 化 求 角 16 中 国 有 悠 久 的 金 石 文 化 ， 印 信 是 金 石 文 化 的 代 表 之 一 印 信 的 形 状 多 为
28、长 方 体 、 正方 体 或 圆 柱 体 ， 但 南 北 朝 时 期 的 官 员 独 孤 信 的 印 信 形 状 是 “半 正 多 面 体 ”（ 图 1） .半 正 多面 体 是 由 两 种 或 两 种 以 上 的 正 多 边 形 围 成 的 多 面 体 .半 正 多 面 体 体 现 了 数 学 的 对 称美 图 2是 一 个 棱 数 为 48的 半 正 多 面 体 ， 它 的 所 有 顶 点 都 在 同 一 个 正 方 体 的 表 面 上 ，且 此 正 方 体 的 棱 长 为 1 则 该 半 正 多 面 体 共 有 _个 面 ， 其 棱 长 为 _ 试 卷 第 11页 ， 总 19页外 装
29、订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 答 案 】 共 26个 面 . 棱 长 为 2 1 .【 解 析 】【 分 析 】第 一 问 可 按 题 目 数 出 来 ， 第 二 问 需 在 正 方 体 中 简 单 还 原 出 物 体 位 置 ， 利 用 对 称 性 ， 平 面几 何 解 决 【 详 解 】由 图 可 知 第 一 层 与 第 三 层 各 有 9个 面 ， 计 18个 面 ， 第 二 层 共 有 8个 面 ， 所 以 该 半 正 多面 体 共 有 18 8 26 个 面 如 图 ， 设 该 半 正 多 面 体 的 棱 长 为 x， 则 AB BE x ， 延 长
30、 BC 与 FE交 于 点 G ， 延 长BC 交 正 方 体 棱 于 H ， 由 半 正 多 面 体 对 称 性 可 知 ， BGE 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，2 2, 2 ( 2 1) 12 2BG GE CH x GH x x x ，1 2 12 1x ， 即 该 半 正 多 面 体 棱 长 为 2 1 【 点 睛 】本 题 立 意 新 颖 ， 空 间 想 象 能 力 要 求 高 ， 物 体 位 置 还 原 是 关 键 ， 遇 到 新 题 别 慌 乱 ， 题 目 其实 很 简 单 ， 稳 中 求 胜 是 关 键 立 体 几 何 平 面 化 ， 无 论 多 难 都 不 怕 ， 强
31、大 空 间 想 象 能 力 ，快 速 还 原 图 形 评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题17 如 图 ， 长 方 体 ABCDA 1B1C1D1的 底 面 ABCD 是 正 方 形 ， 点 E 在 棱 AA1上 ， BE EC1. 试 卷 第 12页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 （ 1） 证 明 ： BE 平 面 EB 1C1；（ 2） 若 AE=A1E， AB=3， 求 四 棱 锥 1 1E BBCC 的 体 积 【 答 案 】 （ 1） 见 详 解 ； （ 2） 18【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 先 由 长 方 体 得 ， 1 1BC
32、 平 面 1 1AAB B， 得 到 1 1BC BE ， 再 由 1BE EC ， 根 据线 面 垂 直 的 判 定 定 理 ， 即 可 证 明 结 论 成 立 ；（ 2） 先 设 长 方 体 侧 棱 长 为 2a， 根 据 题 中 条 件 求 出 3a ； 再 取 1BB 中 点 F ， 连 结 EF ， 证 明 EF 平 面 1 1BBCC， 根 据 四 棱 锥 的 体 积 公 式 ， 即 可 求 出 结 果 .【 详 解 】（ 1） 因 为 在 长 方 体 1 1 1 1ABCD ABC D 中 ， 1 1BC 平 面 1 1AAB B；BE 平 面 1 1AAB B， 所 以 1 1
33、BC BE ，又 1BE EC ， 1 1 1 1BC EC C ， 且 1EC 平 面 1 1EBC ， 1 1BC 平 面 1 1EBC ，所 以 BE平 面 1 1EBC ；（ 2） 设 长 方 体 侧 棱 长 为 2a， 则 1AE AE a ， 由 （ 1） 可 得 1EB BE ； 所 以 2 2 21 1EB BE BB ， 即 2 212BE BB ，又 3AB ， 所 以 2 2 212 2AE AB BB ， 即 2 22 18 4a a ， 解 得 3a ；取 1BB 中 点 F ， 连 结 EF ， 因 为 1AE AE ， 则 EF AB ；所 以 EF 平 面 1
34、1BBCC，所 以 四 棱 锥 1 1E BBCC 的 体 积 为 试 卷 第 13页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 1 1 1 1 11 1 1 3 6 3 183 3 3E BB C C BB C CV S EF BC BB EF 矩 形 .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 线 面 垂 直 的 判 定 ， 依 据 四 棱 锥 的 体 积 ， 熟 记 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 ， 以 及 四 棱 锥 的 体 积 公 式 即 可 ， 属 于 基 础 题 型 .18 已 知 na 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ，
35、 1 3 22, 2 16a a a .（ 1） 求 na 的 通 项 公 式 ；（ 2） 设 2logn nb a ， 求 数 列 nb 的 前 n 项 和 .【 答 案 】 （ 1） 2 12 nna ； （ 2） 2nS n .【 解 析 】【 分 析 】 (1)本 题 首 先 可 以 根 据 数 列 na 是 等 比 数 列 将 3a 转 化 为 21a q ， 2a 转 化 为 1a q， 再 然 后 将其 带 入 3 22 16a a= + 中 ， 并 根 据 数 列 na 是 各 项 均 为 正 数 以 及 1 2a 即 可 通 过 运 算 得出 结 果 ；(2)本 题 可 以
36、通 过 数 列 na 的 通 项 公 式 以 及 对 数 的 相 关 性 质 计 算 出 数 列 nb 的 通 项 公式 ， 再 通 过 数 列 nb 的 通 项 公 式 得 知 数 列 nb 是 等 差 数 列 ， 最 后 通 过 等 差 数 列 求 和 公式 即 可 得 出 结 果 。【 详 解 】 (1)因 为 数 列 na 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 3 22 16a a= + ， 1 2a ，所 以 令 数 列 na 的 公 比 为 q， 2 23 1 =2a a q q= ， 2 1 2a a q q= = ，所 以 22 4 16q q= + ， 解 得
37、2q (舍 去 )或 4，所 以 数 列 na 是 首 项 为 2、 公 比 为 4的 等 比 数 列 ， 1 2 12 4 2n nna 。 试 卷 第 14页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 (2)因 为 2logn nb a ， 所 以 2 1nb n ， +1 2 1nb n= + ， 1 2n nb b+ - = ，所 以 数 列 nb 是 首 项 为 1、 公 差 为 2的 等 差 数 列 ， 21 2 12nnS n n+ -= = 。【 点 睛 】本 题 考 查 数 列 的 相 关 性 质 ， 主 要 考 查 等 差 数 列 以 及 等
38、比 数 列 的 通 项 公 式 的 求 法 ， 考 查 等差 数 列 求 和 公 式 的 使 用 ， 考 查 化 归 与 转 化 思 想 ， 考 查 计 算 能 力 ， 是 简 单 题 。19 某 行 业 主 管 部 门 为 了 解 本 行 业 中 小 企 业 的 生 产 情 况 ， 随 机 调 查 了 100个 企 业 ， 得 到这 些 企 业 第 一 季 度 相 对 于 前 一 年 第 一 季 度 产 值 增 长 率 y 的 频 数 分 布 表 .y的 分 组 0.20,0) 0,0.20) 0.20,0.40) 0.40,0.60) 0.60,0.80)企 业 数 2 24 53 14
39、7 （ 1） 分 别 估 计 这 类 企 业 中 产 值 增 长 率 不 低 于 40%的 企 业 比 例 、 产 值 负 增 长 的 企 业比 例 ；（ 2） 求 这 类 企 业 产 值 增 长 率 的 平 均 数 与 标 准 差 的 估 计 值 （ 同 一 组 中 的 数 据 用 该 组区 间 的 中 点 值 为 代 表 ） .（ 精 确 到 0.01）附 ： 74 8.602 .【 答 案 】 (1) 增 长 率 超 过 040 0的 企 业 比 例 为 21100 ， 产 值 负 增 长 的 企 业 比 例 为 2 1100 50= ；（ 2） 平 均 数 0.3； 标 准 差 0.1
40、7.【 解 析 】【 分 析 】 (1)本 题 首 先 可 以 通 过 题 意 确 定 100个 企 业 中 增 长 率 超 过 040 0的 企 业 以 及 产 值 负 增 长的 企 业 的 个 数 ， 然 后 通 过 增 长 率 超 过 040 0的 企 业 以 及 产 值 负 增 长 的 企 业 的 个 数 除 随 机调 查 的 企 业 总 数 即 可 得 出 结 果 ；(2)可 通 过 平 均 值 以 及 标 准 差 的 计 算 公 式 得 出 结 果 。【 详 解 】(1)由 题 意 可 知 ， 随 机 调 查 的 100个 企 业 中 增 长 率 超 过 040 0的 企 业 有
41、14 7 21+ = 个 ，产 值 负 增 长 的 企 业 有 2个 ， 所 以 增 长 率 超 过 040 0的 企 业 比 例 为 21100 ， 产 值 负 增 长 的 企 业 比 例 为 2 1100 50= 。(2)由 题 意 可 知 ， 平 均 值 ( )2 0.1 24 0.1 53 0.3 14 0.5 7 0.7100 0.3y - + + + + = = ，标 准 差 的 平 方 ：( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 1100 2 0.1 0.3 24 0.1 0.3 53 0.3 0.3 14 0.5 0.3 7 0.7 0.3s 轾= - - +
42、 - + - + - + -犏臌 试 卷 第 15页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 1100 0.32 0.96 0.56 1.12 0.0296= + + + = ，所 以 标 准 差 0.0296 0.0004 74 0.02 8.602 0.17s = = 椿 椿 。【 点 睛 】本 题 考 查 平 均 值 以 及 标 准 差 的 计 算 ， 主 要 考 查 平 均 值 以 及 标 准 差 的 计 算 公 式 ， 考 查 学 生从 信 息 题 中 获 取 所 需 信 息 的 能 力 ， 考 查 学 生 的 计 算 能 力 ， 是 简 单
43、 题 。20 已 知 1 2,F F 是 椭 圆 2 22 2: 1( 0)x yC a ba b 的 两 个 焦 点 ， P 为 C 上 一 点 ， O 为 坐标 原 点 （ 1） 若 2POFV 为 等 边 三 角 形 ， 求 C 的 离 心 率 ；（ 2)如 果 存 在 点 P， 使 得 1 2PF PF ， 且 1 2FPF 的 面 积 等 于 16， 求 b 的 值 和a 的 取 值 范 围 .【 答 案 】 (1) 3 1e ； （ 2） 4b ， a 的 取 值 范 围 为 4 2, ) .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 先 连 结 1PF ， 由 2POFV 为 等 边
44、三 角 形 ， 得 到 1 2 90FPF ， 2PF c ， 1 3PF c ；再 由 椭 圆 定 义 ， 即 可 求 出 结 果 ； （ 2） 先 由 题 意 得 到 ， 满 足 条 件 的 点 ( , )P x y 存 在 ， 当 且 仅 当 1 2 162 y c ，1y yx c x c ， 2 22 2 1x ya b ， 根 据 三 个 式 子 联 立 ， 结 合 题 中 条 件 ， 即 可 求 出 结 果 .【 详 解 】（ 1） 连 结 1PF ， 由 2POFV 为 等 边 三 角 形 可 知 ： 在 1 2FPF 中 ， 1 2 90FPF ，2PF c ， 1 3PF
45、c ，于 是 1 22 3a PF PF c c ， 故 椭 圆 C 的 离 心 率 为 2 3 11 3ce a ；（ 2） 由 题 意 可 知 ， 满 足 条 件 的 点 ( , )P x y 存 在 ， 当 且 仅 当 1 2 162 y c ，1y yx c x c ， 2 22 2 1x ya b ， 试 卷 第 16页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 即 16c y 2 2 2x y c 2 22 2 1x ya b 由 以 及 2 2 2a b c 得 42 2by c ， 又 由 知 22 216y c ， 故 4b ；由 得 22 2
46、22 ( )ax c bc ， 所 以 2 2c b ， 从 而 2 2 2 22 32a b c b ， 故 4 2a ；当 4b ， 4 2a 时 ， 存 在 满 足 条 件 的 点 P . 故 4b ， a 的 取 值 范 围 为 4 2, ) .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 求 椭 圆 的 离 心 率 ， 以 及 椭 圆 中 存 在 定 点 满 足 题 中 条 件 的 问 题 ， 熟 记 椭 圆 的简 单 性 质 即 可 求 解 ， 考 查 计 算 能 力 ， 属 于 中 档 试 题 .21 已 知 函 数 ( ) ( 1)ln 1f x x x x .证 明 ：（ 1） (
47、)f x 存 在 唯 一 的 极 值 点 ；（ 2） ( )=0f x 有 且 仅 有 两 个 实 根 ， 且 两 个 实 根 互 为 倒 数 .【 答 案 】 （ 1） 见 详 解 ； （ 2） 见 详 解 【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 先 对 函 数 ( )f x 求 导 ， 根 据 导 函 数 的 单 调 性 ， 得 到 存 在 唯 一 0 x ， 使 得 0( ) 0f x ，进 而 可 得 判 断 函 数 ( )f x 的 单 调 性 ， 即 可 确 定 其 极 值 点 个 数 ， 证 明 出 结 论 成 立 ；（ 2） 先 由 （ 1） 的 结 果 ， 得 到 0( ) (1) 2 0f x f ， 2 2( ) 3 0f e e ， 得 到 ( ) 0f x 在 0( , )x 内 存 在 唯 一 实 根 ， 记 作 x ， 再 求 出 1( ) 0f ， 即 可 结 合 题 意 ， 说 明 结论 成 立 .【 详 解 】 （ 1） 由 题 意 可 得 ， ( )f x 的 定 义 域 为 (0, ) ，由 ( ) ( 1)ln 1f x x x x ，得
