1、2018年 黑 龙 江 省 大 庆 市 高 考 一 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 A=-1， 0， 1， 2， 3， B=x|x| 2， 则 A B的 值 为 ( )A.-1， 0， 1， 2B.-2， -1， 0， 1， 2C.0， 1， 2D.1， 2解 析 ： 分 别 求 出 集 合 A， B， 由 此 能 求 出 A B. 集 合 A=-1， 0， 1， 2， 3， B=x|x| 2=x|
2、-2 x 2， A B=-1， 0， 1， 2.答 案 ： A2.若 复 数 21 iz i ， 则 z 在 复 平 面 内 所 对 应 的 点 位 于 的 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： 利 用 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 化 简 求 得 z所 对 应 点 的 坐 标 得 答 案 . 1 322 12 1 31 1 1 2 2 i ii iz ii i i ， 复 数 z 在 复 平 面 内 所 对 应 的 点 的 坐 标 为 ( 12 ， 32 )， 位 于 第 四 象 限 .答 案 ： D3.若 x， y 满 足
3、1 11 yx yy x ， 则 2x+y 的 最 大 值 为 ( )A.2B.5C.6D.7解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 ， 利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义 ， 求 最 大 值 . 作 出 x， y 满 足 1 11 yx yy x 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： (阴 影 部 分 ). 由 z=2x+y 得 y=-2x+z，平 移 直 线 y=-2x+z，由 图 象 可 知 当 直 线 y=-2x+z经 过 点 A 时 ， 直 线 y=-2x+z的 截 距 最 大 ，此 时 z最 大 .由 1 1 yy x ， 解 得 A(2， 1)，
4、代 入 目 标 函 数 z=2x+y得 z=2 2+1=5.即 目 标 函 数 z=2x+y 的 最 大 值 为 5.答 案 ： B4.如 图 ， 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 粗 线 画 出 的 是 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 此 几 何 体 的 体积 为 ( ) A.2B.4C.8D.12解 析 ： 由 几 何 体 的 三 视 图 得 到 该 几 何 体 是 四 棱 锥 S-ABCD， 其 中 ， 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 2 的正 方 形 ， PC 平 面 ABCD， PC=3， 由 此 能 求 出 几 何 体 的 体 积 .由 几 何 体
5、 的 三 视 图 得 到 该 几 何 体 是 四 棱 锥 S-ABCD， 其 中 ， 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ，PC 平 面 ABCD， PC=3， 几 何 体 的 体 积 ： 2 2 3 41 13 3 正 方 形 ABCDV S PC .答 案 ： B5.执 行 如 图 所 示 的 程 序 语 句 ， 则 输 出 的 S 的 值 为 ( ) A. 22B.1C. 22 +1D. 2 +1 解 析 ： 模 拟 程 序 框 图 的 运 行 过 程 ， 得 出 该 程 序 运 行 后 输 出 的 是2 3 50sin sin sin sin4 4 4 4 S 的
6、 值 ，2 3 50sin sin sin sin4 4 4 42 3 8 49 50sin sin sin sin sin sin4 4 4 4 4 449 50sin sin4 4sin sin42 12 2 S 答 案 ： C6.已 知 命 题 p： 直 线 l1： ax+y+1=0与 l2： x+ay+1=0平 行 ； 命 题 q： 直 线 l： x+y+a=0与 圆 x2+y2=1相 交 所 得 的 弦 长 为 2 ， 则 命 题 p 是 q( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 根 据 直
7、 线 平 行 的 等 价 条 件 以 及 直 线 和 圆 相 交 的 弦 长 公 式 分 别 进 行 计 算 ， 结 合 充 分 条 件和 必 要 条 件 的 定 义 进 行 判 断 即 可 .当 a=0时 ， 两 直 线 方 程 分 别 为 y+1=0， x+1=0， 两 直 线 不 平 行 ， 当 a 0 时 ， 若 两 直 线 平 行 ， 则 满 足 11 1 1 a a ，由 11 a a 得 a2=1， 得 a= 1， 由 11 1a ， 得 a 1， 即 a=-1，即 p： a=-1，圆 心 到 直 线 的 距 离 2 ad ， 半 径 r=1， 直 线 l： x+y+a=0 与
8、圆 x2+y2=1 相 交 所 得 的 弦 长 为 2 ， r 2=d2+( 22 )2，即 21 122 a ， 得 a2=1， 得 a= 1，则 命 题 p 是 q 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A 7. 数 列 an 为 正 项 递 增 等 比 数 列 ， 满 足 a2+a4=10 ， a32=16 ， 则2 2 1021 2log log log a a a 等 于 ( )A.-45B.45C.-90D.90解 析 ： 运 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 和 性 质 ， 求 出 q.再 结 合 对 数 运 算 公 式 ， 求 出 结 果 即 可 . a n为 正 项
9、 递 增 等 比 数 列 ， an an-1 0， 公 比 q 1.a2+a4=10 ， 且 a32=16=a3 a3=a2 a4 ，由 解 得 a2=2， a4=8.又 因 为 a4=a2 q2， 得 q=2或 q=-2(舍 ).则 得 a5=16， a6=32，51 2 10 1 2 1 62 2 2 2 0 2log log log log 5log a a a aa a a a92 2 2 25log 5log 516 32 2 9 2 2 2log 45 log 90 .答 案 ： D8.若 1ure ， 2ure 是 夹 角 为 60 的 两 个 单 位 向 量 ， 则 向 量 1
10、 2 r ur ura e e ， 1 22 r ur urb e e 的 夹 角 为 ( )A.30B.60 C.90D.120解 析 ： 根 据 题 意 ， 设 ra、 rb的 夹 角 为 ，又 由 1ure ， 2ure 是 夹 角 为 60 的 两 个 单 位 向 量 ， 且 1 2 r ur ura e e ， 1 22 r ur urb e e ，则 2 21 2 1 2 1 2 1 22 2 32 r r ur ur ur ur ur ur ur urg ga b e e e e e e e e ，又 由 1 2 r ur ura e e ， 则 1 1 31 ra ，由 1 2
11、2 r ur urb e e ， 则 1 4 32 rb ， 则 有 1os 2c r rgrgra ba b ，则 =60 .答 案 ： B9.已 知 双 曲 线 2 22 2 1 x ya b (a 0， b 0)的 一 条 渐 近 线 过 点 (1， 3 )， 且 双 曲 线 的 一 个 焦 点在 抛 物 线 y 2=16x的 准 线 上 ， 则 双 曲 线 的 方 程 为 ( ) A. 2 2 14 12 x yB. 2 2 112 4 x yC. 2 2 14 20 x yD. 2 2 120 4 x y解 析 ： 双 曲 线 2 22 2 1 x ya b (a 0， b 0)的
12、渐 近 线 方 程 为 y= ba x， 由 一 条 渐 近 线 过 点 (1， 3 )， 可 得 3ba ，双 曲 线 的 一 个 焦 点 (-c， 0)在 抛 物 线 y2=16x的 准 线 x=-4上 ，可 得 c=4，即 有 a2+b2=16，解 得 a=2， b=2 3 ，则 双 曲 线 的 方 程 为 2 2 14 12 x y .答 案 ： A 10.已 知 f(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当 x 0， + )时 ， f (x) 0.若 12ln a f ，21 1ln b f e e ， c=f(e0.1)， 则 a， b， c的 大 小 关 系 为 ( )
13、A.b a cB.b c aC.c a bD.a c b解 析 ： 根 据 条 件 先 判 断 函 数 的 单 调 性 ， 结 合 对 数 的 运 算 性 质 进 行 化 简 即 可 . 当 x 0， + )时 ， f (x) 0， 当 x 0， + )时 ， 函 数 f(x)单 调 递 减 ， f(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 函 数 在 (- ， + )上 单 调 递 减 ， 1 2 22ln ln ln a f f f ， 21 1 1ln ln 1 e e e ， 又 21 1ln 0 e e ，则 21 11 ln 0 e e ， e0.1 1， 0 ln2 1，则
14、 0.121 11 ln ln 2 ee e ，则 0.121 1 2ln ln f f f ee e ，即 c a b.答 案 ： C 11.函 数 f(x)=2sin( x+ )( 0)的 图 象 过 点 ( 9 ， 2)， 相 邻 两 个 对 称 中 心 的 距 离 是 3 ，则 下 列 说 法 不 正 确 的 是 ( )A.f(x)的 最 小 正 周 期 为 23B.f(x)的 一 条 对 称 轴 为 x= 49C.f(x)的 图 象 向 左 平 移 9 个 单 位 所 得 图 象 关 于 y 轴 对 称D.f(x)在 9 ， 9 上 是 减 函 数解 析 ： 求 出 函 数 f(x)
15、的 解 析 式 ， 再 判 断 选 项 中 的 命 题 是 否 正 确 即 可 .函 数 f(x)=2sin( x+ )图 象 相 邻 两 个 对 称 中 心 的 距 离 是 3 ， 2 3T ， 2 23 T ， 解 得 =3；又 f(x)的 图 象 过 点 ( 9 ， 2)， 2sin( 9 + )=2， 29 2 k ， k Z；解 得 = 6 +2k ， k Z；令 k=0， 得 = 6 ， f(x)=2sin(3x+ 6 )； f(x)的 最 小 正 周 期 为 T= 23 ， A 正 确 ；4 42sin 3 29 9 6 f 为 最 小 值 ， f(x)的 一 条 对 称 轴 为
16、 x= 49 ， B 正 确 ；f(x)的 图 象 向 左 平 移 9 个 单 位 ，得 函 数 2sin 3 2sin 3 2cos39 6 2 y x x x ，其 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， C正 确 ； x 9 ， 9 时 ， 3x 3 ， 3 ， 3x+ 6 6 ， 2 时 ， f(x)=2sin(3x+ 6 )在 9 ， 9 上 是 增 函 数 ， D 错 误 .答 案 ： D12.已 知 函 数 2 1 2 11 4 1 5 ， ， x xf x x xx ， 若 关 于 x 的 方 程 f(x)-ax=0 有 两 个 解 ， 则 实 数a的 取 值 范 围 是 ( )
17、A.(0， 625 52 ， -2)B.(0， 625 ) 52 ， -2C.(- ， 52 ) 625 ， + ) 0， -2D.(- ， 52 ) 625 ， + )解 析 ： 分 别 作 出 函 数 y=f(x)和 y=ax的 图 象 ， 利 用 方 程 有 两 个 解 ， 利 用 数 形 结 合 即 可 得 到 结论 .设 函 数 y=f(x)和 y=ax，作 出 函 数 f(x)的 图 象 如 图 ： 要 使 方 程 f(x)-ax=0有 2两 个 解 ，即 函 数 y=f(x)和 y=ax有 2 个 不 同 的 交 点 ， f(-2)=5， f(5)=|5+ 15 -4|= 65
18、，当 y=ax经 过 点 (5， 65 )时 ， 此 时 a= 625 ，当 过 点 (-2， 5)时 ， 此 时 a= 52 ，当 直 线 y=ax与 y=x 2+1相 切 时 ， y =2x， 设 切 点 为 (x0， y0)， -2 x0 0， 20 00 1 2 x xx ，解 得 x0=-1，当 x 0=-1， 此 时 a=-2，结 合 图 象 ， 综 上 所 述 a 的 取 值 范 围 为 52 ， -2) (0， 625 .答 案 ： A二 、 填 空 题 (本 题 有 4 标 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 20 分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 )13. 3
19、0 2 1 x dx .解 析 ： 根 据 定 积 分 的 运 算 ， 即 可 求 得 答 案 . 3230 0 3 62 1 9 x xx xd .答 案 ： 6 14.一 个 圆 柱 的 轴 截 面 是 正 方 形 ， 在 圆 柱 内 有 一 个 球 O， 该 球 与 圆 柱 的 上 、 下 底 面 及 母 线 均相 切 .记 球 O 的 体 积 为 V1， 圆 柱 内 除 了 球 之 外 的 几 何 体 体 积 记 为 V2， 则 12VV 的 值 为 . 解 析 ： 设 圆 柱 的 底 面 半 径 为 r，则 圆 柱 的 高 为 2r， 球 O 的 半 径 为 r， 球 O的 体 积
20、V 1= 43 r3，圆 柱 内 除 了 球 之 外 的 几 何 体 体 积 ：V2= r2 2r- 43 r3= 23 r3， 31 32 433 22 rVV r .答 案 ： 215.若 f(x)=e xlna+e-xlnb 为 奇 函 数 ， 则 1 2a b 的 最 小 值 为 .解 析 ： 由 奇 函 数 的 性 质 可 得 f(0)=0， 即 有 对 数 的 运 算 性 质 可 得 ab=1， 再 由 基 本 不 等 式 ， 即可 得 到 所 求 最 小 值 .f(x)=exlna+e-xlnb为 奇 函 数 ，可 得 f(0)=0，即 有 e0lna+e0lnb=0，即 有 l
21、n(ab)=0，可 得 ab=1， (a 0， b 0)，则 22 21 2 2 a abb ， 当 且 仅 当 b=2a= 2 时 ， 等 号 成 立 ，则 1 2a b 的 最 小 值 为 2 2 .答 案 ： 2 216.已 知 抛 物 线 C： y2=4x， 过 其 焦 点 F 作 一 条 斜 率 大 于 0的 直 线 l， l 与 抛 物 线 交 于 M， N两点 ， 且 |MF|=3|NF|， 则 直 线 l的 斜 率 为 .解 析 ： 方 法 一 ： 由 抛 物 线 的 定 义 ： |NF|=|DH|=x， |MF|=|CM|=3x， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 ，即
22、 可 求 得 直 线 MN的 倾 斜 角 为 60 ， 即 可 求 得 直 线 l的 斜 率 .抛 物 线 C： y2=4x， 焦 点 F(1， 0)， 准 线 为 x=-1， 分 别 过 M 和 N 作 准 线 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 C和 D， 过 NH CM， 垂 足 为 H，设 |NF|=x， 则 |MF|=3x，由 抛 物 线 的 定 义 可 知 ： |NF|=|DN|=x， |MF|=|CM|=3x， |HM|=2x， 由 |MN|=4x， HMF=60 ， 则 直 线 MN的 倾 斜 角 为 60 ，则 直 线 l 的 斜 率 k=tan60 = 3 .方 法 二 ：
23、 设 直 线 MN 的 方 程 y=k(x-1)， 代 入 抛 物 线 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理 及 向 量 的 坐 标 运 算 ，即 可 求 得 k的 值 .抛 物 线 C： y 2=4x， 焦 点 F(1， 0)，准 线 为 x=-1，设 直 线 MN 的 斜 率 为 k， 则 直 线 MN的 方 程 y=k(x-1)，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 2 4 1 y xy k x ，整 理 得 ： k 2x2-2(k2+2)x+k2=0， 则 21 2 22 2 kx x k ， x1x2=1，由 |MF|=3|NF|， 3uuu ur uurM FNF ， 即
24、(1-x1， -y1)=3(x2-1， y2)，x1+3x2=4， 整 理 得 ： 3x2-4x2+1=0， 解 得 ： x2=13 ， 或 x2=1(舍 去 )，则 x 1=3， 解 得 ： k= 3 ，由 k 0， 则 k= 3 .方 法 三 ： 设 直 线 MN的 方 程 x=mx+1， 代 入 抛 物 线 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理 及 向 量 的 坐 标 运 算 即 可 求 得 m的 值 ， 则 直 线 l 的 斜 率 为 1m .抛 物 线 C： y2=4x， 焦 点 F(1， 0)， 准 线 为 x=-1，设 直 线 MN 的 方 程 x=mx+1， 设 M(x1， y1
25、)， N(x2， y2)，2 14 x myy x ， 整 理 得 ： y2-4my-4=0， 则 y1+y2=4m， y1y2=-4，由 |MF|=3|NF|， 3uuu ur uurM FNF ， 即 (1-x 1， -y1)=3(x2-1， y2)，-y1=3y2， 即 y1=-3y2， 解 得 ： y2= 2 33 ， y1=2 3 ， 4m= 4 33 ， 则 m= 33 ， 直 线 l 的 斜 率 为 3 .答 案 ： 3 三 、 解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 第 1721 题 为 必 考 题 ， 每 小 题 12 分 ， 第 22、 23题 为
26、选 考 题 ， 有 10 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .)17.设 函 数 y=f(x)的 图 象 由 y=2sin2x+1的 图 象 向 左 平 移 12 个 单 位 得 到 .(1)求 f(x)的 最 小 正 周 期 及 单 调 递 增 区 间 .解 析 ： (1)通 过 函 数 的 图 象 的 变 换 ， 求 出 函 数 的 解 析 式 ， 然 后 求 解 函 数 的 周 期 以 及 函 数 的 单调 区 间 .答 案 ： (1)y=2sin2x+1 的 图 象 向 左 平 移 12 个 单 位 得 到 y=2sin(2x+ 6 )+
27、1的 图 象 ，即 f(x)=2sin(2x+ 6 )+1. 函 数 最 小 正 周 期 T= .令 2 2 22 6 2 k x k (k Z)，则 2 2 2 23 3 k x k (k Z)，解 得 3 6 k x k (k Z)，所 以 y=f(x)的 单 调 增 区 间 是 3 k ， 6 k (k Z).(2)在 ABC中 ， a， b， c 分 别 是 角 A， B， C的 对 边 ， 且 f(A)=2， b=1， S ABC= 3 ， 求 a 的 值 . 解 析 ： (2)利 用 已 知 条 件 求 出 A， 然 后 利 用 图 象 定 理 ， 以 及 三 角 形 的 面 积
28、求 解 a 即 可 .答 案 ： (2)由 题 意 得 ： f(A)=2sin(2A+ 6 )+1=2， 则 有 sin(2A+ 6 )= 12 .因 为 0 A ， 所 以 52 6 6 A ， A= 3 .由 1 sin 32 V ABC bc AS 及 b=1得 ， c=4.根 据 余 弦 定 理 ， a 2=b2+c2-2bccosA=1+16-2 1 4 12 =13，所 以 a= 13 .18.已 知 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 点 (n， Sn)在 曲 线 2 512 2 y x x 上 ， 数 列 bn满 足b n+bn+2=2bn+1， b4=11， bn的
29、前 5 项 和 为 45.(1)求 an， bn的 通 项 公 式 .解 析 ： (1)利 用 已 知 条 件 求 出 an的 通 项 公 式 ， 判 断 数 列 是 等 差 数 列 求 解 bn的 通 项 公 式 .答 案 ： (1)由 已 知 得 ： 212 52 nS n n，当 n=1时 ， 1 1 1 52 32 a S ，当 n 2 时 ， 221 51 12 51 1 2222 n n na S S n n n n n ，当 n=1时 ， 符 合 上 式 .所 以 a n=n+2.因 为 数 列 bn满 足 bn+bn+2=2bn+1， 所 以 bn为 等 差 数 列 .设 其
30、公 差 为 d.则 4 13 13 115 5 2 45 b b db b d ， 解 得 1 52 bd ，所 以 bn=2n+3.(2)设 12 3 2 8 n n nc a b ， 数 列 c n的 前 n 项 和 为 Tn， 求 使 不 等 式 Tn 54k 恒 成 立 的 最大 正 整 数 k的 值 .解 析 ： (2)化 简 数 列 的 通 项 公 式 ， 利 用 裂 项 相 消 法 求 解 数 列 的 和 即 可 .答 案 ： (2)由 (1)得 ， 1 1 1 1 12 3 2 8 2 1 4 2 2 2 141 2 1 2 1 2 1 n n nc a b n n n n n
31、 n ，1 1 1 11 15 2 1 2 1 21 1 1 14 3 3 4 1 nT n n n ， 因 为 1 1 1 1 02 1 2 3 2 2 1 24 31 n nT T n n n n ，所 以 Tn是 递 增 数 列 .所 以 Tn T1= 16 ，故 Tn 54k 恒 成 立 只 要 1 16 54 T k 恒 成 立 .所 以 k 9， 最 大 正 整 数 k的 值 为 8.19.已 知 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 ABCD为 正 方 形 ， PA 底 面 ABCD且 PA=AB=2.E为 PA的 中 点 . (1)求 证 ： PC 面 BDE.解 析 ： (1
32、)连 接 CA 交 BD 于 O， 连 接 OE， 证 明 OE PC， 即 可 推 出 PC 面 BDE.答 案 ： (1)连 接 CA 交 BD 于 O， 连 接 OE，因 为 ABCD 为 正 方 形 且 AC， BD为 对 角 线 ， 所 以 O为 CA的 中 点 ，又 E 为 PA 的 中 点 ，故 OE 为 PAC的 中 位 线 ，所 以 OE PC，而 OE面 BDE， PC 面 BDE，故 PC 面 BDE.(2)求 直 线 DE 与 平 面 PBC所 成 角 的 余 弦 值 .解 析 ： (2)以 A为 原 点 ， AB， AD， AP所 在 直 线 分 别 为 x， y，
33、z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A-xyz. 求 出 平 面 PBC 的 法 向 量 rn=(x， y， z)， 设 直 线 DE 与 平 面 PBC所 成 角 为 ， 利 用 向 量 的 数 量积 求 解 即 可 .答 案 ： (2)以 A 为 原 点 ， AB， AD， AP 所 在 直 线 分 别 为 x， y， z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A-xyz.则 B(2， 0， 0)， D(0， 2， 0)， C(2， 2， 0)， E(0， 0， 1)， P(0， 0， 2)，所 以 uuurDE =(0， -2， 1)， uurBP=(-2， 0， 2)， uuu
34、rBC=(0， 2， 0)，设 平 面 PBC的 法 向 量 rn=(x， y， z)， 则 00 ggr uurr uuurn BPn BC ， 即 00 x zy ，令 z=1， 则 法 向 量 rn=(1， 0， 1)，设 直 线 DE 与 平 面 PBC所 成 角 为 ， 则 10sin cos 10 gr uuurruuur r uuurg， n DEnDE n DE ，故 直 线 DE 与 平 面 PBC所 成 角 的 余 弦 值 3 1010 .20.已 知 椭 圆 C： 2 22 2 1 x ya b (a b 0)， 其 焦 距 为 2， 离 心 率 为 22 .(1)求 椭
35、 圆 C 的 方 程 . 解 析 ： (1)由 2c=2， 可 得 c=1， 由 22ca ， 可 得 a= 2 ， 从 而 b2=a2-c2=1， 即 可 求 出 椭 圆 方程 .答 案 ： (1)因 为 椭 圆 焦 距 为 2， 即 2c=2， 所 以 c=1， 22ca ， 所 以 a= 2 ，从 而 b2=a2-c2=1，所 以 ， 椭 圆 的 方 程 为 2 2 12 x y .(2)设 椭 圆 的 右 焦 点 为 F， K为 x轴 上 一 点 ， 满 足 2uuu ur uurO OFK ， 过 点 K作 斜 率 不 为 0的 直 线 l交 椭 圆 于 P， Q两 点 ， 求 FP
36、Q面 积 S的 最 大 值 .解 析 ： (2)设 直 线 MN 的 方 程 为 y=k(x-2)(k 0).代 入 椭 圆 方 程 得 (1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.设M(x1， y1)， N(x2， y2)， 由 判 别 式 0 解 得 k 范 围 .利 用 弦 长 公 式 、 三 角 形 面 积 计 算 公 式 、二 次 函 数 的 单 调 性 即 可 得 出 . 答 案 ： (2)椭 圆 右 焦 点 F(1， 0)， 由 2uuu ur uurO OFK 可 知 K(2， 0)，直 线 l过 点 K(2， 0)， 设 直 线 l 的 方 程 为 y=k(x-2)， k
37、0，将 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 得 (1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 则 21 2 281 2 kx x k ， 21 2 28 21 2 kx x k ，由 判 别 式 =(-8k 2)2-4(2k2+1)(8k2-2) 0 解 得 k2 12 .点 F(1， 0)到 直 线 l的 距 离 为 h， 则 2 22 1 1 k k kh k k ， 4 22 21 2 2 22 2264 8 21 11 1 12 4 222 11 12 1 g g g gk kk kS PQ h k x x k kk kk 2 2
38、2 22 21 22 1 2 22 1 21 22 1 ggg k kkk k k ，令 t=1+2k 2， 则 1 t 2，则 22 23 2 1 12 32 2 4 16 g t tS t t ，当 1 34t 时 ， S 取 得 最 大 值 .此 时 k 2= 16 ， k= 66 ，S取 得 最 大 值 24 .21.已 知 函 数 f(x)=1-ax+lnx(1)若 不 等 式 f(x) 0 恒 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)分 离 参 数 ， 构 造 函 数 ， 利 用 导 数 求 出 函 数 的 最 值 即 可 求 出 参 数 的 取 值 范
39、 围 .答 案 ： (1)由 题 意 知 ， 1-ax+lnx 0恒 成 立 .变 形 得 ： ln 1 xa x . 设 ln 1 xh x x ， 则 a h(x)max.由 2ln xh x x 可 知 ， h(x)在 (0， 1)上 单 调 递 增 ， 在 (1， + )上 单 调 递 减 ，h(x)在 x=1处 取 得 最 大 值 ， 且 h(x)max=h(1)=1.所 以 a h(x)max=1， 实 数 a的 取 值 范 围 是 1， + ).(2)在 (1)中 ， a 取 最 小 值 时 ， 设 函 数 g(x)=x(1-f(x)-k(x+2)+2.若 函 数 g(x)在 区
40、 间 12 ， 8上 恰 有 两 个 零 点 ， 求 实 数 k 的 取 值 范 围 .解 析 ： (2)问 题 转 化 为 即 关 于 x 的 方 程 x2-xlnx-k(x+2)+2=0在 区 间 12 ， 8上 恰 有 两 个 实 数根 ， 再 分 离 参 数 ， 构 造 函 数 ， 利 用 导 数 求 出 函 数 的 最 值 即 可 求 出 参 数 的 取 值 范 围 .答 案 ： (2)由 (1)可 知 ， a 1， 当 a=1时 ， f(x)=1-x+lnx，g(x)=x(x-lnx)-k(x+2)+2=x 2-xlnx-k(x+2)+2，g(x)在 区 间 12 ， 8上 恰 有
41、 两 个 零 点 ，即 关 于 x 的 方 程 x2-xlnx-k(x+2)+2=0 在 区 间 12 ， 8上 恰 有 两 个 实 数 根 .整 理 方 程 得 ， 2 ln 22 x x xk x ，令 2 ln 22 x x xs x x ， x 12 ， 8， 2 23 2ln 42 x x xs x x .令 (x)=x2+3x-2lnx-4， x 12 ， 8，则 2 1 2 x xx x ， x 12 ， 8，于 是 (x) 0， (x)在 12 ， 8上 单 调 递 增 .因 为 (1)=0， 当 x 12 ， 1)时 ， (x) 0， 从 而 s (x) 0， s(x)单 调
42、 递 减 ，当 x (1， 8时 ， (x) 0， 从 而 s (x) 0， s(x)单 调 递 增 ， 9 ln 2 33 12ln 21 1 810 52 51 ， ，s s s ，因 为 57 26ln 28 011 02 s s ，所 以 实 数 k的 取 值 范 围 是 (1， 9 ln 210 5 .(3)证 明 不 等 式 ： 2ln(2 3 4 n) 2 2 1 n nn (n N*且 n 2). 解 析 ： (3)由 (1)可 得 x-1 lnx， 当 且 仅 当 x=1时 取 等 号 ， 令 x= 21k ， 则 有 2 21 11 ln k k ，其 中 k N*， k
43、2， 利 用 放 缩 裂 项 ， 累 加 求 和 即 可 证 明 .答 案 ： (3)证 明 ： 由 (1)可 知 ， 当 a=1时 ， 有 x-1 lnx，当 且 仅 当 x=1时 取 等 号 .令 x= 21k ， 则 有 2 21 11 ln k k ， 其 中 k N*， k 2.整 理 得 ： 21 1 1 1 12ln 1 1 1 11 1 g gk k k k k k k k ，当 k=2， 3， ， n 时 ， 12ln 2 1 2 1 12 ， 12ln3 1 3 1 13 ， ， 1 12ln 1 1 n n n ，上 面 n-1个 式 子 累 加 得 ： 2ln(2 3
44、n) n-1-1+ 1n .n N*且 n 2， 即 2ln(2 3 n) 2 2 1 n nn .命 题 得 证 .请 考 生 在 22、 23两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 以 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 ， 取 相 同 的 单 位 长 度 建立 极 坐 标 系 ， 已 知 曲 线 C 1： x2+y2=1， 直 线 l： (cos -sin )=4.(1)将 曲 线 C1上 所 有 点
45、的 横 坐 标 、 纵 坐 标 分 别 伸 长 为 原 来 的 2 倍 、 3 倍 后 得 到 曲 线 C2， 请写 出 直 线 l， 和 曲 线 C2的 直 角 坐 标 方 程 .解 析 ： (1)直 接 把 参 数 方 程 和 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 进 行 转 化 .答 案 ： (1)因 为 l： (cos -sin )=4， 转 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 ： x-y=4；设 曲 线 C 2上 任 一 点 坐 标 为 (x ， y )，则 32 x xy y ，所 以 32 xx yy ，代 入 C 1方 程 得 ： 2 2 12 3 x y ，所 以
46、C2的 方 程 为 2 2 14 3 x y . (2)若 直 线 l1经 过 点 P(1， 2)且 l1 l， l1与 曲 线 C2交 于 点 M， N， 求 |PM| |PN|的 值 .解 析 ： (2)利 用 直 线 哈 曲 线 建 立 方 程 组 ， 利 用 一 元 二 次 方 程 根 和 系 数 的 关 系 求 出 结 果 .答 案 ： (2)直 线 l： x-y=4倾 斜 角 为 4 ， 由 题 意 可 知 ，直 线 l1的 参 数 方 程 为 221 222 x ty t (t为 参 数 )，联 立 直 线 l 1和 曲 线 C2的 方 程 得 ，27 11 7 02 2 t t
47、 .设 方 程 的 两 根 为 t1， t2，则 t1t2=2.由 直 线 参 数 t 的 几 何 意 义 可 知 ， |PM| |PN|=|t1t2|=2.选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 23.已 知 a， b 是 任 意 非 零 实 数 .(1)求 3 2 3 2 a b a ba 的 最 小 值 . 解 析 ： (1)根 据 绝 对 值 三 角 不 等 式 得 出 结 论 .答 案 ： (1)因 为 |3a+2b|+|3a-2b| |3a+2b+3a-2b|=6|a|，当 且 仅 当 (3a+2b)(3a-2b) 0时 取 等 号 ，3 2 3 2 a b a ba 的 最 小 值
48、 为 6.(2)若 不 等 式 |3a+2b|+|3a-2b| |a|(|2+x|+|2-x|)恒 成 立 ， 求 实 数 x 取 值 范 围 .解 析 ： (2)根 据 (1)的 结 论 可 得 ： |2+x|+|2-x| 6， 再 讨 论 x 的 符 号 解 出 x 的 范 围 .答 案 ： (2)由 题 意 得 ： 3 2 3 22 2 a b a bx x a 恒 成 立 ，结 合 (1)得 ： |2+x|+|2-x| 6. 当 x -2 时 ， -x-2+2-x 6， 解 得 -3 x -2；当 -2 x 2时 ， x+2+2-x 6 成 立 ， 所 以 -2 x 2；当 x 2 时 ， x+2+x-2 6， 解 得 2 x 3.综 上 ， 实 数 x 的 取 值 范 围 是 -3， 3.
